楊會超，夏偉杰，翁文明

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京211106)

0 引 言

成像聲吶通過采用數(shù)字多波束形成技術(shù)，借助于大數(shù)量的換能器陣列，能夠?qū)崟r提供水下前方目標(biāo)的距離-方位二維圖像，是進(jìn)行水下探測、避障等應(yīng)用的重要探測設(shè)備之一。成像聲吶的距離向分辨率由信號帶寬決定，方位向分辨率由工作頻率和陣列物理孔徑?jīng)Q定。距離向分辨率的提高，可以比較容易地通過增加信號的帶寬來實(shí)現(xiàn)，但是方位向分辨率的提高，相對比較困難。如采用更高的信號工作頻率，會導(dǎo)致信號衰減增大，降低了系統(tǒng)的作用距離；如增加物理孔徑，則會相應(yīng)地增加信號通道數(shù)量，增加系統(tǒng)的體積、功耗和成本。因此，通過信號處理的方法來提高成像聲吶的方位向分辨率，是目前國內(nèi)外研究人員的關(guān)注點(diǎn)之一。

近年來，圍繞著這一研究點(diǎn)，國內(nèi)外取得一些進(jìn)展。Lee等[1]使用壓縮感知方法，引入l1范數(shù)進(jìn)行約束取得了一定的超分辨性能，但是l1范數(shù)的引入會帶來更大的計(jì)算量。Feng等[2]將多進(jìn)多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)技術(shù)與單脈沖成像相結(jié)合減小了角度估計(jì)的誤差，但是需要大型的天線陣列，不利于前視探測的應(yīng)用。Sun等[3]提出了非均勻陣列的DOA估計(jì)方法，但是只給出了該方法多目標(biāo)超分辨的可能性，并未給出具體的驗(yàn)證。

從成像聲吶的成像機(jī)理角度上來看，聲吶圖像方位向上的圖像可以認(rèn)為是場景中同一距離內(nèi)散射點(diǎn)的聲散射強(qiáng)度和波束方向圖卷積的結(jié)果，因此可以考慮通過解卷積來提高方位向分辨率。此類方法的關(guān)鍵是如何正則化解卷積的“病態(tài)性”問題。針對該問題，Zhang等[4]在貝葉斯框架下利用分裂伯格曼(Bregman)算法解卷積實(shí)現(xiàn)超分辨，但是該算法對信噪比的要求較高。管金稱等[5]利用統(tǒng)計(jì)優(yōu)化模型來正則化解卷積的“病態(tài)性”問題，但是受限于噪聲的分布情況。Richards[6]給出了限制迭代解卷積(Constrained Iterative Deconvolution, CID)和其快速算法(Fast CID, FCID)，但是會引入過多的噪聲，而且迭代次數(shù)的選擇會對最終的結(jié)果造成很大的影響。Yang[7]和Huang等[8]將Richardson-Lucy算法引入到均勻線陣的波束形成，通過優(yōu)化波束寬度來達(dá)到更高的分辨率，但是對于非均勻陣列并未做相關(guān)研究。

針對上述問題，本文提出了用最大熵正則化方法來解決解卷積的“病態(tài)性”。與傳統(tǒng)方法相比，該方法不需要對先驗(yàn)信息作出假設(shè)，不拘泥于原始場景中的目標(biāo)分布，以 Frieden熵來衡量最終解的特性，可以在噪聲抑制和缺失信息恢復(fù)之間取得較好的平衡，獲得比傳統(tǒng)解卷積方法更好的效果。同時，本文引入圖像熵來評價最終的成像效果，用客觀的評價數(shù)據(jù)進(jìn)一步說明該算法的超分辨性能。

1 方位向卷積模型建立

為了避免線陣在偏離法向時引起波束寬度增加，該聲吶以半圓形換能器陣列為基礎(chǔ)，通過對180個通道回波信號進(jìn)行處理，在正前方90°內(nèi)形成540個波束，采用多波束電子掃描的方式實(shí)現(xiàn)對探測場景的實(shí)時成像。在0°～180°內(nèi)分布180個相同的換能器陣元，各個陣元之間的間隔為Δθ=π / (K-1 )，K=1 80。通過使用固定的6組加權(quán)系數(shù)，可以利用1～91號陣元形成1～6號波束，2～92號陣元形成7～12號波束，通過旋轉(zhuǎn)90次可以在正前方90°內(nèi)形成540個波束[9]，具體過程如圖1所示。

圖1 半圓形陣列的波束形成示意圖Fig.1 Schematic diagram of beamforming for semi-circular array

成像聲吶經(jīng)過數(shù)字波束形成后的接收數(shù)據(jù)可以看作是目標(biāo)的散射信息和卷積核的卷積結(jié)果，其中卷積核包括方位向上的波束方向圖和距離向上的脈沖調(diào)制函數(shù)，由于聲吶的距離分辨率目前可以達(dá)到cm級別，所以本文只考慮方位向分辨率的提高，即在固定目標(biāo)距離時，聲吶接收到的方位向上的信息可以看作是目標(biāo)的散射信息x和波束方向圖h[9]卷積的結(jié)果。因?yàn)榻邮盏降臄?shù)據(jù)是離散的，可以用離散時間系統(tǒng)來表示，即x(n),n= 0,1,2,… ,N-1和h(n),n= 0,1,2,… ,M-1，其中N表示散射場景的采樣點(diǎn)數(shù)，M表示波束主瓣的采樣點(diǎn)數(shù)。卷積的結(jié)果可以表示為

此時式(2)可表達(dá)為

式中：H∈RL×L表示L×L維的卷積核矩陣；y,x分別表示L×1維的聲吶接收信號和L×1維的目標(biāo)散射信息。同時方便后續(xù)的說明，本文將式(2)稱為“波束掃描”，將式(4)稱為“矩陣相乘”。

為了驗(yàn)證這種近似的合理性，下面對仿真場景的不同的接收方式成像的結(jié)果進(jìn)行比較。圖2(a)是波束指向?yàn)?5°的方向圖的仿真，可以看出3 dB波束寬度近似為1.2°；圖2(b)是由13個點(diǎn)目標(biāo)組成的原始目標(biāo)場景的仿真，每個點(diǎn)目標(biāo)的散射強(qiáng)度設(shè)置為灰度值 100，聲吶的工作參數(shù)設(shè)置如下：工作頻率 450 kHz，相控掃描范圍 45°～135°，聲速為1 500 m·s-1，換能器陣列半徑為0.12 m。

圖2 波束方向圖及原始場景仿真Fig.2 Simulation of directional pattern and original target scene

原始場景經(jīng)過波束掃描和矩陣相乘兩種接收方式后，可得到圖3中的結(jié)果，其中L=540，M=17，N=524。

從圖3中可以看出，兩種不同接收方式的成像結(jié)果幾乎一樣，說明了卷積核矩陣近似的合理性。

圖3 兩種接收方式成像結(jié)果對比Fig.3 Comparison of imaging results of two receiving modes

圖4是兩種方式在接收單目標(biāo)和雙目標(biāo)時方位向的剖面圖對比?？梢钥闯?，在接收單目標(biāo)時兩者基本重合。在雙目標(biāo)接收時，兩者也只有略微差異，這進(jìn)一步說明了矩陣相乘處理和實(shí)際接收情況基本一致，為后續(xù)的算法推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ)。

圖4 兩種接收方式點(diǎn)目標(biāo)方位向剖面圖Fig.4 Azimuth profiles of point targets of two receiving modes

2 最大熵算法推導(dǎo)

由式(1)可知，通過解卷積的方法可以求出關(guān)于原始目標(biāo)散射信息。然而解卷積的過程是一個逆問題，存在著“病態(tài)性”，無法直接求解，但是可以通過引入正則化的方法來使“病態(tài)性”問題轉(zhuǎn)化為“良性”問題進(jìn)行求解。

解卷積可以理解成對原始目標(biāo)散射信息的估計(jì)，如何使估計(jì)量達(dá)到最優(yōu)是需要解決的問題。熵可以用來衡量信息量的大小，通過使信息熵最大來恢復(fù)出散射信息是可行的。原始場景 Frieden熵的表達(dá)式為[11]

此時，F(xiàn)rieden熵與信息論中的香農(nóng)(Shannon)熵具有相同的表達(dá)式。

根據(jù)正則化的方法，可以將熵的求解問題轉(zhuǎn)化成有限制條件的優(yōu)化問題：

式中：ε為xj相對變化量的門限值?？烧J(rèn)為此時獲得的解最優(yōu)。

每次迭代過程主要包括：

(1) 初始化λi,0，與卷積核矩陣點(diǎn)乘之后進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算得到xj；

(2) 將卷積核矩陣與式(1)中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)乘；

(3) 將yi與過程(2)中的結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)除，再進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算；

(4) 將λi,k與過程(3)中的結(jié)果相減得到λi,k+1。上述過程的主要運(yùn)算包括兩次點(diǎn)乘、一次點(diǎn)除、一次指數(shù)運(yùn)算、一次對數(shù)運(yùn)算，所以每次迭代計(jì)算的復(fù)雜度為O(Ll og2L)。

從算法實(shí)現(xiàn)過程可以看出，最終超分辨的性能主要和λi,0的初始化、迭代終止條件中ε的選取有關(guān)。λi,0的選取與最初的熵有關(guān)，均勻地選取λi,0，即所有λi,0初值均相等，可以使初始熵達(dá)到最大，有利于減少算法執(zhí)行的時間。ε的選取與迭代的次數(shù)有關(guān)，此算法是將噪聲當(dāng)作信號進(jìn)行處理，隨著迭代次數(shù)的增加，可能會導(dǎo)致噪聲也被相應(yīng)地放大。因此，選擇合適的λi,0和ε有利于超分辨的實(shí)現(xiàn)。

3 最大熵算法仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證

3.1 最大熵算法仿真

此次仿真設(shè)置的場景和圖 2一致，均是由 13個點(diǎn)目標(biāo)組成的X形狀。在信息傳輸?shù)倪^程中加入不同程度的噪聲，其他相關(guān)仿真參數(shù)為：λi,0=0，i= 1,2,… ,L，ε= 1 0-5。接收到的原始數(shù)據(jù)以及經(jīng)過最大熵算法和FCID-CID算法處理之后可以得到圖5中的結(jié)果，圖中上排表示不同信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)下仿真聲吶接收的目標(biāo)場景，中排表示經(jīng)過最大熵算法處理后的場景，下排表示經(jīng)過FCID-CID算法處理后的場景。

圖5 仿真聲吶與最大熵算法、FCID-CID算法不同信噪比下成像結(jié)果Fig.5 Imaging results of simulated sonar, maximum entropy algorithm and FCID-CID algorithm under different SNRs

從圖5中可以看出，經(jīng)過波束掃描之后的圖像有很明顯的模糊，原本清晰可以區(qū)分的目標(biāo)變得不可區(qū)分，這是接收到的數(shù)據(jù)被濾除高頻信息造成的。在經(jīng)過兩種算法處理之后的數(shù)據(jù)，均可以區(qū)分出被波束掃描造成的模糊數(shù)據(jù)，很明顯地顯示出了原始的點(diǎn)目標(biāo)場景，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)目標(biāo)的超分辨。但是最大熵算法處理之后的結(jié)果要比FCID-CID算法處理的結(jié)果具有更好的超分辨性能，更接近于實(shí)際的仿真場景。

同時，為了更好地顯示出圖5中細(xì)節(jié)的差別，利用Photoshop的曲線工具(第一次明暗度輸入設(shè)置為17，明暗度輸出設(shè)置為146；保存后第二次明暗度輸入設(shè)置為93，明暗度輸出設(shè)置為191)增強(qiáng)兩幅圖像的對比度，可以得到圖6，從圖中可以看出，不同信噪比下，兩種算法均能較好地恢復(fù)出原始的散射點(diǎn)目標(biāo)。

圖6 最大熵算法、FCID-CID算法不同信噪比下對比度增強(qiáng)后成像結(jié)果Fig.6 Enhanced imaging results of maximum entropy algorithm and FCID-CID algorithm under different SNRs

為了使這種說法更具有說服力，引入圖像熵的概念來評價成像的效果。圖像熵是用來度量圖像的聚焦程度的，同一幅圖像的圖像熵越小，其聚焦性能越好[14]。圖像熵的定義為

表1 不同信噪比下不同成像算法的圖像熵Table1 Image entropy of different imaging algorithms under different SNRs

從表1中可以看出，不同信噪比下，經(jīng)過最大熵算法和FCID-CID算法處理之后的圖像熵相對于原始數(shù)據(jù)的圖像熵明顯下降，說明處理之后的圖像聚焦性能更好，原本不可區(qū)分的點(diǎn)目標(biāo)變得清晰可以區(qū)分，這與圖5中的結(jié)果一致。比較最大熵算法和FCID-CID算法可以看出，最大熵算法處理之后的圖像熵的下降明顯要比FCID-CID算法處理后的下降得多，說明該算法具有更好的超分辨性能。

為了更直觀地說明該算法的超分辨性能，畫出某一距離向點(diǎn)目標(biāo)的方位向剖面圖結(jié)果，如圖7所示。從圖7中可以看到，經(jīng)過波束掃描的方位向剖面圖的兩個點(diǎn)目標(biāo)只出現(xiàn)了一個峰值，兩個目標(biāo)不可區(qū)分；但是經(jīng)過最大熵和FCID-CID算法處理之后可以明顯看出兩個峰值，可以明顯區(qū)分出兩個目標(biāo)，驗(yàn)證了兩種算法的超分辨性能。通過最大熵算法和FCID-CID算法的比較可以看出，前者無論是在點(diǎn)目標(biāo)的區(qū)分還是在噪聲的抑制上面都表現(xiàn)出了優(yōu)于后者的性能。

圖7 最大熵算法、FCID-CID算法不同信噪比下方位向點(diǎn)目標(biāo)剖面圖Fig.7 Azimuth profiles of point targets processed by maximum entropy algorithm and FCID-CID algorithm under different SNRs

為了進(jìn)一步探究最大熵算法能夠適用的信噪比，進(jìn)一步減小信噪比得到圖8。

圖8中第1排為不同信噪比下仿真聲吶接收到的目標(biāo)場景，第2排為最大熵算法處理后的場景，最下排為某一距離向上兩個點(diǎn)目標(biāo)的剖面圖。從圖8中可以看出，在信噪比較低的情況下(0 dB, -5 dB,-10 dB)該算法仍能有很好的超分辨性能；在信噪比減少至-15 dB時，恢復(fù)出的原始場景有明顯的噪聲干擾，點(diǎn)目標(biāo)也不如高信噪比下區(qū)分明顯，而且方位向上點(diǎn)目標(biāo)的剖面圖有明顯被放大的部分噪聲，產(chǎn)生虛假目標(biāo)，妨礙對真實(shí)目標(biāo)的判斷。

3.2 實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為了更好地說明該算法的實(shí)用性，下面對聲吶的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理來驗(yàn)證該算法的超分辨性能，

實(shí)驗(yàn)所用參數(shù)與上述仿真參數(shù)設(shè)置相同。實(shí)驗(yàn)對水池中懸掛兩根細(xì)線的圓環(huán)進(jìn)行測試，通過終端顯示軟件實(shí)時顯示，并可以將顯示的圖像的數(shù)據(jù)進(jìn)行保存，具體的實(shí)驗(yàn)場景如圖9所示。

圖9 水池實(shí)驗(yàn)場景Fig.9 Pictures of the pool experiment site

將獲得的實(shí)測圓環(huán)數(shù)據(jù)保存后，用Matlab軟件進(jìn)行處理得到的結(jié)果如圖10所示。

圖10 實(shí)測數(shù)據(jù)成像處理效果對比Fig.10 Imaging results of the measured data processed by different algorithms

從實(shí)測數(shù)據(jù)的處理結(jié)果可以看出，原始接收的數(shù)據(jù)在上方有很明顯的模糊，但是在經(jīng)過算法處理之后，細(xì)節(jié)變得清晰，更容易區(qū)分。計(jì)算原始成像、最大熵算法成像和FCID-CID算法成像的圖像熵，可以得到如下結(jié)果：

可以看出，在經(jīng)過最大熵算法處理之后，圖像熵已經(jīng)有所減小，但是下降有限。這是因?yàn)楦纳坪蟮膱D像只在上方的細(xì)節(jié)方面重新聚焦，原始圓環(huán)已經(jīng)聚焦，而上方聚焦的部分占總體的比例較少，所以圖像熵下降很少，但是總體來說，圖像的聚焦程度仍有所改善。此外，最大熵算法處理的圖像熵低于FCID-CID算法處理的圖像熵，這也和3.1節(jié)仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了最大熵算法較傳統(tǒng)的超分辨算法在性能上有了進(jìn)一步的提高。

4 結(jié) 論

本文的研究基于課題組研制的一款多波束成像聲吶，建立了方位向的卷積模型，利用信號處理的方法來改善方位向的分辨率。通過解卷積的方法恢復(fù)出原始目標(biāo)的散射信息，以最大熵來正則化解卷積的“病態(tài)性”問題。經(jīng)過不同信噪比下的仿真和與FCID-CID算法的比較，可以看出本文算法在較低信噪比下仍能實(shí)現(xiàn)超分辨性能并且性能優(yōu)于FCID-CID算法。此外，引入圖像熵的概念衡量算法處理之后的圖像聚焦程度。同時，聲吶實(shí)測數(shù)據(jù)的處理進(jìn)一步驗(yàn)證了該算法的超分辨性能。但是，仍有一些問題需要繼續(xù)探索：如何實(shí)現(xiàn)最大熵的加速算法和更有效地去除噪聲，需要對這些問題進(jìn)行深入的研究。