黃建亮 王 騰 陳樹輝

(中山大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系,廣州 510275)

引言

在工程中存在著很多可以用自激振動(dòng)和參數(shù)激振聯(lián)合作用的van der Pol-Mathieu 方程來(lái)描述的振動(dòng),例如,含有萬(wàn)向接頭的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動(dòng)[1],卡盤作業(yè)過(guò)程中的參數(shù)激振[2],含有自振和參數(shù)激振的齒輪裝置系統(tǒng)的振動(dòng)[3],塵埃等離子體中的顆粒電荷的動(dòng)力學(xué)行為[4],高層建筑結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載下的振動(dòng)[5-6]等,都是可用van der Pol-Mathieu 方程來(lái)描述振動(dòng)的典型例子.van der Pol-Mathieu 方程同時(shí)含有自激振動(dòng)和參數(shù)激振,蘊(yùn)含著豐富的動(dòng)力學(xué)行為,多年來(lái)一直是眾多學(xué)者關(guān)注點(diǎn)之一.

Tondl[7]首先分析了van der Pol-Mathieu 方程中自激振動(dòng)和參數(shù)激振的相互作用,并在共振區(qū)域發(fā)現(xiàn)了周期響應(yīng).Kotera 和Yano[8]用兩個(gè)頻率的和分析了van der Pol-Mathieu 方程在參數(shù)共振區(qū)域的近似一階和二階的周期解.陳予恕和徐鑒[9]研究了van der Pol-Duffing-Mathieu 型系統(tǒng)主參數(shù)共振分岔解,得到該非線性參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)依賴于物理參數(shù)變化的振動(dòng)模式.Szabelski 和Warminski[10]分析了自激振動(dòng)和參數(shù)激勵(lì)對(duì)van der Pol-Mathieu 方程的影響,并且研究了附加外激勵(lì)在同步區(qū)域內(nèi)動(dòng)力學(xué)行為的影響.Warminski 等[3]對(duì)含有自激振動(dòng)和參數(shù)激勵(lì)的兩自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析,并得到了不同類型的響應(yīng),包含有周期響應(yīng),準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和混沌.彭獻(xiàn)和陳自力[11]引入?yún)?shù)變換,將強(qiáng)非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為弱非線性系統(tǒng),利用攝動(dòng)思想分析得到了van der Pol-Mathieu方程的1/2 亞諧共振周期解.Belhaq 和Fahsi[12]和Pandey 等[13]分析了van der Pol-Mathieu-Duffing 系統(tǒng)的響應(yīng),得到該類系統(tǒng)可含有1:1 鎖頻,2:1 次諧波鎖頻和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng).張琪昌等[14]利用改進(jìn)的類Pad′e 方法計(jì)算了van der Pol-Duffing 方程的同異宿軌道.Warminski[15]研究了含有van der Pol 和Rayleigh函數(shù)在兩個(gè)不同自激振動(dòng)模型下具有時(shí)滯狀態(tài)的自激振動(dòng),參數(shù)激振和強(qiáng)迫振動(dòng)作用下的相互作用.許多學(xué)者也對(duì)各類含有參數(shù)激振的非線性系統(tǒng)進(jìn)行研究[16-19],得到了不同的非線性振動(dòng)特性和運(yùn)動(dòng)分岔.

早期對(duì)于van der Pol-Mathieu 方程的眾多研究主要集中在含有一個(gè)基頻的周期響應(yīng)及其穩(wěn)定性分析.可以利用不同的攝動(dòng)方法求得這類方程的近似解析解[20].然而,對(duì)于van der Pol-Mathieu 方程來(lái)說(shuō),因有自激振動(dòng)與參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)的相互耦合作用,使得系統(tǒng)不僅有周期響應(yīng),而且還有準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng),甚至產(chǎn)生混沌,近年來(lái)受到眾多學(xué)者的關(guān)注.Belhaq 和Houssni[21]為了構(gòu)造準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的近似解,提出了雙攝動(dòng)的思想,其方法包含了兩個(gè)步驟:第一步利用廣義的平均法將準(zhǔn)周期系統(tǒng)變?yōu)橹芷跍p化系統(tǒng);第二步是用多尺度法對(duì)周期減化系統(tǒng)構(gòu)造出近似的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)解.他們利用雙攝動(dòng)方法得到了同時(shí)含有二次和三次非線性項(xiàng)的參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)的單自由度系統(tǒng)的準(zhǔn)周期解.該雙攝動(dòng)方法的本質(zhì)就是對(duì)周期減化系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的周期解進(jìn)行非線性近似,該方法可進(jìn)一步推廣到各類非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)分析中[5-6,12,22].Fan 等[23]也利用了雙攝動(dòng)方法分析了van der Pol-Mathieu 方程在有外激勵(lì)和無(wú)外激勵(lì)兩種情況下的周期解和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)近似解的包絡(luò)線.然而,雙攝動(dòng)方法只能得到準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)包絡(luò)線的最大和最小幅值,無(wú)法得到系統(tǒng)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的具體響應(yīng)情況,更無(wú)法得到系統(tǒng)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的各個(gè)響應(yīng)頻率.Warminski 等[3]和Warminski[15]利用多尺度法分別分析了含有自激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)的兩個(gè)自由度時(shí)滯系統(tǒng),并利用數(shù)值法得到了兩個(gè)時(shí)滯系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和混沌.Veerman 和Verhulst[24]利用平均法分析了van der Pol-Mathieu 方程,并得到了由1 階和1/ε 階基礎(chǔ)周期構(gòu)造而成的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng),其中ε 是小量.上述的各種攝動(dòng)法只能得到van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)近似解,有些方法得到的結(jié)果只能描述準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的最大和最小振幅,特別是在鄰近分岔點(diǎn)處用攝動(dòng)法得到的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)解與數(shù)值解相差甚大,據(jù)作者所知,迄今為止尚未有有效的攝動(dòng)法能精確地計(jì)算并得到此類van der Pol-Mathieu 方程的精確準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)解.

本文針對(duì)含有外激勵(lì)的van der Pol-Mathieu 方程進(jìn)行研究,主要是發(fā)現(xiàn)了單自由度的van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜含有均勻邊頻帶的新特性。此新特性與之前研究分析的多自由度非線性系統(tǒng)中內(nèi)共振引起的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜特性[25-27]相類似,即都含有均勻的邊頻帶,不同之處在于多自由度非線性系統(tǒng)中的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)是由于不同振動(dòng)模態(tài)之間在內(nèi)共振條件下相互作用產(chǎn)生的,而單自由度的van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)是由于自激振動(dòng)與參數(shù)激振耦合產(chǎn)生的,僅是van der Pol 方程中的自激振動(dòng)或僅是Mathieu 方程中的參數(shù)激振并不能產(chǎn)生準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).根據(jù)此準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)頻譜含有均勻邊頻帶的特性,它包含了兩個(gè)基頻,一個(gè)是已知激勵(lì)頻率ω;另一個(gè)是事先未知的頻率ωd,即為邊頻帶中相鄰兩個(gè)頻率之間的距離,那么準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)中所有的頻率成份都可表示為這兩個(gè)基頻的線性組合.因此,本文利用傳統(tǒng)的增量諧波平衡法(IHB 法)分析單自由度含有外激勵(lì)的van der Pol-Mathieu 方程的周期響應(yīng),并推廣兩時(shí)間尺度的IHB 法,其中一個(gè)時(shí)間尺度是快時(shí)間尺度τ1=ωt;另外一個(gè)是慢時(shí)間尺度τ2=ωdt(ω ?ωd),應(yīng)用于分析此van der Pol-Mathieu方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng).

1 含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的周期解及其穩(wěn)定性

對(duì)于含有外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程,有3種激勵(lì)共同作用,即自激勵(lì),參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì),可描述為下列的微分方程

其中,x是因變量,t是時(shí)間,k1,k2和k3是常數(shù),是線性固有頻率,ω 是激勵(lì)頻率,f是外激勵(lì)幅度.方程(1)包含了自激勵(lì),即van der Pol 項(xiàng)?(k1?k2x2)dx/dt;參數(shù)激勵(lì),即Mathieu 項(xiàng)k3cos(2ωt)x和簡(jiǎn)諧外激勵(lì)fcos ωt.對(duì)于此方程,首先利用傳統(tǒng)的IHB 法確定其周期解,然后利用Floquet 理論,并結(jié)合精細(xì)的Hsu 法判斷其周期解的穩(wěn)定性及分岔,最后得到了Saddlenode 和Hopf 這兩種分岔類型.

1.1 傳統(tǒng)的IHB 法

對(duì)于含外激勵(lì)的van der Pol-Mathieu 方程,可以利用傳統(tǒng)的IHB 法來(lái)確定其周期解.引入一個(gè)新的時(shí)間變量

方程(1)可變?yōu)?/p>

其中,′表示對(duì)時(shí)間τ 的導(dǎo)數(shù).

傳統(tǒng)的IHB 法包含兩個(gè)過(guò)程,增量過(guò)程和諧波平衡過(guò)程.增量過(guò)程即Newton-Raphson 迭代過(guò)程,是對(duì)微分方程(3)進(jìn)行線性化.設(shè)x0,ω0,f0是方程(3)的解,則其鄰近點(diǎn)可表示為

式中,?x,?ω,?f為增量,將式(4)代入方程(3),并略去高階小量后可得到以?x,?ω,?f為未知量的增量方程

為不平衡力.如果x0,ω0,f0是方程(3)的準(zhǔn)確解,那么R=0.

傳統(tǒng) IHB 法的第二個(gè)過(guò)程是諧波平衡過(guò)程(Galerkin 過(guò)程).因方程(1)是自激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)的系統(tǒng),包含了奇次非線性項(xiàng),所以對(duì)于其周期解,可設(shè)

這里,ak和bk是傅里葉系數(shù),nc和ns分別是cosine和sine 諧波項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)

對(duì)式(7)和式(8)進(jìn)行微分,得

將式(7),式(8),式(12)和式(13)代入方程(5),并利用Galerkin 過(guò)程平衡諧波項(xiàng),得

積分上式并整理歸并為以?A,?ω 和?f為未知量的代數(shù)方程組

這里,上標(biāo)T表示為矩陣的轉(zhuǎn)置,KA是n×n的矩陣,和Rω是n×1 的矩陣,n=nc+ns.本文只考慮在某一固定外激勵(lì)幅值下的頻率響應(yīng)曲線,那么f取固定值,?f=0,于是方程(15)成為

用傳統(tǒng)的IHB 法求解時(shí),可事先給定一個(gè)初值,然后利用增量過(guò)程和諧波平衡過(guò)程追蹤出所有的解.在求解過(guò)程中,可采用振幅增量,頻率增量或弧長(zhǎng)增量,具體可參見Cheung 等[28],陳樹輝[29]的研究結(jié)果.

1.2 周期解的穩(wěn)定性與分岔

利用傳統(tǒng)的IHB 法確定含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的周期解后,需要分析其穩(wěn)定性.設(shè)x0為已求得的解,給x0一個(gè)小的擾動(dòng)?x

將式(21)代入方程(1),略去高階小量,并注意x0滿足方程(1),可得

方程(22)稱為擾動(dòng)方程,即從已知的平衡位置擾動(dòng)而得的方程.方程(22)的穩(wěn)定性特征可以用Floquet理論來(lái)分析.將方程(22)重新寫為狀態(tài)方程

由于x0是τ 的周期為T=2π 的函數(shù),所以Q21和Q22也是周期為T=2π 的函數(shù).

對(duì)于方程(23),存在著一組基礎(chǔ)解系

這一基礎(chǔ)解系可用矩陣來(lái)表示

可以看到,Y滿足矩陣方程

由于Q(τ+T)=Q(τ),Y(τ+T)也是基礎(chǔ)矩陣解,因此,它可表示為

式中,P為非奇異常數(shù)矩陣,稱為轉(zhuǎn)移矩陣.根據(jù)Floquet 理論,方程(23)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則與矩陣P的特征值λi有關(guān).如果轉(zhuǎn)移矩陣P的所有特征值的模都小于1,則方程(23)的運(yùn)動(dòng)是有界的,因而此周期解是穩(wěn)定的;如果轉(zhuǎn)移矩陣P中至少有一個(gè)特征值的模大于1,則方程(23)的運(yùn)動(dòng)是無(wú)界的,此周期解也就不穩(wěn)定.

采用數(shù)值方法求解方程(30)的基礎(chǔ)解系,其中有效地計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣P是穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵.Hsu[30-31]和Hsu 和Cheng[32]提出一個(gè)近似求解轉(zhuǎn)移矩陣P的有效方法,其主要思想是把一個(gè)周期等分為若干時(shí)間間段,在每一時(shí)間段上進(jìn)行積分.Friedmann 等[33]給出了該方法的具體推導(dǎo)表達(dá)式.Huang等[34]在此基礎(chǔ)上,結(jié)合了精細(xì)積分算法[35],提出了精細(xì)的Hsu 法,有效地減小了計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣P的舍入誤差.

1.3 含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程周期解的響應(yīng)特性

在用傳統(tǒng)的IHB 求解過(guò)程中,取諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù)nc=ns=3,式(7)可寫為

圖1 所示為當(dāng)k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01 時(shí)van der Pol-Mathieu 方程周期響應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線ω-A1,高階的諧波項(xiàng)較小而沒(méi)有在此顯示,圖1(b)是圖1(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖,其中實(shí)線表示穩(wěn)定的周期解,虛線表示不穩(wěn)定的周期解,實(shí)圓點(diǎn)表示Saddle-node 分岔,實(shí)三角形點(diǎn)表示Hopf 分岔.圖1 中4 個(gè)臨近分岔點(diǎn)的響應(yīng)點(diǎn)的Floquet 乘子如表1 所示.從表1 可以看出,在復(fù)平面上其中的一個(gè)Floquet 乘子從+1 方向穿出單位圓,導(dǎo)致了Saddlenode 分岔(S1和S2),從而出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象;而一對(duì)共軛的Floquet 乘子穿出單位圓,導(dǎo)致了Hopf 分岔(H1和H2),從而出現(xiàn)了準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).

圖1 含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程周期響應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線,ω-A1其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01,(b)為(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖Fig.1 Frequency response curve ω-A1of periodic response of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01,(b)is an enlarged view of a zone highlighted in(a)

在含有外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程中,由于非線性的影響,周期解的頻率響應(yīng)曲線出現(xiàn)了多值性,從而出現(xiàn)了一些重要而且有趣的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,如圖1 所示的跳躍現(xiàn)象.假設(shè)外激勵(lì)幅值f不變而頻率ω 慢慢地變化,先考察向右掃頻的過(guò)程,周期解從分岔點(diǎn)H1出發(fā),當(dāng)頻率ω 逐漸增大時(shí),振幅A1開始變大,在ω=1.0 附近達(dá)到最大值,過(guò)了最大值后振幅A1變小到達(dá)分岔點(diǎn)S1,如果ω 繼續(xù)增大,則振幅A1突然從點(diǎn)S1跳躍到點(diǎn)P1(如圖1(a)所示),然后沿曲線逐漸變小,最后到達(dá)點(diǎn)H2.反之,考察向左掃頻的過(guò)程,周期解從分岔點(diǎn)H2出發(fā),當(dāng)頻率ω 逐漸減小時(shí),振幅A1開始變大,在ω=1.0 附近也達(dá)到最大值,過(guò)了最大值后振幅A1變小到達(dá)分岔點(diǎn)S2,如果ω 繼續(xù)減小,則振幅A1突然從點(diǎn)S2跳躍到點(diǎn)P2(如圖1(b)所示),然后沿曲線逐漸變小,最后到達(dá)點(diǎn)H1.

表1 頻率ω 在4 個(gè)分岔點(diǎn)S1,S2,H1和H2臨近點(diǎn)響應(yīng)的Floquet 乘子λ1和λ2,其中=√Table 1 Floquet multipliers λ1and λ2for the frequency ω near the four bifurcation points S1,S2,H1,and H2,where=√

表1 頻率ω 在4 個(gè)分岔點(diǎn)S1,S2,H1和H2臨近點(diǎn)響應(yīng)的Floquet 乘子λ1和λ2,其中=√Table 1 Floquet multipliers λ1and λ2for the frequency ω near the four bifurcation points S1,S2,H1,and H2,where=√

圖2 ω=1.0 時(shí)含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程含有3 個(gè)周期解,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01:(a)第一個(gè)穩(wěn)定周期解的時(shí)間歷程圖;(b)第二個(gè)穩(wěn)定周期解的時(shí)間歷程圖;(c)3 個(gè)不同周期解的相圖;(d)兩個(gè)穩(wěn)定周期解的頻譜圖Fig.2 Three different periodic solutions of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation for ω=1.0 with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01:(a)Time history of the first stable periodic response;(b)time history of the second stable periodic response;(c)phase plane portraits of the three solutions;(d)Fourier spectra of the two stable periodic response

在圖1 中從點(diǎn)S1到S2的區(qū)域,存在著兩個(gè)穩(wěn)定的周期解和一個(gè)不穩(wěn)定的周期解.圖2 所示為頻率ω=1.0 時(shí)van der Pol-Mathieu 方程含有3 個(gè)不同解的周期響應(yīng),其中圖2(a)和圖2(b)是兩個(gè)穩(wěn)定周期解的時(shí)間歷程圖,其中實(shí)線表示用Runge-Kutta(RK)數(shù)值法求得的解,圓圈表示用傳統(tǒng)的IHB 法得到的結(jié)果,可以看出,兩個(gè)方法得到的結(jié)果非常吻合;圖2(c)所示為3 個(gè)解的相圖,可以看出3 條都是封閉的曲線,進(jìn)一步表明系統(tǒng)的響應(yīng)為周期響應(yīng);圖2(d)所示為兩個(gè)穩(wěn)定周期解的頻譜圖,可以看出|A1| ?|A2| ?|A3|,系統(tǒng)的響應(yīng)主要以第一階響應(yīng)為主,其頻率是參數(shù)激勵(lì)頻率2ω 的一半,與外激勵(lì)頻率一樣,因此系統(tǒng)的響應(yīng)為自激振動(dòng),1:2 參數(shù)激振和外激勵(lì)的聯(lián)合作用.

2 含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)

對(duì)于含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的周期響應(yīng),其頻率成份之間是可約的,例如在本文中,系統(tǒng)的頻率成份為ω,3ω 和5ω.在上節(jié)分析得知,系統(tǒng)的周期解經(jīng)Hopf 分岔后會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).對(duì)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō),其頻率成份至少含有兩個(gè)或以上的不可約頻率.事實(shí)上,本文首次發(fā)現(xiàn)了van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的新特性,即其頻率成份是由落在ω,3ω 和5ω 附近的邊頻帶組成,并且這些邊頻帶里的頻率是等相距的,即為均勻的邊頻帶.此準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的新特性,正是由于van der Pol-Mathieu 方程中的自激振動(dòng)和參數(shù)激振相互作用產(chǎn)生的.如若只考察van der Pol 方程中的自激振動(dòng)或只考察Mathieu 方程的參數(shù)激振,并不會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).根據(jù)此準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的新特性,其頻譜中含有兩個(gè)基頻,一個(gè)是已知的頻率ω,另一個(gè)可把它看作是均勻邊頻帶里相鄰頻率的距離ωd,且ωd事先是未知的,此時(shí)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)中所有的頻率都可由這兩個(gè)基頻線性組合而成.根據(jù)此特性,發(fā)展了傳統(tǒng)的IHB 法,引入兩個(gè)時(shí)間尺度,使之適用于精確求解含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),并且可以得到此準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)所有的頻率成份.

2.1 兩時(shí)間尺度的IHB 法

相較于傳統(tǒng)的IHB 法,兩時(shí)間尺度的IHB 法在求解含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有3 點(diǎn)改進(jìn)之處,具體推導(dǎo)如下.

(1)第一點(diǎn)改進(jìn)是引入兩個(gè)時(shí)間變量代替式(2)中針對(duì)于周期解的一個(gè)時(shí)間變量τ=ωt,如下那么x(t)是τ1和τ2的函數(shù),即x(t)=x(ωt,ωdt)=x(τ1,τ2).記

同樣,利用增量過(guò)程,對(duì)于第一步的兩時(shí)間尺度IHB法,設(shè)x0,ω0,ωd0,f0是方程(36)的解,則其鄰近點(diǎn)可表示為

將式(37)代入方程(36),并忽略高階小量,得到以?x,?ω,?ωd,?f為未知量的增量方程

(2)第二點(diǎn)改進(jìn)是將x0展開為含有兩個(gè)時(shí)間變量τ1和τ2的二重傅里葉級(jí)數(shù)形式

式中,Nm是傅里葉級(jí)數(shù)中保留到最高階諧波項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),和是諧波項(xiàng)系數(shù).在含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)中,發(fā)現(xiàn)了其頻譜的邊頻帶是集中在頻率ω 及其奇數(shù)倍頻上,即ω,3ω,5ω,···,而且邊頻帶內(nèi)相鄰頻率之間的距離是相等的,也就是說(shuō),所有含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻率成份可表示為ω,ω±ωd,ω±2ωd,···,ω ±m(xù)1ωd,3ω,3ω ± ωd,3ω ± 2ωd,···,3ω ±m(xù)2ωd,···,(2nc?1)ω,(2nc?1)ω ± ωd,(2nc?1)ω ±2ωd,···,(2nc?1)ω±m(xù)ncωd,其中2m1+1,2m2+1,···,2mnc+1 是對(duì)應(yīng)于ω,3ω,···,(2nc?1)ω 邊頻帶中諧波項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).那么式(41)可表示為

2.2 準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻率響應(yīng)曲線

圖3 含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程周期響應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線ω-A1和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)(QP)的頻率響應(yīng)曲線ω-1,?1,ω-1,0和ω-1,1,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01,(b)為(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖Fig.3 Frequency response curves ω-A1of periodic response and ω-1,?1,ω-1,0,and ω-1,1of quasi-periodic(QP)motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01,(b)is an enlarged view of a zone highlighted in(a)

2.3 不同頻率ω 點(diǎn)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)

為了考察含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)特性,在圖3 中選取3 個(gè)不同頻率ω 點(diǎn)來(lái)分析,第一個(gè)點(diǎn)是ω=0.987 35,即在左側(cè)曲線上臨近于分岔點(diǎn)H1;第二個(gè)點(diǎn)是ω=0.985,即在左側(cè)比第一個(gè)點(diǎn)較遠(yuǎn)離分岔點(diǎn)H1;第三個(gè)點(diǎn)是ω=1.02,即在右側(cè)曲線上的一點(diǎn).圖4 至圖6 所示分別為在圖3 中上述3 個(gè)點(diǎn)的時(shí)間歷程圖,頻譜圖和龐加萊截面圖.表2 所示為利用兩時(shí)間尺度IHB 法求出在圖3 中3 個(gè)點(diǎn)ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和從表2 可以看出,在系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)中,當(dāng)頻率ω越遠(yuǎn)離Hopf 分岔點(diǎn)時(shí),均勻邊頻帶的頻率間的間距ωd越大.

圖4(a)所示為在分岔點(diǎn)H1附近頻率ω=0.987 35 時(shí)分別用四階的RK 數(shù)值法和用含有350個(gè)諧波項(xiàng)的兩時(shí)間尺度IHB 法計(jì)算得到的含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期(QP)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01.可以看出,準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)具有‘拍’ 現(xiàn)象,且有明顯的包絡(luò)線.圖4(b)是圖4(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖,可以看出不管是在振幅較大的區(qū)域,還是在如圖4(a)中振幅較小的區(qū)域,兩時(shí)間尺度IHB 法得到的結(jié)果與RK 法得到的結(jié)果完全一致.圖4(c)和圖4(d)是頻率ω=0.987 35 點(diǎn)上的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜圖,其中圖4(d)是在頻率ω 附近的頻譜放大圖.從圖4(c)可以看出,頻率成份主要集中在ω,3ω 和5ω 附近,且集中在ω 的幅值遠(yuǎn)大于其他幅值;在圖4(d)上標(biāo)示出在靠近ω 的5 個(gè)頻率及其幅值,可以得到相鄰頻率間的間距為ωd=8.846 28×10?4,最大的幅值在頻率為ω+ωd=0.988 24 上.

圖4 在分岔點(diǎn)H1附近頻率ω=0.987 35 時(shí)含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.4 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=0.987 35 near the bifurcation point H1

圖4 在分岔點(diǎn)H1附近頻率ω=0.987 35 時(shí)含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01(續(xù))Fig.4 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=0.987 35 near the bifurcation point H1(continued)

圖5 頻率ω=0.985 時(shí)含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.5 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the parametric excitation freqeuncy ω=0.985

圖6 頻率ω=1.020 時(shí)含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.6 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=1.020

表2 利用兩時(shí)間尺度IHB 法求出在圖3 中三個(gè)點(diǎn)ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和1,?1,1,0,1,1Table 2 A prior unknown ωdand three amplitudes 1,?1,1,0,and1,1in frequency response curves of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation that are calculated by the IHB method with two time-scales at the three points ω=0.987 35,0.985,1.02 in Fig.3

表2 利用兩時(shí)間尺度IHB 法求出在圖3 中三個(gè)點(diǎn)ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和1,?1,1,0,1,1Table 2 A prior unknown ωdand three amplitudes 1,?1,1,0,and1,1in frequency response curves of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation that are calculated by the IHB method with two time-scales at the three points ω=0.987 35,0.985,1.02 in Fig.3

圖4(e)是取不同的諧波項(xiàng)的兩時(shí)間尺度IHB 法和采用RK 法得到的頻率ω=0.987 35 時(shí)含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的龐加萊截面圖.圖中所示為RK 法得到的和取不同諧波項(xiàng)的兩時(shí)間IHB 法得到的龐加萊截面圖,可以看出隨著m1越大,其結(jié)果是收斂的,且越接近于RK 法的結(jié)果;當(dāng)取到m1=70,m2=15,m3=1 時(shí)(即諧波總項(xiàng)數(shù)?n=350),兩時(shí)間尺度IHB 法得到的結(jié)果與RK 法得到的結(jié)果相吻合,這也說(shuō)明了含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程在頻率ω=0.987 35 點(diǎn)上的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)至少含有175 個(gè)頻率.表3 所示為用RK 法和取不同諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的兩時(shí)間尺度IHB 法得到在ω=0.987 35 處的Amax和Amin的對(duì)比,其中Amax和Amin分別是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)包絡(luò)線幅值的最大值和最小值.從表3 可以看出,隨著諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的增加,兩時(shí)間尺度IHB 的結(jié)果越接近于RK 法的結(jié)果,進(jìn)一步說(shuō)明了在某些頻率點(diǎn)上,兩時(shí)間尺度IHB 法需要取足夠的諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù),才能得到精確的結(jié)果.

表3 用RK 法和取不同諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的兩時(shí)間尺度IHB 法得到在ω=0.987 35 處的Amax和Amin的對(duì)比,其中Amax和Amin分別是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)包絡(luò)線幅值的最大值和最小值Table 3 Comparison of Amaxand Aminfrom the RK method and the IHB method with two time-scales with different harmonic terms at the point ω=0.987 35,where Amaxand Aminare the maximal and minimal value of envelops of the quasi-periodic motions,respectively

圖5 和圖6 分別是在另外兩個(gè)點(diǎn)ω=0.985和ω=1.02 上的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)情況,得到與點(diǎn)ω=0.987 35 上相似的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)特征,其中利用兩時(shí)間尺度IHB 法得到的結(jié)果所用到的諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為=70(m1=10,m2=5,m3=1).圖5(a)和圖6(a)的左部分是在[0,2000]緊縮時(shí)間尺度上的時(shí)間歷程圖,具有明顯的包絡(luò)線,右部分是在[2960,3000]擴(kuò)張時(shí)間尺度上的時(shí)間歷程圖,從圖中可以看出兩時(shí)間尺度IHB 法得到的結(jié)果與RK 法得到的結(jié)果完全一致.

觀測(cè)在不同頻率ω 點(diǎn)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),可以得到一些有趣的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.比較3 個(gè)點(diǎn)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖4(a),圖5(a)和圖6(a)可以得知,準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線似乎都有‘周期’,且其‘周期’長(zhǎng)度恰似為2πω/ωd,即分別為7012.78,758.17 和414.27,說(shuō)明越接近分岔點(diǎn)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線的‘周期’長(zhǎng)度越長(zhǎng);比較3 個(gè)點(diǎn)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜圖4(c),圖5(b)和圖6(b)可以得知,越遠(yuǎn)離分岔點(diǎn)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的邊頻帶的帶寬越寬且其頻率分布越稀疏,此原因是由于邊頻帶相鄰頻率間的間距變大;比較3 個(gè)點(diǎn)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的龐加萊截面圖4(e),圖5(d)和圖6(d)可以得知,利用兩時(shí)間尺度IHB 法需要不同的諧波項(xiàng)項(xiàng)數(shù)以滿足計(jì)算的精度,如在頻率ω=0.987 35 點(diǎn)上需要350 個(gè)諧波項(xiàng),而在其他兩個(gè)點(diǎn)上只需70 個(gè)諧波項(xiàng),表明了在不同點(diǎn)上的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)含有不同的頻率數(shù).

3 結(jié)論

本文基于含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的非線性系統(tǒng),針對(duì)系統(tǒng)在自激勵(lì),參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)3種激勵(lì)共同作用下,利用傳統(tǒng)的IHB 法和兩時(shí)間尺度IHB 法分別分析了系統(tǒng)的周期響應(yīng)和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng),得到的結(jié)果與數(shù)值RK 法得到的結(jié)果完全吻合,并得到以下結(jié)論.

(1)在含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程的周期響應(yīng)中含有兩種類型的分岔,Saddle-node 分岔和Hopf 分岔.Saddle-node 分岔會(huì)導(dǎo)致跳躍現(xiàn)象,即系統(tǒng)響應(yīng)從一個(gè)穩(wěn)態(tài)的周期響應(yīng)跳躍到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)的周期響應(yīng);Hopf 分岔會(huì)導(dǎo)致準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),即系統(tǒng)響應(yīng)從周期響應(yīng)變化到準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng).另外,在兩個(gè)周期解的Saddle-node 分岔點(diǎn)區(qū)域間含有兩個(gè)穩(wěn)定的周期解.

(2)含外激勵(lì)van der Pol-Mathieu 方程中,由于自激振動(dòng)和參數(shù)激振聯(lián)合作用下,會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng),并發(fā)現(xiàn)其新特性.在準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜中，頻率ω,3ω,5ω 附近含有邊頻帶,且邊頻帶是均勻的，即邊頻帶中相鄰頻率的間距ωd是一樣的；在準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖中，準(zhǔn)周期的包絡(luò)線也有‘周期’,其‘周期’為2πω/ωd.

(3)在不同點(diǎn)上的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)有不同的動(dòng)力學(xué)特征.越靠近Hopf 分岔點(diǎn)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng),其邊頻帶的帶寬越小,且其頻率分布越密集,同時(shí)其包絡(luò)線的‘周期’越長(zhǎng).另外,在不同點(diǎn)上的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)所含的頻率數(shù)目也不同.

此外,針對(duì)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)響應(yīng)含有大量的頻率成份,如何有效提高兩時(shí)間尺度IHB 法的計(jì)算效率將是進(jìn)一步的研究工作.