文傳軍 任雪靜

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：1901061），常州工學(xué)院教改校級(jí)課題（項(xiàng)目編號(hào)：A3-4402-18-024，31820320002-QYWKC-005）

作者簡介：文傳軍（1976—），男，博士，講師，研究方向?yàn)槟：垲悺?/p>

任雪靜（1988—），女，博士，講師，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)。

摘要：隨著“一帶一路”建設(shè)的進(jìn)一步深入，我國高等教育國際化規(guī)模和水平不斷擴(kuò)大和提升，留學(xué)生全英文教學(xué)構(gòu)成了留學(xué)生教育的重要支持方式。數(shù)學(xué)I課程是針對(duì)留學(xué)生全英文教學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，對(duì)該課程中的部分?jǐn)?shù)學(xué)公式做了推導(dǎo)歸納整理和總結(jié)，以滿足留學(xué)生全英文數(shù)學(xué)I課程教學(xué)的需要，并提升國際留學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解。

關(guān)鍵詞：留學(xué)生 全英文授課 數(shù)學(xué)I 基本數(shù)學(xué)公式 推導(dǎo)

中圖分類號(hào)：G633.6 ??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1672-3791（2021）12（c）-0000-00

Abstract： With the further development of the “Belt and Road” construction， the scale and level of the internationalization of my country's higher education continue to expand and improve， and English teaching for international students constitutes an important support method for international student education. The Mathematics I course is a basic mathematics course aimed at foreign students teaching in English. Some mathematical formulas in this course are deduced， summarized and summarized to meet the needs of foreign students in teaching the English Mathematics I course and improve international students’ understanding of mathematics formulas. understanding.

Key Words： International students; Taught in English; Mathematics I; Basic mathematical formulas; Derivation

1 引言

“一帶一路”建設(shè)是習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義理論的重要組成部分，“一帶一路”建設(shè)工作的進(jìn)一步深入，體現(xiàn)在中國作為支撐和維護(hù)國際與地區(qū)和平與發(fā)展的主要力量，日益緊密地主導(dǎo)和參與世界各項(xiàng)活動(dòng)，而教育國際化也成為中國高等教育發(fā)展的重要發(fā)展趨勢(shì)。來華留學(xué)生教育極大提升了我國軟實(shí)力和影響力，有利于我國高等教育建設(shè)世界一流大學(xué)，促進(jìn)我國全方位融入并影響國際潮流。全英文教學(xué)課程建設(shè)成為中國高校及高等教育國際化重要構(gòu)成方式。

眾多學(xué)者對(duì)留學(xué)生全英文授課問題進(jìn)行了研究。付承英[1]針對(duì)留學(xué)生英語基礎(chǔ)好，思維活躍，愛記筆記但有少數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，曠課和遲到等特點(diǎn)，在教學(xué)過程中通過選拔英語基礎(chǔ)好，教學(xué)能力強(qiáng)，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，采用靈活多樣的教學(xué)方法和加強(qiáng)學(xué)生教學(xué)過程的管理等途徑有效地提高全英文教學(xué)質(zhì)量。蔡曉麗等人[2]從教材選擇，師資準(zhǔn)備，課堂教學(xué)的組織，考核方式以及學(xué)校保障措施等方面對(duì)高校留學(xué)生計(jì)算機(jī)公共課全英文教學(xué)進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)總結(jié).包括精選全英文經(jīng)典教材，錄制教學(xué)視頻進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，開發(fā)集實(shí)驗(yàn)，測(cè)試，閱卷等多功能于一體的教學(xué)軟件，并加強(qiáng)全英文師資的英語培訓(xùn)與同行交流，以期逐步提高全英文教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)全英文教學(xué)更好地開展。楊媛等人[3]對(duì)昆明醫(yī)科大學(xué)2016級(jí)49名MBBS留學(xué)生生理學(xué)全英文期末考試試卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)論表明，2016級(jí)MBBS留學(xué)生生理學(xué)全英文期末考試成績略呈負(fù)偏態(tài)分布，試卷總體難度適中，試卷區(qū)分度和信度良好，為進(jìn)一步完善教學(xué)方法，提高教學(xué)效果提供依據(jù)。武瑞勇等人[4]結(jié)合留學(xué)生自身的語言、文化、習(xí)慣等特點(diǎn)，在師資隊(duì)伍培養(yǎng)、教學(xué)內(nèi)容選擇、備課、教學(xué)、考核等環(huán)節(jié)，初步總結(jié)和探討了提高留學(xué)生動(dòng)物學(xué)教學(xué)質(zhì)量的方法與舉措，希望對(duì)其他高校留學(xué)生的動(dòng)物學(xué)全英文教學(xué)有所幫助。何蕊等人[5]在留學(xué)生本科教育全英文體系中針對(duì)機(jī)械類及土木類開設(shè)全英文工程圖學(xué)課程.很大程度上改善了留學(xué)生中文水平低，難以掌握知識(shí)、通過率低下的現(xiàn)狀。全英文課程提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過率也明顯高于參加中文課程的留學(xué)生。黃雄飛等人[6]針對(duì)留學(xué)生病理學(xué)英語授課過程存在的師生溝通困難等問題，提出通過強(qiáng)化師資培訓(xùn)，優(yōu)化課程設(shè)計(jì)，重視教材建設(shè)，改革教學(xué)手段以及采用多元考核方式等綜合措施提高教學(xué)質(zhì)量。劉永濤[7]針對(duì)土木工程專業(yè)的流體力學(xué)全英語課程，結(jié)合來華留學(xué)生的學(xué)業(yè)特點(diǎn)和課程特點(diǎn)，在課程教學(xué)大綱、教學(xué)內(nèi)容、教材和授課方式以及師資配備等方面，融入中國傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代科技，開展了體系性建設(shè)的探索和實(shí)踐。凌思濤等人[8]以中國礦業(yè)大學(xué)對(duì)機(jī)械工程專業(yè)來華留學(xué)生開設(shè)的《計(jì)算方法》全英文課程教學(xué)為例，探討分析現(xiàn)階段高校開展留學(xué)生全英文教學(xué)過程存在的問題，并有針對(duì)性地提出了相應(yīng)的改革辦法，以期為高校進(jìn)一步開展來華留學(xué)生全英文教學(xué)的后繼課程提供參考。史海英[9]在長期國際合作辦學(xué)和雙語教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，以微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)課程為例，探討了該課程新形勢(shì)下的全英文教學(xué)工作中面臨的新問題，并針對(duì)這些問題提出了點(diǎn)、線、面協(xié)同整合的全英文教學(xué)策略。

全英文數(shù)學(xué)I是針對(duì)留學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的主干課程，對(duì)該課程中的部分?jǐn)?shù)學(xué)公式做了推導(dǎo)歸納整理和總結(jié)，以滿足留學(xué)生全英文數(shù)學(xué)I課程教學(xué)的需要，并提升國際留學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解[10]。

2 全英文數(shù)學(xué)I基礎(chǔ)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)

2.1 全英文數(shù)學(xué)I課程介紹

全英文數(shù)學(xué)I課程是高等工科院校留學(xué)生必修的重要的基礎(chǔ)理論課，為學(xué)生培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，抽象思維和邏輯思維能力，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼課程，打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

該課程主要包括：第一章集合和不等式，主要包括集合、不等式的性質(zhì)和不等式的解法。第二章簡單的邏輯，主要包括命題、充分和必要條件，簡單的邏輯連接詞和全稱量詞和存在量詞。第三章映射和函數(shù)，主要包括映射和函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、反函數(shù)等。第四章三角函數(shù)和反三角函數(shù)，主要包括角的概念、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像和性質(zhì)等。第五章兩角和與差的三角函數(shù)，主要包括兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式、半角公式和三角函數(shù)的積化和差以及和差化積公式等。第六章數(shù)列，主要包括數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列的極限和四則運(yùn)算等。

該課程一般安排為80個(gè)課時(shí)，從教學(xué)內(nèi)容可知，教學(xué)主要涉及多個(gè)初等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，包括大量的數(shù)學(xué)公式，需要對(duì)一些主要的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行展開證明和推導(dǎo)，幫助留學(xué)生理解和掌握。

2.2 全英文數(shù)學(xué)I基礎(chǔ)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)

2.2.1 勾股定理簡介

公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。實(shí)際上商高給出的是一對(duì)勾股數(shù)，即滿足勾股定理的正整數(shù)數(shù)組，公元前約三千年的古巴比倫人就知道了許多勾股數(shù)組，并在建筑宏偉的金字塔和測(cè)量尼羅河泛濫后的土地時(shí)進(jìn)行了應(yīng)用。公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯給出了勾股定理的嚴(yán)謹(jǐn)證明和定理形式化描述，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即。作為整數(shù)學(xué)派帶頭人所取得的開創(chuàng)性成果，該學(xué)派還專門為此屠宰了一百頭牛進(jìn)行了慶祝，因而西方人都習(xí)慣地稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理或者百牛定理。公元三世紀(jì)，三國時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理做出了詳細(xì)注釋，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了中國人關(guān)于勾股定理的詳細(xì)證明。

2.2.2 勾股定理的比較經(jīng)典的證明方法

（1）經(jīng)典拼圖證明方法。

以為邊長分別構(gòu)造兩個(gè)正方形并排放置，如圖1所示，然后分別截取兩個(gè)直角三角形，其中直角邊為，斜邊為并對(duì)應(yīng)填補(bǔ)，構(gòu)成一個(gè)以邊長為的正方形，由面積恒等從而有：

（2）簡潔證明方法。

以斜邊為邊長構(gòu)造正方形并向內(nèi)翻出四個(gè)以和為直角邊的直角三角形，如圖2所示，很顯然中間的小正方形邊長為長直角邊減短直角邊。通過整體和分塊兩種方式計(jì)算圖形面積且恒等，所以有：

（3）總統(tǒng)證明方法。

該方法為美國第20任總統(tǒng)加菲爾德提出，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。以斜邊為邊長構(gòu)造正方形并向外翻出四個(gè)以和為直角邊的直角三角形，如圖3所示。通過整體和分塊兩種方式計(jì)算圖形面積且恒等，所以有：

2.2.3 勾股數(shù)對(duì)

回到勾股定理開篇之初，根據(jù)對(duì)勾股定理證明的敘述，可以知道，所謂的勾股數(shù)對(duì)并不構(gòu)成為一個(gè)嚴(yán)格意義上的定理，因?yàn)槎ɡ硇枰橄蟮臈l件和結(jié)論，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评怼⑿问交墓酵评?，勾股?shù)作為滿足勾股定理的正整數(shù)數(shù)組，只能稱作為勾股定理的特別個(gè)例，即勾股定理在正整數(shù)對(duì)中的驗(yàn)證和應(yīng)用，這樣的勾股數(shù)對(duì)是非常多的。

勾股數(shù)對(duì)是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，常用生成勾股數(shù)對(duì)的方法是：（3n、4n、5n）（n是正整數(shù)），這是最著名的一組，很顯然有：

這樣生成的勾股數(shù)對(duì)包括：（6、8、10）、（9、12、15）、（12、16、20）等，分別對(duì)應(yīng)n取2，3，4等的情況。

又由于任何一個(gè)勾股數(shù)組（a，b，c）內(nèi)的三個(gè)數(shù)同時(shí)乘以一個(gè)正整數(shù)n得到的新數(shù)組（na，nb，nc）仍然是勾股數(shù)，所以一般想找的是互質(zhì)的勾股數(shù)組。

2.2.4 勾股定理的歷史影響和價(jià)值

勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實(shí)用價(jià)值。這條定理在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”。它是論證幾何的發(fā)端，是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，并導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，進(jìn)而大大擴(kuò)展了數(shù)的范疇和對(duì)數(shù)對(duì)理解。同時(shí)勾股定理在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。

在歷史上，勾股定理影響了很多后來的研究，其中還有一個(gè)值得后人銘記的故事。畢達(dá)哥拉斯是整數(shù)學(xué)派的帶頭人，整數(shù)學(xué)派認(rèn)為整個(gè)世界可以被整數(shù)或者整數(shù)之比所描述和刻畫，但整數(shù)學(xué)派弟子希伯索斯在勾股定理基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，若兩個(gè)直角邊為1的情況下，斜邊將會(huì)是一個(gè)大于1而小于2的數(shù)，不能為整數(shù)所描述，直接推翻了整數(shù)學(xué)派的根基。

希帕索斯勤奮好學(xué)且善于觀察分析和思考。他研究了這樣的問題：“邊長為1的正方形，其對(duì)角線的長是多少呢？”希帕索根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，計(jì)算是根號(hào)2，并發(fā)現(xiàn)根號(hào)2既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比。但根據(jù)老師的觀點(diǎn)，根號(hào)2是不應(yīng)該存在的。他把自己的研究結(jié)果告訴了老師，并請(qǐng)求給予解釋。然而畢達(dá)哥拉斯不敢承認(rèn)根號(hào)2是一種新數(shù)，否則整數(shù)學(xué)派的理論體系將面臨崩潰，最后他采取了錯(cuò)誤的方式：下令封鎖消息，也不準(zhǔn)希帕索斯再研究和談?wù)摯耸隆?/p>

希帕索斯通過長時(shí)間的思考，認(rèn)為根號(hào)2是客觀存在的，只是老師的理論體系無法解釋它，這說明老師的觀點(diǎn)有問題。后來，他不顧一切地將自己的發(fā)現(xiàn)和看法傳揚(yáng)了出去，整個(gè)學(xué)派頓時(shí)轟動(dòng)。畢達(dá)哥拉斯惱羞成怒，決定對(duì)希帕索斯嚴(yán)加懲罰。希帕索斯聽到風(fēng)聲后，連夜乘船逃走了。然而就在他所乘坐的海船后面追來了幾艘小船，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的打手出現(xiàn)在他的面前，他被綁上了手腳，扔進(jìn)到了大海，為根號(hào)2的誕生獻(xiàn)出了自己的生命。

然而真理是打不倒的。根號(hào)2的出現(xiàn)使人類認(rèn)識(shí)了一類新的數(shù)——無理數(shù)，也使數(shù)學(xué)本身發(fā)生了質(zhì)的飛躍。根號(hào)2很快就引起了數(shù)學(xué)思想的大革命，作為無理數(shù)之父，希帕索斯被后人永遠(yuǎn)銘記，他不謂權(quán)威、勇于創(chuàng)新、敢于堅(jiān)持真理的精神，始終激勵(lì)著后來人。

2.3 全英文數(shù)學(xué)I課程施教要求

2.3.1 師資力量方面

教師在全英文數(shù)學(xué)I課程教學(xué)過程中扮演著十分重要的角色，是有效實(shí)施全英文數(shù)學(xué)I課程教學(xué)的核心。全英文數(shù)學(xué)I課程教學(xué)不僅要求教師具備過硬的專業(yè)知識(shí)水平，而且還要具備一定的英語水平，教師在課堂上應(yīng)恰如其當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)I課程內(nèi)容與英語有機(jī)結(jié)合，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，才能達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果。 全英文數(shù)學(xué)I課程的實(shí)施，應(yīng)選派高學(xué)歷英文表達(dá)能力強(qiáng)的年輕教師組成教學(xué)團(tuán)隊(duì)，同時(shí)通過資源共享、分工協(xié)作等方式，不斷完善教學(xué)資料，互相備課聽課并相互交流溝通，以促進(jìn)全英文數(shù)學(xué)I課程教學(xué)水平的提升，并通過網(wǎng)絡(luò)等手段不斷學(xué)習(xí)，增加知識(shí)和英語能力儲(chǔ)備，以滿足留學(xué)生教學(xué)培養(yǎng)的需要。

2.3.2教材選擇和相應(yīng)教學(xué)方式

全英文數(shù)學(xué)I課程教學(xué)教材選擇主要有兩種方式，一為全英文原版教材，一為中國教師編寫全英文數(shù)學(xué)課程教材，教材的選擇應(yīng)結(jié)合留學(xué)生實(shí)際水平進(jìn)行。相應(yīng)地，在教學(xué)課件準(zhǔn)備中，也應(yīng)符合學(xué)生實(shí)際情況，教師在制作數(shù)學(xué)課件時(shí)，除了公式之外，涉及語言表達(dá)的地方，盡可能地將英文配套對(duì)應(yīng)在PPT上。在課堂的教學(xué)中，全英文數(shù)學(xué)I課程教師盡可能地采用英語表達(dá)，同時(shí)注意觀察學(xué)生的接受情況，當(dāng)學(xué)生語言理解較差時(shí)，則輔助以符號(hào)、圖表、視頻等方式進(jìn)行解釋說明。

在全英文數(shù)學(xué)I課程課堂教學(xué)中，可以采取PPT與黑板板書相結(jié)合的方式，黑板板書用于記錄教學(xué)內(nèi)容基本框架以及重點(diǎn)難點(diǎn)，同時(shí)用于例題的推導(dǎo)與計(jì)算。PPT用于每個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的展開及知識(shí)點(diǎn)表格對(duì)比的演示。二者相互結(jié)合，各取所長，方便同學(xué)們理解和做筆記。另外在課前，可以將本次課所涉及教學(xué)內(nèi)容的PPT通過班級(jí)群發(fā)給同學(xué)們，提醒同學(xué)們提前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)。教師應(yīng)保持與留學(xué)生有效無障礙溝通渠道，學(xué)生可以利用微信等方式與教師積極聯(lián)系，在線解答同學(xué)們?cè)谧詫W(xué)及做作業(yè)時(shí)所存在的疑難問題。

2.3.3作業(yè)完成情況及其他

由于“一帶一路”沿線國家留學(xué)生水平參差不齊，部分高校招收的留學(xué)生，甚至采取了免試直接入學(xué)的方式，進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的留學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)習(xí)慣不夠好，學(xué)習(xí)紀(jì)律性沒有中國學(xué)生好，課后自覺并按時(shí)完成作業(yè)的自覺性很差，課后作業(yè)無法得到保證。而全英文數(shù)學(xué)I課程的特點(diǎn)就是學(xué)后必須練習(xí)，否則等于不學(xué)，為了保證留學(xué)生能夠按時(shí)完成作業(yè)，可以采取每章節(jié)后單元測(cè)試的方式，以實(shí)現(xiàn)留學(xué)生對(duì)全英文數(shù)學(xué)I課程課后練習(xí)題獨(dú)立自我練習(xí)的目的。學(xué)習(xí)完一章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，即將該章節(jié)知識(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)練習(xí)題打印出來，在課堂中讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，并根據(jù)批改情況了解學(xué)生主要存在的問題再抽時(shí)間進(jìn)行評(píng)講，彌補(bǔ)學(xué)生學(xué)習(xí)不到位的地方。另外在期末考試中，將平時(shí)單元測(cè)試的試題和知識(shí)點(diǎn)，組合融入期末試卷中，以方便學(xué)生復(fù)習(xí)和考試。

3 結(jié)語

“一帶一路”沿線國家來華留學(xué)生大量增加，針對(duì)留學(xué)生教育開設(shè)的全英文課程面臨前所未有的挑戰(zhàn)。針對(duì)留學(xué)生的全英文教學(xué)是我國高等教育改革的一個(gè)重要方向，是目前高校教學(xué)改革的重要研究課題。數(shù)學(xué)I課程是針對(duì)留學(xué)生全英文教學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，推導(dǎo)歸納整理了該課程中的部分?jǐn)?shù)學(xué)公式，以促進(jìn)留學(xué)生針對(duì)全英文數(shù)學(xué)I課程的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)

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