張兆民，何曙光，孔祥芬

(1.中國民航大學 航空工程學院，天津 300300；2.天津大學 管理與經(jīng)濟學部，天津 300072)

隨著市場競爭的不斷加劇，制造商越來越關(guān)注產(chǎn)品售后服務(wù)在市場中的作用。產(chǎn)品質(zhì)量保證政策(簡稱質(zhì)保政策)是售后服務(wù)的重要內(nèi)容之一，是連接制造商和顧客的重要途徑[1]。當產(chǎn)品在質(zhì)保期內(nèi)發(fā)生失效或故障時，制造商將對產(chǎn)品進行免費的維修或更換。按照質(zhì)保期維度的不同，質(zhì)保政策可以分為一維質(zhì)保政策和二維質(zhì)保政策[2]。例如，對于一些家用電器(空調(diào)、洗衣機等)和電子產(chǎn)品(手機、電腦等)等產(chǎn)品而言，其質(zhì)保期往往規(guī)定產(chǎn)品使用年限的限制，如1年或3年質(zhì)保期。而對于汽車和挖掘機等耐用產(chǎn)品，其質(zhì)保政策為二維產(chǎn)品質(zhì)保期 (包含使用時間限制和累計使用量限制)，如汽車的質(zhì)保期為3年或6萬行駛里程。質(zhì)保政策在市場中具有保護和促銷的雙重作用。具體而言，當制造商延長質(zhì)保期以后，一方面，制造商將會面臨著質(zhì)保成本的增加。一般而言，由于不同制造商和產(chǎn)品類型的差異，質(zhì)保成本大約是產(chǎn)品售價的2%～10%左右[3]。另外一方面，質(zhì)保政策常被作為一種市場營銷的手段[4]。制造商設(shè)計一個具有吸引力的質(zhì)保期將會帶來產(chǎn)品銷量的增加。因此，如何考慮延長質(zhì)保期以后，帶來的質(zhì)保成本增加和需求增加之間的取舍，以對質(zhì)保期進行設(shè)計和優(yōu)化，是制造商進行質(zhì)保政策設(shè)計中面臨的一個關(guān)鍵問題。

已有大量學者對一維產(chǎn)品質(zhì)保內(nèi)的維修策略開展相關(guān)研究工作。例如，Kim等[5]對于質(zhì)保期內(nèi)的最優(yōu)保養(yǎng)策略進行研究。仝鵬等[6]對產(chǎn)品質(zhì)保期內(nèi)的維修策略進行相關(guān)文獻綜述。針對一維產(chǎn)品質(zhì)保期對于顧客需求的影響，部分學者開展相關(guān)研究工作。例如，Glickman等[7]提出的產(chǎn)品銷售量與一維質(zhì)保期和價格之間的對數(shù)線性模型被廣泛應(yīng)用。Ladany等[8]考慮產(chǎn)品設(shè)計可靠性的下限，提出柯布-道格拉斯類型的產(chǎn)品需求函數(shù)。針對二維質(zhì)保期對于顧客需求的影響，He等[4]考慮顧客不同使用強度對于二維質(zhì)保期的感知差異，提出基于吸引力指數(shù)的需求函數(shù)模型。針對一維質(zhì)保期的設(shè)計與優(yōu)化，已有部分研究工作從靜態(tài)市場和動態(tài)市場情形下將最優(yōu)的質(zhì)保期與價格、生產(chǎn)率和可靠性等進行聯(lián)合設(shè)計和優(yōu)化。例如，Wu等[9]研究靜態(tài)市場下質(zhì)保期、價格和生產(chǎn)率的聯(lián)合設(shè)計與優(yōu)化問題。Darghouth等[10]對靜態(tài)市場和動態(tài)市場下制造商的最優(yōu)質(zhì)保期、維修策略以及產(chǎn)品售價進行討論。對于二維質(zhì)保政策而言，于儉等[11]考慮不完全維修下的二維質(zhì)保成本分析問題。戴安舒等[12]考慮季節(jié)因素的影響，對二維質(zhì)保數(shù)據(jù)進行預(yù)測和分析?？紤]顧客的不同使用強度，針對二維質(zhì)保期產(chǎn)品的相關(guān)研究工作比較多。仝鵬等[13]對二維延保政策的設(shè)計進行討論。杜文超等[14]考慮顧客使用強度的差異，對二維質(zhì)保產(chǎn)品的庫存預(yù)測問題進行研究。Ye等[15]針對不同顧客使用強度，在失效率相同的情況下進行柔性二維質(zhì)保菜單的設(shè)計。Huang等[16]考慮3種不同使用強度類型的顧客，進行二維延保期內(nèi)的柔性預(yù)防性維修策略設(shè)計。

然而，針對一維產(chǎn)品質(zhì)保政策，以上研究工作并沒有考慮到市場中顧客在不同使用強度存在的差異?；诖?，本文考慮市場中顧客的不同使用強度對于產(chǎn)品可靠性的影響，對最優(yōu)的一維質(zhì)保期和產(chǎn)品售價進行聯(lián)合設(shè)計與優(yōu)化。研究成果對于幫助制造商更有效地制定一維質(zhì)保期和價格策略具有理論和實踐指導(dǎo)意義。

1 問題描述和模型假設(shè)

考慮一個制造商向顧客提供一個具有一維質(zhì)保期為W的可修產(chǎn)品，該產(chǎn)品的售價是P。制造商對質(zhì)保期內(nèi)發(fā)生的產(chǎn)品失效進行免費維修；同時，市場中顧客具有不同的使用強度r。假設(shè)每位顧客的使用強度在質(zhì)保期內(nèi)是恒定不變的，但對于顧客整體而言，顧客的使用強度是一個隨機變量R，其概率密度函數(shù)為g(r)。制造商可以通過歷史數(shù)據(jù)和質(zhì)保數(shù)據(jù)等對使用強度分布g(r)進行估計。此外，不同顧客的使用強度r會對產(chǎn)品現(xiàn)場可靠性產(chǎn)生影響，從而影響質(zhì)保期內(nèi)的質(zhì)保成本。

顧客往往對于產(chǎn)品質(zhì)量或可靠性具有不確定性或未知，需要通過產(chǎn)品售后信息(如質(zhì)保期)對產(chǎn)品質(zhì)量進行判斷。當制造商提供一個較長的質(zhì)保期W時，將向顧客傳遞較好的產(chǎn)品可靠性或質(zhì)量，從而增加產(chǎn)品銷量；另一方面，當制造商延長質(zhì)保期W以后，質(zhì)保期內(nèi)的質(zhì)保成本將會增加。此外，產(chǎn)品價格P對于顧客購買需求和制造商利潤具有影響。因此，制造商的問題在于：如何考慮市場中顧客不同使用強度對產(chǎn)品現(xiàn)場可靠性的影響，通過產(chǎn)品價格P和質(zhì)保期W的聯(lián)合設(shè)計和優(yōu)化，權(quán)衡產(chǎn)品銷量增加和質(zhì)保成本增加之間的取舍，以實現(xiàn)其期望利潤最大化？

本文的主要假設(shè)條件如下。

1) 市場中每位顧客在質(zhì)保期內(nèi)的使用強度r是恒定不變的，但對于顧客整體而言，使用強度R是一個隨機變量，其概率密度為g(r)。該假設(shè)是建立在對產(chǎn)品質(zhì)保數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上提出的[17-18]。

2) 制造商對質(zhì)保期內(nèi)的產(chǎn)品失效采用最小維修策略。同時，一維質(zhì)保期W內(nèi)最小維修的維修時間可忽略不計[19]。

3) 較高的顧客產(chǎn)品使用強度r將會加速產(chǎn)品的退化，從而影響產(chǎn)品現(xiàn)場可靠性，即較高的使用強度r將增加產(chǎn)品失效率[20-21]。

本文主要的符號與含義如表1所示。

2 模型建模與求解

考慮顧客不同使用強度對于質(zhì)保期內(nèi)質(zhì)保成本和產(chǎn)品銷售的影響，建立制造商的期望利潤函數(shù)，并對最優(yōu)的一維質(zhì)保期和價格進行優(yōu)化設(shè)計。

2.1 質(zhì)保成本分析

對于制造商而言，當質(zhì)保期內(nèi)發(fā)生產(chǎn)品失效或故障時，制造商需要進行免費的維修或更換，從而產(chǎn)生質(zhì)保成本。市場中顧客不同使用強度r對于產(chǎn)品現(xiàn)場可靠性具有不同的影響。假設(shè)產(chǎn)品的第1次失效時間為T0服從威布爾分布，該產(chǎn)品的原有失效率函數(shù)為h0(t)。對于使用強度為r的顧客而言，該產(chǎn)品在不同使用強度r下的失效率函數(shù)為h(t|r)=h0(t)·Φ1(r)。其中，Φ1(r)為使用強度為r時的加速因子，且具有不同的函數(shù)形式。本文采用式(1)所示的一種常見形式。此時，不同使用強度下的失效率函數(shù)h(t|r)為

表 1 主要符號與含義Table 1 Notations and description

其中，α＞0 和β≥1分別是尺度參數(shù)和形狀參數(shù)；η＞0是不同使用強度的加速因子。

產(chǎn)品在質(zhì)保期內(nèi)發(fā)生失效時，制造商對于質(zhì)保期內(nèi)的失效采取更正性維修措施。根據(jù)維修程度對于產(chǎn)品現(xiàn)場可靠性影響程度的不同，更正性維修分為完美維修、不完美維修和最小維修。對于一維質(zhì)保期的產(chǎn)品而言，制造商往往采用最小維修策略對失效產(chǎn)品進行更正性維修。最小維修往往假設(shè)維修措施不影響產(chǎn)品的現(xiàn)場可靠性，即產(chǎn)品的可靠性與失效之前的可靠性保持一致[19]。本文假設(shè)制造商對質(zhì)保內(nèi)的產(chǎn)品失效均采取最小維修策略。此時，產(chǎn)品的失效個數(shù)將服從非齊次泊松過程，非齊次泊松過程的失效強度函數(shù)λ(t)等于該產(chǎn)品在不同使用強度下的失效率h(t|r)。

其中，rL和rU分別是顧客使用強度的最小值和最大值；g(r)是顧客使用強度的概率密度函數(shù)。從式(2)可以看出，質(zhì)保期內(nèi)期望失效個數(shù)E[N(W)]主要受到質(zhì)保期W、顧客使用強度的分布g(r)以及不同使用強度下的失效率h(t|r)的影響。Cre表示對單次失效進行最小維修的平均維修成本?？梢缘贸觯谫|(zhì)保期W內(nèi)，制造商的期望質(zhì)保成本C(W)=Cre·E[N(W)]。

2.2 產(chǎn)品銷售函數(shù)

一維質(zhì)保期的產(chǎn)品銷量主要受到產(chǎn)品價格P和質(zhì)保期W的影響。一般而言，較低的產(chǎn)品售價將會增加產(chǎn)品的競爭力，產(chǎn)品銷量隨著產(chǎn)品價格P的降低而增加；與此同時，當產(chǎn)品的質(zhì)保期較長時，將會增加顧客對產(chǎn)品售后服務(wù)和產(chǎn)品質(zhì)量的信心，從而促進顧客的購買，產(chǎn)品銷量隨著質(zhì)保期W的增加而增加。

當市場中具有不同使用強度的顧客時，在相同的使用時間t內(nèi)，不同使用強度的產(chǎn)品具有不同的累計使用量。對于二維質(zhì)保期[W,U]而言，將會造成不同強度顧客對于二維質(zhì)保期的感知差異，進而不同的二維質(zhì)保期會對產(chǎn)品銷量造成影響[4]。但是，對于一維質(zhì)保期W而言，制造商僅對產(chǎn)品質(zhì)保的使用期限進行規(guī)定，而沒有對顧客的累計使用量進行限制。所以，當制造商提供一維質(zhì)保期W時，不同強度顧客對于質(zhì)保期的感知差異可以忽略。基于此，本文采用Glickman等[7]提出的對數(shù)線性模型，對一維質(zhì)保期對于產(chǎn)品需求進行建模。當制造商提供一維質(zhì)保期為W和售價為P時，產(chǎn)品的銷量X(P,W)為

其中，k1＞0和k2＞0是常數(shù)；ψ1＞0是產(chǎn)品價格彈性系數(shù)；ψ2＞0是產(chǎn)品質(zhì)保彈性系數(shù)。價格彈性系數(shù) ψ1的值越大，說明市場中顧客對于產(chǎn)品售價較為敏感；同理，當質(zhì)保彈性系數(shù) ψ2較大時，說明市場中顧客比較在意產(chǎn)品的質(zhì)保期。從式(3)可以看出，當不考慮外部環(huán)境競爭時，當制造商提供較低的產(chǎn)品價格P和較長的質(zhì)保期W將帶來較好的產(chǎn)品銷售。

2.3 期望利潤與最優(yōu)求解

當制造商向顧客提供一個質(zhì)保期為W和售價為P的產(chǎn)品時，其期望利潤主要受到以下變量的影響：1) 產(chǎn)品售價P ；2) 質(zhì)保期內(nèi)的期望質(zhì)保成本C(W)；3) 產(chǎn)品其他單位成本 C0，如單位生產(chǎn)成本、研發(fā)成本以及固定投入等；4) 市場銷售量X(P,W)?；诖?，可以得到，制造商的期望利潤函數(shù)為Π(P,W)=(P?C(W)?C0)X(P,W)。制造商的問題是如何通過最優(yōu)的產(chǎn)品售價 P?和質(zhì)保期 W?設(shè)計，以最大化其期望利潤Π(P,W)。將式(1)～(3)代入期望利潤，該最優(yōu)質(zhì)保期和價格的設(shè)計問題，可以表示為

制造商取得期望利潤Π(P,W)最大時，最優(yōu)價格P?和質(zhì)保期 W?應(yīng)滿足的必要條件，如定理1所示。

定理1期望利潤Π(P,W)取得最大值時，最優(yōu)價格 P?和質(zhì)保期 W?應(yīng)滿足的必要條件為

根據(jù)定理1，可以得出最優(yōu)價格 P?和質(zhì)保期W?的一般形式。最優(yōu)解的充分條件可由在該點的二階偏導(dǎo)數(shù)符號進行判斷。下面針對不同顧客使用強度分布g(r)，分別進行討論。

當顧客使用強度服從均勻分布時，產(chǎn)品在質(zhì)保期W內(nèi)的期望失效個數(shù)E[N(W)]為

當β＞1時，無法給出解析解，需要通過數(shù)值方法進行求解。當顧客使用強度服從其他分布，如對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布以及威布爾分布等，也采用數(shù)值方法進行求解。

3 算例分析

3.1 算例

以某A中央空調(diào)制造商為例，市場中絕大多數(shù)中央空調(diào)的質(zhì)保期為3年，價格區(qū)間為10～20萬元/臺。目前該制造商提供中央空調(diào)的質(zhì)保期為3年，價格為10萬元/臺。該型號中央空調(diào)的市場銷量為17.606 8萬臺，利潤為56.257 8億元。制造商對該質(zhì)保期內(nèi)發(fā)生的產(chǎn)品失效將采用免費維修。根據(jù)以往歷史銷售數(shù)據(jù)，市場中顧客的使用強度服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

其中，μ=2和σ=0.5。市場中價格彈性系數(shù)和質(zhì)保彈性系數(shù)分別為ψ1=2和ψ2=0.5。參數(shù)k1=1 000和k2=0.1。失效率函數(shù)的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)分別為α=10 和β=1.2，加速因子η=0.8。同時，制造商對質(zhì)保期內(nèi)的產(chǎn)品失效均采用最小維修策略，且單次最小維修成本的均值為Cre=1萬元。其他單位固定成本為C0=5萬元。隨著市場競爭的加劇，制造商面臨的問題是：1) 是否需要改變目前的產(chǎn)品質(zhì)保期和價格，以增加市場競爭力？2) 如果需要改變，制造商應(yīng)該提供的最優(yōu)價格和質(zhì)保期為多少？

基于以上情況，可以得出制造商提供的最優(yōu)價格P?=16.913萬元和質(zhì)保期W?=5.155 9年，如圖1所示。此時，制造商的銷量為8.014 6萬臺，其期望利潤為Π?=67.775 2億元。具體而言，根據(jù)該中央空調(diào)的可靠性，制造商應(yīng)該將之前的產(chǎn)品售價由10萬元/臺提高到16.9萬元/臺，并且產(chǎn)品的質(zhì)保期由3年提升到5年?？梢钥闯?，由于價格和質(zhì)保期策略的改變，雖然造成產(chǎn)品銷量的降低，但是期望利潤比原有策略下的期望利潤增加了ΔΠ =11.517 4億元。同時，市場中的質(zhì)保期一般為整數(shù)值，對最優(yōu)質(zhì)保期取整后為年。此時，制造商的利潤為67.749 6億元，如表2所示。當最優(yōu)質(zhì)保期取整后，期望利潤只降低了0.037 8%。

圖 1 價格P和質(zhì)保期W對于期望利潤的影響Figure 1 The effects of sales price P and warranty period W on the expected profit

表 2 不同質(zhì)保期和價格策略的結(jié)果Table 2 The results of different warranty period and sales price

3.2 敏感性分析

對顧客使用強度相關(guān)參數(shù)和可靠性參數(shù)對于最優(yōu)價格、質(zhì)保期的設(shè)計和期望利潤的影響進行分析和討論。

圖 2 顧客使用強度參數(shù)μ對最優(yōu)解的影響Figure 2 The effects of parameter μ on optimal values

此算例中顧客使用強度分布服從對數(shù)正態(tài)分布。其中， μ反映使用強度對數(shù)均值的大小。當 μ值增大，反映顧客全體的使用強度均值增加。顧客使用強度參數(shù) μ對于最優(yōu)解的影響，如圖2所示。隨著μ值的增加，最優(yōu)的價格P?、質(zhì)保期W?和期望利潤函數(shù) Π?均出現(xiàn)下降趨勢。原因在于隨著顧客使用強度均值的增加，質(zhì)保期內(nèi)的期望質(zhì)保成本將增加。此時，制造商將采取較小的質(zhì)保期W?以減少質(zhì)保成本；同時，采用較低的價格P?以提升增加產(chǎn)品銷量。另外，使用強度分布中 σ反映使用強度對數(shù)的方差， σ值越大反映顧客群體中使用強度的差異性越大。如圖3所示，與 μ對于最優(yōu)解的影響類似，隨著 σ的增加，P?、W?和 Π?均出現(xiàn)下降趨勢。其主要原因在于顧客群體中使用強度的差異性越大，導(dǎo)致質(zhì)保期內(nèi)期望質(zhì)保成本增加。

可靠性參數(shù)中尺度參數(shù) α的值越大，產(chǎn)品可靠性越高，即失效率將降低。如圖4所示，P?、W?和Π?隨著尺度參數(shù) α的增加而增加。原因在于當尺度參數(shù) α增加時，產(chǎn)品的可靠性提高，制造商將采取較好的質(zhì)保期和較高的售價，以保證產(chǎn)品的利潤。而形狀參數(shù) β的值越大，產(chǎn)品的可靠性將降低，即產(chǎn)品的失效率將升高。如圖5所示，P?、W?和 Π?隨著形狀參數(shù) β的增加而降低。原因在于當形狀參數(shù)β增加時，產(chǎn)品的失效率增加，制造商的期望質(zhì)保成本將增加。因此，制造商將降低質(zhì)保期，同時，采用低價的策略以促進產(chǎn)品銷量，以保證產(chǎn)品的利潤。加速因子 η反映顧客使用率對于產(chǎn)品可靠性的影響。加速因子 η的值越大，使用強度對于產(chǎn)品可靠性的影響越大，此時產(chǎn)品的失效率將增加。如圖6所示，與形狀參數(shù) β的影響相似，P?、W?和 Π?隨著加速因子η 的增加而降低。

圖 3 顧客使用強度參數(shù) σ對最優(yōu)解的影響Figure 3 The effects of parameter σ on optimal values

圖 4 尺度系數(shù) α對最優(yōu)解的影響Figure 4 The effects of scale parameter α on the optimal values

4 結(jié)語

本文以常見的一維質(zhì)保產(chǎn)品為研究對象，考慮市場中顧客不同使用強度對于產(chǎn)品現(xiàn)場可靠性的影響，以制造商的期望利潤最大化為目標，對一維質(zhì)保期和產(chǎn)品售價進行聯(lián)合設(shè)計與優(yōu)化。首先，在比例風險模型和威布爾分布的基礎(chǔ)上，構(gòu)建考慮顧客使用強度的產(chǎn)品失效率模型。在質(zhì)保期內(nèi)失效采用最小維修策略情形下，對一維質(zhì)保期內(nèi)質(zhì)保成本進行分析與建模。同時，考慮價格和一維質(zhì)保期對于產(chǎn)品銷量的影響，建立制造商的期望利潤函數(shù)模型。最后，以某中央空調(diào)制造商的例子，對最優(yōu)的質(zhì)保期和價格設(shè)計進行分析和討論，并對主要參數(shù)對于最優(yōu)設(shè)計的影響進行敏感性分析。以上研究結(jié)果有助于幫助制造商更有效地制定一維質(zhì)保期和價格的設(shè)計和優(yōu)化。

本文主要討論靜態(tài)市場下價格和一維質(zhì)保期的聯(lián)合設(shè)計，沒有考慮制造商動態(tài)調(diào)整價格的情況。如何對最優(yōu)的動態(tài)價格和質(zhì)保期進行聯(lián)合設(shè)計與優(yōu)化有待進一步研究。此外，質(zhì)保期內(nèi)的更正性維修策略與預(yù)防性維修對于質(zhì)保期內(nèi)質(zhì)保成本具有重要影響。本文只考慮最小維修的情形，考慮預(yù)防性維修策略和其他更正性維修策略對于質(zhì)保成本的影響具有重要研究意義。

圖 5 形狀系數(shù) β對最優(yōu)解的影響Figure 5 The effects of shape parameter β on the optimal values

圖 6 加速因子η 對最優(yōu)解的影響Figure 6 The effects of acceleration parameter η on the optimal values