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        超廣角鏡頭拍攝影像的畸變糾正分析

        2021-03-08 02:32:16趙棟
        城市勘測(cè) 2021年1期
        關(guān)鍵詞:測(cè)量模型

        趙棟

        (沈陽(yáng)市勘察測(cè)繪研究院有限公司,遼寧 沈陽(yáng) 110000)

        1 引 言

        20世紀(jì)80年代,光束法平差以及附加參數(shù)的引入,促使很多研究者進(jìn)行了相機(jī)標(biāo)定方法的各種改進(jìn)。比如Ziemann提出的將鉛垂線和光束法平差相結(jié)合的兩步標(biāo)定法,即在標(biāo)定過(guò)程中將畸變差和主距、像主點(diǎn)分開求解,通過(guò)反復(fù)迭代完成標(biāo)定。目前室內(nèi)三維控制場(chǎng)標(biāo)定在攝影測(cè)量和計(jì)算機(jī)視覺(jué)界中使用比較多、精度較高,大量實(shí)驗(yàn)證明,基于高精度室內(nèi)三維控制場(chǎng)的標(biāo)定精度是最高的,而基于平面格網(wǎng)的標(biāo)定方法是最方便的。

        隨著普通數(shù)碼相機(jī)的普及,研究各種方便實(shí)用、靈活度高,精度好的相機(jī)標(biāo)定系統(tǒng)已經(jīng)成為當(dāng)今攝影測(cè)量界和計(jì)算機(jī)視覺(jué)界的研究熱點(diǎn)之一。并且問(wèn)題主要集中在使用何種標(biāo)定參考對(duì)象和采用何種算法上。自標(biāo)定算法和自檢校光束法平差是兩種非常有效的標(biāo)定方法,前者利用同名點(diǎn)和約束條件進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定靈活方便,后者利用高精度控制點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定,適用于特殊環(huán)境下的高精度測(cè)量。

        2 研究趨勢(shì)

        目前,找到能適應(yīng)不同投影類型(包括中心投影),標(biāo)定簡(jiǎn)單、可靠性高、精度高、算法快速的軟件是主要的研究趨勢(shì)。傳統(tǒng)標(biāo)定模型的畸變項(xiàng)已不適合用來(lái)矯正超廣角鏡頭(以下簡(jiǎn)稱魚眼鏡頭)拍攝影像的畸變,因此需要用新的模型和畸變項(xiàng)取代傳統(tǒng)的標(biāo)定模型。投影模型的確定是核心,很多文章提到了有關(guān)投影模型的確定,例如:英向華等提出的一種基于球面透視投影約束的魚眼鏡頭校正方法,此方法通過(guò)擬合一個(gè)與選取的離散點(diǎn)距離最近的圓曲面,輔以多項(xiàng)式的切向和徑向畸變項(xiàng)來(lái)確定相機(jī)內(nèi)參數(shù)。缺陷是不同相機(jī)的投影方式各異,投影面可能并不是圓曲面,而是一個(gè)不規(guī)則曲面[1]。基于幾何特征的標(biāo)定方法通過(guò)提取特征物體并矯正到實(shí)際的幾何模型上來(lái)標(biāo)定內(nèi)參數(shù),如邱志強(qiáng)等提出的用射影不變性糾正魚眼鏡頭畸變,利用直線物體在糾正影像中也應(yīng)該是直線這樣一種約束來(lái)標(biāo)定相機(jī)內(nèi)參數(shù),這對(duì)特征點(diǎn)的選取和提取精度要求較高[2]。還有通過(guò)立體標(biāo)定來(lái)確定內(nèi)參,這種方法對(duì)像點(diǎn)匹配精度要求很高。目前用非專業(yè)測(cè)量相機(jī)進(jìn)行低精度測(cè)量已大量普及,用其部分替代傳統(tǒng)測(cè)量可以大大降低測(cè)量成本,研究適用于非專業(yè)測(cè)量相機(jī)的高精度標(biāo)定算法,可使普通相機(jī)在測(cè)量領(lǐng)域的應(yīng)用更加廣泛。

        3 標(biāo)定模型

        3.1 經(jīng)典標(biāo)定模型

        經(jīng)典的模型以中心投影為基礎(chǔ),加上線性和非線性的畸變項(xiàng)對(duì)圖像邊緣的徑向和切向畸變進(jìn)行糾正。經(jīng)典模型的求解首先通過(guò)二維直接線性變換(DLT)或者求同形矩陣給出外方位元素的初值,然后用光束平差進(jìn)行參數(shù)的優(yōu)化,最后得到可靠的相機(jī)內(nèi)參數(shù)[3,4,5],式(1)描述了經(jīng)典模型所依賴的共線方程。

        (1)

        通過(guò)平面格網(wǎng)控制點(diǎn)將其轉(zhuǎn)化為8個(gè)參數(shù)相關(guān)的二維DLT模型,如下:

        (2)

        式(2)中:L1…L8為二維DLT模型的8個(gè)參數(shù),由于8個(gè)參數(shù)相關(guān),故得到的參數(shù)精度不夠高,故只能作為迭代解算的初始值。由于切向畸變和徑向畸變的影響對(duì)高精度測(cè)量不可忽略,如公式(3)所示△x,△y為像點(diǎn)坐標(biāo)的畸變改正數(shù),其中:K1,K2,K3…為徑向畸變系數(shù),p1,p2為切向畸變系數(shù)。

        (3)

        3.2 魚眼相機(jī)成像模型

        魚眼相機(jī)由于其超大視場(chǎng)角的原因,不遵守透視投影,故物方點(diǎn)、投影中心和像方點(diǎn)不在一條直線上(除了與主光軸平行的那條光線),基于共線方程的經(jīng)典模型不適用于魚眼相機(jī)的成像模型,故有必要討論魚眼相機(jī)的投影模型的性質(zhì)。

        (1)投影模型

        人工選取的區(qū)域,并由計(jì)算機(jī)自動(dòng)識(shí)別的圓心

        (ⅰ)中心投影:r=f×tan(θ)

        (4)

        (ⅱ)立體投影:r=2×f×tan(θ/2)

        (5)

        (ⅲ)等距投影:r=f×θ

        (6)

        (ⅳ)等角投影:r=2×f×sin(θ/2)

        (7)

        (ⅴ)正交投影:r=f×sin(θ)

        (8)

        式中:f為焦距,θ為入射角,r為投影半徑

        5種投影模型中投影半徑r與入射角θ的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。

        圖1 以上5種投影模型中投影半徑r與入射角θ的函數(shù)關(guān)系

        圖2 魚眼相機(jī)投影模型中投影半徑與入射角的關(guān)系圖示

        由圖2可以看出,P為物方點(diǎn),經(jīng)過(guò)投影中心,彎曲投射到了p,而不是沿直線到達(dá)p′。

        目前魚眼鏡頭的成像模型大都可以用以上其中一種公式近似表達(dá),等距投影是理想的球面投影,但是魚眼鏡頭的等效投影面是一個(gè)近似球面的不規(guī)則曲面而非理想曲面,考慮到擬合度,可以選擇更一般的多項(xiàng)式作為投影模型即:

        r=k1×θ+k2×θ2+k3×θ3+k4×θ4+k5×θ5+…+kn×θn

        (9)

        將以上5個(gè)典型的投影模型展開為泰勒多項(xiàng)式:

        (ⅰ)中心投影:

        (10)

        (ⅱ)立體投影:

        (11)

        (ⅲ)等距投影:r=f×θ

        (12)

        (ⅳ)等角投影:

        (13)

        (ⅴ)正交投影:

        (14)

        由以上式子可以看出理想的魚眼成像模型的泰勒展開式都是奇次項(xiàng),在θ接近0時(shí),三次項(xiàng)以上的項(xiàng)可以忽略不計(jì)。隨著θ增大,高次項(xiàng)的作用越來(lái)越明顯。以上投影模型的泰勒展開式呈現(xiàn)出高度的一致性,故可以選擇一個(gè)一般的奇次多項(xiàng)式開擬合各種成像模型的參數(shù),定為r(θ),k1、k2、k3等代表成像模型系數(shù)。選擇多少次的模型取決于控制點(diǎn)數(shù)量,精度和特征點(diǎn)提取的精度。對(duì)于多項(xiàng)式擬合,次數(shù)越高,理論上也就越精確,但是需要一定數(shù)量和足夠高精度的觀測(cè)值。否則,高次項(xiàng)沒(méi)有意義。

        魚眼鏡頭也存在非線性的對(duì)稱和非對(duì)稱畸變,對(duì)稱畸變可以由成像模型來(lái)修復(fù),非對(duì)稱畸變可以通過(guò)增加適當(dāng)?shù)膮?shù)來(lái)加以改正。

        這里自然而然得從形式上給出不考慮非線性畸變的不同于經(jīng)典模型的魚眼相機(jī)成像模型:

        u=r(θ)×cos(φ)×mu+u0

        (15)

        v=r(θ)+sin(φ)×mv+v0

        (16)

        以上兩式中:(u,r)為像點(diǎn)坐標(biāo),θ為像點(diǎn)對(duì)應(yīng)的光線入射角,φ為像點(diǎn)與主點(diǎn)的連線與像坐標(biāo)系中u方向軸的夾角,(u0,v0)為主點(diǎn)坐標(biāo),mu為影像水平方向上單位長(zhǎng)度所包含的像素個(gè)數(shù),mv為影像垂直方向上單位長(zhǎng)度所包含的像素個(gè)數(shù)[6~9]。

        4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

        4.1 特征點(diǎn)提取

        特征點(diǎn)的提取在模式識(shí)別中有很多方法例如:二值分割,邊緣算子提取等,這里我們選用計(jì)算機(jī)視覺(jué)開源庫(kù)里OPENCV里的Canny算子進(jìn)行圓形物邊緣的提取以便計(jì)算圓的中心[10]。Canny算子是John F. Canny1986年開發(fā)出來(lái)的一個(gè)多級(jí)邊緣檢測(cè)算法,實(shí)踐證明,這種邊緣檢測(cè)算法是眾多邊緣檢測(cè)算子中表現(xiàn)較突出的一種方法,下面我們?cè)敿?xì)闡述特征點(diǎn)提取的步驟:

        (1)對(duì)原圖進(jìn)行中值濾波,然后用Canny算子提取邊緣,如圖3所示。

        圖3 使用Canny算子得到的邊緣二值圖像

        (2)人工選擇區(qū)域并且由計(jì)算機(jī)識(shí)別圓心,如圖4所示。

        圖4 人工選取的區(qū)域,并由計(jì)算機(jī)自動(dòng)識(shí)別的圓心(綠色環(huán)狀物)

        4.2 內(nèi)參數(shù)初始化

        對(duì)于主點(diǎn)(u0,v0)的初始值,可以由像片的長(zhǎng)度和高度來(lái)決定,即:

        (17)

        式中:widht為影像以像素為單位的寬度,height為影像以像素為單位的高度,對(duì)于mu,mv,可以由像片大小,視場(chǎng)角和焦距算出,式中符號(hào)含義與前文相同:

        (18)

        對(duì)于5個(gè)投影參數(shù)k1、k2、k3、k4、k5,我們采用r=k1×θ+k2×θ3進(jìn)行擬合。θ為0°~75°的等間隔采樣點(diǎn)(單位為弧度),投影半徑r=f×θ,并且暫時(shí)忽略k3、k4、k5。得到至少2個(gè)方程,解出k1、k2作為整體迭代求解的初始值。

        4.3 外參數(shù)初始化

        由于魚眼影像的變形越靠近邊緣越大,我們只將離主點(diǎn)較近的9個(gè)圓心點(diǎn)作為像方點(diǎn)用二維DLT進(jìn)行外參數(shù)的初始化。

        (19)

        (X,Y)為控制點(diǎn)坐標(biāo),(x,y)為相應(yīng)的像點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)控制點(diǎn)大于等于4個(gè)時(shí),將式(18)線性化,通過(guò)線性方程求解二維DLT的8個(gè)參數(shù),由于8個(gè)參數(shù)是內(nèi)外方位元素的函數(shù)值,由這8個(gè)參數(shù)解出外方位元素。當(dāng)平面控制點(diǎn)的z坐標(biāo)為0時(shí),經(jīng)典的共線方程可表示為式(19):

        (20)

        將式(20)轉(zhuǎn)化成式(21):

        (21)

        式中:λ=(a3×XS+b3×YS+c3×ZS)

        比較式(19)與式(21),可得出以下8式:

        (22)

        由上式可得:

        (23)

        由上式最終可得到:

        (24)

        主點(diǎn)(x0,y0)與4.2節(jié)提到的主點(diǎn)(u0,v0)等同,f在前文4.2節(jié)已有論述。

        (25)

        通過(guò)sin(ω)=-b3可求得ω,再由旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性:

        (26)

        由式(22),可得到:

        (27)

        XS,YS,ZS的初值可通過(guò)解(27)方程組得到。

        4.4 整體求解

        觀測(cè)方程如下:

        u=r(θ)×cos(φ)×mu+u0

        (28)

        v=r(θ)×sin(φ)×mv+v0

        (29)

        由4.2節(jié)求出的3個(gè)旋轉(zhuǎn)角可得到a1,a2,a3,b1,b2,b3,加上3個(gè)平移參數(shù)XS,YS,ZS,根據(jù)坐標(biāo)齊次變換:

        (30)

        式(30)(X,Y)為物方坐標(biāo)點(diǎn),(x,y,z)為近似像空間坐標(biāo)點(diǎn):

        (31)

        式(19),式(20)建立了物方點(diǎn)和像方點(diǎn)之間的關(guān)系,由上述關(guān)系,對(duì)于每一對(duì)物方點(diǎn)和像方點(diǎn)可得間接平差的誤差方程:

        v=Ax-L

        (32)

        式(32)中:A為觀測(cè)值對(duì)每個(gè)待求參數(shù)的偏導(dǎo),V為殘差,L為觀測(cè)值減去近似值。對(duì)每一點(diǎn)對(duì)依次求出像點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)內(nèi)參、外參、畸變系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。但是這里對(duì)內(nèi)外參求偏導(dǎo)數(shù)的解析式較為復(fù)雜。我們應(yīng)用數(shù)值微分,通過(guò)8點(diǎn)的函數(shù)值求得近似偏導(dǎo)數(shù),由數(shù)值微分理論,求偏導(dǎo)數(shù)的精度可達(dá)o(x^4)。

        最后用非線性鄰域里較為可靠的優(yōu)化方法L_M進(jìn)行非線性最小二乘求解,此方法亦將“殘差平方和最小”作為準(zhǔn)則進(jìn)行優(yōu)化。

        4.5 影像糾正

        4.5.1 直接糾正

        通過(guò)原影像坐標(biāo)的反解,得到入射角θ和極角φ,再代入中心投影方程得到糾正后影像的坐標(biāo),由于重投影后,糾正影像的高度和寬度比原圖像大,會(huì)有空白點(diǎn),可以對(duì)其進(jìn)行格網(wǎng)插值,選擇雙三次卷積進(jìn)行插值。

        具體步驟如下:

        求解多項(xiàng)式r=k1×θ+k2×θ3+…+k5×θ9的根,選擇合理的值φ=acos(x/r),注意r=0的情形;

        4.5.2 間接糾正

        直接糾正會(huì)導(dǎo)致糾正圖像上存有空白點(diǎn),間接糾正是從糾正影像上的坐標(biāo)點(diǎn)通過(guò)中心投影反算得到(θ,φ),再應(yīng)用模型正算映射到原影像,通過(guò)雙三次卷積插值恢復(fù)其灰度。具體介紹其步驟:

        5 結(jié)果與討論

        基于MFC框架設(shè)計(jì)了一個(gè)從數(shù)據(jù)輸入到結(jié)果輸出操作過(guò)程流程化的工具,對(duì)算法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn),采用了University of Oulu的Juho Kannala and Sami S. Brandt提供的影像數(shù)據(jù),其相機(jī)為Watec 221S CCD color camera,魚眼鏡頭的焦距為 1.178 mm,糾正結(jié)果如圖5、圖6所示。

        圖5 魚眼鏡頭拍攝的影像

        圖6 其中一個(gè)通道進(jìn)行糾正后的影像

        對(duì)于糾正影像的精度,放棄了用觀測(cè)值殘差來(lái)評(píng)價(jià),而直接用特殊物體幾何特征。選取糾正影像上共線的一組圓心坐標(biāo),進(jìn)行直線擬合,得到的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.415 7個(gè)像素,糾正精度達(dá)到了攝影測(cè)量的要求。

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