夏力

(漳州市測(cè)繪設(shè)計(jì)研究院，福建 漳州 363000)

1 引 言

在工程測(cè)量中，如果測(cè)量員嚴(yán)格按照測(cè)量規(guī)范進(jìn)行測(cè)量，外界因素引起的測(cè)量精度不達(dá)標(biāo)這一情況一般是可以避免的。對(duì)于系統(tǒng)誤差，數(shù)據(jù)處理時(shí)只需要根據(jù)一定的規(guī)范通過(guò)限差檢查得到消除或減弱的。而對(duì)于粗差，特別是相對(duì)來(lái)說(shuō)比較小的粗差，由于其與系統(tǒng)誤差和偶然誤差難以區(qū)分，造成整個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)平差后的單位權(quán)中誤差超限時(shí)，運(yùn)用粗差探測(cè)理論可以快速發(fā)現(xiàn)含有較大誤差的觀測(cè)值并直接進(jìn)行返工觀測(cè)[1，2]。當(dāng)該模型中，多余觀測(cè)值較多時(shí)，直接剔除后再平差，就可以使單位權(quán)中誤差在限差范圍之內(nèi)，不僅避免了返工的盲目性、節(jié)省工程時(shí)間和費(fèi)用，還保證了測(cè)量成果的可靠性。因此，研究粗差探測(cè)理論有著其實(shí)際意義。

1968年巴爾達(dá)在論文《用于大地網(wǎng)的檢驗(yàn)過(guò)程》中提出了關(guān)于粗差檢驗(yàn)的理論和方法。從此奠定了粗差探測(cè)理論研究的基礎(chǔ)。巴爾達(dá)數(shù)據(jù)探測(cè)法是把粗差作為函數(shù)模型誤差，以標(biāo)準(zhǔn)化殘差作為統(tǒng)計(jì)量的大小判斷觀測(cè)值是否存在粗差，然后將標(biāo)準(zhǔn)化殘差超限的觀測(cè)值剔除后重新平差[3]。但是對(duì)于每次只能剔除一個(gè)粗差，對(duì)于多個(gè)粗差同時(shí)存在時(shí)，該方法就有可能失效。以1964年由Huber發(fā)表的《定位參數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)》論文為理論基礎(chǔ)，幾十年來(lái)，穩(wěn)健估計(jì)理論經(jīng)過(guò)眾多數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家的開(kāi)拓和發(fā)展創(chuàng)新，使得穩(wěn)健估計(jì)作為一種抗差估計(jì)，逐步引入測(cè)量界[4]。該方法把粗差作為一種隨機(jī)模型誤差，從最小二乘平差原理出發(fā)，研究數(shù)據(jù)處理中如何抵抗和消除粗差對(duì)數(shù)據(jù)的干擾。近年來(lái)，我國(guó)的測(cè)量學(xué)者通過(guò)對(duì)該方法的不斷研究，逐步形成了抗差估計(jì)法抵抗粗差的概念。1996年，於宗儔和李明峰發(fā)表了《多維粗差同時(shí)定位定值法》，其思想是給定改正數(shù)絕對(duì)值總和最小這一條件來(lái)實(shí)現(xiàn)多個(gè)粗差的定位和定值。1999年，歐吉坤發(fā)表的《粗差的擬準(zhǔn)檢定法》，從真誤差與觀測(cè)值之間的關(guān)系出發(fā)，在多維粗差的定位和定值上也取得了良好的效果[4]。

2 基于穩(wěn)健估計(jì)的選權(quán)迭代法

穩(wěn)健估計(jì)的研究目的主要是為了抵抗和消除粗差對(duì)數(shù)據(jù)的干擾[5]。其基本思想是在粗差不可避免的情況下，選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法，使參數(shù)的估計(jì)值盡可能避免粗差的影響，得到正常模式下的最佳估值[6]，穩(wěn)健估計(jì)的選權(quán)迭代法就是在平差過(guò)程中經(jīng)過(guò)多次迭代來(lái)變權(quán)，使包含有粗差的觀測(cè)值的權(quán)函數(shù)不斷接近為零，進(jìn)而在平差中不起作用，實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)穩(wěn)健性的一種方法[7]。

2.1 IGG法

IGG法作為穩(wěn)健估計(jì)選權(quán)迭代法中的一個(gè)算法，其思想是利用測(cè)量誤差的有界性給定一組權(quán)函數(shù)，把改正數(shù)與單位權(quán)中誤差估值的比值|ui|小于k0(k0=1.5～2)的值定權(quán)為1，大于k1(k1=2.5～3)的值定權(quán)為0。IGG方案是基于測(cè)量誤差的有界性提出來(lái)的，它對(duì)測(cè)量抗差估計(jì)比較有效。其等價(jià)權(quán)因子取為：

(1)

這種方式處理含粗差的觀測(cè)值，把越界的觀測(cè)值當(dāng)作粗差直接剔除，數(shù)據(jù)收斂塊，平差后驗(yàn)后單位權(quán)中誤差也很小。但是由于粗差對(duì)每個(gè)改正數(shù)都會(huì)有影響，如果權(quán)函數(shù)選擇不合理，就有可能使沒(méi)有粗差的觀測(cè)值改正數(shù)越界，即|ui|>k1時(shí)，把不含粗差的觀測(cè)值的權(quán)降為0，從而向錯(cuò)誤的方向進(jìn)行計(jì)算。

2.2 改進(jìn)的IGG法

數(shù)據(jù)探測(cè)法的核心思想是將標(biāo)準(zhǔn)化殘差作為統(tǒng)計(jì)量，以標(biāo)準(zhǔn)化殘差的大小判斷觀測(cè)值是否存在粗差，然后將標(biāo)準(zhǔn)化殘差超限的觀測(cè)值剔除后重新平差[8]。由于最小二乘平差的牽連效應(yīng)，一個(gè)觀測(cè)值的殘差會(huì)使多個(gè)觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)化殘差超出限差，實(shí)際計(jì)算中并不是將所有超出限差的觀測(cè)值都作為粗差予以剔除，而是將絕對(duì)值最大且超出限差的觀測(cè)值剔除，重新平差，再進(jìn)行數(shù)據(jù)探測(cè)，直到所有的標(biāo)準(zhǔn)化殘差均不超限為止[8，9]。

本文結(jié)合數(shù)據(jù)探測(cè)法和穩(wěn)健估計(jì)選權(quán)的思想，針對(duì)IGG法中存在的“缺陷”，提出了一種改進(jìn)的IGG法。其基本思想是在IGG原有的算法上，先不將|ui|>k1的觀測(cè)值的權(quán)降為0，而是取|ui|中使|ui|>k1的所有觀測(cè)值，按照從大到小的順序依次將相應(yīng)的觀測(cè)值的權(quán)降為相對(duì)于|ui|的極小值，然后分別比較相應(yīng)的單位權(quán)中誤差估值。當(dāng)有觀測(cè)值的權(quán)為極小，而單位權(quán)中誤差的估值為最小時(shí)，可以認(rèn)為該觀測(cè)值存在較大誤差或粗差，將該觀測(cè)值視為粗差組且權(quán)值為極小。然后重新平差繼續(xù)尋找，如此反復(fù)，直到通過(guò)數(shù)據(jù)探測(cè)的整體檢驗(yàn)且觀測(cè)值改正數(shù)變化值極小為止。其具體粗差探測(cè)模型及步驟為：

(2)

(1)選取使|ui|>3的所有觀測(cè)值，按照從大到小依次將其權(quán)降為一固定極小值后平差。比較平差后的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差。

(2)將單位權(quán)中誤差為最小的觀測(cè)值的權(quán)降為式(1)中給定極小值，其余觀測(cè)值的權(quán)按式(2)計(jì)算。

(3)用最小二乘平差法計(jì)算選權(quán)后的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差，當(dāng)通過(guò)數(shù)據(jù)探測(cè)法的整體檢驗(yàn)后繼續(xù)按式(2)定權(quán)，直到觀測(cè)值改正數(shù)變化極小。否則重復(fù)上述步驟(1)、(2)直到通過(guò)整體檢驗(yàn)且觀測(cè)值改正數(shù)變化值極小為止。

此粗差探測(cè)模型中k0取值為1.5，k1取值為3，是基于測(cè)量誤差的有界性來(lái)確定的(按照誤差服從正態(tài)分布理論，誤差分布在3倍中誤差以外的概率趨近0)。判定粗差存在的標(biāo)準(zhǔn)是通過(guò)數(shù)據(jù)探測(cè)法的整體性檢驗(yàn)，當(dāng)整體性檢驗(yàn)沒(méi)通過(guò)時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在粗差，但粗差的定位和定值并不明確，此時(shí)，借助改進(jìn)的IGG法可以較準(zhǔn)確地定位且定值粗差。

此算法相比傳統(tǒng)的IGG法的主要理論優(yōu)勢(shì)有：

①由于最小二乘平差的牽連效應(yīng)，數(shù)據(jù)中粗差存在可能會(huì)導(dǎo)致部分實(shí)際無(wú)粗差觀測(cè)值的|ui|>k1而直接被淘汰，從而造成“錯(cuò)殺”，改進(jìn)的方法則通過(guò)對(duì)可能存在粗差的觀測(cè)值進(jìn)行一一判別后避免。

②改進(jìn)的方法將含粗差的觀測(cè)值的權(quán)置為相對(duì)于|ui|的極小值，經(jīng)過(guò)反復(fù)的選權(quán)迭代，可以對(duì)粗差定值。

3 實(shí)例分析1

例1：一水準(zhǔn)網(wǎng)布設(shè)如圖1所示，A、F是已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，其高程值分別為 10.015 m、21.429 m，且假設(shè)已知高程點(diǎn)無(wú)誤差。圖1中，B、C、D、E、G為待定點(diǎn)，以每公里中誤差1(mm)為單位權(quán)中誤差。相應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示：

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)線路圖

水準(zhǔn)網(wǎng)中相應(yīng)觀測(cè)數(shù)據(jù) 表1

用最小二乘法對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行平差計(jì)算，得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)如表2所示：

水準(zhǔn)網(wǎng)平差后觀測(cè)值數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 表2

經(jīng)粗差探測(cè)檢驗(yàn)顯示無(wú)粗差，在h2中加入 5 cm粗差后，相應(yīng)的A到D的高差為 14.055 m，運(yùn)用最小二乘平差后，相應(yīng)的數(shù)據(jù)如表3所示：

線路2中加入5 cm粗差后平差后觀測(cè)值數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 表3

(1)IGG法

權(quán)因子為：

(3)

根據(jù)其權(quán)函數(shù)式子，最小二乘平差后，可以得到第一次迭代后相應(yīng)的權(quán)因子分別為：

W=(0.82，0，0，1，1，0.96，1，0.74，1，0)

此時(shí)，根據(jù)W的結(jié)果，線路2，3，10的權(quán)為0，說(shuō)明相應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)均被淘汰，雖然此例中除去三個(gè)觀測(cè)值后，仍然可以平差得出較好的結(jié)果(此時(shí)自由度降為2)，但也損失了部分實(shí)際無(wú)粗差的觀測(cè)值。

(2)改進(jìn)的IGG法

由表3中的改正數(shù)大小，得到使|ui|>3的觀測(cè)值按照從大到小的順序分別為線路2，3。將線路2，3的觀測(cè)值的權(quán)分別降為10-6后得到的單位權(quán)中誤差估值分別為1.228，3.78。將線路2的觀測(cè)值歸為粗差組，權(quán)置為10-6，重新平差后得到的單位權(quán)中誤差估值為1.228。然后進(jìn)行數(shù)據(jù)探測(cè)的整體性檢驗(yàn)。

給定顯著性水平α=0.05下，根據(jù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)服從F0.05(5，)的F分布，得其臨界值為2.21，由數(shù)據(jù)探測(cè)法中的整體檢驗(yàn)公式有：

(4)

此時(shí)，T小于臨界值，則說(shuō)明觀測(cè)值中除了線路2，其余觀測(cè)值不包含粗差。為了檢驗(yàn)該方法粗差的定值效果，平差后定權(quán)得到改正數(shù)如表4所示：

線路2中加入5 cm粗差后IGG法和改進(jìn)的IGG法觀測(cè)值改正數(shù)統(tǒng)計(jì) 表4

同樣選取例1中數(shù)據(jù)，在線路2和線路7中分別加入 5 cm和 10 cm的粗差后，運(yùn)用最小二乘平差，計(jì)算結(jié)果如表5如下：

線路2、7中加入粗差后平差數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 表5

用IGG法進(jìn)行粗差探測(cè)時(shí)，線路2，6，7，8的數(shù)據(jù)均被淘汰，水準(zhǔn)網(wǎng)因缺少必要觀測(cè)數(shù)據(jù)而無(wú)法計(jì)算，需要外業(yè)補(bǔ)測(cè)這4段數(shù)據(jù)方可。

而用改進(jìn)的IGG法進(jìn)行粗差探測(cè)，則可以通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)一一判別，得到理想的結(jié)果。其改正數(shù)結(jié)果如表6所示：

線路2、7中加入粗差后IGG法及改進(jìn)的IGG法粗差探測(cè)改正數(shù)結(jié)果統(tǒng)計(jì) 表6

根據(jù)表4和表6中數(shù)據(jù)可以看出改進(jìn)的IGG法粗差定值功能比較準(zhǔn)確。

4 實(shí)例分析2

例2：某沉降監(jiān)測(cè)項(xiàng)目中一水準(zhǔn)網(wǎng)測(cè)段數(shù)據(jù)如表7所示，根據(jù)對(duì)測(cè)區(qū)水準(zhǔn)數(shù)據(jù)整網(wǎng)平差后得到一期觀測(cè)數(shù)據(jù)成果，GCPI139高程為 121.388 m，GCPI142高程為 180.888 m。本例中假設(shè)這兩已知點(diǎn)之間高差無(wú)誤差，且以每公里中誤差 1 mm為單位權(quán)中誤差。

水準(zhǔn)網(wǎng)中相應(yīng)觀測(cè)數(shù)據(jù) 表7

用最小二乘法對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行平差計(jì)算，得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)如表8所示：

水準(zhǔn)網(wǎng)平差后觀測(cè)值數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 表8

經(jīng)整體性檢驗(yàn)后顯示無(wú)粗差存在。

在線路7(0371H21到0373H21段)中加入1 cm的粗差后進(jìn)行整體性檢驗(yàn)，給定顯著性水平α=0.05下得到其F分布臨界值為 1.938 5，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量值為 2.717 1，說(shuō)明未通過(guò)整體性檢驗(yàn)，顯示有粗差存在。

現(xiàn)在用IGG法和改進(jìn)的IGG法進(jìn)行粗差探測(cè)，經(jīng)整體性檢驗(yàn)通過(guò)后分別算得改正數(shù)如表9所示：

IGG法和改進(jìn)的IGG法算得改正數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì) 表9

從表8和表9中數(shù)據(jù)可知，IGG法在此例中剔除了線路6中數(shù)據(jù)，而加入的粗差被錯(cuò)誤地分配到了其他線路，而本文改進(jìn)的IGG法則準(zhǔn)確地定位到了粗差的位置且定值效果良好。

5 結(jié) 語(yǔ)

IGG法進(jìn)行粗差探測(cè)時(shí)，由于殘差對(duì)各個(gè)觀測(cè)值均有不同程度的影響，可能會(huì)導(dǎo)致沒(méi)有粗差的觀測(cè)值殘差很大，運(yùn)用該算法時(shí)粗差探測(cè)有可能會(huì)失效。本文從粗差對(duì)觀測(cè)值改正數(shù)的影響入手，基于IGG法和數(shù)據(jù)探測(cè)法思想，提出一種改進(jìn)的IGG法。通過(guò)”揚(yáng)長(zhǎng)避短”，得到了較好的粗差探測(cè)效果。

但是，大量研究表明，使用單一方法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中粗差探測(cè)效果總是不盡人意[10]。粗差的探測(cè)涉及理論和算法兩個(gè)方面，能夠?qū)Υ植钤诓煌钠讲顔?wèn)題及各式各樣的存在形式，都可以對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的定位和定值，仍需要進(jìn)行長(zhǎng)期的探索研究。