孟庭偉

(南京市測(cè)繪勘察研究院股份有限公司，江蘇 南京 210019)

1 引 言

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換廣泛應(yīng)用于測(cè)量行業(yè)中，其實(shí)質(zhì)是利用公共點(diǎn)的兩套坐標(biāo)及非公共點(diǎn)的第一套坐標(biāo)值推估第二套坐標(biāo)值。三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換通常采用7參數(shù)(3個(gè)平移參數(shù)，3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，1個(gè)尺度因子)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，先用公共點(diǎn)坐標(biāo)解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，再利用轉(zhuǎn)換參數(shù)轉(zhuǎn)換非公共點(diǎn)坐標(biāo)。

空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的模型與方法眾多，常用的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型有Bursa模型、Molodensky模型、武測(cè)模型等，其中，Bursa模型適用于大范圍(>1002km)、小角度(3°以內(nèi))的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，對(duì)于小范圍區(qū)域，公共點(diǎn)間隔較小，平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)具有復(fù)共線性，導(dǎo)致法方程矩陣病態(tài)，從而導(dǎo)致解算的平移參數(shù)值與旋轉(zhuǎn)參數(shù)值有較大的誤差[1，2]。坐標(biāo)重心化減小了參與計(jì)算的坐標(biāo)數(shù)值，有效地弱化平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)的強(qiáng)相關(guān)性，降低了法方程矩陣的嚴(yán)重病態(tài)性，增強(qiáng)了數(shù)值計(jì)算的可靠性[3]。Tikhonow提出的正則化方法是解算病態(tài)方程的有效方法，小范圍公共點(diǎn)主要引起平移參數(shù)的解不穩(wěn)定，對(duì)平移參數(shù)進(jìn)行正則化處理，提高外圍點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換精度[4]。對(duì)于大旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換已有大量研究，游為等直接從三維直接坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的非線性模型出發(fā)，采用基于同倫連續(xù)思想的Li-Yorke算法最優(yōu)解7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，該方法雖然適用于大旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換，但計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜[5]。本文提出顧及病態(tài)的融合解算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，有效地解決了Bursa坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型病態(tài)性問(wèn)題，通過(guò)算例分析驗(yàn)證該算法適用于任意旋轉(zhuǎn)角度的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

2 三維空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型：

(1)

(2)

式中，∈x、∈y、∈z為空間直角坐標(biāo)變化的三個(gè)旋轉(zhuǎn)角，由于三個(gè)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度小，故取cos∈x=cos∈y=cos∈z=1，sin∈x=∈x，sin∈y=∈y，sin∈z=∈z同時(shí)忽略二階以上的微小量。

根據(jù)最小二乘原理，利用多個(gè)公共點(diǎn)信息進(jìn)行平差解算轉(zhuǎn)換參數(shù)。

(3)

其線性方程為：

AX=L

(4)

由于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中各觀測(cè)值相互獨(dú)立，故可設(shè)權(quán)陣P=I，根據(jù)最小二乘原理得：

X=(ATPA)-1ATPL

(5)

V=AX-L

(6)

其單位權(quán)中誤差為：

(7)

式中，n為公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

3 融合解算模型

3.1 坐標(biāo)重心化

由于已知公共點(diǎn)坐標(biāo)含有粗差，觀測(cè)向量誤差對(duì)解向量誤差的影響與法方程系數(shù)陣的條件數(shù)成正比，當(dāng)法方程系數(shù)陣的條件數(shù)Cond(ATPA)=‖ATPA‖‖(ATPA)-1‖(≥1000)很大時(shí)，很小的觀測(cè)誤差引起解得的未知參數(shù)向量有很大的誤差，轉(zhuǎn)換參數(shù)精度低，導(dǎo)致轉(zhuǎn)換模型病態(tài)，經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的目標(biāo)坐標(biāo)誤差較大。因此，將原始坐標(biāo)系與目標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值分別進(jìn)行重心化，使得參與計(jì)算的數(shù)值變小，其坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到點(diǎn)集的重心，法方程矩陣為對(duì)角陣，弱化平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間的復(fù)共線性，降低法方程的病態(tài)性。

(8)

式中，(Xi重，Yi重，Zi重)為坐標(biāo)系i(i=1，2)公共點(diǎn)的重心坐標(biāo)，利用重心坐標(biāo)求出各個(gè)公共點(diǎn)的重心坐標(biāo)(XZij，YZij，ZZij)。

(9)

通過(guò)坐標(biāo)重心化得到兩組新的公共點(diǎn)坐標(biāo)，使得參與計(jì)算的數(shù)值變小，將兩組新的坐標(biāo)值帶入到式(6)，組成新的誤差方程。

3.2 正則化

坐標(biāo)重心化弱化了平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)的復(fù)共線性，但并沒(méi)有完全解決轉(zhuǎn)換模型的病態(tài)問(wèn)題，法方程系數(shù)陣ATPA的條件數(shù)仍很大，為了得到更加穩(wěn)定的解，采用Tikhonov正則化處理思想，引入正則化參數(shù)，以式(10)取得極小值為準(zhǔn)則：

(10)

式中，Φα為Tikhonov光滑函數(shù)，α為正則化參數(shù)，‖·‖為向量的二范數(shù)，將式(5)中系數(shù)矩陣疊加正則化參數(shù)α，滿足條件α>0，式(10)存在唯一的極小值，其相應(yīng)的解為：

Xα=(ATPA+αIn)-1ATPL

式中，In為n階單位陣，若已知正則化參數(shù)α，則可解算未知參數(shù)的正則化估值Xα。由于正則化解是有偏的，用均方誤差評(píng)定精度，其偏差△Xα與均方誤差MSE(Xα)為：

(11)

均方誤差由觀測(cè)誤差引起的估值誤差和正則化引起的估值誤差兩部分組成，合理的正則化參數(shù)平衡這兩類誤差，使兩類誤差值之和最小。因此，正則化參數(shù)不僅與系數(shù)矩陣A有關(guān)，而且與觀測(cè)值的精度有關(guān)。

(12)

只對(duì)平移參數(shù)進(jìn)行正則化處理，引入正則化矩陣R，其相應(yīng)的計(jì)算公式為：

Xα=(ATPA+αR)-1ATPL

(13)

(14)

求解正則化參數(shù)的準(zhǔn)則是均方誤差最小，即均方誤差的跡取極小值：

Trance(MSE(Xα))=min

(15)

采用L-曲線法確定α值。

3.3 羅德里格矩陣

羅德里格矩陣由反對(duì)稱矩陣構(gòu)建，引入一個(gè)具有3個(gè)獨(dú)立元素的反對(duì)稱矩陣S。

(16)

則R=(I+S)(I-S)-1為正交矩陣，其中I為3階單位矩陣。

(17)

利用羅德里格矩陣解算旋轉(zhuǎn)參數(shù)，尺度參數(shù)可通過(guò)兩個(gè)公共點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的歐式距離之比得到，當(dāng)含有的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí)，可分別求取各點(diǎn)距離之比，取其均值作為尺度因子。

(18)

選取兩個(gè)公共點(diǎn)帶入式(1)作差，消去平移參數(shù)。

(19)

由于R為反對(duì)稱矩陣，根據(jù)R與羅德里格矩陣S的關(guān)系，可得：

(20)

將兩套坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)3帶入到式(1)，與公共點(diǎn)1代入式(1)的結(jié)果作差，將結(jié)果與式(20)聯(lián)立。

(21)

式中，X2ji=X2j-X2i，Y2ji=Y2j-Y2i，Z2ji=Z2j-Z2i，X1ji=X1j-X1i，Y1ji=Y1j-Y1i，Z1ji=Z1j-Z1i，X2ki=X2k-X2i，Y2ki=Y2k-Y2i，Z2ki=Z2k-Z2i，運(yùn)用最小二乘原理得到反對(duì)稱矩陣參數(shù)a、b、c。

將引入正則化參數(shù)解算的平移參數(shù)，羅德里格矩陣解算的旋轉(zhuǎn)參數(shù)與尺度因子帶入式(1)，解算非公共點(diǎn)在目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

4 算例分析

根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的大小不同，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分為兩組，小旋轉(zhuǎn)角的公共點(diǎn)坐標(biāo)作為一組數(shù)據(jù)，大旋轉(zhuǎn)角的公共點(diǎn)坐標(biāo)作為另一組數(shù)據(jù)，兩組數(shù)據(jù)如表1和表3所示。分別選取表1與表3中的點(diǎn)1、2、3作為解算旋轉(zhuǎn)參數(shù)的公共點(diǎn)，分別用Bursa模型、坐標(biāo)重心化模型與融合解算模型解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，點(diǎn)4、5的原始坐標(biāo)數(shù)據(jù)利用所得轉(zhuǎn)換參數(shù)解算目標(biāo)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證三種模型的轉(zhuǎn)換精度如表2與表4所示。

小旋轉(zhuǎn)角的原始坐標(biāo)與目標(biāo)坐標(biāo) 表1

中誤差精度對(duì)比分析 表2

大旋轉(zhuǎn)角的原始坐標(biāo)與目標(biāo)坐標(biāo) 表3

中誤差精度對(duì)比分析 表4

5 結(jié) 論

本文分別利用小旋轉(zhuǎn)角與大旋轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進(jìn)行算例分析，由于平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間存在復(fù)共線性，顧及病態(tài)的融合解算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型首先進(jìn)行坐標(biāo)重心化轉(zhuǎn)換模型減小了參與計(jì)算的數(shù)值，有效弱化了參數(shù)之間的強(qiáng)相關(guān)性，分兩步解算平移參數(shù)、旋轉(zhuǎn)參數(shù)及尺度因子，改善了Bursa模型的病態(tài)性，羅德里格矩陣無(wú)須對(duì)旋轉(zhuǎn)參數(shù)進(jìn)行線性化，具有高的轉(zhuǎn)換精度，適用于任意范圍與角度的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。