傅曉航，鄭歡歡

(南京理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引 言

分治算法是一個(gè)將規(guī)模較大問(wèn)題分解為多個(gè)規(guī)模相同子問(wèn)題的算法[1]。許多算法都是基于分治策略實(shí)現(xiàn)的，例如搜索、快速排序、歸并排序、TOP-K算法等等；此外分治策略能夠應(yīng)用于許多算法的優(yōu)化，例如防火墻規(guī)則匹配算法、蟻群算法、并行碰撞檢測(cè)算法等等，相關(guān)研究如文獻(xiàn)[2-5]。分治策略的核心思想是將一個(gè)問(wèn)題等分為多個(gè)形式相同的子問(wèn)題，圖1所示為每次將問(wèn)題劃分為兩個(gè)相等子問(wèn)題時(shí)的分治算法。為提高算法的性能，該文將研究將原問(wèn)題分解為多少個(gè)子問(wèn)題時(shí)分治算法的效率最高。

圖1 每次劃分兩子問(wèn)題的分治算法

該文以搜索為例，搜索是指在一個(gè)排好序的數(shù)組中尋找與給定數(shù)值x相等的元素，很容易想到的方法是將數(shù)組遍歷，但是遍歷的復(fù)雜度為O(n)，當(dāng)數(shù)組的規(guī)模n很大時(shí)，查找次數(shù)將會(huì)很大。

二分搜索是將數(shù)組每次分為相等的兩部分，將待查元素x與數(shù)組中點(diǎn)處的元素a[n/2]比較，若a[n/2]=x則搜索成功；若a[n/2]>x，則待查元素x在數(shù)組左半?yún)^(qū)；若a[n/2]

根據(jù)分治策略的研究可以想到，如果每次將數(shù)組分為相等的更多部分，比如三部分甚至是k部分，算法性能還會(huì)不會(huì)有所提升。每次將數(shù)組分為更多的部分，則每趟查找能夠?qū)?shù)組縮小到更小的范圍，然而每趟需要進(jìn)行額外的查找，從定性分析的角度，總的查找次數(shù)增加或減少均是有可能的。隨著k的增加，平均查找次數(shù)可能先減少，達(dá)到最低后再增加；也有可能一直增加，后續(xù)將從定量分析的角度，對(duì)k分搜索的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行證明。

該文將對(duì)二分、三分、四分搜索所需的平均查找次數(shù)進(jìn)行復(fù)雜度分析，并進(jìn)行比較，尋找規(guī)律，最后分析出k分搜索的時(shí)間復(fù)雜度。通過(guò)將每種情況下的查找次數(shù)求和并平均，得到算法的平均查找次數(shù)，進(jìn)而得到其時(shí)間復(fù)雜度?？梢宰C明，k分搜索的時(shí)間復(fù)雜度為O(klogkn)，易知klogkn是單調(diào)遞增函數(shù)，因此二分搜索是效率最高的算法。此外，當(dāng)k=n時(shí)，k分搜索退化為遍歷，時(shí)間復(fù)雜度退化為O(n)。

1 二分搜索與三分搜索

在本節(jié)中，首先通過(guò)分析平均查找次數(shù)的方式分析二分搜索的時(shí)間復(fù)雜度，然后按照相同的方式分析三分搜索的時(shí)間復(fù)雜度，最后對(duì)比兩種算法在實(shí)際數(shù)據(jù)下所需要的查找次數(shù)，并分析兩者復(fù)雜度差異的原因，為尋找k分搜索的規(guī)律做鋪墊。

258 Analysis of health-related quality of life of elderly people living alone in Shanghai

1.1 二分搜索

二分搜索法，是通過(guò)不斷縮小解可能存在的范圍，從而求得問(wèn)題最優(yōu)解的方法。二分搜索可應(yīng)用于二叉搜索樹(shù)、密度峰聚類(lèi)、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮綔y(cè)等算法，相關(guān)研究如文獻(xiàn)[6-9]。二叉搜索樹(shù)的左子樹(shù)若不為空，則其上的所有節(jié)點(diǎn)的值均小于根節(jié)點(diǎn)，同樣，若右子樹(shù)不為空，則其上的所有節(jié)點(diǎn)的值均大于根節(jié)點(diǎn)。二叉搜索樹(shù)便是利用了二分搜索的性質(zhì)，既能夠快速地查找，又能方便地添加與刪除節(jié)點(diǎn)，是一種高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

二分搜索能夠應(yīng)用于兩種常見(jiàn)的問(wèn)題中：一是應(yīng)用于最優(yōu)解問(wèn)題，求最小的x使得x滿(mǎn)足條件M(x)，可以用二分搜索來(lái)求得最小的x[10]；二是在有序數(shù)列中查找值，即在一個(gè)排好序的數(shù)列中尋找與給定值相等的元素。該文主要通過(guò)后者來(lái)分析二分搜索的時(shí)間復(fù)雜度以推出k分搜索的時(shí)間復(fù)雜度。

社會(huì)期望作為一項(xiàng)重要的人格特證，是兒童社會(huì)性發(fā)展的重要方面，在兒童的成長(zhǎng)發(fā)展中發(fā)揮著不可忽視的作用。兒童的社會(huì)期望不僅與兒童的學(xué)業(yè)成績(jī)和學(xué)校表現(xiàn)有著密切關(guān)系［3］，也會(huì)影響兒童對(duì)自我的評(píng)價(jià)［4］和安全依戀的形成［5］。因此，有必要對(duì)小學(xué)兒童的社會(huì)期望水平進(jìn)行調(diào)查，對(duì)其發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行系統(tǒng)全面的分析研究，進(jìn)而為兒童的家庭和學(xué)校教育提供可能的參考依據(jù)。

二分搜索的方法如圖2所示，先將待查元素x與二分之一處的元素比較，若相等，則查找成功；若該元素大于x，則繼續(xù)在數(shù)組左半?yún)^(qū)查找；若該元素小于x，則繼續(xù)在數(shù)組右半?yún)^(qū)查找。這樣每次都可以將搜索范圍縮小一半。

圖2 二分搜索的過(guò)程

50例ASO患者實(shí)驗(yàn)觀察指標(biāo)以SPSS19.0計(jì)算。護(hù)理工作滿(mǎn)意度以%形式展開(kāi)，采用χ2檢驗(yàn)；飲食知識(shí)掌握以及護(hù)理知識(shí)掌握評(píng)分以（±s）形式展開(kāi)，進(jìn)行t檢驗(yàn)。P＜0.05證明差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

1. low←1;high←n;j←0;

2. while(low≤high)and(j=0)；

3. mid←(low+high)/2;

2.3 孕晚期血清sFlt-1、PLGF及其比值與子癇前期發(fā)病時(shí)間的關(guān)系 在11例發(fā)病的高危孕婦中有早發(fā)型子癇前期孕婦2例，晚發(fā)型子癇前期孕婦9例。早發(fā)型子癇前期組血清log(sFlt-1)的均值為3.82 pg/ml，晚發(fā)型組為3.29 pg/ml。血清log(PLGF)的均值在早發(fā)型及晚發(fā)型子癇前期組中分別為1.83 pg/ml、2.27 pg/ml。血清log(sFlt-1/PLGF)比值在早發(fā)型及晚發(fā)型子癇前期組中均值分別為1.99、1.01。因早發(fā)型子癇前期組孕婦例數(shù)過(guò)少，數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，未進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析。

卞遷與齊薇(卞遷,齊薇等，2009)指出目前最常用的眼動(dòng)記錄方法是無(wú)創(chuàng)的視頻記錄法。利用眼動(dòng)儀進(jìn)行研究時(shí)測(cè)試參數(shù)一般包括：注視點(diǎn)軌跡圖、熱點(diǎn)圖、關(guān)注區(qū)域、注視點(diǎn)個(gè)數(shù)、首個(gè)注視點(diǎn)的注視時(shí)長(zhǎng)、首次進(jìn)入AOI的時(shí)間、每次訪(fǎng)問(wèn)的平均時(shí)間等。一項(xiàng)研究應(yīng)根據(jù)研究?jī)?nèi)容和研究目標(biāo)選擇2-3個(gè)測(cè)試參數(shù)。

S=(i-1)×2i+1

5. else ifx

6. else low←mid+1;

7. end while；

8. returnj。

要堅(jiān)持走開(kāi)放型、創(chuàng)新型和高端化、信息化、綠色化發(fā)展的新路子，構(gòu)建現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)新體系，從中尋找突破口和切入點(diǎn)，做好產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)的統(tǒng)籌規(guī)劃，進(jìn)一步明晰產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)的總體思路、目標(biāo)任務(wù)、方向路徑、工作重點(diǎn)和落實(shí)機(jī)制，揚(yáng)長(zhǎng)避短發(fā)揮比較優(yōu)勢(shì)，加快推動(dòng)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)由中低端向中高端邁進(jìn)。推進(jìn)高原特色農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化，促進(jìn)三大產(chǎn)業(yè)融合發(fā)展，提高質(zhì)量效益和競(jìng)爭(zhēng)力。實(shí)施“中國(guó)制造2025”云南行動(dòng)計(jì)劃，有選擇性地承接?xùn)|部地區(qū)出口加工業(yè)轉(zhuǎn)移，探索“共建園區(qū)”或“飛地經(jīng)濟(jì)”，實(shí)行引進(jìn)產(chǎn)業(yè)與本地特色有優(yōu)勢(shì)產(chǎn)業(yè)的有機(jī)融合、聯(lián)動(dòng)發(fā)展。

圖3所示為二分查找過(guò)程的判定樹(shù)，要在一個(gè)有序數(shù)列[2 4 6 9 11 15 18 22 24 31 35]中尋找值為22的元素，首先將22與數(shù)組中點(diǎn)處的元素15比較，22大于15，則待查元素在數(shù)列右半?yún)^(qū)；再將其與數(shù)列右半?yún)^(qū)中點(diǎn)處的元素24比較，發(fā)現(xiàn)22小于24，則繼續(xù)在左半?yún)^(qū)查找；而22大于左半?yún)^(qū)中點(diǎn)處的元素18，則繼續(xù)在右半?yún)^(qū)查找，最終找到22。

圖3 二分搜索查找過(guò)程的判定樹(shù)

時(shí)間復(fù)雜度的分析以分析每個(gè)元素被查找到的概率的方式進(jìn)行。經(jīng)過(guò)1次查找就能被找到的元素個(gè)數(shù)為20，經(jīng)過(guò)2次查找就能被找到的元素個(gè)數(shù)為21，以此類(lèi)推，經(jīng)過(guò)i次查找就能被找到的元素個(gè)數(shù)為2i-1。設(shè)S為所有元素被查找到所需要的總次數(shù)，則有：

S=1×20+2×21+3×22+…+(i-1)×

S=1×30+2×31+3×32+…+(i-1)×

(1)

通過(guò)錯(cuò)位相減法可以求解式(1)，得到：

4. ifx=A[mid] thenj←mid;

(2)

由1+2+4+…+2i-1=2i-1≥n，可以得到i≤log2(n+1)，代入式(2)可得：

S≤(log2(n+1)-1)(n+1)+1

(3)

每個(gè)元素被查找到的概率為1/n，則時(shí)間復(fù)雜度T(n)=S/n，代入得：

11. end while

(4)

即二分搜索平均查找次數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度為log2(n+1)-1。通過(guò)圖4可以看出，二分搜索與線(xiàn)性查找相比，時(shí)間復(fù)雜度由O(n)降到了O(log2n)，效率得到了明顯的提升。

圖4 二分搜索與遍歷的時(shí)間復(fù)雜度的比較

利用二分搜索高效查找的性質(zhì)，能夠?qū)⒍炙阉鲬?yīng)用于一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)即二叉搜索樹(shù)，又稱(chēng)二分搜索樹(shù)、二叉排序樹(shù)，如圖5所示。二叉搜索樹(shù)是一種二叉樹(shù)，對(duì)于樹(shù)中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，若其左子樹(shù)存在，則根節(jié)點(diǎn)的值不小于其左子樹(shù)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值；若其右子樹(shù)存在，則根節(jié)點(diǎn)的值不大于其右子樹(shù)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值，二叉搜索樹(shù)的相關(guān)研究如文獻(xiàn)[11-14]。若二叉搜索樹(shù)為滿(mǎn)二叉樹(shù)，則其搜索的時(shí)間復(fù)雜度為O(log2n)，若每層只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，則復(fù)雜度為O(n)，因此二叉搜索樹(shù)的時(shí)間復(fù)雜度為O(log2n)～O(n)。

(5)

而二分搜索平均僅需20次即可查找成功，極大地提高了算法的性能。

丁珰又道：“天哥他確有過(guò)犯，自己送了命也就罷了，最可惜石莊主夫婦這等俠義仁厚之人，卻也要賠上兩條性命?！?/p>

例如，對(duì)一個(gè)規(guī)模為1e6的問(wèn)題，遍歷需要的平均查找次數(shù)為：

豎爐密封性較好，通常難以知曉豎爐內(nèi)部爐墻的實(shí)際工況，可使用Raytek手持式紅外測(cè)溫儀檢測(cè)銅磚部位的溫度，且關(guān)注超過(guò)500 ℃的狀況，再根據(jù)爐殼發(fā)紅現(xiàn)象進(jìn)行綜合判斷，該測(cè)溫儀具有響應(yīng)時(shí)間快、非接觸、操作簡(jiǎn)單、使用安全及壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)。

二分搜索的偽代碼如下：

圖5 二叉搜索樹(shù)

二叉搜索樹(shù)能夠做到與線(xiàn)性二分查找一樣的時(shí)間復(fù)雜度O(log2n)。線(xiàn)性二分查找需要保證待查序列是單調(diào)的，因此增加或者刪除節(jié)點(diǎn)時(shí)，需要較多的操作；而二分搜索樹(shù)能夠高效地對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行增加或者刪除操作，是對(duì)二分搜索進(jìn)行優(yōu)化的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

后續(xù)將繼續(xù)分析，若將問(wèn)題劃分為更多的子問(wèn)題，即二分搜索、k分搜索，能否更好地提升搜索算法的性能。

1.2 三分搜索

三分搜索的方法如圖6所示，先將待查元素x與三分之一處的元素比較，然后將x與三分之二處的元素進(jìn)行比較[15]。若相等，則搜索成功；若x小于第一個(gè)元素，則繼續(xù)在左三分之一部分查找；若x大于第一個(gè)元素小于第二個(gè)元素，則繼續(xù)在中間三分之一部分查找；若x大于第二個(gè)元素，則繼續(xù)在右三分之一部分查找。

圖6 三分搜索的過(guò)程

三分搜索每次能將查找范圍縮小三分之一，繼續(xù)查找，直到找到待查元素x。

現(xiàn)代服裝設(shè)計(jì)中創(chuàng)新應(yīng)用傳統(tǒng)文化元素與藝術(shù)價(jià)值，第一個(gè)必要性體現(xiàn)在，這是現(xiàn)代服裝設(shè)計(jì)創(chuàng)新突破的需要。民族的也是世界的，傳統(tǒng)文化為當(dāng)代的服裝設(shè)計(jì)提供了源源不斷的設(shè)計(jì)思路和設(shè)計(jì)理念，面對(duì)著當(dāng)前高速發(fā)展的時(shí)代和服裝設(shè)計(jì)行業(yè)的加速更新和變革，行業(yè)內(nèi)部的更新?lián)Q代以及行業(yè)內(nèi)部的競(jìng)爭(zhēng)也愈發(fā)的激烈，面對(duì)這樣的現(xiàn)實(shí)狀況，現(xiàn)代服裝設(shè)計(jì)師在日常工作的過(guò)程當(dāng)中所需要巨大的靈感，而這些靈感則必須是要適應(yīng)市場(chǎng)的，有可落地實(shí)施的價(jià)值的，基于這樣的現(xiàn)實(shí)考量，從傳統(tǒng)文化當(dāng)中吸取營(yíng)養(yǎng)就顯得非常必要。

其偽代碼如下：

1. low←1;high←n;j←0;

2. while(low≤high)and(j=0);

3. midl←low+(high-low)/3;

4. midr←low+2(high-low)/3;

5. ifx

由于委派制在某種程度上的“過(guò)渡性”和“不徹底性”，審計(jì)人員的專(zhuān)業(yè)化、系統(tǒng)化的培訓(xùn)較少，人員專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)提升較慢，難以勝任日益復(fù)雜的審計(jì)業(yè)務(wù)要求。

6. else ifx=A[midl] thenj←midl;

7. else;

8. ifx

9. else ifx=A[midl] thenj←midr;

10. else low←midr+1;

log2(n+1)-1

12. returnj。

例如對(duì)于一個(gè)有序數(shù)列[2 4 6 9 11 15 18 22 24 31 35 39]，尋找與值22相等的元素，首先將22與三分之一處的元素9、三分之二處的元素24比較，易知9<22<24，則繼續(xù)在中間三分之一部分[11 15 18 22]查找；再分別與11和18比較，發(fā)現(xiàn)大于18，則在右三分之一部分查找，最終找到元素22。

時(shí)間復(fù)雜度的分析方法與二分搜索類(lèi)似，在查找過(guò)程中，第1趟需要找2次，能夠被找到的元素有2×30個(gè)，第2趟需要找2×2次，能夠被找到的元素有2×31個(gè)，第i-1趟需要找2×(i-1)次，能夠被找到的元素有(i-1)×3i-2個(gè)，第i趟需要找2×(i-2)次，能夠被找到的元素有i×3i-1個(gè)。每個(gè)元素被查找到的概率為1/n，則時(shí)間復(fù)雜度T(n)=4S/n，其中：

2i-2+i×2i-1

3i-2+i×3i-1

(6)

通過(guò)與二分搜索相同的方法可以得到：

2log3(n+1)-1

(7)

即三分搜索平均查找次數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度為2log3(n+1)-1。

1.3 二分搜索與三分搜索的比較

由1.1節(jié)和1.2節(jié)可知二分搜索的時(shí)間復(fù)雜度為log2(n+1)-1，三分搜索的時(shí)間復(fù)雜度為2log3(n+1)-1，易知log2(n+1)-1<2log3(n+1)-1，故二分搜索的效率更高。圖7為隨著數(shù)組規(guī)模n的增長(zhǎng)，兩者時(shí)間復(fù)雜度的比較。

圖7 二分與三分搜索時(shí)間復(fù)雜度的比較

表1為在實(shí)際數(shù)據(jù)下，分別使用規(guī)模為100、1 000、10 000、100 000的數(shù)組，二分搜索與三分搜索所需的查找次數(shù)。雖然有個(gè)別情況三分所需次數(shù)更少，這是因?yàn)楸徊檎业奈恢们『迷谌贮c(diǎn)上，但從總體上看，還是二分所需次數(shù)更好。

表1 二分與三分搜索在實(shí)際數(shù)據(jù)下的比較

無(wú)論是從平均查找次數(shù)的復(fù)雜度分析還是通過(guò)實(shí)例分析都可以看出二分搜索比三分搜索的效率更高。與二分搜索相比，三分搜索雖然每次將待查數(shù)組縮小到更小的范圍，但是二分搜索每趟只需要查找一次，即中點(diǎn)處的元素，而三分搜索需要兩次，即三分之一與三分之二處的元素，每趟搜索就增加了一次查找，隨著搜索次數(shù)的增加，三分搜索所需要的額外查找次數(shù)越來(lái)越多。因此，三分搜索與二分搜索相比，平均查找總次數(shù)更多，時(shí)間復(fù)雜度更高。

2 k分搜索

為了找出k分搜索的復(fù)雜度，首先分析四分搜索以找出規(guī)律，分析方式同上，可以得出：

中國(guó)現(xiàn)代民俗學(xué)大致經(jīng)歷了從事象研究到事件研究的范式轉(zhuǎn)換，但這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，王霄冰從民眾群體(民)與知識(shí)體系(俗)之間的關(guān)系入手，提倡關(guān)注“民俗事件中的社會(huì)關(guān)系”，這相比“語(yǔ)境中的民俗”的提法而言指向更加明確。不過(guò)還應(yīng)注意的是，“熟人社會(huì)”內(nèi)部借助民俗活動(dòng)對(duì)已有社會(huì)關(guān)系的刷新或調(diào)整，與“生人社會(huì)”借助民俗活動(dòng)而達(dá)成的開(kāi)放式的社會(huì)關(guān)系，雖然都屬于多主體之間的民俗關(guān)系，但其差異甚為明顯，加以區(qū)別是必要的。民俗在“熟人社會(huì)”與“生人社會(huì)”所承擔(dān)的不同角色，啟發(fā)我們應(yīng)在更廣泛的社會(huì)視野中體認(rèn)民俗。

(8)

則時(shí)間復(fù)雜度為：

3log4(n+1)-1

m_Server.CertificateEvent += new certificateValidation(m_Server_CertificateEvent);//定義服務(wù)證書(shū)

(9)

可以看出，四分搜索與三分搜索相比，時(shí)間復(fù)雜度再一次增加，據(jù)此推測(cè)，k分搜索的時(shí)間復(fù)雜度是隨著k的增加而增加的，以下過(guò)程證明了這一點(diǎn)。

對(duì)于k分搜索有：

(10)

時(shí)間復(fù)雜度為：

(11)

上式可近似為(k-1)logk(n+1)-1，隨著k的變化，時(shí)間復(fù)雜度的變化如圖8所示。

圖8 隨著k的升高k分搜索時(shí)間復(fù)雜度的變化

可以看出時(shí)間復(fù)雜度T是隨著k的增加而增加的，因此二分搜索的效率是最高的。雖然k分搜索每次能將搜索范圍減小到原來(lái)的1/k，即公式中的logk，但是每趟搜索需要查找k次，即公式中的系數(shù)k，因此，隨著k的增加，需要的查找次數(shù)也越來(lái)越多，因此時(shí)間復(fù)雜度也是增加的。

因此，各種算法如快速排序、極限情況，當(dāng)k=n時(shí)即為遍歷。此時(shí)每次將搜索范圍縮小為1/n，只需一趟搜索，但是需要搜索n-1次，即與前n-1個(gè)元素均要進(jìn)行比較，如圖9所示，與遍歷的方式是相同的。

針對(duì)在地下水取水井專(zhuān)項(xiàng)普查數(shù)據(jù)中不易獲得的數(shù)據(jù)，如機(jī)電井的打井時(shí)間、打井深度、水位埋深、水泵的各項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)及動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)等，勃利縣采取了以下幾種方法獲取：

圖9 n分搜索

時(shí)間復(fù)雜度為：

(12)

如圖10所示，n分搜索與遍歷的復(fù)雜度n是十分接近或者說(shuō)近似相同的。

圖10 遍歷與n分搜索的時(shí)間復(fù)雜度的比較

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)一系列的分析與證明，研究了二分、三分、k分搜索的時(shí)間復(fù)雜度，得出如下結(jié)論：(1)證明了k分搜索的時(shí)間復(fù)雜度是O(klogkn)； (2)二分搜索是效率最高的搜索算法，對(duì)于k分搜索來(lái)說(shuō)，k越大，算法效率越低。雖然三分、k分搜索與二分搜索相比每次查找能將待查找數(shù)組縮小到更小的范圍，但是二分搜索每趟只需要查找一次，三分搜索需要兩次，k分搜索需要k-1次，這就增加了查找次數(shù)，使得時(shí)間復(fù)雜度升高；(3)當(dāng)k=n時(shí)，k分搜索退化為遍歷，時(shí)間復(fù)雜度退化為O(n)。