張紹瑋

（青島理工大學(xué) 山東省青島市 266520）

1 模型假設(shè)

（1）假設(shè)室溫Tw=25℃，冷水溫度Ts=20℃，房屋高度為2.5m。

（2）不考慮管中水熱傳遞對(duì)室溫影響，即室溫恒定不變。

2 能量消耗模型的建立與求解

2.1 模型準(zhǔn)備

使熱水器室溫穩(wěn)定在37℃-38℃，假設(shè)熱水器工作分為兩個(gè)階段，如果想讓熱水器流出恒溫?zé)崴?，首先需將水燒到比恒溫高的某一溫度（第一階段），再將其通過(guò)熱量交換熱水器工作，即其降到恒溫（第二階段），根據(jù)能量守恒，設(shè)定將熱水燒到43℃，后再用室溫去逼近水溫，得出最終水恒溫為39.23℃,為方便計(jì)算，近似為39℃。根據(jù)能量守恒，建立室溫與水溫?zé)醾鬟f關(guān)系方程式，將方程離散化，建立微分方程，對(duì)其積分最終得出第一階段水溫與時(shí)間表達(dá)式。利用能量與溫度關(guān)系，進(jìn)一步推得能量表達(dá)式。根據(jù)燃?xì)廪D(zhuǎn)化率以及熱水器利用率和燃?xì)馊紵瘜W(xué)式求解碳排放量。

2.1.1 第一階段空氣達(dá)到37℃

已知空氣與熱水器水熱量與溫度變化量成正比：

Q=cmΔT

Q為吸收或放出熱量，c為各物質(zhì)比熱容，m表示質(zhì)量，ΔT表示溫度差。

根據(jù)能量守恒定律：

c空m空ΔT=c水m水（T-Ts）

其中：

c空為空氣比熱容，m空為空氣質(zhì)量，c水為水比熱容，m水為水質(zhì)量，ΔT為Δt時(shí)間段內(nèi)室溫變化量，Δt為時(shí)間變化量，L為水流量（單位dm3/min），ρ為水密度，Ts為最初冷水溫度。

將上式微分方程整理并積分，得到方程：

∫c空m空dT=∫c水ρL(T-Ts)dt

解得：

2.1.2 第二階段水溫達(dá)到恒溫39℃

第二階段室溫穩(wěn)定在37℃和38℃,水溫由較高溫度降低至39℃并趨于穩(wěn)定。

和第一階段類(lèi)似，根據(jù)能量守恒定律得出第二階段的守恒公式：

c空m空ΔT=c水m水（T-Tw）

ΔT為溫差（趨近于1），Tw為水溫恒溫

將（1）帶入方程

解得：

2.2 模型建立

由公式（2）和公式（3）兩條曲線相交時(shí)，t=1.29

最終得出水溫T隨時(shí)間t的表達(dá)式：

2.2.1 計(jì)算熱水器工作熱量

根據(jù)熱量表達(dá)式

ΔQ=cmΔT

對(duì)方程進(jìn)行積分

∫QdQ=c水ρL∫ΔTdt

解得：

燃?xì)鉄崴鳠崂寐蕿棣?80.0%，公式為：

2.2.2 浴室增加的碳排放量

天然氣燃燒轉(zhuǎn)化率為β=8.0×103J/m3

V天然氣為天然氣耗氣量

已知天然氣燃燒化學(xué)方程式CH4+2O2=CO2+2H2O，設(shè)k1=22.4，k2=44，結(jié)合公式（6）（7）可以得出碳排放量C碳：

2.3 模型求解

得到水溫T隨時(shí)間變化曲線圖,通過(guò)該曲線可以看出水溫最終恒定在39℃,且t近似取1.29。如圖1所示。

圖1：溫T隨時(shí)間變化曲線圖

3 燃燒熱量模型建立與假設(shè)

3.1 模型準(zhǔn)備

考慮實(shí)際情況中,熱水在流向浴室內(nèi)和洗漱臺(tái)時(shí),流經(jīng)ppr管,熱水與外界進(jìn)行熱交換,就有部分熱量損失,那么燃?xì)馊紵偭烤褪菬崴鏊軙r(shí)熱量加上損失熱量,對(duì)溫度曲線進(jìn)行積分,建立起燃燒熱量模型。

3.1.1 沐浴時(shí)熱水流出管子

根據(jù)到熱量Q與溫度T關(guān)系公式：

ΔQ=c水LρΔt（T1-Tw）

得出：∫QdQ=c水Lρ∫（T1-Tw）dt

進(jìn)而推出：

3.1.2 洗漱時(shí)熱水流出管子

在洗漱時(shí)，熱水只需恒溫到30℃，將公式中Tw改為30℃，可將Tw帶入公式（4）中，并且在t1時(shí)刻流入，得出：

3.1.3 熱水流經(jīng)管道

當(dāng)熱水流經(jīng)3米ppr管時(shí)，因?yàn)榕c外界有溫度差，而進(jìn)行熱傳遞，進(jìn)而產(chǎn)生熱量損失，根據(jù)熱損公式：

將ΔT=（Tw-Ts）帶入公式

Q*（t）=2 兀rl（Tw-Ts）tK860 /Δd （t>1.29）

Q*為熱水流經(jīng)管時(shí)損失的能量，K為熱損系數(shù)，l為ppr管長(zhǎng)度，Δd為ppr管內(nèi)徑與外徑差。

當(dāng)熱水通過(guò)ppr管流到浴室時(shí)，管長(zhǎng)3米及l(fā)1=3，Tw1=39，熱水流經(jīng)ppr管進(jìn)入浴室時(shí)，損失熱量Q*1，即：

當(dāng)熱水通過(guò)ppr管流到洗漱臺(tái)時(shí)，管長(zhǎng)5米及l(fā)2=5，Tw2=30，t1時(shí)刻，熱水分流進(jìn)入ppr管流入洗漱臺(tái)時(shí)，損失熱量Q*2（t-t1），即：

3.2 模型建立

需要總熱量Q總=Q1+Q2+Q*1+Q*2，在此引入階躍函數(shù)

u（t）=1（t>0）以及公式（9）（10）（11）（12）帶入總方程,即：

(39tc水Lρ+c空m空l(shuí)nt-1196125.5)u(t-1.29)+

(30tc水Lρ+c空m空l(shuí)nt-1196125.5)[u(t-t1)-u(t-t1-2)]+

(2 兀rl2（Tw2-Ts）K（t）860)[u(t-t1)-u(t-t1-2)]/Δd+

2 兀rl1（Tw1-Ts）Kt860u(t-1.29)/Δd

4 熱水器實(shí)際安裝

4.1 規(guī)劃模型建立與求解

首先需尋找熱水器安裝位置及熱水管最優(yōu)布局，根據(jù)題目要求可得，為使熱水器有更少能量消耗，熱水器應(yīng)安裝在廚房與浴室之間。由于熱水器到洗菜池、洗漱臺(tái)、浴室距離不同，熱水管道產(chǎn)生的熱損也不同。將熱水管道到洗菜池、洗漱臺(tái)、浴室的熱損之和作為目標(biāo)方程，根據(jù)不同戶(hù)型圖和已知條件，將戶(hù)型圖轉(zhuǎn)化成二維坐標(biāo)形式，結(jié)合第一問(wèn)求得水溫與時(shí)間關(guān)系式及第二問(wèn)熱損公式，可解出熱水器安裝位置及熱水管最優(yōu)布局。熱水器節(jié)能模型優(yōu)化步驟圖如圖2所示。

圖2：熱水器節(jié)能模型優(yōu)化步驟圖

4.1.1 優(yōu)化模型建立

選取D1戶(hù)型：

由于戶(hù)型圖對(duì)象太多不方便計(jì)算與構(gòu)建模型，將熱水器與洗漱臺(tái)洗菜池和浴室的位置建在平面坐標(biāo)系內(nèi)。A表示洗菜池，B表示浴室，C表示洗漱臺(tái)，D表示熱水器，S1：洗漱臺(tái)到熱水器距離，l2：浴室到熱水器距離l3：洗漱臺(tái)到熱水器距離。假設(shè)將熱水器建在餐廳某個(gè)位置。

D1戶(hù)型如圖3所示。

圖3：D1戶(hù)型

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段熱水器所在點(diǎn)為D，其所在直線為縱軸，建立直角坐標(biāo)系，D(0,y), A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)，設(shè)置管長(zhǎng)l：

4.2 模型的求解

4.2.1 熱水器熱量損失的計(jì)算

情況一：洗菜池用水每次2分鐘，熱水管道損失熱量為Q1*

情況二：在4平米舒適玻璃隔斷浴室內(nèi)沐浴15分鐘時(shí)，熱水管道損失熱量為Q2*

情況三：洗漱臺(tái)用水每次3分鐘，熱水管道損失熱量為Q3*

目標(biāo)方程minQ*=Q1*+Q2*+Q3*

Q1*=2πRl1ΔTky1×t*1/Δd

Q2*=2πRl2ΔTky2t*2/Δd

Q3*=2πRl3ΔTky3t*3/Δd

K：熱水管導(dǎo)熱系數(shù)，ΔT=熱水管中熱水與室溫溫差，t*：供水時(shí)水在熱水管中流動(dòng)時(shí)間，y為用水次數(shù)

l：熱水管長(zhǎng)，S：熱水管保溫面積，L：熱水流量

ΔT=T-Tw

將公式（4）以及t*代入Q*中

Q*=S（2πRl12ΔTky1+k2πRl22ΔTy2t*2+k2πRl32ΔTy3t*3）/（ΔdL）

將兩種房型l1,l2,l3分別帶入公式中對(duì)Q*進(jìn)行求導(dǎo)，計(jì)算得出熱水器位置。

D1戶(hù)型：D（0,3.6）

5 對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化

5.1 能量消耗模型優(yōu)化分析及求解

5.1.1 能量消耗模型的優(yōu)化分析

考慮水熱膨脹效應(yīng)，即當(dāng)隨水溫度的升高，水密度會(huì)降低，反之，隨水溫度的降低，水密度會(huì)增大，這時(shí)，需要引入熱膨脹系數(shù)F對(duì)水體積進(jìn)行校正。

將公式（13）（14）帶入公式ρ中

將公式（4）帶入公式（15）中，得：

將公式（16）帶入替換公式（4）中的ρ

進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行積分得到Q校正

將公式（18）帶入公式（6）（7）（8）中，得到優(yōu)化后模型。

5.1.2 能量消耗優(yōu)化模型求解

根據(jù)模型求出校正后燃?xì)鉄崴餍枞紵裏崃?根據(jù)公式（6）（7）（8）可求出燃?xì)夂臍饬俊?/p>

5.2 能量燃燒模型優(yōu)化分析及求解

能量燃燒模型優(yōu)化分析：

將Q總（t）中ρ全部替換成ρ校正進(jìn)而得到Q總校正（t），將公式帶入得出：