楊 雪 ,孫紅巖,3 ,董 雨 ,孫曉鵬,2

1(遼寧師范大學 計算機與信息技術(shù)學院 計算機系統(tǒng)研究所,遼寧 大連 116029)

2(智能通信軟件與多媒體北京市重點實驗室(北京郵電大學),北京 100876)

3(重慶中星微人工智能芯片技術(shù)有限公司,重慶 400722)

隨著計算機模擬真實物體能力的提高,曲面變形(surface deformation)過程能夠被精確模擬.為滿足美學、力學等方面要求,可利用計算機對曲面的展開與折疊進行模擬設(shè)計,得到理想結(jié)構(gòu).除此之外,展開與折疊生成的形狀豐富,功能強大,實際應用廣泛,如圖1 所示,該方法廣泛應用于工業(yè)設(shè)計[1-3]、生物醫(yī)療[4-6]、智能機器人[7-11]、家具設(shè)計[12-14]等領(lǐng)域.

Fig.1 Application of folding and flattening method圖1 折疊與展開方法的應用

按照是否可展進行劃分,曲面可分為可展曲面與不可展曲面.可展曲面能夠等距變換到二維平面,并且不產(chǎn)生任何扭曲或斷裂.對等價于可展曲面的模型,可以通過計算模型上面片的展開路徑,使其在不發(fā)生碰撞的情況下直接展開;對等價于不可展曲面的模型,則需要通過控制模型失真程度,找到合理的展開方式,使模型展開成理想平面.對于曲面折疊問題,二維或三維模型都可以通過合理設(shè)計折痕位置與折疊角度,變形生成所需的形狀結(jié)構(gòu).展開與折疊是曲面變形領(lǐng)域最受關(guān)注的問題之一,大部分展開方法將曲面形狀從三維向二維轉(zhuǎn)換,而折疊方法是二維向三維轉(zhuǎn)換,兩者都涉及空間轉(zhuǎn)換問題,其總體目標一致,都希望實現(xiàn)物體的空間形狀轉(zhuǎn)換.

早期,在展開與折疊方面已有較多文獻,例如,2013 年,王紅艷[15]主要關(guān)注三角網(wǎng)格曲面的展開;2016 年,郭鳳華等人[16]對近年來的網(wǎng)格參數(shù)化方法進行總結(jié);2018 年,徐躍家等人[17]主要關(guān)注折疊方法在建筑領(lǐng)域的應用;2018 年,李笑等人[18]主要關(guān)注折紙方向中的折痕設(shè)計.這些文獻部分時間較早,缺少最新研究進展,部分文獻著重關(guān)注力學或應用領(lǐng)域,不強調(diào)相關(guān)算法.而本文主要關(guān)注先進的展開與折疊算法,重點介紹該方面的最新進展,針對曲面的展開與折疊方法進行分類,然后對各類方法進行分析討論,總結(jié)已有方法的優(yōu)勢與局限性,并對未來的發(fā)展趨勢進行展望.

本文第1 節(jié)主要介紹展開與折疊方法的基本概念及評估準則.第2 節(jié)主要介紹并比較曲面展開方法.第3節(jié)主要介紹并比較曲面折疊方法.第4 節(jié)介紹展開與折疊在工業(yè)設(shè)計、生物醫(yī)療、智能機器人、家具設(shè)計等領(lǐng)域的廣泛應用.第5 節(jié)分析總結(jié)本文綜述的各類方法,討論該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀以及面臨的挑戰(zhàn),并對未來的發(fā)展趨勢進行展望.

1 基本概念及評估準則

本節(jié)對曲面展開與折疊涉及到的基本概念進行整理.不同目標的展開與折疊方法存在不同角度的評估準則,下面根據(jù)各類算法的衡量標準,選取具有代表性的評估準則進行討論.

1.1 基本概念

曲面的展開與折疊本質(zhì)上都是二維和三維空間上的曲面變形,為了清晰明確表達曲面的變形過程,我們使用離散網(wǎng)格模型表示輸入曲面,記網(wǎng)格模型為M={V,E,F},其中,V={v1,…,vV}表示頂點集合,E={e1,…,eE}表示邊集合,F={f1,…,fF}表示面片集合,并且fi∈V×V×V,ei∈V×V.

對于曲面展開方法,輸入模型M∈?3,M的變形目標是使其局部距于二維平面,并且盡可能使面片連續(xù)鋪平到二維平面上,生成展開網(wǎng)格Ω∈?2.本文將曲面分為可展與不可展兩類進行討論:可展曲面上任意一點的高斯曲率為0,在無需拉伸與剪切的情況下,能夠等距變換到二維平面上,變換過程中不產(chǎn)生任何失真,可直接規(guī)劃面片的展開路徑進行展開;而不可展曲面在展開過程中一定會存在面積、角度等失真,因此要根據(jù)具體需求設(shè)計模型M的變形過程,生成近似可展形狀,從而達到預期展開效果.

對于曲面折疊方法,本文將其分為二維折疊與三維折疊兩類進行討論:二維折疊中,折疊模型M∈?2,M的變形目標是根據(jù)折痕、折疊角度等生成目標折疊形狀Ω∈?3;三維折疊中,折疊模型M∈?3,M的變形目標是重新對模型的組件或體素進行拆分組合,然后通過折疊實現(xiàn)形狀轉(zhuǎn)換.一般情況下,空心模型的目標轉(zhuǎn)換形狀Ω∈?2,實心模型的目標轉(zhuǎn)換形狀Ω∈?3.

1.2 評價準則

由于曲面展開與折疊的變形目標不同,因此本節(jié)分別對其進行討論,并且根據(jù)常見的算法衡量準則給出如下評價準則.

1.2.1 展開領(lǐng)域

(1) 擬共形失真

為衡量各種方法展開曲面的質(zhì)量,可利用失真度量來量化失真.文獻[19]使用擬共形失真(quasi-conformal distortion)度量曲面展開的扭曲程度,網(wǎng)格模型上每個三角面片的擬共形失真被可視化為,Γ和γ分別表示雅可比矩陣的大特征值和小特征值[20],當且僅當時,映射完全等距,不存在失真.網(wǎng)格模型的平均擬共形失真Eqc可定義為

(2)L2面積失真

部分方法可通過添加圓錐奇點,減少曲面展開的面積失真,面積失真越低,證明展開的二維平面與三維曲面面積越相近,扭曲程度越低.但是,該類方法可以通過添加更多的圓錐奇點減少面積失真.為了公平比較各種方法的優(yōu)劣,可以將圓錐奇點的數(shù)量n作為一項算法成本,比較哪種方法能在最低成本下得到最小的面積失真.文獻[21]使用對數(shù)保角縮放因子u的L2范數(shù)測量面積失真E(u).

其中,A表示網(wǎng)格模型的面積.

(3) 網(wǎng)格分段數(shù)量

由于大多數(shù)三維網(wǎng)格模型無法在保持原有拓撲結(jié)構(gòu)的情況下變換到二維平面上,因此模型展開過程中往往會伴隨分割模型的情況.當網(wǎng)格分段數(shù)量較少時,模型拓撲結(jié)構(gòu)改動較少,面片的連續(xù)性較強,但是在某些細節(jié)特征區(qū)域,展開產(chǎn)生的失真較高;當網(wǎng)格分段數(shù)量較多時,面片連續(xù)性較差,每段平面網(wǎng)格面積小,整體結(jié)構(gòu)零散,但是能夠保留模型的細節(jié)特征,展開產(chǎn)生的失真較低.

1.2.2 折疊領(lǐng)域

(1) 逼近誤差

在曲面折疊的方法中,通常計算折疊曲面形狀S與目標曲面形狀Ω之間的逼近誤差測量折疊質(zhì)量.為量化逼近誤差,文獻[22]引入折疊鑲嵌曲面S與目標曲面Ω間的距離d(S,Ω)來表示逼近誤差,d(S,Ω)的定義如下.

其中,x與y分別表示折疊曲面S與目標曲面Ω上的頂點;d(x,y)表示x與y之間的歐氏距離;d(x,Ω)表示從x到目標曲面Ω上y集合之間的最短距離;d(S,Ω)用于測量S與Ω兩個曲面之間的差異,其意義與Hausdorff 距離相似.d(S,Ω)值即可表示折疊曲面與目標曲面的逼近誤差,d(S,Ω)值越小,表示兩曲面逼近精度越高.

(2) 視覺效果

雖然大多數(shù)曲面折疊方法的目標是使輸入模型折疊M變形成目標形狀Ω,但是形狀逼近的形式有很多種,例如,部分方法追求外觀形狀相似,部分方法追求內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似,部分方法追求紋理特征相似等.通過視覺效果的比較,能夠明顯區(qū)分各類方法的側(cè)重點以及實驗效果.

本節(jié)分別對曲面展開與折疊的基本概念及評估準則進行總結(jié)討論,曲面展開方法大多以失真度量作為評價算法優(yōu)劣的標準,失真越低,證明展開的結(jié)果更優(yōu);曲面折疊方法大多以逼近誤差作為評價準則,逼近誤差越低,證明折疊形狀與目標形狀越相似,方法更優(yōu).

2 曲面展開

在本節(jié)中,我們給出曲面展開方法的分類.不可展曲面的展開方法包括:(1) 建?？烧骨?(2) 控制失真;(3) 利用輔助材料.可展曲面可以通過計算面片展開路徑進行展開.本節(jié)主要介紹如何利用上述方法展開曲面,并討論各種方法的優(yōu)劣,表1 總結(jié)了每個類別的代表性方法及其輸入輸出模型維度.

Table 1 Representative methods of surface flattening表1 曲面展開的代表性方法

2.1 建?？烧骨?/h3>

近年來,建?？烧骨娲蠖嗖捎没诰W(wǎng)格的方法,該方法在三維模型上進行網(wǎng)格分割,使用分段區(qū)域逼近輸入模型.2004 年,Mitani 等人[23]使用一組連續(xù)平面條帶逼近網(wǎng)格模型,首先在三維網(wǎng)格模型上提取特征線,按照特征線及邊界線將模型分割成條狀區(qū)域;然后增加額外切割線,保留原有模型的重要特征;最后平滑切割線,通過網(wǎng)格優(yōu)化生成與切割線對應的新條帶.但是該方法建模的可展曲面只在視覺上與輸入模型相似,實際的逼近精度較低,條帶邊界呈鋸齒狀;除此之外,該方法必須通過試錯找到合適的參數(shù),不能指定輸入網(wǎng)格模型的近似誤差.2006 年,Shatz 等人[24]同時使用平面區(qū)域與錐形區(qū)域劃分三維模型,建?？烧骨?該方法首先對三維模型進行初始分割,為保證每個區(qū)域可展,初始會產(chǎn)生過度分割;然后迭代修改初始分割,減少分割片段的數(shù)量;同時優(yōu)化每個區(qū)域的形狀,使其近似于圓錐;最后細分邊界,提取光滑的曲線邊界,生成可展曲面.該方法生成的分段區(qū)域邊界光滑,在曲面特征細節(jié)較多時,每段區(qū)域面積較小,能夠保留曲面細節(jié),但曲面分段數(shù)量較高,會在拼接粘合過中程產(chǎn)生較大工作量.2008 年,Pottmann 等人[25]提出了半離散曲面的概念,這種表示方法利用單曲面覆蓋自由曲面形狀,建立光滑曲面和離散曲面之間的連接.該方法使用一組可展條帶(D-strip)建模網(wǎng)格模型,可展條帶通過按行細分四邊形網(wǎng)格得到,網(wǎng)格的列不進行細分,保持原樣,因此可展條帶是共軛曲線網(wǎng)絡的半離散表示.這種半離散曲面概念僅適用于具有光滑邊界的可展條帶,對零碎的可展面片效果不理想.2009 年,Liu 等人[26]給定建?？烧骨娴娜终`差范圍,根據(jù)誤差范圍迭代將矩形參數(shù)曲面裁剪成一組三角形條帶,從而逼近可展曲面,三角形的寬度在展開后幾乎一致.該方法能夠控制建?？烧骨娴恼`差范圍,但只能處理矩形自由曲面.

2012 年,Solomon 等人[27]進一步利用直紋線改進離散建?？烧骨娴姆椒?將直紋線作為折痕,通過細分、松弛直紋線折疊生成可展曲面.該方法首先由用戶輸入初始的折疊構(gòu)型:多邊形區(qū)域P、折痕線、折疊角度,然后在保留幾何特征的前提下添加直紋線,并對直紋線進行細分,最后使用離散平均曲率彎曲能量進行松弛,得到更光滑的彎曲區(qū)域.該方法允許用戶以交互的方式探索可展形狀,離散平均曲率彎曲能量能夠進一步松弛直紋線,產(chǎn)生光滑彎曲形狀,提高可展曲面逼近精度.但是該方法僅針對直線折痕,并不針對彎曲折痕.

2016 年,Tang 等人[28]利用基于用戶驅(qū)動的樣條網(wǎng)絡建?？烧骨?樣條是以下基函數(shù)的線性組合.

其中,Ni(t)是B 樣條基函數(shù),t是控制參數(shù),ai是樣條曲線的控制點.為建模高質(zhì)量的復合可展曲面,需要對復合曲面的各個自由度進行建模,其他基于網(wǎng)格方法生成的可展曲面通常由平面面片與直紋面片組成,自由度較低,基于樣條網(wǎng)絡建模方法能夠建模多個自由度的曲面,同時不會減少可用形狀的多樣性.該方法無需提高網(wǎng)格分辨率,即可直接處理光滑的曲面.然而該方法不考慮模型的連續(xù)展開,沒有處理網(wǎng)格重疊情況,并且與要預先確定輸入模型的分解組合.

2017 年,Schüller 等人[29]利用“拉鏈包”的思想,根據(jù)螺旋曲線為三維模型設(shè)計拉鏈條帶樣式的可展曲面:首先,將輸入模型M分解成多個拓撲圓柱區(qū)域Ci;然后對每個圓柱區(qū)域進行無縫的全局參數(shù)化,通過在展開平面上設(shè)計直線,生成三維模型上的螺旋曲線;最后沿著螺旋線切割,進行重新網(wǎng)格化,保證三維模型近似為可展曲面.與其他方法相比,該方法更側(cè)重生成單一連續(xù)的可展條帶,不重點考慮保留三維模型的尖銳特征.

2018 年,Stein 等人[30]在基于網(wǎng)格方法的基礎(chǔ)上引入直紋線,提出了變分方法,通過設(shè)計輸入三維網(wǎng)格模型M的直紋線,將模型M離散為由接縫曲線分隔的可展曲面.該方法對所有的頂點進行分類,首先定義St(i)表示包含頂點i的單純形集合,如果集合St(i)被分隔成兩個區(qū)域,并且兩個區(qū)域由兩個公共邊連接,每個區(qū)域中面片單位法向量Nijk一致,那么St(i)是鉸鏈結(jié)構(gòu).鉸鏈結(jié)構(gòu)的一種特殊情況是平坦結(jié)構(gòu),St(i)為平坦結(jié)構(gòu)時,其包含的所有頂點i共面.如果所有St(i)都為鉸鏈結(jié)構(gòu),那么模型M離散可展;如果某個St(i)不是鉸鏈結(jié)構(gòu),那么頂點i為曲面接縫頂點.圖2 中,左圖表示鉸鏈結(jié)構(gòu)經(jīng)過高斯映射N后的結(jié)果,右圖表示平坦結(jié)構(gòu)經(jīng)過高斯映射N后的結(jié)果.

Fig.2 Two types of vertex sets[30]圖2 頂點集合的兩種類型[30]

假設(shè)St(i)被分隔成兩個區(qū)域F1,F2?F,兩個區(qū)域中三角形的數(shù)量分別為n1,n2.定義平均面片法向量,集合P:={F1,F2},以下公式能夠量化區(qū)域St(i)類似鉸鏈的程度.

該方法建模的可展曲面能夠保留輸入模型的部分高斯曲率特征,建模結(jié)果不受輸入網(wǎng)格鑲嵌的影響,健壯性較高,但是過度的噪聲會影響建模曲面形狀.

2018 年,Rabinovich 等人[31]提出使用離散正交測地線網(wǎng)(discrete orthogonal geodesic nets)建模可展曲面,從交互建?？烧骨娴慕嵌瓤紤],如果不能預先知道輸出模型形狀,無法建立直紋曲面.而離散正交測地線網(wǎng)是從局部建模,經(jīng)過變形產(chǎn)生的三維形狀都可展,無需計算全局直紋線,不受拓撲結(jié)構(gòu)影響.但是該方法在速度上具有局限性,編輯系統(tǒng)只能交互處理大約1 000 個頂點的網(wǎng)格.

圖3 將Bunny 模型作為輸入,比較文獻[23,24,28-30]建?？烧骨娴慕Y(jié)果.從圖中能夠看出:文獻[23,29]的建模精度較低,但文獻[29]生成的可展條帶更加連續(xù);文獻[24]生成的可展曲面內(nèi)部存在奇點;文獻[28]生成的可展曲面更加光滑,曲面自由度較高;文獻[30]的建模結(jié)果能保留輸入模型的部分高斯曲率特征,與輸入模型相似度更高.

Fig.3 Modeling results of developable surfaces based on the above methods圖3 上述方法的可展曲面建模結(jié)果

總體而言,基于網(wǎng)格的可展曲面建模方法考慮使用不同形狀的分段可展區(qū)域劃分三維模型,部分方法引入直紋線,其目的是增強可展性,提高與可展曲面的逼近精度;基于樣條網(wǎng)絡建模的目的是增強曲面的自由度;基于螺旋曲線建模則是重點關(guān)注展開條帶的連續(xù)性.隨著科學的發(fā)展,該類方法朝著提高逼近精度、平滑分段曲面的方向改進.但是該類方法生成的可展曲面都是分段光滑的,不是連續(xù)光滑的曲面,并且不適用于模擬三維模型的細小特征.

2.2 控制失真

理想情況下,我們希望三維曲面映射到二維平面完全等距,但是曲面在映射過程中或多或少會出現(xiàn)面積與角度失真,不存在完全等距的映射,因此需要盡可能控制失真展開曲面.

2005 年,Julius 等人[32]引入了D 圖(D-Charts)網(wǎng)格分割算法,通過計算網(wǎng)格曲面的可展性度量,分割網(wǎng)格,生成紋理地圖集.與早期的方法相比,D 圖網(wǎng)格分割算法將網(wǎng)格分割成可展性強的圖集,能夠降低失真,但部分細節(jié)特征無法保留.2002 年,Lévy 等人[33]基于Cauchy-Riemann 方程,提出自動生成紋理地圖集的最小二乘共性參數(shù)化方法(LSCM),首先將模型分解成與圓盤同胚的圖,然后對每個圖進行參數(shù)化,最后將展開的圖打包到紋理空間中.該方法能夠降低角度失真,不會使三角面片發(fā)生翻轉(zhuǎn),映射后的平面具有自由邊界,但是面積失真較高.

2006 年,Kharevych 等人[19]提出了圓錐展開的基本思想:將三維曲面映射到規(guī)則多面體上會產(chǎn)生少量面積失真,由多面體展開到二維平面上無需拉伸,不會產(chǎn)生面積失真,因此該過程的面積失真總和較小,多面體頂點的位置可視為圓錐奇點所在位置,但是對于大型模型運行速度較慢.2008 年,Springborn 等人[34]提出了基于離散保角等價概念的網(wǎng)格參數(shù)化方法(CETM),迭代扁平化網(wǎng)格,每次迭代中,在面積失真最大的頂點放置一個新錐點,用于降低面積失真.該方法能夠有效降低面積失真,但是高度依賴網(wǎng)格的幾何形狀.2008 年,Ben-Chen 等人[35]根據(jù)給定的圓錐奇點及其目標高斯曲率進行保角參數(shù)化(CPMS),算法的思想是:將所有曲率集中在少量的選定網(wǎng)格頂點上,這些網(wǎng)格頂點稱為圓錐奇點,然后根據(jù)圓錐奇點切割網(wǎng)格得到拓撲圓盤的平面.該方法對原始網(wǎng)格中的細長三角形比較敏感,可能會影響計算結(jié)果.2012 年,Myles 等人[36]提出了增量平坦的無縫全局參數(shù)化方法(GPIF),其思想是演化曲面的度量,從初始度量開始,將曲面面積增長部分約束為具有零高斯曲率,曲率逐漸集中在一組頂點上,這些頂點成為圓錐奇點.該方法首先使用貪心方法從曲面的低曲率區(qū)域開始,逐漸將所有曲率集中在孤立的圓錐奇點上,不斷演化度量;然后,按順序?qū)A錐奇點的角度進行四舍五入,以便在每一步都將能量的增加最小化;最后,進行具有固定全息角的全局ARAP 參數(shù)化.雖然這種迭代扁平化方法產(chǎn)生較小面積失真,但是會忽視網(wǎng)格的細節(jié)特征.2018 年,Soliman 等人[21]對上述方法進行改進,提出了全局優(yōu)化策略,通過合理安排圓錐奇點的位置、錐角、數(shù)量,使總面積失真最小化.該算法輸入網(wǎng)格模型M,輸出一組圓錐奇點及其對應的錐角,整個過程的優(yōu)化問題可描述為如下方程:

其中,M表示模型內(nèi)部區(qū)域,K表示模型內(nèi)部點的高斯曲率,?M表示曲面邊界,θi表示展開的圓錐角與2π的角度差,δp表示p點的Dirac delta 度量,u表示對數(shù)縮放因子,能量E(u)用于度量整個面積失真.使用半光滑牛頓法求解上述優(yōu)化問題,即可確定圓錐奇點及其錐角.但是,該方法在具有嚴格正高斯曲率的單位球面上,最優(yōu)解是具有高斯曲率的每個頂點.

圖4 為文獻[35](CPMS)、文獻[36](GPIF)與文獻[21](MAD)在不同分辨率網(wǎng)格上計算圓錐奇點的效果,其中,n表示圓錐奇點數(shù)量,Φ表示錐角總和,A表示面積失真度量.可以看出:MAD 算法在不同分辨率的網(wǎng)格上計算的圓錐奇點位置大致相同,不受網(wǎng)格分辨率的影響,具有較好的魯棒性;并且在圓錐奇點最少的情況下,產(chǎn)生最小的面積失真.

Fig.4 Algorithm results of CPMS,GPIF and MAD on grids with different resolutions[21]圖4 不同分辨率網(wǎng)格上CPMS、GPIF 與MAD 算法結(jié)果[21]

表2 對文獻[21,35,36]方法的圓錐奇點數(shù)量n、錐角Φ、L2面積失真A進行比較,從表2 選取的實驗模型可以看出:與文獻[35,36]相比,文獻[21]方法在圓錐奇點數(shù)量最少即算法成本最低、錐角相對較小時,產(chǎn)生的面積失真最少.

Table 2 Comparison of the number,angle and area distortion of conic singularities[21]表2 圓錐奇點數(shù)量、錐角、面積失真的比較[21]

2002 年,Sorkine 等人[37]提出了第一種具有有界失真的自動參數(shù)化方法,開始隨機選取一個三角形作為種子三角形展開在二維平面上,每次迭代選取該三角形的最優(yōu)頂點展開,將展開引起失真最小的頂點作為最優(yōu)頂點,只有當展開新三角形造成的失真不超過預定義的閾值時才能嵌入頂點,當不再有符合該準則的頂點時迭代停止,選取新的種子三角形進行迭代.該方法為符合失真界限,自動切割網(wǎng)格,然而沒有提供最優(yōu)解,并且沒有提供對接縫位置或長度的顯式控制.2008 年,Mullen 等人[38]提出了光譜保角參數(shù)化方法(SCP),自動計算三角形網(wǎng)格的離散自由邊界共形參數(shù)化,通過求解稀疏對稱矩陣的廣義特征值問題,最小化離散加權(quán)共形能量,計算出高質(zhì)量的參數(shù)化.但是在一些模型上,會產(chǎn)生三角形翻轉(zhuǎn)與交叉.2008 年,Liu 等人[39]提出了局部/全局參數(shù)化方法,首先尋求三角形的局部變換,使網(wǎng)格模型上每個三角形的失真最小化;然后考慮所有三角形的全局縫合操作,將具有圓盤拓撲結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格模型保形映射到二維平面上.該方法能夠平衡角度與面積失真,得到較好的保形效果,但是僅適用于圓盤拓撲結(jié)構(gòu)的模型.

2017 年,Poranne 等人[40]提出了第一種聯(lián)合優(yōu)化切割和幾何失真的UV 映射方法,首先對每個三角形分別進行參數(shù)化,然后利用吸引能量鼓勵參數(shù)化在匹配的邊緣對上連續(xù).該方法可以動態(tài)優(yōu)化UV 映射,用戶可以交互式地移動頂點、切割網(wǎng)格、連接接縫以及控制參數(shù)化面片在UV 空間中的放置,其局限在于沒有消除全局重疊,需要用戶手動分離重疊區(qū)域,而且只有當輸入網(wǎng)格大約包含2 萬個三角形的范圍內(nèi)時,該方法才有足夠的響應.圖5 展示了文獻[40]方法與文獻[37]方法參數(shù)化結(jié)果的對比,文獻[40]方法產(chǎn)生更少的剪切與面片集.2019 年,Li等人[41]對上述方法進行改進,提出了完全自動的全局參數(shù)化算法,由用戶提供所需的失真范圍以及初始切割,無需設(shè)置參數(shù),自動尋求最小的接縫長度,以滿足輸入的映射失真范圍.該方法能夠獲得規(guī)定失真范圍的雙射映射,并且同時最小化縫長度,但是該方法沒有被證明具有最優(yōu)性和收斂性.

Fig.5 Comparison of parameterization results between Ref.[40]and Ref.[37]圖5 文獻[40]與文獻[37]參數(shù)化結(jié)果對比

2017 年,Sawhney 等人[42]提出了可交互編輯的邊界優(yōu)先展開算法(BFF),由用戶輸入理想縮放因子u或者邊界頂點的目標曲率密度k～,然后利用Cherrier 公式和Poincaré-Steklov 算子構(gòu)造邊界數(shù)據(jù),最后將映射擴展到內(nèi)部區(qū)域.邊界優(yōu)先展開(BFF)算法是一種線性保角參數(shù)化方法,比傳統(tǒng)的線性方法速度快,其參數(shù)化質(zhì)量可與復雜的非線性方案相媲美,但它的重要限制是只適用于具有磁盤拓撲的區(qū)域.2018 年,Sharp 等人[2]使用變分方法來剪切曲面,通過在三維曲面上控制剪切曲線的長度,保證剪切后的曲面保角映射到二維平面后具有較低的面積失真.首先輸入三角網(wǎng)格模型M,并且給定初始的剪切曲線γ,為了降低面積失真需要對曲線γ進行優(yōu)化,N是一條剪切曲線γ上的單位法向量,曲線γ的演化可以用以下公式表示.

其中,u是曲面沿γ剪開后應用保角映射引起失真的對數(shù)保形縮放因子.縮放因子u通過解Yamabe 方程得到.該方法通過平衡剪切線長度與面積失真大小生成剪切曲線,但是在離散網(wǎng)格上,如果兩條剪切線非常接近,在某個頂點可能會出現(xiàn)相交的情況.2019 年,Lyon 等人[52]提出了全局無縫參數(shù)化的廣義量化方法,在不強制邊界對齊的情況下,生成整數(shù)網(wǎng)格映射.該方法通過幾何引導提高效率,但是采用貪婪策略,不能保證全局最優(yōu).

文獻[19,34,35,37,42]對曲面展開產(chǎn)生的平均擬共形失真Eqc以及運行時間(單位:s)進行比較,比較結(jié)果見表3.從表3 可以看出:當失真程度相差不多時,文獻[35]比文獻[19,37]運行速度快,文獻[42]比文獻[34]運行速度快.

Table 3 Comparison of average quasi-conformal distortion Eqc(running time)表3 平均擬共形失真Eqc(運行時間)比較

文獻[33](LSCM)、文獻[38](SCP)、文獻[42](BFF)、文獻[34](CETM)的面積失真比較結(jié)果如圖6 所示,其中,u是對數(shù)縮放因子,代表面積失真大小,紅色表示面積失真增大,藍色表示面積失真減小,0 表示不存在面積失真.與LSCM,SCP 算法相比,BFF 算法產(chǎn)生的面積失真更小,幾乎與昂貴的非線性方法CETM 相同.

Fig.6 Comparison of area distortion between BFF and LSCM,SCP and CETM algorithm[42]圖6 BFF 與LSCM、SCP、CETM 算法面積失真比較[42]

基于紋理地圖集的方法通過調(diào)整紋理映射減少展開曲面的失真,但部分方法對輸入模型有限制;基于圓錐奇點展開曲面產(chǎn)生的失真較小,但是需要計算曲面上嵌入圓錐奇點的最優(yōu)位置,相對成本高;定義有界失真的自動參數(shù)化方法能夠規(guī)定失真范圍,但不能得到最優(yōu)解;計算剪切線的參數(shù)化方法通過優(yōu)化切割降低展開失真,但該方法展開的平面不單一連續(xù),分段數(shù)量較多.

2.3 輔助材料

本類方法主要關(guān)注如何利用輔助材料展開曲面,輔助材料在受力作用下,能夠產(chǎn)生二維與三維之間的自驅(qū)動變形,豐富三維形狀空間.除了直接設(shè)計曲面的展開方式外,還可以利用輔助材料展開曲面,使曲面能夠在多個幾何結(jié)構(gòu)之間轉(zhuǎn)換.

2016 年,Rafsanjani 等人[43]提出了雙穩(wěn)態(tài)拉脹(auxetic)結(jié)構(gòu),拉脹結(jié)構(gòu)是具有負泊松比的柔性結(jié)構(gòu),在受力情況下能夠均勻拉伸到一定程度.早期設(shè)計的拉脹連桿結(jié)構(gòu)單一,在消除拉伸力后不能保持當前形狀,而雙穩(wěn)態(tài)是指連桿受到拉伸力從靜止狀態(tài)開始膨脹,膨脹后整個曲面進入穩(wěn)定平衡狀態(tài),曲面不會因撤掉拉伸力發(fā)生變形.該方法通過改變基本剪切的幾何形狀,控制連桿結(jié)構(gòu)的膨脹性、剛度和雙穩(wěn)態(tài).然而,這種圖案結(jié)構(gòu)復雜,耗時較長.2016 年,Konakovi? 等人[44]利用拉脹連桿結(jié)構(gòu)展開曲面,在近似不可擴展的材料上(例如金屬、塑料等)設(shè)計剪切切口得到拉脹連桿的平面結(jié)構(gòu),平面結(jié)構(gòu)內(nèi)的連桿單元根據(jù)切口布局能夠發(fā)生旋轉(zhuǎn),從而使材料均勻拉伸到一定的極限,這種拉伸能夠生成不同的形狀.如圖7 所示,該模式為規(guī)則的三角形連桿,在對完全閉合的連桿(最左)進行拉伸時,三角形發(fā)生旋轉(zhuǎn),產(chǎn)生具有空間變化半徑的六邊形開口,單個連桿單元在最大拉伸情況下變形成規(guī)則的六邊形開口(最右).將給定的三維曲面保角映射到二維平面后,在二維平面上應用該剪切模式并進行拉伸,能夠產(chǎn)生逼近原曲面的連桿結(jié)構(gòu).該方法能利用三角形連桿模擬三維曲面,但是連桿的旋轉(zhuǎn)開口不均勻,不能最大程度地節(jié)省材料.

Fig.7 Deformation of regular triangular linkage under tension[44]圖7 規(guī)則三角形連桿在拉伸作用下的變形情況[44]

2018 年,Konakovi?-Lukovi? 等人[6]對上述方法進行改進,針對目標連桿布局優(yōu)化平面拉脹連桿結(jié)構(gòu),得到帶有空隙的中間狀態(tài)連桿,中間狀態(tài)連桿在受作用力的情況下能夠快速展開成三維曲面,并且展開的連桿單元全部處于完全展開(規(guī)則六邊形開口)狀態(tài),連桿布局更均勻.目前,該方法只能利用拉脹連桿的各向同性膨脹模擬具有正平均曲率的曲面,未來可以考慮添加額外的附加條件擴大可展開曲面的形狀,考慮使用拉脹連桿模擬更復雜的曲面.

圖8 展示了文獻[44]與文獻[6]兩種方法的比較結(jié)果.文獻[44]中,初始平面三角形連桿元均勻、處于完全閉合狀態(tài),在設(shè)計平面布局時需要用戶指導,對平面連桿進行交互拉伸后,生成的三維曲面連桿單元不均勻且部分擴展.而文獻[6]的初始連桿是經(jīng)過優(yōu)化后的中間狀態(tài)連桿,生成中間狀態(tài)的計算過程全自動,無需用戶指導,中間狀態(tài)連桿處于部分擴展狀態(tài).在該結(jié)構(gòu)上施加重力或膨脹力,能夠自動產(chǎn)生均勻、完全擴展的三維曲面.該類展開曲面方法采用不同平面剪切模式作為拉脹連桿靜止結(jié)構(gòu),連桿受力展開后能夠模擬三維曲面,但是模擬的曲面是鏤空結(jié)構(gòu),面片之間存在空隙,應用范圍有限.

Fig.8 Comparison of plane closed structure and developed structure between Ref.[44]and Ref.[6]圖8 文獻[44]與文獻[6]的平面閉合結(jié)構(gòu)與展開結(jié)構(gòu)比較

除了使用連桿結(jié)構(gòu)外,還可以借助其他輔助材料實現(xiàn)曲面展開.2017 年,Guseinov 等人[45]提出了能夠展開曲面的彎曲殼結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)由瓷磚塊組成,瓷磚塊之間由預拉伸的彈性薄板固定連接,一旦預拉伸力被釋放,瓷磚塊之間會產(chǎn)生收縮力,使平面結(jié)構(gòu)的彎曲殼變形為曲面結(jié)構(gòu).但是該結(jié)構(gòu)預拉伸的能力有限,并且由多種材料組成,制作復雜.2019 年,Choi 等人[46]利用剪紙藝術(shù)Kirigami 思想切割平面,生成緊湊的平面Kirigami 鑲嵌,然后優(yōu)化平面Kirigami 鑲嵌的形狀,使其展開后逼近目標曲面形狀.雖然該方法能逼近任意曲面形狀,但是Kirigami 鑲嵌不規(guī)則,布局不均勻,生成的曲面視覺效果不好.2019 年,Malomo 等人[47]利用螺旋微結(jié)構(gòu)建立柔性展開結(jié)構(gòu),用于從扁平柔性面板上制造具有特定機械性能的平滑形狀.該方法通過不斷改變螺旋結(jié)構(gòu)的形狀來控制局部彈性,以獲得不同的彎曲和拉伸性能.但是,當前制造技術(shù)的分辨率會限制對尖銳特征和高頻曲率細節(jié)的建模.

利用輔助材料展開曲面的目的是借助外部工具將平面結(jié)構(gòu)直接展開為三維結(jié)構(gòu),展開的三維結(jié)構(gòu)能夠等距變換到二維平面,每點的高斯曲率不全為0.該類方法利用材料的力學性能自驅(qū)動變形,快速進行形狀轉(zhuǎn)換,但制作材料較為復雜,并且展開的形狀有限.

2.4 計算展開路徑

多面體網(wǎng)格局部等距于二維平面,可看作可展曲面,其展開過程不涉及面積失真.該類方法的目的是尋找多面體網(wǎng)格的無碰撞展開路徑,按照路徑展開生成平面網(wǎng)格.

2011 年,Takahashi 等人[48]利用啟發(fā)式方法研究無形狀失真的三維網(wǎng)格展開.該方法首先將輸入的三維網(wǎng)格分解展開成具有少量面片的多個集合;然后將部分斷開的面片沿邊界縫合起來,這樣可以在避免自重疊的同時最小化斷開的面片數(shù)量;最后,重新排列斷開的面片集合,優(yōu)化斷開面片的集合數(shù)量.但是,如果網(wǎng)格模型的面片數(shù)量超過1 000,那么可能無法生成單一完整的展開網(wǎng)格.2015 年,Xi 等人[49]按照面片連接情況,將多面體網(wǎng)格建模為樹型鉸鏈結(jié)構(gòu),并利用運動規(guī)劃技術(shù)找到連續(xù)展開多面體的正確路徑.多面體的展開狀態(tài)可以通過網(wǎng)格模型對偶圖的生成樹得到,定義M表示網(wǎng)格模型,網(wǎng)格模型的圖表示為G(M)=(V,E),G(M)的對偶圖被定義為G′(M)=(V′,E′),E′={(a,b)},a,b是在M中共享一條邊的面片序號,通過尋找對偶圖G′(M)的生成樹,可以得到展開結(jié)果.該方法能夠成功展開大部分多面體網(wǎng)格,但是無法展開大型復雜的非凸多面體.2016 年,Xi 等人[50]為了展開大型多面體,并且保證網(wǎng)格展開到二維平面后不發(fā)生重疊,在展開多面體之前,考慮對多面體網(wǎng)格進行分割.首先估計每對面片不重疊展開的可能性,然后將網(wǎng)格分割成高概率有效的面簇,計算聚類后的可折疊性矩陣,按照聚類分割網(wǎng)格,如果任何一類不能展開成平面,或展開后不能折疊回原形狀,進一步對該類分割.該過程重復執(zhí)行,直到所有的面簇都能展開成平面網(wǎng),并且平面網(wǎng)可以連續(xù)地折疊回原三維形狀.該方法能夠避免面片重疊,同時還夠展開復雜的非凸多面體,但是展開的平面網(wǎng)格通常是分段結(jié)構(gòu),并不單一完整.2017 年,Kim 等人[51]開始研究多面體的不相交凸殼結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)由一組內(nèi)部不相交的成對凸體組成.從復合形狀中構(gòu)造不相交凸殼便于展開多面體,能夠減少碰撞,但是該方法的結(jié)果依賴于復合形狀.

表4 對文獻[48]與文獻[50]方法計算的網(wǎng)格分段數(shù)量進行比較,從表中數(shù)據(jù)可以看出:對于面片數(shù)量小于2 000 的網(wǎng)格,文獻[48]的網(wǎng)格分段數(shù)量較少;對于面片數(shù)量大于2 000 的網(wǎng)格,文獻[50]的網(wǎng)格分段數(shù)量較少.

Table 4 Comparison of mesh segmentation numbers between Ref.[48]and Ref.[50]表4 文獻[48]與文獻[50]的網(wǎng)格分段數(shù)量比較

多面體網(wǎng)格展開的思路是計算網(wǎng)格面片的展開路徑,按照路徑對面片分類,能夠連續(xù)展開到二維平面的面片被歸為一個面片集合.該類方法生成的平面展開網(wǎng)格不存在失真,并且面片之間不存在重疊現(xiàn)象,但平面網(wǎng)格不單一連續(xù),面片集合數(shù)量較多.

本節(jié)對曲面展開方法進行總結(jié)分析,不可展曲面的展開方法分為建?？烧骨妗⒖刂剖д?、利用輔助材料等3 種,其展開過程中都伴隨著面積或角度失真,該類方法的核心目標是追求更小的失真以及更滿足需求的展開形狀;可展曲面可看作多面體網(wǎng)格,通過路徑規(guī)劃分段展開面片,展開過程中不存在失真,其核心目標是追求無重疊的展開路徑以及更少的分段面片集合.

3 曲面折疊

在本節(jié)中,我們給出曲面折疊方法的分類,針對各種目標折疊需求,將曲面折疊方法分為4 類:彎曲折疊、彈出式折疊、折疊鑲嵌、多面體折疊.本節(jié)對這4 類方法進行分析總結(jié),并討論各種方法的優(yōu)劣.表5 總結(jié)了每個類別的代表性方法及折疊對象維度、目標形狀維度.

Table 5 Representative methods of surface folding表5 曲面折疊的代表性方法

3.1 彎曲折疊

曲面按照其折痕進行折疊,然后生成光滑彎曲形狀的過程稱為彎曲折疊.該方法直接在曲面上設(shè)計折痕位置、折疊角度,曲面經(jīng)過彎曲折疊后,能夠進一步逼近光滑的目標形狀.

2008 年,Kilian 等人[75]使用四邊形主體(quad-dominant)網(wǎng)格對三維曲面進行離散可展,這種平面四邊形可以在不產(chǎn)生扭曲的情況下簡單展開到平面上,也可以進一步進行細分.將四邊形主體網(wǎng)格邊緣作為折痕進行折疊,能夠生成目標曲面形狀.但是該方法還存在一定局限性,在褶皺劇烈的區(qū)域,折疊的形狀可能不是可展曲面.2011 年,Mitani 等人[53]提出了基于鏡面反射的曲面彎曲折疊交互設(shè)計系統(tǒng),通過連續(xù)反射折疊創(chuàng)建彎曲曲面;同時,該曲面能夠等距地展開成平面.該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)多種彎曲折疊褶皺的交互設(shè)計,但是這種反射只產(chǎn)生平面褶皺,不適用于非平面褶皺.2012 年,Dias 等人[54]主要研究環(huán)形折疊結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)由環(huán)形彈性薄板組成,薄板上具有圓形折痕,環(huán)形彈性薄板沿著中心的圓形折痕折疊,根據(jù)幾何變形的驅(qū)動,形成三維馬鞍形結(jié)構(gòu),多個環(huán)形折疊結(jié)構(gòu)連接可以形成馬鞍面.但是,該結(jié)構(gòu)上的曲線折痕較為簡單.2013 年,Zhu 等人[55]提出了交互式的軟折疊方法.該方法主要針對薄板進行變形模擬,由用戶輸入折疊平面、折疊曲線以及折疊的大小和尖銳程度;然后將輸入的折疊平面離散成三角網(wǎng)格,計算每個頂點上的折疊算子;最后將局部折疊算子組合生成全局折疊形狀,得到折疊后的曲面.該算法在控制折疊大小及尖銳程度的情況下,能夠有效地產(chǎn)生復雜的折疊形狀,但是僅研究平面薄板的折疊變形,不涉及可展曲面建模,并且折疊形狀直接根據(jù)折疊場生成,不考慮碰撞情況.

2017 年,Kilian 等人[56]提出了由“弦”驅(qū)動的彎曲折疊曲面,該方法更專注于研究驅(qū)動折疊的機制.“弦”驅(qū)動是指找到平面上的一組弦網(wǎng)絡,通過拉動弦網(wǎng)絡,驅(qū)動平面上多個折痕同時產(chǎn)生彎曲折疊,從而生成目標折疊形狀.在該方法中,初始給定折疊的平面模型、折痕、目標折疊形狀,初始弦圖是所有折痕交叉點與折痕中點連線.根據(jù)目標折疊形狀,從密集的弦圖中進行優(yōu)化采樣得到所需的弦集合,隨著時間變化不斷收縮弦集合,平面模型按照折痕進行折疊,并產(chǎn)生一段折疊序列,當折疊形狀與目標折疊形狀相同時停止折疊.該方法具有良好的物理模擬效果,但是該折疊機制并不適用于所有折疊形狀,對于復雜的折疊形狀需要進一步改進.

2018 年,Rabinovich 等人[57]研究了離散正交測地線網(wǎng)的連續(xù)變形,主要展示如何通過支持折痕和彎曲折疊來擴展離散正交測地線網(wǎng)的形狀空間.該方法開發(fā)的工具支持任意拉伸、切割、彎曲折疊以及平滑和細分操作的可展曲面編輯系統(tǒng),但是該工作的交互編輯的速度僅限于大約1 000 個頂點的粗糙模型,而且對復雜折痕有限制.2019 年,Rabinovich 等人[58]提出了同時折疊折痕與彎曲薄板的算法,僅利用位置約束,就可以模擬復雜圖形的彎曲與折疊.該方法首先輸入平面模型與折痕曲線,按照折痕對平面模型進行分段;然后使用離散正交測地網(wǎng)離散整個平面,計算離散正交測地網(wǎng)的彎曲變形;最后對折痕進行山谷分配,使離散正交測地網(wǎng)進行折疊,生成彎曲折疊曲面.該算法最明顯的限制是速度,除此之外,算法僅從幾何的角度進行研究,不考慮物理意義上的碰撞、材料厚度和彈性特性等.

2019 年,Jiang 等人[59]提出了新型褶皺結(jié)構(gòu):首先,通過建立與偽測地線的連接,獲得可能的褶皺圖案;然后初始化并優(yōu)化四邊形網(wǎng)格,使之成為離散的褶皺結(jié)構(gòu).這種褶皺結(jié)構(gòu)在小尺度上沿曲線呈現(xiàn)鋸齒狀褶皺,但在較大尺度上能夠表示光滑的幾何形狀.但是如果想要控制褶皺與參考面之間的傾角,那么這依賴于偽測地曲線的圖案,當參考面的特征太多時,這些圖案往往會陷入混亂,并且垂直褶皺遵循漸近曲線,僅存在于負曲率曲面上.另一個局限性在于,該方法不考慮物理折紙,僅通過建立模型來驗證計算結(jié)果.

圖9 展示了文獻[53,55,56,58,59,75]的折疊效果,其中,文獻[53,56,58,59,75]的曲面都具有尖銳折痕,折疊后的曲面為可展曲面;文獻[55]方法能夠調(diào)整折痕的尖銳程度,生成的折疊曲面不能保證可展性.文獻[53,55,75]主要關(guān)注建模的折疊曲面形狀;而文獻[56]關(guān)注弦驅(qū)動的折疊機制;文獻[58,59]僅從幾何角度模擬局部折疊,不關(guān)注物理意義上的折疊運動.

基于幾何角度考慮的彎曲折疊方法,通過建模離散網(wǎng)格設(shè)計折痕形式,將平面網(wǎng)格折疊成目標形狀,變形過程中不考慮物理性能,更關(guān)注幾何變形效果;基于物理角度考慮的彎曲折疊需要在力的作用下,驅(qū)動平面網(wǎng)格變形產(chǎn)生褶皺,主要關(guān)注物理意義上的折疊運動.

Fig.9 Comparison of folding results圖9 折疊結(jié)果比較

3.2 彈出式折疊

彈出式折疊是將折紙藝術(shù)與剪紙工藝相結(jié)合的折疊方法,通過剪切和折疊平面紙張,能夠生成三維模型:當紙張打開時,內(nèi)部貼片彈出,生成三維形狀;當紙張對折時,整個模型被折疊成平面.該類方法能夠廣泛應用于紙建筑、折疊書籍、折疊賀卡等彈出式設(shè)計.

2010 年,Li 等人[60]根據(jù)用戶輸入的三維建筑模型自動生成紙建筑:首先,由用戶輸入指定背景和地面位置以及三維建筑模型;然后計算初始的分段線性曲面來逼近輸入模型,用于確?？烧郫B性;下一步,對曲面進行修改,使用貪婪區(qū)域增長算法保證曲面的可實現(xiàn)性;最后進行幾何細化,保持可實現(xiàn)性的同時,修正曲面的鋸齒形邊界.該方法在單獨的一張紙上進行剪切,整個算法更側(cè)重于彈出式的可實現(xiàn)性,但由于紙建筑僅由平行于背景和地面兩個方向的貼片組成,所以它無法達到完全令人滿意的外觀.

2011 年,Iizuka 等人[61]提出了交互式彈出貼片系統(tǒng),該系統(tǒng)將所有貼片分為90°貼片與180°貼片兩類:90°貼片是在一張紙上進行剪切、折疊得到,當貼片打開成90°時,彈出三維結(jié)構(gòu);180°貼片是由多張紙構(gòu)成,貼片打開成180°時彈出三維結(jié)構(gòu).該方法由用戶交互編輯貼片的位置、比例、傾斜角度等,然后使用質(zhì)點彈簧模型,模擬貼片折疊與打開的物理運動.但是該方法在物理仿真方面具有局限性,貼片的外觀是通過映射紋理圖像得到的,并沒有模擬模型的物理結(jié)構(gòu).

2011 年,Li 等人[62]為提高彈出式紙建筑與輸入模型的逼近精度,定義了v 型支架彈出結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)由4 個貼片組成,分別標記為G,B,L,R:G,B 貼片分別與地面和背景平行;L,R 貼片相交,位于G,B 貼片上,且不與G,B 貼片相交,不同貼片相交的區(qū)域稱為鉸鏈.利用v 型支架彈出結(jié)構(gòu)能夠生成逼真的紙建筑模型,并且彈出式紙建筑的外觀能夠逼近輸入模型的物理結(jié)構(gòu).但是該方法不考慮紙張的厚度、重量和彎曲變形,不適用于結(jié)構(gòu)復雜的紙建筑模型.

早期的彈出式設(shè)計只關(guān)注單一的彈出樣式,整個三維模型統(tǒng)一使用單個彈出結(jié)構(gòu)建立.2014 年,Ruiz 等人[63]進一步改進彈出式設(shè)計,提出了將三維模型自動轉(zhuǎn)換為多樣式彈出結(jié)構(gòu)的方法.該方法使用合適的基元形狀來抽象三維模型,既要考慮可彈出性,又要接近輸入模型;然后使用二維面片對每個基元形狀進行抽象,這些面片組合起來形成有效的彈出結(jié)構(gòu);此外,還采用基于圖像的方法生成面片,以保留輸入模型的紋理細節(jié)和重要輪廓特征;最后,系統(tǒng)生成可打印的設(shè)計布局,為單個結(jié)構(gòu)確定組裝順序.該方法的局限性在于沒有考慮到紙張的物理特性,在實際的彈出設(shè)計中,紙張的厚度、質(zhì)量、強度和彈性是重要的考慮因素;除此之外,該方法還需對彈出結(jié)構(gòu)的質(zhì)量進行定量評估.

2018 年,Xiao 等人[64]提出了第一個幫助普通用戶創(chuàng)建轉(zhuǎn)換彈出式書籍的計算工具:給定兩個二維模式,該方法自動計算其中一個三維彈出結(jié)構(gòu),然后將其轉(zhuǎn)換為另一個三維彈出結(jié)構(gòu).由于該方法使用多邊形貼片,因此不容易處理具有彎曲邊界的形狀.從制造的角度來看,該方法生成的彈出式書籍也沒有保證最經(jīng)濟的紙張利用率.

圖10 對文獻[60,62,63]的彈出式折紙結(jié)構(gòu)進行性比較,從圖中可以看出:文獻[60]的模型需要建立在相互垂直的背景與地面上,雖然能夠成功彈出三維模型,但是彈出效果與輸入模型相似度較低;文獻[62,63]的模型建立在位于同一平面的背景與地面上,文獻[62]的彈出結(jié)構(gòu)由v 型支架搭建而成,能夠保留外觀的幾何特征,文獻[63]的彈出結(jié)構(gòu)由不同形狀二維面片組裝而成,雖然幾何特征不夠詳細,但該方法能夠使用紋理來捕捉建筑的細節(jié)和形狀信息.

Fig.10 Comparison of pop-up folding structure圖10 彈出式折疊結(jié)構(gòu)比較

彈出式折疊需要根據(jù)目標模型的形狀定義平面貼片機制,折疊生成三維形狀.在一張紙上設(shè)計彈出式結(jié)構(gòu),簡單快速,但形狀外觀不夠精致;在多張紙上建立彈出機制,生成的形狀外觀逼真,但制作較為復雜;基于映射紋理考慮的彈出結(jié)構(gòu)僅保留輸入模型紋理特征與重要輪廓特征,不能保留模型的幾何特征.除此之外,該類方法大多不考慮紙張的厚度、重量等物理性能,在制造方面有局限性.

3.3 折疊鑲嵌

Miura-Ori 鑲嵌是具有周期性的折疊結(jié)構(gòu),因此它能體現(xiàn)出高度對稱性,適用于曲面的折疊設(shè)計(如圖11 所示).該種結(jié)構(gòu)具有4 個幾何特性:(1) 能夠進行剛性折疊;(2) 只有一個等距自由度,整個結(jié)構(gòu)形狀由折痕的折疊角度決定;(3) 具有負泊松比;(4) 能夠平面折疊.

Fig.11 Miura-Ori tessellation[66]圖11 Miura-Ori 鑲嵌[66]

在Miura-Ori 鑲嵌的基礎(chǔ)上,2015 年,Tachi 等人[65]提出了可以在平面狀態(tài)下組裝的波紋夾層復合面板,該面板由剛性可折疊的Miura-Ori 管組成.這種折紙結(jié)構(gòu)使用耦合技術(shù)增加結(jié)構(gòu)的剛度,同時,仍然允許柔性折疊和展開,中間的夾層板能夠向兩個方向偏移,形成波紋夾層復合面板.這種雙向折疊式結(jié)構(gòu)允許高度自由的設(shè)計,可以在平坦的狀態(tài)下制造,當復合板彎曲時,會增強結(jié)構(gòu)的剛性.2016 年,Dudte 等人[66]通過折疊Miura-Ori 鑲嵌平面,使其逼近目標雙曲形狀.該方法通過控制Miura-Ori 鑲嵌與目標光滑曲面的Hausdorff 距離,調(diào)整Miura-Ori曲面的分辨率,平衡逼近誤差與材料消耗,得到合理的Miura-Ori 曲面逼近效果,但是在制造方面,由手工折疊,在速度上有局限性.

2015 年,Chandra 等人[67]提出了交互式的自由曲面折痕鑲嵌設(shè)計系統(tǒng),首先在局部上設(shè)計曲線折痕圖案的框架,然后利用交互式計算方法將這些折痕圖案應用于自由曲面,以確保所得到的展開形狀可展.該系統(tǒng)在保持全局雙曲線幾何外觀的同時,也保證局部尺度的可展性.需要注意的是:用這種方法模擬的幾何形狀是一種視覺近似,而不是精確的彎曲幾何形狀.

Waterbomb 鑲嵌是使用最廣泛的折紙圖案之一,它分為八折痕圖案與六折痕圖案兩種類型[68],如圖12 所示.八折痕圖案是在正方形紙上由圍繞一個中央頂點的8 個交替山谷折痕組成,六折痕模式由兩個山折痕和4 個谷折痕組成.2015 年,Chen 等人[69]在Waterbomb 鑲嵌的剛性折疊基礎(chǔ)上建立非零厚度的厚板結(jié)構(gòu),模擬薄板的折疊運動.為了避免折疊過程中厚板發(fā)生碰撞,所有折疊線不能位于厚板的同一平面,即折疊線部分位于厚板的頂面,部分位于厚板的底面,然后通過約束折痕角度、每段厚板的厚度,使厚板模型與薄板模型具有完全相同的運動過程.但是該方法僅針對特定的折痕設(shè)計約束條件,不通用于所有折疊鑲嵌.2018 年,Zhao 等人[22]利用Waterbomb 鑲嵌折疊紙張逼近目標曲面.該方法首先對輸入的三維參數(shù)曲面進行uv-參數(shù)采樣,獲得四邊形近似網(wǎng)格曲面;然后在四邊形中創(chuàng)建Waterbomb 結(jié)構(gòu),生成基礎(chǔ)網(wǎng)格;最后優(yōu)化折痕角度,得到的可展Waterbomb 結(jié)構(gòu),按照折痕折疊生成目標曲面.該方法能夠利用四邊形網(wǎng)格生成Waterbomb 折痕,然后進一步折疊成具有可變分辨率可展近似曲面,但是還需尋找最佳網(wǎng)格密度,以平衡近似精度和制造工作量.

Fig.12 Eight creases pattern and six creases pattern of Waterbomb tessellation[68]圖12 Waterbomb 鑲嵌的八折痕圖案與六折痕圖案[68]

文獻[66,67,22]針對不同的折疊鑲嵌進行折疊,圖13 比較了這3 篇文獻的折疊效果:文獻[66]與文獻[22]分別計算平面的Miura-Ori 鑲嵌、Waterbomb 鑲嵌,然后按照折痕折疊紙張,模擬雙曲形狀曲面;而文獻[67]交互設(shè)計鑲嵌圖案,折疊生成的形狀僅從視覺上逼近曲面形狀,而幾何上并不近似.

Fig.13 Comparison results of related methods圖13 相關(guān)方法的比較結(jié)果

所有折疊鑲嵌都具有周期性,自由度低,山谷折痕的分布具有規(guī)律性,利用折疊鑲嵌逼近目標三維形狀簡單快速,可通過調(diào)整網(wǎng)格分辨率控制逼近誤差,但是折疊成的三維形狀有限,在制造方面由手工折疊,工作量較高.

3.4 多面體折疊

從物理角度分析,三維物體按照其密度分布可以分為空心物體與實心物體.空心物體根據(jù)自身性質(zhì)常用于制作禮盒、衣柜等包裝性用品,因此將空心物體折疊成平面,能夠有效節(jié)省存儲空間.2014 年,Abel 等人[70]證明:利用凸多面體直骨架的連續(xù)運動,能夠?qū)⑷我饩S的凸多面體折疊成平面;同時,該方法可以避免折疊過程中的面片交叉.該結(jié)論使用有序壓平過程進行證明,首先將多面體的每個平面進行編號,隨后將每個平面向框架內(nèi)部平移,最后將整個多面體壓扁成一個平面.但是該結(jié)論只適用于凸多面體,不適用于具有凹形狀的多面體.2017 年,Miyamoto 等人[71]為輸入的三維網(wǎng)格模型設(shè)計相應的剛性板模型,剛性板模型在受到壓力后能夠完全折疊到二維平面上.該方法首先將輸入模型劃分為多個分量,并將其轉(zhuǎn)化為凸形狀;然后生成最初受力的頂板與橫截面折線,使每條折線可以折疊;最后根據(jù)頂板和橫截面折線生成三維多邊形模型,相互連接每個分量,得到剛性板模型.為保證模型的凸折疊,剛性板上的折痕只能是山折痕,不能是谷折痕.在這項約束條件下,生成的剛性板模型與輸入網(wǎng)格模型的相似度較低,并且側(cè)板之間相互分離,在實際應用中有局限性.2020 年,孫曉鵬等人[72]提出了各向異性的薄殼收縮變形方法,從而模擬空心三維薄殼的變形褶皺.該方法對模型依次添加外力、彈性能、彎曲能、各向異性能,使模型不受材質(zhì)影響,實現(xiàn)收縮變形的效果;并且提供適當?shù)膹澢禂?shù),消除變形過程中的抖動;除此之外,該方法考慮變形中的碰撞問題,對模型進行碰撞檢測預處理,提高效率,未來可考慮進行自適應網(wǎng)格重建,降低變形前后的收縮比.

雖然實心物體不像空心物體能夠進行平面折疊,但是可以在實心物體內(nèi)部插入鉸鏈使其折疊,實現(xiàn)形狀轉(zhuǎn)換.2014 年,Zhou 等人[73]利用連續(xù)折疊序列,將三維物體轉(zhuǎn)換為立方體或長方體,立方體和長方體被視為最基本的三維形狀,與任何特定形狀都不相似,它們可以更容易地堆疊、存儲、轉(zhuǎn)換形狀.該方法首先在輸入形狀周圍放置網(wǎng)格,并標記包含輸入形狀的網(wǎng)格,通過將體素與標記網(wǎng)格相交,找到可折疊的體素;然后,通過樹擬合找到體素之間的連通性,以便將體素模型折疊成目標形狀;最后進行用戶交互,解決物理折疊過程中的碰撞情況,得到有效的折疊序列.該方法能夠利用體素將三維形狀折疊成正方體或長方體,但是體素化后的模型質(zhì)量不夠精確,模型內(nèi)部的空隙數(shù)量與折疊后模型外表的完整性兩者需要權(quán)衡,所以模型的部分重要特征不能完整保留.上述方法形狀轉(zhuǎn)換前后模型的總體積基本保持不變,為了進一步實現(xiàn)模型的體積壓縮,2019 年,Hao 等人[74]改進了形狀轉(zhuǎn)換方法,使用平面厚板圍成的六面體表示每個體素,即每個體素為空心,然后將體素轉(zhuǎn)換為樹型結(jié)構(gòu),這種樹型結(jié)構(gòu)可以通過折疊和疊加轉(zhuǎn)換為緊湊的堆結(jié)構(gòu).該方法能夠轉(zhuǎn)換形狀的同時,還能壓縮物體的體積,但是最終的堆結(jié)構(gòu)依賴于體素化結(jié)果,很難用少量相同的平面厚板逼近復雜的光滑形狀.

空心物體與實心物體折疊目標不同,本文選取文獻[71,73]作為代表性方法,比較空心物體與實心物體的折疊效果.從圖14 中可以看出:文獻[71]將空心三維模型沿折痕折疊成二維平面;而文獻[73]對實心三維模型進行體素劃分,并且插入鉸鏈,將三維模型折疊變形成另一個三維形狀.

Fig.14 Comparison of polyhedron folding results圖14 多面體折疊結(jié)果比較

我們將多面體分為空心物體與實心物體進行討論:空心物體通過計算折痕、施加作用力獲得折疊褶皺效果,折疊結(jié)果可以是二維或三維形狀;實心物體需要按照體素折疊,折疊結(jié)果只能是三維形狀.

本節(jié)對曲面折疊方法進行總結(jié)分析,按照折疊對象維度分為二維折疊與三維折疊:二維折疊包括彎曲折疊、彈出式折疊、周期鑲嵌折疊,通過在平面上設(shè)計折痕,折疊成三維形狀,核心目標是提高折疊形狀與輸入模型的逼近精度;三維折疊可看作多面體折疊,其核心目標是實現(xiàn)不同形狀之間的轉(zhuǎn)換.

4 展開與折疊應用情況

在存儲空間有限時,折疊與展開物體能夠進一步滿足空間上的幾何約束;此外,折疊與展開也會產(chǎn)生相應的作用力,選擇不同的材料制作折疊貼片能夠?qū)崿F(xiàn)不同的功能.

4.1 工業(yè)設(shè)計

2015 年,Song 等人[1]基于剪紙藝術(shù)“Kirigami”的概念制作了可拉伸鋰離子電池,通過塑性軋制,抑制由剪切和折疊產(chǎn)生的斷裂,使可拉伸鋰離子電池具有優(yōu)異的電化學性能及力學性能.2018 年,Sharp 等人[2]利用變分方法展開曲面,該方法能為特定目標形狀設(shè)計剪切方式,并且符合受力情況,常應用于設(shè)計醫(yī)學繃帶、物體拼接條紋等.2019 年,Liu 等人[3]專注于柑橘“剝皮”藝術(shù)設(shè)計,該藝術(shù)形式遵循守恒原理,通過尋找柑橘皮的最佳剪切線,將其切割并展開成完整的目標平面形狀.該方法將目標平面形狀映射到柑橘皮上,根據(jù)映射形狀的邊界確定剪切線,實現(xiàn)“剝皮”效果,生成的平面形狀具有藝術(shù)性.

在工業(yè)設(shè)計領(lǐng)域,展開與折疊常被用于制作工業(yè)零件或者設(shè)計形狀外觀,工業(yè)零件主要追求良好的拉伸性,而形狀外觀更加關(guān)注藝術(shù)性與受力情況.

4.2 生物醫(yī)療

2006 年,Kuribayashi 等人[4]利用折疊技術(shù)研究設(shè)計新型折疊血管支架,傳統(tǒng)的支架由金屬絲網(wǎng)支架和覆蓋膜組成,新型折疊血管支架由具有山谷折痕的單個可折疊金屬薄片制成,并采用新研制的超細層壓板法制備富鎳鈦鎳(Ni-rich TiNi)形狀記憶合金箔.該折疊模式使支架僅在縱向和徑向折疊和展開,制成的血管支架能夠在接近人體體溫或者超彈性的情況下靈活展開.2012 年,Randall 等人[5]利用基于鉸鏈的自折疊策略將平面光刻結(jié)構(gòu)從二維轉(zhuǎn)換到三維,從而產(chǎn)生小型的三維生物醫(yī)學結(jié)構(gòu),例如空心密封劑、支架、手術(shù)工具,這些結(jié)構(gòu)能夠分別實現(xiàn)傳遞藥物、調(diào)節(jié)細胞行為、協(xié)助微創(chuàng)手術(shù)等功能.2018 年,Konakovi?-Lukovi? 等人[6]根據(jù)負泊松比性質(zhì)設(shè)計拉脹連桿的展開,并將拉脹連桿結(jié)構(gòu)應用于血管支架的設(shè)計.

在生物醫(yī)療領(lǐng)域,某些醫(yī)療工具需要具有負泊松比性質(zhì),在受到拉伸作用時膨脹,受到擠壓作用時收縮.將展開折疊方法與具有特殊化學性能的材料相結(jié)合,能夠滿足醫(yī)療工具的目標需求.

4.3 智能機器人

2017 年,Miyashita 等人[7]通過自折疊“外骨骼”使機器人產(chǎn)生形變,進而擴展機器人的功能.受自然的啟發(fā),機器人專家設(shè)計出自重構(gòu)機器人,它們由一組完全相同的單元模塊組成,可獨立改變身體幾何形狀.該機器人通過與不同的外骨骼結(jié)合,分級發(fā)展形態(tài)獲得特定功能,例如加快移動速度、增加機器人體積,通過轉(zhuǎn)換形態(tài),能夠分別在海、陸、空領(lǐng)域運動.2018 年,Rus 等人[8]開始設(shè)計制造折疊機器人,該折疊機器人由平面復合板制成,可以通過折疊實現(xiàn)自重構(gòu)、變形、移動、操作等任務.首先,通過輸入的平面區(qū)域及折痕圖案對折疊機器人進行建模;然后,利用快速制造技術(shù)制作機器人系統(tǒng).該折疊機器人系統(tǒng)能將平面板折疊成三維形狀,可用于制造醫(yī)用無線握持器、太陽能板、自動昆蟲授粉飛行器等.2020 年,Hauser 等人[9]改進自重構(gòu)模塊化機器人“Roombots”,并提出5 項核心功能:自重構(gòu)、可移動性、可操縱性、人機交互和開發(fā)用戶界面.Roombots 通過折疊模塊單元生成不同形狀,功能強大,具有多功能性、健壯性、低成本的優(yōu)勢,但是在承重方面具有局限性,未來還需考慮如何創(chuàng)建適用于非專業(yè)人士的簡單用戶界面.

2017 年,Li 等人[10]提出了流體驅(qū)動的折紙人工肌肉架構(gòu).人工肌肉系統(tǒng)由3 個基本部分組成:可壓縮的固體骨骼結(jié)構(gòu)、靈活的密閉皮膚、流體介質(zhì).流體介質(zhì)填充在骨骼與皮膚之間的內(nèi)部空間,在初始平衡狀態(tài)下,內(nèi)流體和外流體的壓力相等;隨著內(nèi)部流體體積的改變,實現(xiàn)新的平衡.內(nèi)部和外部流體之間的壓強差在柔性皮膚中引起張力,這種張力將作用于骨架,推動其結(jié)構(gòu)變換.與高壓流體驅(qū)動的人工肌肉相比,負壓的使用為流體人工肌肉提供了更安全的驅(qū)動方式.2019 年,Li 等人[11]專注于研究重量輕、真空驅(qū)動的軟機器人抓取器,該方法主要利用抓取器的柔順性來實現(xiàn)抓取性能,具有極強的簡單性、適應性和健壯性.軟抓取器由折紙“魔術(shù)球”和柔性薄膜制成,其工作原理是利用流體驅(qū)動折紙人工肌肉進行折疊,這種軟抓取器在高負荷的情況下也具有較強的抓取能力.

上述選取介紹的智能機器人可分為自重構(gòu)機器人與自驅(qū)動機器人:自重構(gòu)機器人的核心功能是通過自我組裝獨立改變機器人形狀,從而完成目標任務;自驅(qū)動機器人則是利用流體驅(qū)動使身體進行收縮,同時產(chǎn)生作用力,實現(xiàn)抓取性能.

4.4 家具設(shè)計

2011 年,Lau 等人[12]將三維家具模型作為輸入,自動生成家具所需的可制造貼片以及零件.該方法通過組成分析識別三維模型的原始貼片,然后將結(jié)構(gòu)間的連接信息提供給各個貼片,生成連接貼片所需的零件.但是該方法的分析規(guī)則由手動定義,缺乏自動學習的能力.2015 年,Li 等人[13]提出了設(shè)計可折疊家具的自動算法,將輸入的家具模型抽象成由多個貼片集合組成的貼片支架,然后把支架分解成多個折疊單元,并對折疊單元進行貼片收縮和鉸鏈插入,最后按照規(guī)定的順序折疊貼片,生成穩(wěn)定的家具結(jié)構(gòu).但是該方法不適用于結(jié)構(gòu)復雜的家具.上述方法設(shè)計的家具都是由家具貼片組成,各個貼片之間使用釘子、螺絲、鉸鏈等工具進行連接.2015 年,Fu 等人[14]使用互鎖結(jié)構(gòu)使家具部件之間緊密連接,互鎖結(jié)構(gòu)與組裝家具貼片相比的優(yōu)點如下:(1) 家具可以反復組裝、拆卸,不會對其部件造成過度磨損;(2) 不需要外部固定工具(例如釘子、螺絲、鉸鏈等),也能保持設(shè)計的預期美觀;(3) 互鎖結(jié)構(gòu)限制零件的拆卸,零件之間可以緊密連接,從而有利于家具的穩(wěn)定性.

上述可折疊家具的結(jié)構(gòu)可分為鉸鏈結(jié)構(gòu)與互鎖結(jié)構(gòu):鉸鏈結(jié)構(gòu)可折疊性較強,存放時節(jié)省空間,但不適用于復雜的幾何結(jié)構(gòu);互鎖結(jié)構(gòu)零件較少,穩(wěn)定性較強,但在組裝時較為復雜.

本節(jié)主要介紹折疊與展開在工業(yè)設(shè)計、生物醫(yī)療、智能機器人、家具設(shè)計領(lǐng)域的應用,通過分析對比發(fā)現(xiàn),展開與折疊的核心功能主要有兩種:(1) 在幾何方面,實現(xiàn)復雜的形狀轉(zhuǎn)換,設(shè)計特定的形狀外觀;(2) 在物理方面,使物體產(chǎn)生良好的收縮性能與力學性能.

5 總結(jié)展望

本文總結(jié)了近年來計算機領(lǐng)域中曲面折疊與展開的相關(guān)工作,然后將各種方法分類討論,最后按照給出的評估準則,對各類方法進行對比分析.本文的目的在于整理近年來曲面折疊與展開的先進方法進行比較,總結(jié)各類方法的特性和優(yōu)缺點,為未來改進折疊與展開工作提供參考.從本文摘選的文獻可以看出,曲面的折疊與展開方法已經(jīng)較為成熟,例如,新的展開方法能夠大幅度降低面積與角度失真,可以借助外部的輔助材料展開曲面;在折疊方法中,折疊多面體網(wǎng)格能夠找到無碰撞的折疊路徑、利用紙張折疊模擬三維模型的逼近精度逐漸提高等;在應用方面,折疊與展開方法還常用于生物醫(yī)療、智能機器人、家具制造、建筑設(shè)計等實際產(chǎn)業(yè).雖然曲面折疊與展開在計算機領(lǐng)域取得一定成果,但是還存在一些難題需要進一步研究和挑戰(zhàn),下面對這些難題進行總結(jié),并對未來可能的研究方向進行展望.

(1) 曲面展開的失真控制問題.現(xiàn)有的控制失真方法將曲面展開后,邊界存在兩種情況:一種是自由邊界,另一種是固定邊界.自由邊界的目標是尋求“最優(yōu)”展開失真,其展開平面失真通常比固定邊界低.但是在特定情況下,用戶可能希望規(guī)定展開曲面的失真大小.針對這類問題,需要進一步研究由用戶規(guī)定失真大小的同時,如何保證“最優(yōu)”展開.

(2) 曲面折疊的逼近問題.一般曲面折疊的目的是將曲面變形成光滑的目標形狀,現(xiàn)有方法折疊的目標形狀大多為雙曲結(jié)構(gòu),這類曲面形狀簡單,不具有尖銳特征,未來可以考慮增強處理劇烈褶皺的能力,保留細節(jié)特征,提高逼近精度,模擬復雜的折疊形狀.

(3) 曲面展開與折疊的健壯性問題.目前,大多數(shù)展開與折疊算法的輸入模型是光滑形狀,不具有噪聲,因此得到的結(jié)果較為理想.但實際情況中,輸入模型可能會存在噪聲等影響.在未來工作中,需要多考慮輸入模型質(zhì)量,提高算法的健壯性.

(4) 評價指標問題.曲面折疊的方法中,一般都是比較折疊曲面的視覺效果,或者是比較與原曲面的逼近誤差,缺少其他數(shù)據(jù)指標對比各類方法的優(yōu)劣.未來可以考慮提出其他評價指標.

折疊與展開面臨的這些挑戰(zhàn)及各類評估準則的完善,是未來研究工作急需解決的關(guān)鍵問題.