文昊天，王小鵬，楊文婷，王 偉

(蘭州交通大學 電子與信息工程學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

如何構造合適的結構元素是自適應形態(tài)學運算方法中的關鍵[1～5]。文獻[6]提出了一種利用自適應形態(tài)學濾波和融合輔助彩色圖像結構信息的HSI恢復方法，通過圖像信息構造每個像素形態(tài)特征的自適應結構元素，同時去除混合噪聲，保持良好的空間結構；文獻[7]提出了一種自適應形態(tài)學閉運算，利用慣性張量估計圖像局部結構幾何特征，之后根據(jù)幾何特征構造結構元素；文獻[8]提出了基于形態(tài)學多結構元邊緣提取算子,既有良好的邊緣提取特性,又可很好地解決了噪聲抑制和保持圖像邊緣細節(jié)之間的矛盾,通過灰度加權平均值作為閾值進行二值化,更加突出了邊緣效果；文獻[9]提出一種計算中心像素與鄰域像素均方差的方法對形態(tài)學邊緣檢測算子進行改進,有效減少噪聲；文獻[10]利用圖空間提出了相似權概念，定義了自適應結構元素并提出了一種自適應形態(tài)學算子；文獻[11]提出了一種利用結構紋理模型與自適應數(shù)學形態(tài)學相結合的織物瑕疵檢測算法。但固定結構元素在對圖像做形態(tài)學運算時容易產(chǎn)生新的人為目標、改變目標的邊緣位置、破壞原有目標間的過渡區(qū)邊界和丟失小目標等。

本文在線性結構張量[12]的基礎上提出了橢圓結構元素。因為橢圓結構元素介于線形和圓形之間，所以這種自適應形態(tài)學膨脹和腐蝕可以在不產(chǎn)生人為邊緣的情況下丟失較少的圖像暗細節(jié)和亮細節(jié)，而相應的開閉運算可以增強和連接圖像暗細節(jié)和亮細節(jié)特征，并且不會對圖像邊緣過度拉伸，有較好的邊緣保持和抗噪能力。

1 方法實現(xiàn)

如圖1所示，首先構造圖像線性結構張量；然后計算其特征值和特征向量，因為線性結構張量為正定矩陣，所以必有兩個不為零的特征值和特征向量，利用該特征屬性構造橢圓的長短半軸和橢圓與x軸的夾角；最后定義基于橢圓結構元素的膨脹和腐蝕運算，組合出自適應形態(tài)學開閉運算。

圖1 橢圓結構元素的自適應形態(tài)學運算方法流程圖

1.1 線性結構張量

對于圖像f，任意像素點(i,j)的x方向和y方向梯度值表示為Ix(i,j)和Iy(i,j)，則結構張量T(structure tensor)可定義為

(1)

由于T特征值有一個為0，結構張量只能得到一維的圖像結構信息，因此采用線性結構張量代替結構張量來描述圖像結構信息，線性結構張量(linear structure tensor)LS定義為

(2)

式中Gσ為方差σ的高斯函數(shù)，*為卷積，LS(i,j)的特征值和特征向量分別記為λ1,λ2(λ1>λ2)和v1,v2。如果圖像f中像素點(i,j)處λ1>λ2≈0，則v1方向灰度變化強度大于v2方向，即為邊緣區(qū)域；如果λ1≈λ2>0，則v1方向上灰度變化強度等于v2方向，即為角點；如果λ1≈λ2≈0，則v1方向和v2方向灰度強度變化不大，即為平坦區(qū)域。

1.2 自適應橢圓結構元素

假設橢圓結構元素E(a,b,φ)最大長半軸為M，其中a為橢圓長半軸，b為橢圓短半軸，φ為橢圓長半軸與x軸的夾角，如圖2所示，a,b,φ分別定義為

圖2 橢圓結構元素

(3)

式中v1,x1，v1,x2為v1的分量。

1.3 自適應形態(tài)學運算

自適應形態(tài)學膨脹腐蝕所采用的結構元素隨圖像內(nèi)容自適應改變其大小和形狀，而經(jīng)典形態(tài)學結構元素則是固定不變。對于橢圓結構元素自適應形態(tài)學膨脹而言，當結構元素在圖像弱邊緣時，此時以長半軸為a，短半軸為b的橢圓結構元素為窗取像素最大值；當結構元素在圖像強邊緣時，λ1?λ2≈0，此時以長半軸為a≈M，短半軸為b≈0的橢圓結構元素為窗取像素最大值；當結構元素在圖像角點時，λ1≈λ2?0，此時以長短半軸為a≈b≈M/2的橢圓結構元素為窗取像素最大值；當結構元素在圖像平坦區(qū)域時，λ1≈λ2≈0,以長短半軸a≈b≈M為的橢圓結構元素為窗取像素最大值。腐蝕與膨脹相反，在上述情況中取像素最小值。因為在圖像強邊緣時橢圓結構元素短半軸很小，類似于線形結構元素，因此相比圓形結構元素，橢圓結構元素自適應形態(tài)學膨脹和腐蝕不會丟失過多的圖像暗細節(jié)和亮細節(jié)，在圖像平坦區(qū)域橢圓結構元素長半軸約等于短半軸，類似于圓形結構元素，所以相比線形結構元素不會形成過多的人為邊緣。

橢圓結構元素自適應形態(tài)學膨脹α和腐蝕β運算為

(4)

式中E為橢圓結構元素，f為圖像，∨和∧分別為定義域E中取最大像素值與最小像素值運算。開閉運算是膨脹和腐蝕的組合，衍生的形態(tài)學自適應開閉定義為

γE(f)=(α°β)(f),ψE(f)=(β°α)(f)

(5)

2 仿真實驗與分析

在MATLAB R2017平臺下進行了仿真。圖3分別對方向自適應線形結構元素、圓形結構元素和橢圓結構元素做對比，選取386×386大小的星形圓環(huán)圖像做M=3,M=4和M=5(從左到右)膨脹(b,c,d)和腐蝕(e,f,g)仿真實驗。在膨脹圖像中，方向自適應線形結構元素膨脹使星形邊緣區(qū)域變形，如圖3(b)中第三幅圖星形邊緣變形較大；圓形結構元素膨脹使圖像暗細節(jié)消減過多，可以看出圖3(c)中第三幅圖暗細節(jié)幾乎消失；自適應橢圓結構元素膨脹運算未丟失過多暗細節(jié)，雖然圖3(d)中角點區(qū)域有瑕疵，這主要是由于結構元素較大導致的，但其他兩種結構元素膨脹運算使圖像特征惡化更為嚴重。在腐蝕圖像中，方向自適應線形結構元素腐蝕使圓環(huán)邊緣有撕裂現(xiàn)象，圖3(e)中第一幅圖第二環(huán)和第三環(huán)較為明顯；圓形結構元素腐蝕運算亮細節(jié)丟失較多，圖3(f)中第三幅圖像亮細節(jié)消減過多；圖3(g)中自適應橢圓結構元素腐蝕運算保留了更多亮細節(jié)。

圖3 膨脹腐蝕圖像對比

圖4為Lena圖像(512×512)開閉運算仿真實驗(M=5)。在開運算圖4(b)～(d)中可以看出，自適應線形結構元素導致圖像有部分撕裂，如右上方白色條帶，并且改變了圖像部分特征；圓形結構元素雖然沒有導致圖像變形，但是圖像特征被破壞，如羽毛細節(jié)模糊；橢圓結構元素增強和連接了圖像暗細節(jié)特征，帽子頂部和羽毛部分較明顯。在閉運算圖4(e)～(g)中，自適應線形結構元素改變了圖像邊緣特征，如帽子整體被拉長，這是因為線形結構元素形狀極端，在邊緣區(qū)域引入平坦區(qū)域像素值，在平坦區(qū)域引入邊緣區(qū)域像素值導致的；圓形結構元素丟失過多圖像細節(jié)，如帽子紋理細節(jié)丟失；橢圓結構元素增強和連接了圖像亮細節(jié)特征，如帽子上的紋理細節(jié)，并且開閉運算都不會對圖像邊緣過度拉伸。

圖4 Lena開閉運算圖像比較

為了定量分析本文方法的邊緣保持性能，計算原圖像與形態(tài)學運算后的梯度幅值相似性偏差。梯度幅值[13]能夠反映圖像結構信息，生成準確度較高的圖像質量預測分數(shù)，當圖像失真時會有不同程度的梯度幅值退化，因此可以計算梯度幅值相似性衡量圖像質量。

表1給出了Lena分別用M=3,M=4,M=5的開閉運算梯度幅值相似性偏差，可以看出，橢圓結構元素自適應形態(tài)學運算梯度幅值偏差較小，形態(tài)學運算后圖像失真較小。

表1 Lena開/閉運算梯度幅值相似性偏差 10-5

為了驗證橢圓結構元素自適應運算的抗噪性能，對大小為512×512的Cameraman圖像(圖5)加入均值為0，方差為0.01的高斯白噪聲并做自適應形態(tài)學開運算(M=5)，并對比三種結構元素梯度幅值相似性偏差，繪出了高斯白噪聲方差從0到0.2的方向自適應線形結構元素、圓形結構元素和自適應橢圓結構元素的梯度幅值相似性偏差。圖5中，方向自適應線形結構元素開運算使人物臉部變形且形成了過多的人為邊緣，圓形結構元素開運算雖然濾出了大部分噪聲，但是圖像細節(jié)丟失過多，而橢圓結構元素開運算抗噪性能較好，保留了大部分圖像細節(jié)。在圖5(e)中，當高斯白噪聲方差為0時，方向自適應線形結構元素開運算失真程度最大，隨著噪聲方差逐漸變大，開運算后的圖像失真程度成下降趨勢，這是因為對于每個像素值而言，由于在做形態(tài)學開運算時方向自適應線形結構元素定義域中包含的像素值相對圓形結構元素和橢圓結構元素較少，所以對鄰域影響較低，而失真程度較高是因為噪聲圖像中鄰域像素值與中心像素值相差可能較大，這會導致用其做開運算時使中心像素引入大量噪聲，形成大量的人為邊緣，圓形結構元素開運算雖然不會形成大量人為邊緣，但會丟失圖像邊緣細節(jié)，橢圓結構元素自適應形態(tài)學開運算在抑制噪聲的同時盡量保持圖像邊緣，失真程度最小。

圖5 高斯白噪聲開運算仿真實驗

圖6是一幅帶有周期噪聲大小為256×256的遙感圖像(M=4)，對其做閉運算，與開運算一樣，方向自適應線形結構元素閉運算使圖像邊緣變形并且產(chǎn)生了大量人為邊緣；圓形結構元素閉運算雖然抑制了周期噪聲，但圖像細節(jié)屬性丟失過多；橢圓結構元素閉運算抑制了噪聲，在產(chǎn)生少量人為邊緣情況下邊緣保持效果較好。

圖6 周期噪聲閉運算仿真實驗

3 結 論

為了抑制圖像做形態(tài)學運算導致邊緣屬性改變的情況，提出了一種介于線形(方向自適應)和圓形之間的橢圓結構元素，由于橢圓結構元素隨著目標的改變而自適應改變，連接圖像明暗特征屬性的同時盡可能適應目標邊緣，因此本文方法對圖像做自適應形態(tài)學運算時梯度幅值偏差較小，抗噪性能較好，圖像失真較低。