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        基于最小勢能法的二維邊坡整體滑動(dòng)方向研究

        2021-03-05 01:47:14平,詹程,陳可,康
        人民長江 2021年2期
        關(guān)鍵詞:方向方法

        孫 加 平,詹 鳳 程,陳 延 可,康 念 坤

        (江西工業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江西 萍鄉(xiāng) 337000)

        邊坡的穩(wěn)定性評(píng)價(jià)是巖土領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題[1-3]。最小勢能法是一種新的評(píng)價(jià)方式,由于無需迭代,得到了一些學(xué)者的青睞[4-6]。最小勢能法總體思路是先確定系統(tǒng)勢能最小時(shí)的虛位移,然后根據(jù)胡克定律、莫爾-庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則確定滑面的法向力以及剪切力,最后依據(jù)穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算結(jié)果評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性。從目前的研究成果來看,穩(wěn)定系數(shù)的定義方式主要分為兩類:① 通過抗滑力矩與下滑力矩的比值確定[7-9];② 將力視為矢量,通過選取合適的投影軸,將作用力在滑體上投影得到抗滑力與下滑力,二者的比值確定穩(wěn)定系數(shù)[10-13]。其中,第一種定義方式僅適用于圓弧形滑面,而對(duì)任意形狀滑面適用性較差。并且,該種定義方式將力的運(yùn)算視為標(biāo)量,忽略了力的矢量特性。因此,第二種定義方式應(yīng)用較為廣泛,該種定義方式考慮了力為矢量這一要素,但對(duì)于投影軸(即滑體的整體運(yùn)動(dòng)方向)的合理選取研究不夠完善。同時(shí),剪切勢能的計(jì)算模型忽略了微元體間作用力的影響,理論上缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。

        因此,針對(duì)利用最小勢能法分析二維邊坡穩(wěn)定性的不足,本文對(duì)剪切勢能計(jì)算模型、滑體整體運(yùn)動(dòng)趨勢開展研究,以期尋找最為合理的滑體運(yùn)動(dòng)方向,完善最小勢能理論在邊坡穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用。為驗(yàn)證文中研究成果的可靠性,計(jì)算分析了兩個(gè)邊坡的穩(wěn)定系數(shù)以及滑動(dòng)方向,并將分析結(jié)果與其他算法進(jìn)行對(duì)比。

        1 二維邊坡最小勢能分析方法

        1.1 滑移面彈性勢能

        如圖1所示的任意形狀滑動(dòng)面邊坡,其方程為y=fx。建立的模型采用如下假定[14-15]:① 滑面法向的彈性變形可用剛度系數(shù)為k的彈簧模擬,且k=mdl;② 邊坡受到一個(gè)外力R=R1,R2產(chǎn)生微小許可的位移d=d1,d2,該位移稱為虛位移,且其使得滑體系統(tǒng)勢能最小。

        圖1 任意形狀滑動(dòng)面Fig.1 Slip surface of arbitrary shape

        通過引入彈性地基梁模型,可得滑面上儲(chǔ)存的彈性勢能Ve為

        (1)

        式中:m為與土體性質(zhì)有關(guān)的常數(shù),kN/m3;η為滑面外法線方向矢量;dl為滑面微段弧長,m。

        1.2 滑移面剪切勢能

        土體受剪切變形影響的深度為h,則儲(chǔ)存的剪切勢能為[7]

        (2)

        則式(2)可以轉(zhuǎn)化為

        (3)

        式中:d′為滑床與滑面產(chǎn)生的相對(duì)位移,m。

        土體的剪切變形示意圖如圖2所示,易知:

        d′=-t·d

        (4)

        圖2 土體剪切變形示意Fig.2 Schematic diagram of soil shear deformation

        通過式(2)~(3)可知,剪切勢能計(jì)算的關(guān)鍵在于滑面與滑床相互滑移時(shí)產(chǎn)生的剪應(yīng)力τ′。從現(xiàn)有的研究來看,對(duì)于切應(yīng)力τ′的計(jì)算有兩種方式:文獻(xiàn)[7]認(rèn)為τ′沿著滑動(dòng)面均勻分布,可通過滑體力矩平衡方程確定τ′;文獻(xiàn)[13,15]以滑體任意微元體為研究對(duì)象,通過虛位移方向的靜力平衡方程確定τ′。一般而言,滑面上任意一點(diǎn)的剪應(yīng)力并不相同,且文獻(xiàn)[7]的計(jì)算方式僅僅適用于圓弧形滑面,應(yīng)用具有局限性。同時(shí),滑體中單元體的受力情況較為復(fù)雜,任何關(guān)于條間力的假定都會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來影響,而文獻(xiàn)[13,15]忽略了條間力的影響,理論上略顯不嚴(yán)謹(jǐn)。

        鑒于此,本文提出了一種新的滑面剪應(yīng)力計(jì)算方法,通過滑體整體沿著虛位移方向的靜力平衡關(guān)系確定滑面上的剪應(yīng)力τ′,這樣處理避免了條間力的假定,且適用于任意形狀的滑移面,即

        (5)

        (6)

        根據(jù)式(3)、(4)以及(6)可得:

        (7)

        1.3 滑體外力勢能與總勢能

        滑體系統(tǒng)儲(chǔ)存的總勢能V為

        (8)

        根據(jù)最小勢能原理可知,系統(tǒng)勢能最小虛位移d應(yīng)滿足

        (9)

        1.4 穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算

        根據(jù)力與虛位移的關(guān)系,便可求得滑面上的法向力N以及剪切力T,即

        (10)

        式中:c為土體的凝聚力,kPa;φ為土體的內(nèi)摩擦角,°;σ為滑面上的法向應(yīng)力,kPa。

        本文將穩(wěn)定系數(shù)K定義為滑體上的作用力在整體運(yùn)動(dòng)方向上投影得到的抗滑力與下滑力的比值,即

        (11)

        式中:Fanti為抗滑力,kN;Fslid為下滑力,kN;s為滑體整體運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量。

        2 3種整體下滑方向模型

        從式(11) 可知,運(yùn)用最小勢能法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析,不同的整體下滑方向得到的穩(wěn)定系數(shù)是不同的。通過分析計(jì)算,文中對(duì)3種整體下滑方向進(jìn)行了探究。

        (1) 方法1。由于系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)微小位移之后,處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài),因此將滑體的虛位移方向視為邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向,即

        s=d

        (12)

        (2) 方法2。由于邊坡會(huì)沿著抵抗力最小的方向發(fā)生運(yùn)動(dòng),并且坡體內(nèi)部的應(yīng)力會(huì)自動(dòng)調(diào)整以發(fā)揮最大的抗滑能力[16]。顯然,對(duì)于二維邊坡的穩(wěn)定性分析而言,滑面上一點(diǎn)處的抗滑力應(yīng)為該點(diǎn)的切線方向。由于滑動(dòng)方向與抗滑方向相反,則滑體整體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)楦魑⒚婵够较蚴噶亢铣傻南喾捶较?。因此,滑面上的抗滑力在坐?biāo)軸上的分量為

        (13)

        則滑體整體運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量s為

        (14)

        (3) 方法3。將滑體的整體運(yùn)動(dòng)方向視為剪入點(diǎn)C到剪出點(diǎn)A的方向,即

        s=xA-xC,yA-yC

        (15)

        式中:xA、xC為A、C的橫坐標(biāo);yA、yC為A、C的縱坐標(biāo)。

        3 算例驗(yàn)證

        3.1 算例1

        邊坡的幾何尺寸如圖3所示,坡高為20 m,滑面為圓弧形,邊坡的幾何尺寸信息已在圖中示出。已知:土體c=15 kPa,φ=30°,容重γ=18.4 kN/m3。運(yùn)用本文方法、極限平衡法得到的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

        圖3 邊坡算例1示意圖(尺寸單位:m)Fig.3 Schematic diagram of slope calculation example 1

        從表1的計(jì)算結(jié)果可以看出:最小勢能法得到的結(jié)果與極限平衡法較為接近,相對(duì)誤差(與Bishop法對(duì)比)分別為1.0%、0.2%以及4.7%,滿足工程許可的范圍。并且,基于最小勢能法的3種計(jì)算方式得到的穩(wěn)定系數(shù)相對(duì)誤差亦在工程允許范圍內(nèi),表明文中的3種計(jì)算方式在該算例中均是適用的。表1中方法1、方法2給出的下滑方向角度數(shù)值相同,但穩(wěn)定系數(shù)不同。經(jīng)過計(jì)算可知,方法1、方法2得到的角度結(jié)果在小數(shù)點(diǎn)第13位不同,而在MATLAB程序中參與運(yùn)算的位數(shù)為30位,故而出現(xiàn)了上述情況。由于Bishop法的計(jì)算精度得到了業(yè)界的認(rèn)可,多個(gè)行業(yè)的規(guī)范均采用該種計(jì)算方法,因此從計(jì)算結(jié)果來看,方法2的整體下滑運(yùn)動(dòng)方向模型更為合理。

        表1 穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.1 Stability factor calculation results

        為了進(jìn)一步驗(yàn)證方法2是否最為合理,下文將通過兩種方式進(jìn)行驗(yàn)證。

        3.1.1固定滑面方式

        在上述算例的基礎(chǔ)上,保持邊坡的幾何形狀以及滑動(dòng)面不變,通過改變土體的c、φ值來計(jì)算不同方法下的邊坡穩(wěn)定系數(shù),并將得到的結(jié)果與Bishop法進(jìn)行對(duì)比,如圖4所示。

        圖4 穩(wěn)定系數(shù)K與c、φ關(guān)系Fig.4 Relationship between stability factor K and c、φ

        圖4表示了邊坡的穩(wěn)定系數(shù)與土體凝聚力c、內(nèi)摩擦角φ之間的關(guān)系。從圖4(a)中可以看出:在保持γ=18.4 kN/m3、φ=30°不變的的情況下,穩(wěn)定系數(shù)隨著c的增大而呈現(xiàn)線性增大的趨勢。從方法1~3的計(jì)算結(jié)果來看,方法2的計(jì)算結(jié)果與Bishop法幾乎是一致的,相對(duì)誤差不到1%,而方法2,3與Bishop法的相對(duì)誤差分別在6.7%、10%范圍內(nèi)。從而可知,基于最小勢能法的第二種計(jì)算方式最為合理。并且以基于方法2得到的計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定性較好,而方法1,方法3的計(jì)算結(jié)果隨著c值的減小,其結(jié)果與Bishop法的相對(duì)誤差越來越大,但是當(dāng)c降至0時(shí),方法1,3與Bishop法的相對(duì)誤差仍在工程許可范圍內(nèi)。

        從圖4(b)中可以看出:在保持γ=18.4 kN/m3、φ=30°不變的的情況下,從定性的角度來看,各種方法下的穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算結(jié)果均隨著內(nèi)摩擦角的增大而逐步增加,表明文中計(jì)算方法的合理性。從定量的角度來看,方法1的計(jì)算結(jié)果與Bishop法幾乎是一致的,而方法1,3的計(jì)算結(jié)果只有在內(nèi)摩擦角φ處于25°~30°的范圍時(shí),其計(jì)算結(jié)果與Bishop法較為一致,與Bishop法相對(duì)誤差為1%~9.2%,滿足工程上的精度要求;但當(dāng)內(nèi)摩擦角φ處于5°~20°時(shí),與Bishop法相對(duì)誤差范圍為22.3%~118.4%,相對(duì)誤差較大??梢?,內(nèi)摩擦角對(duì)方法1,3的穩(wěn)定系數(shù)的影響較為敏感,導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定性差。作者認(rèn)為這主要與邊坡整體下滑模型有關(guān)。同時(shí),從圖4(b)中可以看出,方法2的計(jì)算結(jié)果與Bishop法幾乎是一致的。因此,將邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向視為各微面抗滑方向矢量合成的相反方向是合理且可行的。

        3.1.2非固定滑面方式

        上文在滑面固定的情況下,通過改變土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo),計(jì)算各種方法的穩(wěn)定系數(shù),以此來探究二維邊坡的整體運(yùn)動(dòng)最合理方式。下面將使滑體的滑入點(diǎn)、滑出點(diǎn)位置不變,通過設(shè)置不同的滑面來探究上述問題,需要注意的是這些變化的滑面的圓心均在滑入點(diǎn)與滑出點(diǎn)組成線段的垂直平分線上,選取的圓心半徑依次為:37.24,40.39,48.01,63.19,77.01,97.15,107.52 m,各種方法的穩(wěn)定系數(shù)如圖5所示。

        從圖5可以看出:基于最小勢能原理的3種分析方式與Bishop的結(jié)果較為接近,方法1與其相對(duì)誤差為1.1%~17.3%,方法2與其相對(duì)誤差為5%內(nèi),方法3與其相對(duì)誤差為10%以內(nèi)。從定量的角度來看,方法2的計(jì)算方式更為合理。其次,從穩(wěn)定系數(shù)與滑面半徑的變化關(guān)系來看,只有方法2與Bishop法保持一致,即隨著滑面深度的增加,穩(wěn)定系數(shù)逐漸提高。當(dāng)然,Bishop法不能作為評(píng)價(jià)一種新的邊坡穩(wěn)定性分析方法的絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn),但其被土木、水利等行業(yè)寫進(jìn)了規(guī)范。因此,將本文方法同其進(jìn)行對(duì)比,具有一定的說服力。

        圖5 非固定滑面下的各種方法的穩(wěn)定系數(shù)Fig.5 Stability factors of various methods under non fixed sliding surface

        綜上,基于最小勢能原理的方法2計(jì)算模型,即將邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向視為各微面抗滑方向矢量合成的相反方向是更加合理且有效的,可以用于邊坡的穩(wěn)定性分析。

        3.2 算例2

        為驗(yàn)證本文算法對(duì)其余滑動(dòng)面的適用性,將其應(yīng)用于非圓弧形滑動(dòng)面。如圖6所示的滑動(dòng)面為折線的均質(zhì)邊坡[14]。已知:土體凝聚力c=20 kPa,φ=15°,容重γ=30 kN/m3。

        圖6 邊坡算例2示意(尺寸單位:m)Fig.6 Schematic diagram of slope calculation example 2

        運(yùn)用文中確定的邊坡整體滑動(dòng)方向模型計(jì)算可得穩(wěn)定系數(shù)為0.683,下滑方向s與x軸所夾銳角為41.032°,而文獻(xiàn)[14]得到的穩(wěn)定系數(shù)為0.657,下滑方向?yàn)?0.421°。采用Janbu法得到的穩(wěn)定性系數(shù)為0.726。從上述計(jì)算結(jié)果可知:運(yùn)用本文計(jì)算模型得到的邊坡整體滑動(dòng)方向具有一定的合理性,所得結(jié)果與其余算法的相對(duì)誤差在10%以內(nèi),對(duì)于非圓弧形滑動(dòng)面的邊坡穩(wěn)定性分析同樣具有適用性,可以將其應(yīng)用于邊坡的穩(wěn)定性分析。

        4 結(jié) 論

        (1) 本文從滑體整體平衡的角度建立平衡方程,求解滑面上的剪應(yīng)力,進(jìn)而建立剪切勢能計(jì)算模型。相比以往的研究,避免了微元體條間力的假設(shè),理論分析上更嚴(yán)謹(jǐn)。

        (2) 本文提出了3種滑體運(yùn)動(dòng)方向,并以固定、非固定滑面為研究對(duì)象,從定性以及定量的角度進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)方法2的整體下滑方式(邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向視為各微面抗滑方向矢量合成的相反方向)與Bishop法的結(jié)果最為接近。

        (3) 本文構(gòu)建的滑體運(yùn)動(dòng)模型不僅適用于圓弧形滑面,從整體滑動(dòng)方向、穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算表結(jié)果來看,對(duì)于折線形滑面同樣具有適用性。此外,僅僅針對(duì)固定滑面的邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了研究與探討,對(duì)于任意形狀滑動(dòng)面的搜索仍可以進(jìn)一步研究。

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