康志勇，周明旺，曾憲紅，李曉濤，閆鑫洋

（中國石油遼河油田分公司勘探開發(fā)研究院，遼寧盤錦 124010）

Arps 于1945 年提出的三種遞減類型（指數(shù)遞減、雙曲線遞減和調(diào)和遞減），即傳統(tǒng)Arps 遞減理論已在國內(nèi)外得到廣泛應(yīng)用[1–6]，其中指數(shù)遞減應(yīng)用最為普遍，如DeGolyer and MacNaughton 等國際咨詢公司普遍采用指數(shù)遞減預(yù)測產(chǎn)量。2004 年以來，從事開發(fā)研究的科研人員逐漸將傳統(tǒng)Arps 遞減理論擴(kuò)展為廣義Arps 遞減理論，即將傳統(tǒng)Arps 遞減指數(shù)的應(yīng)用范圍由[0，1]擴(kuò)展到（–∞，+∞），并導(dǎo)出廣義Arps遞減理論之直線遞減期累計(jì)產(chǎn)量公式[7–12]（以下簡稱老模型）。為了解決老模型中由于存在明顯系統(tǒng)誤差，預(yù)測精度有限的問題，本文依據(jù)直線遞減的特點(diǎn)，系統(tǒng)建立了累計(jì)產(chǎn)量和技術(shù)可采儲(chǔ)量理論 方程（以下簡稱新模型）。新模型計(jì)算方法簡便快捷、計(jì)算精度高于廣義Arps 遞減理論導(dǎo)出的直線遞減期累計(jì)產(chǎn)量和技術(shù)可采儲(chǔ)量公式，從而為客觀評(píng)價(jià)累計(jì)產(chǎn)量及技術(shù)可采儲(chǔ)量提供了有效的實(shí)現(xiàn)途徑和廣闊的應(yīng)用前景。

1 直線遞減模型的建立

1.1 直線遞減的特點(diǎn)

直線遞減是指產(chǎn)量遞減呈線性變化，且有如下特點(diǎn)：一是任何統(tǒng)計(jì)單位的產(chǎn)量遞減指數(shù)恒為- 1；二是直線遞減期穩(wěn)定日產(chǎn)量、穩(wěn)定月產(chǎn)量或穩(wěn)定年產(chǎn)量均為等差數(shù)列，即任意兩個(gè)相鄰穩(wěn)定產(chǎn)量之間的差值為常數(shù)（穩(wěn)定日產(chǎn)量數(shù)列的等差為q0Ddi、穩(wěn)定月產(chǎn)量數(shù)列的等差為m2q0Ddi或Q0Dmi、穩(wěn)定年產(chǎn)量數(shù)列的等差為(12m)2q0Ddi或Q0Dyi）。根據(jù)直線遞減的特點(diǎn)可導(dǎo)出系列遞減參數(shù)的相關(guān)數(shù)學(xué)表達(dá)式。

1.2 穩(wěn)定產(chǎn)量

根據(jù)穩(wěn)定產(chǎn)量直線遞減數(shù)列的等差可導(dǎo)出產(chǎn)量遞減生產(chǎn)到第t 天（或第x個(gè)月或第y 年）的穩(wěn)定產(chǎn)量數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：tq 為遞減生產(chǎn)第t 天的穩(wěn)定日產(chǎn)量，m3或t；q0為初始穩(wěn)定日產(chǎn)量，m3或t；t 為遞減生產(chǎn)天數(shù)，d； Ddi為初始日遞減率。

當(dāng)式（1）中遞減生產(chǎn)時(shí)間為月時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)量為月產(chǎn)量，遞減率為初始月遞減率；當(dāng)遞減生產(chǎn)時(shí)間為年時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)量為年產(chǎn)量，遞減率為初始年遞減率。其中，初始月產(chǎn)量和初始年產(chǎn)量與初始穩(wěn)定日產(chǎn)量和初始日遞減率等參數(shù)之間存在固定函數(shù)關(guān)系：

式中：Q0為初始月產(chǎn)量，m3或t；Q0為初始年產(chǎn)量，m3或t；m為平均每個(gè)月遞減生產(chǎn)天數(shù)（31 1＜≤m），d。

對(duì)于無穩(wěn)產(chǎn)期的評(píng)價(jià)單元，初始月產(chǎn)量和初始年產(chǎn)量為虛擬產(chǎn)量，計(jì)算累計(jì)產(chǎn)量時(shí)不能將初始月產(chǎn)量或初始年產(chǎn)量直接計(jì)入遞減前的累計(jì)產(chǎn)量中。

1.3 初始遞減率

根據(jù)初始遞減率定義[7]和評(píng)價(jià)單元直線遞減生產(chǎn)特點(diǎn)可采用任意相鄰穩(wěn)定日產(chǎn)量或相鄰穩(wěn)定月產(chǎn)量或相鄰穩(wěn)定年產(chǎn)量導(dǎo)出的初始日遞減率的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：1+tq 為遞減生產(chǎn)第 1+t天的穩(wěn)定日產(chǎn)量，m3或t；Qx、Qx+1分別為遞減生產(chǎn)第x個(gè)月、遞減生產(chǎn)第x+1個(gè)月的穩(wěn)定月產(chǎn)量，m3或t；x為遞減生產(chǎn)日歷月數(shù)，mon；yQ 、1+yQ 分別為遞減生產(chǎn)第y 年、遞減生產(chǎn)第1+y年的穩(wěn)定年產(chǎn)量，m3或t； y 為遞減生產(chǎn)日歷年數(shù)，a。

計(jì)算初始月遞減率或初始年遞減率所用公式形式與式（4）相同，只需將遞減時(shí)間和產(chǎn)量單位進(jìn)行相應(yīng)變化。

1.4 遞減期累計(jì)產(chǎn)量和技術(shù)可采儲(chǔ)量

采用初始穩(wěn)定日產(chǎn)量或初始月產(chǎn)量或初始年產(chǎn)量可導(dǎo)出直線遞減期累計(jì)產(chǎn)量數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：Np遞減生產(chǎn)第t 天（或遞減生產(chǎn)第x 個(gè)月或遞減生產(chǎn)第y 年）的累計(jì)產(chǎn)量（不含0q 及之前產(chǎn)量），m3或t。

當(dāng)式（7）中的遞減生產(chǎn)時(shí)間為月時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)量為初始月產(chǎn)量，遞減率為初始月遞減率；當(dāng)遞減生產(chǎn)時(shí)間為年時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)量為初始年產(chǎn)量，遞減率為初始年遞減率。

根據(jù)產(chǎn)量直線遞減生產(chǎn)的特點(diǎn)可分別得到技術(shù)極限遞減生產(chǎn)天數(shù)、技術(shù)極限遞減生產(chǎn)日歷月數(shù)和技術(shù)極限遞減生產(chǎn)日歷年數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：tL為技術(shù)極限遞減生產(chǎn)天數(shù)，d；xL為技術(shù)極限遞減生產(chǎn)日歷月數(shù)，mon；yL為技術(shù)極限遞減生產(chǎn)日歷年數(shù)，a；miD 為初始月遞減率；yiD 為初始年遞減率。

將技術(shù)極限遞減生產(chǎn)時(shí)間方程與直線遞減期累計(jì)產(chǎn)量方程結(jié)合可導(dǎo)出技術(shù)可采儲(chǔ)量數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：RTN 為原油技術(shù)可采儲(chǔ)量，m3或t；oN 為評(píng)價(jià)單元遞減生產(chǎn)前原油累計(jì)產(chǎn)量，m3或t。

當(dāng)式（11）中的技術(shù)極限遞減生產(chǎn)時(shí)間為月時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)量為初始月產(chǎn)量，遞減率為初始月遞減率；當(dāng)技術(shù)極限遞減生產(chǎn)時(shí)間為年時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)量為初始年產(chǎn)量，遞減率為初始年遞減率。

1.5 直線遞減模型適用性分析

嚴(yán)格地講，遞減指數(shù)等于1- 的評(píng)價(jià)單元均可采用直線遞減模型評(píng)價(jià)遞減期穩(wěn)定產(chǎn)量和累計(jì)產(chǎn)量，但實(shí)際評(píng)價(jià)單元在遞減生產(chǎn)過程中不完全遵循單一遞減規(guī)律，特別是遞減初始階段呈直線遞減的評(píng)價(jià)單元，到遞減中后期并不一定依然遵循直線遞減特點(diǎn)。因此，用直線遞減模型預(yù)測評(píng)價(jià)單元產(chǎn)量時(shí)，產(chǎn)量變化要遵從持續(xù)、穩(wěn)定、規(guī)律性變化的原則。

對(duì)于相鄰穩(wěn)定產(chǎn)量的差值大于平均差值%10±的評(píng)價(jià)單元，原則上不采用直線遞減模型預(yù)測產(chǎn)量；對(duì)于遞減生產(chǎn)到中后期的評(píng)價(jià)單元，用直線遞減模型預(yù)測產(chǎn)量相對(duì)客觀準(zhǔn)確；對(duì)于只有較少初始產(chǎn)量遞減生產(chǎn)數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)單元，盡管遞減指數(shù)等于或近似等于 1- ，用直線遞減模型預(yù)測評(píng)價(jià)單元中后期產(chǎn)量數(shù)據(jù)仍存在風(fēng)險(xiǎn)。

2 新老模型對(duì)比

當(dāng)遞減指數(shù)為1- 時(shí)，廣義Arps 遞減理論之直線遞減期原油累計(jì)產(chǎn)量公式為[7–11]：

采用月產(chǎn)量或年產(chǎn)量計(jì)算遞減期累計(jì)產(chǎn)量公式形式與式（12）相同，只需將遞減時(shí)間、穩(wěn)定產(chǎn)量、初始遞減率等進(jìn)行相應(yīng)變化。

若評(píng)價(jià)單元直線遞減期平均每個(gè)月遞減生產(chǎn)25 d，則穩(wěn)定日產(chǎn)量、穩(wěn)定月產(chǎn)量、穩(wěn)定年產(chǎn)量及遞減期原油累計(jì)產(chǎn)量列于表1。分別采用老模型和新模型計(jì)算遞減生產(chǎn)第900 天、遞減生產(chǎn)第36 個(gè)月和遞減生產(chǎn)第3 年的原油累計(jì)產(chǎn)量及誤差情況。

根據(jù)表1 給出的理想直線遞減生產(chǎn)數(shù)據(jù)可得到日、月、年的初始產(chǎn)量及初始遞減率：初始日產(chǎn)量為50.00 m3、初始日遞減率為0.001；初始月產(chǎn)量為1 265.00 m3、初始月遞減率為25/1 012；初始年產(chǎn)量為17 242.50 m3、初始年遞減率為600/2 299。

表1 直線遞減生產(chǎn)數(shù)據(jù)表

采用新模型和老模型所計(jì)算的評(píng)價(jià)單元累計(jì)產(chǎn)量及誤差對(duì)比情況如表2 所示。

表2 新老模型預(yù)測累計(jì)產(chǎn)量及誤差對(duì)比

新模型計(jì)算遞減期累計(jì)產(chǎn)量與實(shí)際產(chǎn)量完全吻合；老模型計(jì)算遞減期累計(jì)產(chǎn)量均有誤差，且以穩(wěn)定年產(chǎn)量預(yù)測累計(jì)產(chǎn)量誤差最大可達(dá)27.30%，用穩(wěn)定日產(chǎn)量預(yù)測累計(jì)產(chǎn)量誤差最小為0.09%。

3 應(yīng)用實(shí)例

靖安油田五里灣開發(fā)區(qū)產(chǎn)層為三疊系延長組6段，1996 年投入試采，2000 年轉(zhuǎn)入開發(fā)。該開發(fā)區(qū)投產(chǎn)第9 年進(jìn)入直線遞減期，歷年年產(chǎn)量及累計(jì)產(chǎn)量情況詳見圖1 和表3。

圖1 五里灣開發(fā)區(qū)生產(chǎn)曲線

該開發(fā)區(qū)遞減前累計(jì)產(chǎn)量206.57×104t，根據(jù)直線遞減期相鄰穩(wěn)定年產(chǎn)量差值相等的特性，計(jì)算直線遞減期相鄰穩(wěn)定年產(chǎn)量間的平均差值為1.22×104t，則據(jù)式（13）計(jì)算可得初始年產(chǎn)量為39.49×104t。

式中：Q1為遞減生產(chǎn)第1 年的穩(wěn)定年產(chǎn)量，據(jù)實(shí)際資料取值為38.27×104t；yQΔ 為直線遞減期相鄰穩(wěn)定年產(chǎn)量間的平均差值，t。

由前述可知：

將式（13）與式（14）聯(lián)立可解得初始年遞減率為489/15797（或0.03）。

將初始年遞減率和初始年產(chǎn)量分別代入式（1）和式（7）得穩(wěn)定年產(chǎn)量和累計(jì)產(chǎn)量預(yù)測值（表3），預(yù)測值與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)相吻合。

表3 五里灣開發(fā)區(qū)實(shí)際遞減生產(chǎn)數(shù)據(jù)及預(yù)測數(shù)據(jù)對(duì)比

五里灣開發(fā)區(qū)平均每個(gè)月遞減生產(chǎn)天數(shù)10～30 d，其遞減期技術(shù)極限遞減生產(chǎn)年數(shù)和開發(fā)區(qū)技術(shù)可采儲(chǔ)量分別為31.806 a 和824.87×104t。

采用老模型計(jì)算五里灣開發(fā)區(qū)累計(jì)產(chǎn)量最大誤差為3.36%，用新模型計(jì)算累計(jì)產(chǎn)量最大誤差為1.22%（表4）。

已知該開發(fā)區(qū)探明地質(zhì)儲(chǔ)量6 067.00×104t，由此計(jì)算技術(shù)可采儲(chǔ)量采收率為13.6%。

表4 五里灣開發(fā)區(qū)新模型與老模型預(yù)測產(chǎn)量誤差對(duì)比分析

4 結(jié)論

（1）新模型和老模型分別導(dǎo)出的遞減期累計(jì)產(chǎn)量及技術(shù)可采儲(chǔ)量公式不同，計(jì)算精度差異明顯：對(duì)理想直線遞減數(shù)據(jù)而言，新模型計(jì)算相對(duì)誤差遠(yuǎn)小于老模型計(jì)算的相對(duì)誤差；對(duì)實(shí)際直線遞減生產(chǎn)數(shù)據(jù)，新模型計(jì)算累計(jì)產(chǎn)量最大誤差為1.22%，老模型計(jì)算累計(jì)產(chǎn)量最大誤差為3.36%；新模型不僅是對(duì)廣義Arps 遞減理論的補(bǔ)充與完善，在實(shí)踐中還具有廣泛的實(shí)用性，且理論基礎(chǔ)扎實(shí)可靠。

（2）新模型應(yīng)用初始穩(wěn)定日產(chǎn)量和初始日遞減率等較易獲取的參數(shù)可直接計(jì)算初始月產(chǎn)量和初始年產(chǎn)量，與回歸法相比，極大地提升了初始產(chǎn)量的計(jì)算精度。

（3）新模型采用極限遞減生產(chǎn)時(shí)間和初始產(chǎn)量及初始遞減率計(jì)算可采儲(chǔ)量，不僅計(jì)算方法簡便實(shí)用，計(jì)算精度也得到了顯著提高。