何建成，李林升，林國湘

（1.南華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，衡陽 421001；2.上海電機(jī)學(xué)院 電氣學(xué)院，上海 201306）

0 引言

軌跡規(guī)劃（trajectory planning）屬于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制類研究領(lǐng)域。隨著自動(dòng)化程度的進(jìn)一步發(fā)展，追求更佳高效、穩(wěn)定、智能的機(jī)械化設(shè)備是當(dāng)前發(fā)展的趨勢，對運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化可以使機(jī)械臂更佳高效的按照預(yù)期運(yùn)行。在考慮各種工況的前提下，添加相應(yīng)的工況約束，如：工作空間、速度、加速度、加加速度等，使其達(dá)到預(yù)期的工作效果，至始自終都是設(shè)計(jì)者所追求的。

針對不同的機(jī)器，依據(jù)不同的設(shè)計(jì)初衷有不同的設(shè)計(jì)目標(biāo)，后期的優(yōu)化改進(jìn)也是朝著這一初衷方向進(jìn)行。對運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化常用評判指標(biāo)通常有三項(xiàng)[1]：時(shí)間最優(yōu)（效率）、能耗最優(yōu)（節(jié)能）、沖擊最優(yōu)（壽命）。

優(yōu)化目標(biāo)對象通常可分為單目標(biāo)、組合目標(biāo)、多目標(biāo)[2]。

單目標(biāo)優(yōu)化常有：關(guān)于時(shí)間最優(yōu)軌跡優(yōu)化，適當(dāng)?shù)奶嵘龣C(jī)械臂運(yùn)行的速度，減少運(yùn)行時(shí)間，從而提高運(yùn)行效率；關(guān)于能量最優(yōu)軌跡優(yōu)化，旨在減少機(jī)械部件的應(yīng)力，降低能耗，適用于能耗高的工況條件；關(guān)于沖擊最優(yōu)軌跡優(yōu)化，以減少?zèng)_擊的產(chǎn)生為目標(biāo)，從而達(dá)到運(yùn)行的跟蹤精度提升，保護(hù)機(jī)械結(jié)構(gòu)，使其平穩(wěn)運(yùn)行，延長機(jī)器的使用壽命。單目標(biāo)優(yōu)化中，對于時(shí)間最優(yōu)軌跡優(yōu)化的研究開展最早，屬于熱門研究對象。付榮等[3]用分段多項(xiàng)式插值的方法，采用3-5-3多項(xiàng)式插值運(yùn)行軌跡，得到關(guān)節(jié)軌跡方程，后基于粒子群優(yōu)化算法（PSO）進(jìn)行時(shí)間最優(yōu)的軌跡優(yōu)化，該實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該種算法相較于傳統(tǒng)的3-5-5多項(xiàng)式插值在運(yùn)行時(shí)間及平穩(wěn)性上更優(yōu)。

組合目標(biāo)優(yōu)化，是考慮實(shí)際的需要，同時(shí)考慮兩種或兩種以上的性能最優(yōu)性，得到綜合優(yōu)化的機(jī)器人運(yùn)行軌跡。常常用權(quán)重系數(shù)法處理組合目標(biāo)優(yōu)化問題，該種方法一般對各優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)添加相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)問題進(jìn)行優(yōu)化處理，而權(quán)重系數(shù)大小的分配，體現(xiàn)出個(gè)別目標(biāo)在綜合優(yōu)化目標(biāo)中的程度，與此同時(shí)也要考慮到各優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量級或量綱不同的問題，致使權(quán)重系數(shù)很難合理的給予各優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)求解出來的解有可能不是全局最優(yōu)解，陷入局部最優(yōu)解[4]。對于組合目標(biāo)優(yōu)化，其中關(guān)于時(shí)間-能量最優(yōu)軌跡的研究開展的最早，時(shí)間代表效率，能量代表成本，一直以來都是我們所期望控制的，有相關(guān)學(xué)者徐海黎[5]等采用三次多項(xiàng)式擬合軌跡，使用加權(quán)系數(shù)法定義代價(jià)函數(shù)，研究出了基于時(shí)間與能量綜合的軌跡方法。時(shí)間-沖擊最優(yōu)軌跡也是一種常見的組合目標(biāo)軌跡規(guī)劃優(yōu)化方向，陸佳皓等[6]采用5次非均勻B樣條函數(shù)插值，利用NSGA-II算法進(jìn)行優(yōu)化，在提高了運(yùn)行效率的同時(shí)，使運(yùn)行過程中產(chǎn)生較小的沖擊。

多目標(biāo)優(yōu)化，對多個(gè)目標(biāo)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，得到相應(yīng)的Pareto解集，在依據(jù)實(shí)際選擇出最優(yōu)解。國外Saravanan等[7]，采用三次樣條曲線擬合運(yùn)行軌跡，利用NSGA-Ⅱ和微分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)添加相應(yīng)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的約束，對時(shí)間、能量、加加速度等多目標(biāo)進(jìn)行綜合優(yōu)化。王會(huì)方等[8]采用七次B樣條曲線擬合運(yùn)行軌跡，采用改進(jìn)非支配排序遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行多目標(biāo)的優(yōu)化，得到了優(yōu)化的Pareto解集。

本文采用五次多項(xiàng)式插值函數(shù)對關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂進(jìn)行軌跡規(guī)劃，將多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法與其結(jié)合，利用多目標(biāo)粒子群（MOPSO）簡單易算，參數(shù)可調(diào)等特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的優(yōu)化。以六自由度的PUMA560型機(jī)器人進(jìn)行試驗(yàn)仿真，證明該種軌跡規(guī)劃方法可以實(shí)現(xiàn)在考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的條件下，獲得Pareto最優(yōu)解集，后利用多項(xiàng)式擬合方法，得到相應(yīng)的PUMA560機(jī)器人運(yùn)行軌跡圖。

1 軌跡規(guī)劃

1.1 基于五次多項(xiàng)式關(guān)節(jié)軌跡構(gòu)造

在已知機(jī)器人運(yùn)行的任務(wù)空間軌跡的前提下，將任務(wù)空間軌跡離散化，通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解出各關(guān)節(jié)變量與時(shí)間的關(guān)系。用五次多項(xiàng)式去擬合各關(guān)節(jié)變量關(guān)鍵點(diǎn)，從而得到機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡。

五次多項(xiàng)式構(gòu)造機(jī)械臂運(yùn)行軌跡的數(shù)學(xué)通式為：

i=1，2，3，…，n表示關(guān)節(jié)代號，未知系數(shù)ain為第i個(gè)關(guān)節(jié)插值函數(shù)的第n個(gè)系數(shù)。

1.2 求解多項(xiàng)式插值軌跡

關(guān)節(jié)i的五次多項(xiàng)式插值函數(shù)及其對應(yīng)的初始位姿q0、末端位置qf、初始速度v0、初始末端速度vf、初始加速度α0、末端加速度αf、初始加加速度j0、末端加加速度jf表示為：

將指定的初始與末了條件：q0、v0、α0、qf、vf、αf、代入式(2)得系數(shù)矩陣為：

將求解出的系數(shù)a0～a5的值代入式(2)，從而可以求出五次插值軌跡方程。

1.3 軌跡優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)建立與運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的確立

依據(jù)實(shí)際工程中工況條件，要求串聯(lián)型機(jī)械臂具有效率高、能耗少、運(yùn)行平穩(wěn)的特點(diǎn)，為了達(dá)到時(shí)間、能耗、軌跡脈動(dòng)綜合最優(yōu)，同時(shí)考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)中的位置、速度、加速度、加加速度等約束條件，定義如下的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)以及約束條件：

Sub.to.

式中：S1為表示運(yùn)行總時(shí)間，是效率指標(biāo)。S2為表示運(yùn)行能量消耗，是能耗指標(biāo)。S3為表示運(yùn)行過程中加加速度值，是脈動(dòng)沖擊指標(biāo)；Qjmax、Vjmax、Ajmax、Jjmax為表示關(guān)節(jié)位移、速度、加速度、加加速度最大值。

2 多目標(biāo)優(yōu)化問題及PSO優(yōu)化算法原理

2.1 多目標(biāo)問題描述

在實(shí)際工程問題中往往要考慮多種約束條件下使多目標(biāo)同時(shí)達(dá)到綜合最優(yōu)，可將多個(gè)優(yōu)化對象以及約束條件分別表述成相應(yīng)的數(shù)值函數(shù)，進(jìn)行優(yōu)化處理。在很多工程實(shí)際問題中，可以將多目標(biāo)優(yōu)化問題表示成以下通式：

其中：fl（x）為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，gj（x）≤0為不等式約束條件，hj（x）=0為等式約束條件。

2.2 MOPSO優(yōu)化算法

粒子群算法（PSO）屬于群體智能優(yōu)化算法中的一種，這種算法以其實(shí)現(xiàn)容易、精度高、控制參數(shù)少、收斂快等優(yōu)點(diǎn)，在解決實(shí)際問題中展示出其優(yōu)越性[9]。MOPSO算法是基于PSO算法的基本原理，將只能用在單目標(biāo)上的PSO算法用來求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。

PSO算法的一般流程圖如圖1所示。

圖1 PSO算法的一般流程圖

具體為：先在可行解空間中初始化一群粒子，每個(gè)粒子都代表極值優(yōu)化問題的一個(gè)潛在的最優(yōu)解。用位置，速度，適應(yīng)度值三項(xiàng)指標(biāo)表示該粒子的特征。

粒子在解空間中的運(yùn)動(dòng)：

通過跟蹤個(gè)體極值Pbest和群體極值Gbest更新個(gè)體位置。

個(gè)體極值Pbest指個(gè)體所經(jīng)歷位置中計(jì)算得到的適應(yīng)度值最優(yōu)位置。

群體極值Gbest指種群中所有粒子搜索到的適應(yīng)度值最優(yōu)位置。

粒子每更新一次位置：

就計(jì)算一次適應(yīng)度值。

通過比較新粒子的適應(yīng)度值和個(gè)體極值，群體極值的適應(yīng)度值更新個(gè)體極值Pbest和群體極值Gbest位置。

每次迭代過程：

粒子通過個(gè)體極值和群體極值更新自身的位置和速度。

位置與速度更新公式：

速度：

位置：

其中：

ω為速度更新權(quán)重（慣性權(quán)重）；

C1、C2為學(xué)習(xí)因子；R1、R2為（0，1）上的隨機(jī)數(shù)。

PSO算法對于全局搜索與局部搜索最優(yōu)解的關(guān)鍵在于慣性權(quán)重系數(shù)ω的選擇。一個(gè)較大的慣性權(quán)值有利于全局搜索，而一個(gè)較小的慣性權(quán)值有利于局部搜索，為了兼顧全局與局部搜索能力，本文采用線性遞減慣性權(quán)重，讓權(quán)重值從大到小線性遞減。計(jì)算公式如下所示：

其中：wstart為初始慣性權(quán)重，wend為迭代至最大次數(shù)時(shí)的慣性權(quán)重，k為當(dāng)前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代代數(shù)。

利用MOPSO算法實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃多目標(biāo)優(yōu)化的主要流程為：1）初始化種群（種群大小、速度限定、位置限定、迭代次數(shù)等）；2）計(jì)算粒子適應(yīng)度函數(shù)；3）粒子最優(yōu)更新；4）非劣解集更新；5）粒子速度與位置更新；6）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若達(dá)到，則輸出支配解集，否則，轉(zhuǎn)到2）。

3 仿真驗(yàn)證

使用MATLAB 機(jī)器人工具箱對試教機(jī)械臂PUMA560建立仿真模型，從而進(jìn)行算法的驗(yàn)證分析，得到滿足實(shí)際約束條件下的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。

3.1 仿真模型建立

依據(jù)Craig法建立PUMA560型機(jī)器人連桿坐標(biāo)系，如圖2所示。對應(yīng)的PUMA560型機(jī)器人的D-H參數(shù)如表1所示。

圖2 PUMA560型機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系

表1 PUMA560型機(jī)器人的D-H參數(shù)表

表1中，αi表示繞X軸扭轉(zhuǎn)角；ai表示連桿長度；θi表示繞Z軸扭轉(zhuǎn)角；di表示Z軸偏置距離。

在MATLAB仿真軟件中，利用D-H參數(shù)結(jié)合機(jī)器人仿真工具箱創(chuàng)建PUMA560型機(jī)器人模型如圖3所示。

圖3 PUMA560型機(jī)器人仿真模型圖

3.2 仿真參數(shù)與約束設(shè)定

以PUMA560型機(jī)器人為仿真對象，各關(guān)節(jié)位置序列，如表2所示。得到仿真運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖4所示。運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件如表3所示，各關(guān)節(jié)采用五次多項(xiàng)式插值的方法構(gòu)建運(yùn)行軌跡，依據(jù)實(shí)際，設(shè)置初始與末了速度：v0=vf=0和加速度：α0=αf=0。

MOPSO算法初始參數(shù)設(shè)置為：

初始化種群數(shù)：m=100；

最大迭代次數(shù)：Tmax=50；

學(xué)習(xí)因子：C1、C2=1.4995；

隨機(jī)數(shù)：R1、R2=0～1；

ω慣性權(quán)重：采用線性遞減慣性權(quán)重，由0.9線性遞減至0.4；

外部檔案存儲(chǔ)數(shù)量：50。

表2 各關(guān)節(jié)位置序列

圖4 PUMA560型機(jī)器人仿真運(yùn)動(dòng)軌跡圖

表3 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

3.3 仿真結(jié)果

通過MOPSO算法，得到關(guān)節(jié)二運(yùn)行時(shí)間、能量消耗和軌跡脈動(dòng)綜合優(yōu)化的Pareto前沿面（最優(yōu)解集），如圖5所示。由圖可知，脈動(dòng)沖擊與能量消耗成正相關(guān)關(guān)系，共同制約著時(shí)間最優(yōu)性能。

圖5 PUMA560型機(jī)器人關(guān)節(jié)2軌跡優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解

對于關(guān)節(jié)二在原始設(shè)定由qz運(yùn)行到qr過程中，尋求時(shí)間、能量消耗、軌跡脈動(dòng)綜合最優(yōu)軌跡，可以得到數(shù)量充足，分布廣且均勻的Pareto前沿。依據(jù)實(shí)際，兼顧能耗與沖擊，取點(diǎn)A為最終迭代結(jié)果可以得到：S1=1.1485s、S2=1.5816rad/s2、S3=5.667rad/s3，相較于優(yōu)化前的結(jié)果，可以實(shí)現(xiàn)在時(shí)間上優(yōu)化提升40%左右，能量消耗上優(yōu)化提升9%，減少脈動(dòng)沖擊方面提升3%左右。由五次多項(xiàng)式插值軌跡曲線方程，求解出關(guān)節(jié)二優(yōu)化前后位移q，速度v，加速度α，加加速度j如圖6所示。

圖6 關(guān)節(jié)二位移、速度、加速度、加加速度曲線

可以看出基于五次多項(xiàng)式曲線插值軌跡，可得高階連續(xù)、平滑且啟停速度、加速度均可指定為0的運(yùn)動(dòng)軌跡；利用MOPSO優(yōu)化算法可以在滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件下，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的優(yōu)化。

4 結(jié)語

利用5次多項(xiàng)式插值構(gòu)造機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡，保證了各個(gè)關(guān)節(jié)的速度，加速度和脈動(dòng)的連續(xù)性且平滑性；相對單目標(biāo)優(yōu)化問題，多目標(biāo)優(yōu)化問題（MO）顯著的特點(diǎn)是使優(yōu)化的各個(gè)目標(biāo)，同時(shí)達(dá)到綜合的最優(yōu)值（得到有效解，即Pareto最優(yōu)解），在依據(jù)實(shí)際要求可以選取出所需要的值；MOPSO優(yōu)化算法在機(jī)器人軌跡中，有一定的適應(yīng)性，可以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化；本文在研究中未考慮各關(guān)節(jié)的協(xié)同作用及相應(yīng)的慣性力的作用，有待進(jìn)一步的研究。