鐘奇 潘維 王玉瑩 蘇生

(1 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094)(2 北京空間飛行器總體設(shè)計部 空間熱控技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100094)

航天器熱模型修正可以視為關(guān)于優(yōu)化或擬合的反問題，是航天器熱控領(lǐng)域中一個古老的話題。自1967年Toussaint提出用最小化分析-試驗?zāi)芰科胶鈿埐钸M行模型修正以來，業(yè)界一直在進行相關(guān)研究。從國外來看，一開始的方法主要有最小二乘法、卡爾曼濾波法[1]；隨著計算機能力的迅猛提升，出現(xiàn)了大量基于隨機統(tǒng)計的修正方法[2-3]。一般而言，參數(shù)敏感性分析是修正的前序環(huán)節(jié)，因此，圍繞參數(shù)采樣方法及敏感性分析的具體應(yīng)用也有大量研究[4-5]。期間，還有一些旨在實現(xiàn)修正過程自動化的工具開發(fā)研究[6-7]。近年，涌現(xiàn)出了兩種航天器熱模型新修正方法的研究：遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)[8-10]和Broyden類的準牛頓法[11]。

從1990年代開始，國內(nèi)也開展了大量關(guān)于航天器熱模型修正方法或應(yīng)用技術(shù)的研究[12]。這些研究有的采用trial-and-error式步驟對具體問題進行特性研究[13-14]，多數(shù)屬于單次單因子(one-factor-at-a-time)式的假設(shè)分析(what-if)類的低效的手工試算；有的專注于探討縮并不確定參數(shù)的數(shù)量[15-16]；有的探討分層修正等策略問題[16]。就修正算法而言，以最小二乘法[15-16]和Monte-Carlo統(tǒng)計分析[17-19]為主。近年，文獻[20]針對某熱工系統(tǒng)開展了運用遺傳算法進行參數(shù)辨識和控制參數(shù)優(yōu)化的研究，文獻[21]采用遺傳算法研究了熱傳導(dǎo)反問題，這些問題與航天器熱模型修正問題共性不多。文獻[22]針對航天器瞬態(tài)熱模型，給出了采用遺傳算法進行修正的應(yīng)用結(jié)果，但對實現(xiàn)過程描述不多。因此，對于航天器熱模型修正的兩種國外新方法，國內(nèi)的研究接近空白。

由于航天器熱模型修正的復(fù)雜性和難度，相關(guān)修正技術(shù)在工程實用中至今尚遠未成熟，現(xiàn)實中的大部分修正中，航天器熱控工程師不得不將手工調(diào)整參數(shù)作為優(yōu)先選擇[9]，繁瑣而低效，因此，業(yè)界對熱模型自動修正的需求一直是迫切的。正因為需求迫切而技術(shù)還不成熟，所以航天器熱模型修正問題雖然古老，但至今仍是航天器熱控領(lǐng)域的熱點話題。

本文對采用遺傳算法和Broyden類的準牛頓法這兩種新方法用于熱模型修正的原理、應(yīng)用效果進行分析。溫度和不確定參數(shù)能被修正的準確度均是應(yīng)用效果分析的關(guān)注重點。之后進一步延伸分析以往國內(nèi)熱模型修正研究中關(guān)注不多的不確定參數(shù)可解性問題，探討部分修正理念。

1 遺傳算法

1.1 原理

遺傳算法是一種模仿生物種群代際遺傳進化的啟發(fā)式隨機搜索通用算法。熱模型修正的目標(biāo)是尋找那些使分析和試驗測量的溫度差異盡可能小的不確定參數(shù)，這是一個對參數(shù)的搜索優(yōu)化問題。假定一個熱模型包含有線性熱導(dǎo)GL、輻射熱導(dǎo)GR、熱容MC共r個不確定參數(shù)，采用遺傳算法，將一個參數(shù)的一個可能解視為一個基因，一組不確定參數(shù)可能解的組合即為一個染色體(同時又稱為個體)。為便于理解，采用自然編碼，圖1即為一個染色體示例，基因所處位序為基因位。一組結(jié)構(gòu)相同、值不同的染色體集合即構(gòu)成一個種群。

圖1 染色體示例Fig.1 Example of a chromosome

首先定義適應(yīng)函數(shù)表達式為[8]

(1)

(2)

式中：T表示溫度，TP為分析溫度，Tm為測量溫度；i表示節(jié)點號，i=[1，I]；k表示瞬時時刻，k=[1，K]；j表示工況號，j=[1，J]。

確定適應(yīng)度收斂判據(jù)及最大迭代次數(shù)后，按照如下步驟[23-27]進行參數(shù)尋優(yōu)。

(1)隨機產(chǎn)生S組染色體作為初始種群并按照適應(yīng)函數(shù)計算適應(yīng)度，S即為種群規(guī)模。

(2)根據(jù)對每個染色體的適應(yīng)度評價結(jié)果，選擇一定數(shù)量的染色體進行復(fù)制、交叉、變異操作，形成新一代種群。復(fù)制的原則是讓適應(yīng)度高的染色體有更大的概率得以保留；單純的復(fù)制雖然使得新一代種群中高適應(yīng)度個體保留比例高，但它們與上一代完全一致，因此還需要進行交叉操作，交叉是對群體中任意兩個染色體，按照一定概率交換二者的部分基因；因為初始的種群可能沒有包含解決問題的所有必要信息，為防止后代一直包含這種先天缺陷，因此還需要讓交叉后的個體在某些基因上按照一定概率發(fā)生突變。

(3)返回步驟(2)，直到：①適應(yīng)度滿足收斂準則，此時種群中適應(yīng)度最佳的個體包含的參數(shù)即為“符合收斂判據(jù)”意義下的最優(yōu)參數(shù)，指定其為問題的最終解，計算結(jié)束。或②迭代達到設(shè)定的最大次數(shù)仍不能收斂，計算退出。

可以看到，GA算法中需要反復(fù)計算適應(yīng)度，對于熱模型而言，通常意味著需要反復(fù)用新一代的參數(shù)計算溫度，即利用求解器反復(fù)計算熱網(wǎng)絡(luò)模型的溫度。GA算法的另一個特征是，不同的初始種群得到的結(jié)果會有差異，因此一般需要進行多次嘗試。

1.2 應(yīng)用效果

文獻[9]展示了采用GA方法對一個搭載于空間站的科學(xué)實驗裝置熱模型的修正。該模型總節(jié)點47個，其中溫度待求節(jié)點28個(21個擴散節(jié)點+7個算術(shù)節(jié)點)、熱沉節(jié)點(即溫度的一類邊界)19個。不確定參數(shù)117個，包括42個GL、54個GR、21個MC。計算時刻數(shù)：低溫工況11個，高溫工況10個。以虛擬試驗和真實試驗為對象進行了兩類修正，如表1所示。

工況G1～G5為虛擬試驗修正，即將標(biāo)準參數(shù)取值下的分析結(jié)果視為“虛擬試驗”結(jié)果，然后隨機改變117個參數(shù)中的80%，改變幅度在±100%內(nèi)，將此狀態(tài)作為分析模型，用 “虛擬試驗”溫度作為真值來修正分析模型。為了研究“試驗”中有測量溫度的測點數(shù)的不同對修正的影響，以及修正時選定的不確定參數(shù)數(shù)量對修正的影響，人為設(shè)定了5種工況。

工況G6為針對真實熱平衡試驗的修正。該修正前分析與真實試驗平均偏差2.37 ℃，單個節(jié)點在某時刻上最大偏差6.43 ℃。

表1 GA修正案例Table 1 Cases of correlation using GA

從表1可見，除工況G4之外的修正都能在有“試驗測量溫度”的節(jié)點上滿足分析與試驗溫度偏差不超過0.5 ℃。文獻[9]亦因此宣稱GA可以用于中小規(guī)模問題。但可以看到，該研究的參數(shù)修正效果很不成功，該文也提到，GA修正出的參數(shù)可能會喪失物理真實性。

2 Broyden類的準牛頓法

2.1 原理

Broyden類的準牛頓法需要從非線性方程組的牛頓迭代法說起，以如下非線性方程組為例，牛頓迭代法的過程為[28]

(3)

式中：x、y為待求未知量，在初始近似值(x0,y0)附近作泰勒展開取線性部分為

(4)

用矩陣形式表達即

(5)

左邊第一個矩陣即為雅科比矩陣，滿足矩陣可逆的前提下，按矩陣求逆法有為

(6)

即

(7)

由此得到新一輪近似值，如此反復(fù)迭代直至前后兩次誤差小于容差。

一個含有W個不確定參數(shù)pw(w表示序號，w=[1，W]、I個未知溫度量Ti的熱網(wǎng)絡(luò)方程組，可以視為隱函數(shù)表達的pw到Ti的映射

(8)

多數(shù)修正方法是尋求上述方程組的解與測量溫度差值盡量小，Broyden類的準牛頓法則直接求解下述方程組。

(9)

采用牛頓迭代法，用矩陣形式表達的話，按照式(7)的推導(dǎo)過程，則有[11]

(10)

通常I≠W，所以式(10)與式(7)有區(qū)別：式(7)中的雅科比矩陣是方陣，其逆矩陣是標(biāo)準定義逆矩陣，而式(10)中的雅科比矩陣不是方陣，其逆矩陣是廣義逆矩陣,式(10)僅為一個特解[29]。

可以看出，在式(10)的每次迭代中，都需要計算每一個Fi的值，也就要求計算隱函數(shù)fi的值，這意味著每次迭代時用熱網(wǎng)絡(luò)方程求解器計算出溫度不可避免。雅科比矩陣元素的偏導(dǎo)值計算同樣沒法通過顯式解析式得到，Broyden發(fā)明了基于前一步結(jié)果來近似雅科比矩陣的方法，這正是Broyden類的準牛頓法的最明顯特征。該方法要求熱模型是參數(shù)的單調(diào)且可微函數(shù)，航天器熱控系統(tǒng)經(jīng)常用到的自動控溫加熱并不符合這一要求，需要在分析模型將控溫邏輯轉(zhuǎn)換為隨時間變化的加熱方式。

2.2 應(yīng)用效果

文獻[11]針對兩個模型進行了修正。第一個是虛擬試驗修正，模型包含4個未知節(jié)點、1個邊界節(jié)點；可變參數(shù)為6個GL，6個GL按標(biāo)稱值計算得到的結(jié)果作為虛擬試驗數(shù)據(jù)，然后改變6個GL值的計算結(jié)果作為分析值，待修正參數(shù)按3種不同數(shù)量進行了3個修正，如表2所示(見表中B1～B3)。

表2 Broyden類的準牛頓法修正案例Table 2 Cases of correlation using quasi-Newton algorithm of Broyden class

文獻[30]同時采用Broyden類的準牛頓方法和GA算法，對文獻[8]的算例進行了修正對比。為便于比較，不再采用偏差總方根、而統(tǒng)一用偏差均方根進行評價，結(jié)果是都能達到均方根<1 K，對于均方根<10-4K的收斂判據(jù)，Broyden類的準牛頓法能達到，而GA無法收斂。文獻[30]最后列舉了采用Broyden類的準牛頓方法應(yīng)用于節(jié)點規(guī)模較大的真實修正結(jié)果，如表3所示。

表3 Broyden類的準牛頓法大模型修正案例Table 3 Examples of correlation for large model using quasi-Newton algorithm of the Broyden class

表2、3的案例表明，Broyden類的準牛頓方法能取得較好的溫度修正結(jié)果，包括GA算法不能收斂的一些情況。不過其參數(shù)修正效果是未知的。

3 關(guān)于修正的進一步探討

以上案例表明，拋開不確定參數(shù)的修正效果、僅衡量溫度偏差的話，GA算法和Broyden類的準牛頓法應(yīng)用于熱模型修正，目前表現(xiàn)是有一定可行性的。不過，熱模型修正的最高目標(biāo)是獲取不確定參數(shù)的精確值，以進行后續(xù)的精確預(yù)示。一個在軌運行或地面熱平衡試驗中的真實航天器，影響其溫度分布的每一個參數(shù)在某一時刻本應(yīng)只有一個值，理論上應(yīng)當(dāng)可以反向計算出這些參數(shù)的值。現(xiàn)實中達到完美修正的困難何在呢？

第一個困難是不確定參數(shù)的識別充分性：截至目前，所有用虛擬試驗來進行的修正研究中，是將已知參數(shù)真值的結(jié)果作為“試驗”結(jié)果，然后人為制造參數(shù)偏離作為分析狀態(tài)，然后尋找能滿足分析溫度結(jié)果與“試驗”溫度一致的參數(shù)值。這相當(dāng)于事先已識別出所有的不確定參數(shù)，這與實際的修正存在重大差異：實際的修正中不可能保證不確定參數(shù)全部被識別。很顯然，未被識別的不確定參數(shù)一定是不能被修正到真值的。這一點直接引發(fā)了工程上向現(xiàn)實的第一個妥協(xié)：通過參數(shù)分析，篩選掉不敏感參數(shù)，認為識別了所有敏感參數(shù)。

第二個影響修正精確度的因素是溫度比較點的有限性：測點總是有限的，滿足修正目標(biāo)的最多是統(tǒng)計點上的溫度偏差，只能證明溫度偏差在有限點上滿足某個判據(jù)，并不足以證明無測點部位溫度偏差也滿足判據(jù)，自然更不能證明修正后所有參數(shù)的精確性以及任意部位的溫度預(yù)示的精確性，這也是文獻[31]的觀點。

第三個重要因素是以往熱模型修正中普遍忽視的關(guān)于參數(shù)的定解狀態(tài)。表1～3中的修正工況按定解狀態(tài)分成了欠定解、定解和過定解3種狀態(tài)，其含義是：欠定解(Underdetermined)為不確定參數(shù)個數(shù)>溫度測點數(shù)；定解(Derdetermined)為不確定參數(shù)個數(shù)=溫度測點數(shù)；過定解(Overdetermined)為不確定參數(shù)個數(shù)<溫度測點數(shù)。理論上，欠定解問題有無窮多解；定解問題有唯一解；而過定解無解。以下考慮實際的熱模型的定解狀態(tài)。

(1)一般的航天器熱模型都屬于欠定解系統(tǒng)，理論上解就不唯一。表1～3中的定解狀態(tài)不過是分析者“認為”的狀態(tài)，實際的熱網(wǎng)絡(luò)方程中，節(jié)點熱容、外熱流、大量的接觸熱導(dǎo)類的線性熱導(dǎo)、非線性的輻射熱導(dǎo)等參數(shù)，都有不確定性，所以，不確定參數(shù)一定是多于模型節(jié)點數(shù)的，更是多于測點數(shù)的。對于接觸熱導(dǎo)，工程上通常認為同類接觸狀態(tài)的接觸換熱系數(shù)相同，比如對使用導(dǎo)熱脂的接觸面都采用一個換熱系數(shù)，由此減少一些不確定參數(shù)數(shù)量。但實際上這類假設(shè)不嚴格成立：由于緊固點數(shù)量、接觸面積的不同，接觸面的安裝預(yù)應(yīng)力有差異，使用同一種導(dǎo)熱填料的不同接觸面上，接觸換熱系數(shù)事實上有差異，每個接觸熱導(dǎo)都應(yīng)是獨立的不確定參數(shù)。即使承認這些近似假設(shè)，一般的熱模型的不確定參數(shù)往往仍是多于測點數(shù)的。熱模型方程組因此屬于數(shù)學(xué)上的一致方程，在數(shù)學(xué)上[29]已經(jīng)證明，一致方程存在多解，理論上要獲取參數(shù)的唯一精確解是不可能的，前述式(10)的方法獲取的只是一個特解而已。需要再增加約束條件，方能得到最小范數(shù)(最短距離)之類意義上的唯一解。

(2)工程上對修正參數(shù)數(shù)量的壓縮往往將欠定解問題變成理論上無解的過定解問題：要修正過多的不確定參數(shù)不現(xiàn)實，因此一般分析者會人為附加若干假設(shè)(比如認為外熱流、熱容是準確的)，結(jié)合經(jīng)驗或參數(shù)分析結(jié)果，一般最終會選定遠少于測點數(shù)的參數(shù)進行修正，尤其是對于整星、整器的系統(tǒng)級模型修正，這樣，將事實上無唯一解的欠定解問題變成了操作中的過定解問題，也即數(shù)學(xué)上的非一致方程，非一致方程意味著方程組中存在相互間矛盾的方程，因此只能有最小二乘解之類的近似解[29]。無法做到溫度收斂到0偏差，最多達到溫度偏差小于某一數(shù)值，自然更不能得到參數(shù)的解。

綜上，熱模型修正的最高目標(biāo)是試圖得到不確定參數(shù)的“確定”(相對修正前應(yīng)更精準、更確定)值，但參數(shù)精確值又不可得。對于這個悖論，工程上理性的態(tài)度是：①熱模型修正目標(biāo)只能限于滿足在所選評價點上的溫度偏差盡量小，不應(yīng)寄望參數(shù)達到真值；②用于評價的測點數(shù)、工況數(shù)、時刻點(瞬態(tài)工況)越多，參數(shù)接近真值的概率越大，后續(xù)預(yù)示的可信度越高；③對于修正得到的參數(shù)值，盡量成組一起使用。因為修正得到的參數(shù)很可能喪失了物理真實性，因此不應(yīng)單個使用；④盡量遵循在修正和預(yù)示中保持影響參數(shù)值的狀態(tài)一致，比如，通過修正得到了某個設(shè)備安裝面的接觸熱導(dǎo)，應(yīng)當(dāng)在修正后未曾對該設(shè)備進行再次拆裝，方能將該值用于預(yù)示。

4 運用人工智能修正熱模型的展望

以信息系統(tǒng)的視角來看，熱網(wǎng)絡(luò)模型是一個以熱耗、熱沉溫度、構(gòu)型等條件為輸入，飛行或試驗測量溫度為輸出的系統(tǒng)。傳統(tǒng)的熱模型修正用確定的非顯式函數(shù)來描述輸入-輸出映射關(guān)系，各種確定、不確定參數(shù)影響著映射關(guān)系，熱模型修正是一個通過不斷用“正確”輸出(測量溫度)來評價“相對不正確”輸出(分析溫度)、并調(diào)整影響分析輸出的不確定參數(shù)的過程。這一過程非常類似人工智能(Artificial Intelligence, AI)領(lǐng)域的深度學(xué)習(xí)過程，因此，如果拋開熱模型的函數(shù)關(guān)系、放棄對參數(shù)確定值的期望，將熱模型視為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將獲得參數(shù)值這一修正目標(biāo)降級為獲得各層神經(jīng)元之間連接強度(或權(quán)重系數(shù))，應(yīng)當(dāng)是可行的。因為修正的終極目的是準確預(yù)示，通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度學(xué)習(xí)也是建立輸入輸出之間的精確描述模型，只是傳統(tǒng)修正中可以判斷參數(shù)的物理合理性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的連接強度沒有物理意義，無法在物理上判斷其真實性而已，但這并不妨礙預(yù)示這一終極目的。事實上，已經(jīng)有學(xué)者開展了這方面的探索研究，該研究采用“虛擬試驗”結(jié)果(即標(biāo)準狀態(tài)分析結(jié)果)來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，采用了1層中間層(隱含層)[32]，該研究結(jié)論是這種方法有可行性。

近年，AI技術(shù)在多個應(yīng)用領(lǐng)域進入了迅猛發(fā)展期，其中尤以AlphaGo為突破性的代表，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)模型的研究有很大進展[33]。結(jié)合AI有關(guān)的最新技術(shù)，利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行熱模型修正(主要是預(yù)示)，也許會有更多突破、成為航天器熱分析領(lǐng)域的一個研究熱點。目前，利用真實而非虛擬的試驗數(shù)據(jù)、采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行模型修正的案例還不多，諸多問題還值得進一步探索，比如隱含層數(shù)量影響如何，是否有效果更好的網(wǎng)絡(luò)模型等問題。

5 結(jié)束語

本文總結(jié)了近年出現(xiàn)的遺傳算法和Broyden類的準牛頓法兩種熱模型修正新技術(shù)的方法，并分析了相關(guān)應(yīng)用案例中關(guān)于溫度和不確定參數(shù)的修正效果。對文獻信息的綜合分析表明，兩種方法在滿足溫度偏差最小化這一評價標(biāo)準下是可行的，值得進一步研究。目前的應(yīng)用案例中，參數(shù)并不能全部被修正到精確值。進一步分析發(fā)現(xiàn)，實際的航天器熱模型一般均為欠定解系統(tǒng)，或者會被人為轉(zhuǎn)換為過定解系統(tǒng)，這兩種系統(tǒng)的修正都不可能獲得精確的參數(shù)反解值。因此，工程中必須成套使用通過修正獲得的參數(shù)，并遵循在修正和預(yù)示中保持參數(shù)嚴格一致的原則。結(jié)合AI技術(shù)的進步，利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行深度學(xué)習(xí)、用于模型修正是可能的，有望成為今后的一個研究熱點。