陳甦欣，韓 暑，涂德江，晏文彬

(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009)

0 引言

軸承是各類機(jī)械設(shè)備的重要基礎(chǔ)零部件，隨著現(xiàn)代工業(yè)的快速發(fā)展，對軸承的精度和壽命提出了更高的要求[1]。軸承的幾何尺寸是生產(chǎn)加工中非常關(guān)鍵的參數(shù)，傳統(tǒng)的尺寸檢測方法大部分是通過游標(biāo)卡尺、千分尺等進(jìn)行接觸式測量獲取軸承的幾何尺寸，具有精度低、效率低、且易引入人為誤差的特點，不再適應(yīng)現(xiàn)代化的生產(chǎn)需求。

目前改進(jìn)的軸承尺寸檢測技術(shù)有很多，包括超聲波探聲法，激光掃描法以及視覺檢測法，其中超聲波和激光檢測方法具有較好的檢測效果，但成本較高。視覺檢測法具有非接觸、動態(tài)范圍大及信息豐富等優(yōu)點，解決了傳統(tǒng)檢測方法精度低、勞動量大、工作效率低等問題。劉科文等[2]使用了最小二乘法擬合邊緣像素，可以獲得軸承的內(nèi)外徑尺寸，但是達(dá)不到高精度的要求。GAO Y等[3]采用了軸承側(cè)面投影方法檢測軸承的外徑尺寸，但無法應(yīng)用于軸承的內(nèi)徑尺寸檢測。朱福康等[4]提出了一種基于圖像深度信息集的Hough圓檢測方法，對軸承進(jìn)行了邊緣特征提取。該方法具有對噪聲不敏感的優(yōu)點，在一定程度上提高了軸承尺寸檢測的精度，但是需要在參數(shù)空間進(jìn)行累計，計算量較大。為了解決這一問題，本文重點研究了一種基于g2o(圖優(yōu)化)的尺寸檢測優(yōu)化方法，該方法具有高精度、高效率的特點，很好的解決了軸承在檢測過程中精度與時間復(fù)雜度協(xié)調(diào)的問題。

1 圖像預(yù)處理及像素級邊緣檢測

圖像的信號在形成及傳輸?shù)倪^程中夾雜著各類的噪聲[5]，需要對圖像進(jìn)行濾波處理以降低噪聲。常用的濾波處理有高斯濾波、均值濾波及中值濾波等。為了達(dá)到去噪保邊的目的，使用雙邊濾波[6]對圖像進(jìn)行濾波，處理后的圖像如圖1所示。

圖1 雙邊濾波及局部放大圖

為了簡化或改變圖像的表示形式，需要對圖像進(jìn)行分割[7]。首先，使用閾值分割將灰度圖像轉(zhuǎn)換為二值化圖像，再使用形態(tài)學(xué)操作排除圖像中小型黑洞，結(jié)果如圖2所示；其次，對二值化圖像中所有連通域的面積進(jìn)行計算，通過設(shè)置閾值剔除小于該面積的連通區(qū)域，得到最終的感興趣區(qū)域圖像如圖3所示。

圖2 閾值分割 圖3 連通域處理

邊緣檢測技術(shù)的精確度直接影響測量結(jié)果的好壞。常用的像素級邊緣檢測算子有Laplacian算子、Sobel算子、Roberts算子和Canny算子等[8]。其中，使用Canny算子進(jìn)行像素級邊緣檢測的效果較好，如圖4所示。

圖4 Canny邊緣檢測效果圖

2 亞像素邊緣檢測

軸承尺寸檢測對精度要求很高，故考慮亞像素級別的邊緣檢測。Zernike矩法是一種常用的亞像素邊緣檢測方法，圖5為亞像素邊緣檢測模型，其中直線L與圓相交的弦代表理想邊緣，b和b+n為邊緣兩側(cè)的灰度值，d為原點到L的垂直距離，圖6繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ度得到圖7。

圖5 原始邊緣示意圖 圖6 旋轉(zhuǎn)后邊緣示意圖

利用Zernike矩旋轉(zhuǎn)不變性[9]可以計算出n,d,θ，若像素點滿足n≥τ∩d≤δ，將像素點代入亞像素邊緣點坐標(biāo)計算公式：

其中，(x′,y′)為亞像素邊緣點坐標(biāo)，(x,y)為像素邊緣點坐標(biāo)，N為卷積核的大小，δ通常設(shè)置為單個像素長度的0.707。τ作為人工選擇的閾值，其大小對圖像邊緣的判斷具有十分重要的影響，如果τ取值過小，會檢測出很多偽邊緣，相反，若τ過大，真實邊緣會被丟失，所以需要反復(fù)調(diào)整才能取得較理想的檢測結(jié)果。圖像的灰度值和階躍灰度值在同一像素點處具有相同的變化趨勢，可以利用Otsu法計算目標(biāo)和背景基于階躍灰度的最大類間方差，求得最優(yōu)的階躍灰度閾值τ，更快的完成檢測過程。

3 基于g2o的曲線擬合方法

在機(jī)器人領(lǐng)域和計算機(jī)視覺中,許多優(yōu)化問題最后都?xì)w結(jié)于求非線性誤差函數(shù)的最小值問題[10]，通常對非線性最小二乘問題的求解有一些標(biāo)準(zhǔn)的方法，如Gauss-Newton(GN)和Levenberg-Marquardt(LM)等。然而，這些解法在求解的過程中需要進(jìn)行大量的矩陣運算，使用g2o可以簡化求解的過程。g2o是一個通用的圖優(yōu)化開源框架，該框架集成了Eigen矩陣計算庫，具有強(qiáng)大的算力，部分框架如圖7所示。

圖7 g2o的部分框架圖

從圖7中可以看出，優(yōu)化算法可以調(diào)用兩個求解器，其中SparseBlockMatrix用來計算Jacobian和Hessian矩陣，linearSolver是用于線性方程求解。用戶可以根據(jù)具體的誤差函數(shù)選擇合適的迭代算法，并對迭代算法中的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，從而方便、快速地求解非線性最小二乘問題。本文在選擇求解器與迭代算法進(jìn)行曲線擬合時，由于迭代算法初始值的設(shè)置及異常數(shù)據(jù)的存在，導(dǎo)致優(yōu)化算法并不穩(wěn)定，因此，需要設(shè)置合適的迭代初始值并對異常數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)處理。

3.1 選擇迭代算法

通常最小二乘問題可以表示為：

對上式進(jìn)行泰勒公式展開，保留一階梯度得：Δx*=-JT(x)，稱為最速下降法；若保留二階梯度得：HΔx*=-JT(x)，稱為GN法。最速下降法和GN法雖然直觀，但在實際運用中最速下降法收斂速度比較低，GN法需要計算復(fù)雜的Hessian矩陣，計算結(jié)果不穩(wěn)定。相比較而言，LM算法引入信賴區(qū)域思想，認(rèn)為近似只在一定范圍內(nèi)成立，如果近似太小，則縮小范圍，反之，則增加近似范圍，保證了其增量方程的正定性；但是本文在使用該算法進(jìn)行優(yōu)化時發(fā)現(xiàn)算法的穩(wěn)定性不是很好，主要是因為非線性優(yōu)化的所有迭代求解方案，都需要提供一個良好的初始值，不同的初始值往往會導(dǎo)致不同的優(yōu)化結(jié)果。因此，為了避免LM算法容易陷入局部極小值，在運行迭代算法之前，隨機(jī)選擇三個坐標(biāo)使用最小二乘法擬合曲線方程，為LM算法提供變量的初始值，從而提高算法的穩(wěn)定性。

3.2 處理異常數(shù)據(jù)

最小二乘法使用了平方函數(shù)衡量偏差[11]，使得異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn)對最小二乘法的優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生了破環(huán)性的影響，使用魯棒性代價函數(shù)可以減少異常數(shù)據(jù)對誤差函數(shù)的影響。常用的魯棒性代價函數(shù)有Huber 函數(shù)，具體形式如下：

該函數(shù)可以將誤差大于或等于閾值b的數(shù)據(jù)點按照線性增長而非二次增長，但是該函數(shù)并沒有完全消除異常數(shù)據(jù)對優(yōu)化結(jié)果的影響。于是，針對本文中出現(xiàn)的異常數(shù)據(jù)做以下分析處理：

(1)若異常數(shù)據(jù)使用Huber函數(shù)處理后，對最終優(yōu)化結(jié)果的影響在容錯范圍內(nèi)，則無需對異常數(shù)據(jù)做進(jìn)一步處理，優(yōu)化算法結(jié)束；

(2)若異常數(shù)據(jù)使用Huber函數(shù)處理后對最終優(yōu)化結(jié)果影響較大，則需要對異常數(shù)據(jù)進(jìn)行二次處理，優(yōu)化算法繼續(xù)進(jìn)行；使用迭代算法得到的曲線方程，把所有的數(shù)據(jù)代入這個曲線方程求得殘差后，通過設(shè)置容限誤差來區(qū)分inliers和outliers，從而剔除異常數(shù)據(jù)。最后，對篩選后的數(shù)據(jù)再次使用迭代算法，可以得到較好的優(yōu)化結(jié)果。

3.3 使用g2o優(yōu)化曲線

本文曲線擬合的誤差函數(shù)為：

上式，待估計變量(a,b)為圓心坐標(biāo)，c為半徑；(xi,yi)為亞像素坐標(biāo)。

為了使用 g2o，需要將曲線擬合問題抽象成圖優(yōu)化。該圖由若干個節(jié)點，以及連接著這些節(jié)點的邊組成。其中，節(jié)點表示優(yōu)化變量，邊表示誤差項。在曲線擬合問題中，整個問題只有一個節(jié)點，該節(jié)點包含曲線模型的3個參數(shù)a、b、c，而每個帶噪聲的數(shù)據(jù)點，即圖優(yōu)化的邊，構(gòu)成了一個個誤差項。該邊是一元邊 ，即只連接一個節(jié)點，如圖8所示。

圖8 g2o曲線擬合模型

在g2o中建立該模型進(jìn)行優(yōu)化，步驟如下：

(1)定義節(jié)點和邊的類型；

(2)構(gòu)建圖；

(3)異常邊判斷與處理；

(4)選擇迭代算法；

(5)調(diào)用 g2o 進(jìn)行優(yōu)化,返回結(jié)果。

通過代碼編程，優(yōu)化模型構(gòu)建，可以得到軸承內(nèi)外徑擬合部分優(yōu)化過程參數(shù)，如圖9所示，包含每次迭代時間、添加邊的個數(shù)、總的迭代次數(shù)與時間以及尺寸參數(shù)，擬合優(yōu)化結(jié)果如圖10所示。

圖9 軸承內(nèi)外徑擬合部分優(yōu)化過程參數(shù)

圖10 軸承內(nèi)外徑擬合優(yōu)化結(jié)果

4 流程分析與實驗驗證

4.1 尺寸檢測流程分析

尺寸檢測主要分為圖像預(yù)處理、邊緣檢測、內(nèi)外點篩選、異常數(shù)據(jù)處理、使用g2o優(yōu)化曲線5個部分，如圖11所示。

圖11 基于 g2o(圖優(yōu)化)的尺寸檢測優(yōu)化方法

4.2 實驗驗證

仿真實驗在Linux環(huán)境下進(jìn)行，CPU采用Intel Core i7處理器，內(nèi)存為8 GB，編程語言采用C++。為了證明方法的有效性，在Visual Studio環(huán)境下使用基于g2o(圖優(yōu)化)的優(yōu)化方法對軸承圖像進(jìn)行內(nèi)外徑尺寸檢測，對軸承尺寸檢測系統(tǒng)的精確度及時間復(fù)雜度進(jìn)行評估。

精確度是驗證方法效果的主要準(zhǔn)則，精度的好壞會直接影響方法的測量結(jié)果。本文使用同心度、平均值及標(biāo)準(zhǔn)差來衡量檢測精度，其中同心度表達(dá)式為：

其中，(x1,y1) 為軸承的外圓圓心坐標(biāo)；(x0,y0)為軸承的內(nèi)圓圓心坐標(biāo)。

檢測精度結(jié)果如表1所示，軸承尺寸檢測系統(tǒng)在像素上的精度可以達(dá)到0.5個像素，軸承內(nèi)外徑測量誤差在0.015 mm范圍內(nèi)，且檢測系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好。

表1 軸承尺寸測量結(jié)果

時間復(fù)雜度是驗證算法效率的重要標(biāo)準(zhǔn)，時間復(fù)雜度的高低會嚴(yán)重影響算法的運行效率。在軸承內(nèi)外徑尺寸檢測的過程中，通過chrono函數(shù)得到最小二乘圓檢測法，Hough圓檢測法及本文方法的運行時間。具體時間如表2所示。

表2 時間復(fù)雜度對比 (ms)

通過表2 的對比結(jié)果可以看出，基于g2o(圖優(yōu)化)的尺寸檢測優(yōu)化方法在時間復(fù)雜度上遠(yuǎn)低于其他兩種方法。這是因為g2o中不僅使用大量的類模板來提高運行效率，還使用了 Eigen 線性代數(shù)庫來達(dá)到較高的計算性能，從而降低了時間復(fù)雜度。

5 總結(jié)

本文的重點是基于g2o(圖優(yōu)化)的尺寸檢測優(yōu)化方法的研究。以圖像濾波處理、形態(tài)學(xué)操作、閾值分割為基礎(chǔ)，消除了圖像中的無關(guān)信息，增強(qiáng)了有關(guān)信息的可檢測性；采用亞像素邊緣檢測獲取亞像素邊緣坐標(biāo)，提高了軸承尺寸檢測的精度；通過最小二乘法擬合初始曲線為迭代算法提供初始值，提高了迭代算法的穩(wěn)定性；使用魯棒性代價函數(shù)處理異常數(shù)據(jù)，并對優(yōu)化結(jié)果影響較大的異常數(shù)據(jù)進(jìn)行二次處理，減小了異常數(shù)據(jù)對優(yōu)化結(jié)果的影響；把處理后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入g2o中進(jìn)行優(yōu)化，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑尺寸，提高了運行效率，降低了系統(tǒng)的時間復(fù)雜度。

實驗表明，基于g2o(圖優(yōu)化)的尺寸檢測優(yōu)化方法達(dá)到了工業(yè)級的精度要求且算法的時間復(fù)雜度優(yōu)于其他常規(guī)方法，為其它圓形零件的尺寸檢測提供參考。