練清清，裴鑫萍，陳云珊，蒙偉明，梁 盛，湯小松

具有雙Allee效應(yīng)的時(shí)滯擴(kuò)散捕食-食餌模型的時(shí)空動(dòng)力學(xué)

練清清1，裴鑫萍1，陳云珊1，蒙偉明2，梁 盛2，*湯小松1

（1.井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009；2.井岡山大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江西，吉安 343009）

研究了一類具有雙Allee效應(yīng)的時(shí)滯擴(kuò)散捕食-食餌模型。以Allee閾值和時(shí)滯為分支參數(shù)，利用特征方程和分析技巧討論了該模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、擴(kuò)散誘發(fā)的Turing不穩(wěn)定和時(shí)滯誘發(fā)的Hopf分支問題。最后，通過數(shù)值模擬，獲得了該模型的空間周期解和時(shí)空斑圖，并驗(yàn)證了所得結(jié)果的正確性。

捕食-食餌模型；雙Allee效應(yīng)；周期解；時(shí)空斑圖

捕食者和食餌之間的相互關(guān)系及其演化是生態(tài)學(xué)和生物數(shù)學(xué)中的重要研究課題，這引起了生物和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中許多學(xué)者的極大興趣。為了刻畫捕食者和食餌之間的交互作用及其演化，Lotka[1]和Volterra[2]率先利用微分方程來建立種群間相互作用的數(shù)學(xué)模型。此后，許多捕食-食餌系統(tǒng)被提出來并獲得了大量有意義的研究成果。1931年，美國動(dòng)物學(xué)家Allee提出了Allee效應(yīng)，即群居有益于種群的生長和存活，但是種群過于稀疏或擁擠都會(huì)阻礙其生長，并對繁殖產(chǎn)生副作用，每個(gè)物種都有最適宜生長的密度[3]。由于Allee效應(yīng)對種群動(dòng)力學(xué)有潛在的影響，近年來得到了眾多學(xué)者的青睞[4-10]。然而，需要指出的是以往的文獻(xiàn)只考慮了食餌的Allee效應(yīng)，而捕食者的Allee效應(yīng)沒有得到考慮。此外，對各種生物種群這樣一個(gè)群體僅考慮時(shí)間是不夠的，由于大多數(shù)生物種群分別活動(dòng)在某個(gè)空間范圍，理應(yīng)考慮空間的影響。基于以上分析，我們在經(jīng)典的Lotka-Volterra模型基礎(chǔ)之上引入Allee效應(yīng)和二次死亡率，提出如下時(shí)滯擴(kuò)散捕食-食餌模型：

其滿足如下Neumann邊界條件和初始條件：

本研究將利用特征方程和分析技巧討論了模型(1)-(3)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、擴(kuò)散誘發(fā)的Turing不穩(wěn)定[11-12]和時(shí)滯誘發(fā)的Hopf分支問題，從而獲得該模型的時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為。

本模型的結(jié)構(gòu)如下：在第1節(jié)中，討論了模型(1)平衡點(diǎn)的存在性，并研究其穩(wěn)定性以及擴(kuò)散誘發(fā)的Turing不穩(wěn)定和時(shí)滯誘發(fā)的Hopf分支問題。在第2節(jié)中，通過數(shù)值模擬，獲得了該系統(tǒng)的空間周期解和時(shí)空斑圖并驗(yàn)證了所得結(jié)果的正確性。最后，我們對本研究作了簡要討論。

1 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析

我們僅對情形4的正平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，其它三種情形也可類似討論。

設(shè)線性化方程(5)的解形式為

。

并設(shè)線性化方程(6)的解形式為

則對應(yīng)于線性化方程(6)的特征方程為

其中，

對(8)式分離實(shí)部與虛部，則(8)式可化為

繼而，由(9)和(10)可得

其中

根據(jù)一元二次方程解的判定，容易得如下結(jié)果：

繼而，

2 數(shù)值計(jì)算與模擬

在本小節(jié)，我們將利用MATLAB軟件對模型(1)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與模擬，以驗(yàn)證本次結(jié)果的正確性。

圖1 模型(1)的分支圖

左圖：，中圖：，右圖：

左圖：，中圖：，右圖：

圖3 食餌在時(shí)的時(shí)空斑圖

Fig. 3 Snapshots of contour pictures of the time evolution of prey at the moment of t=25000,

圖5 時(shí)，穩(wěn)定的空間周期解

Fig. 5 The stable spatial periodic solutions

圖6 時(shí)，的局部漸近穩(wěn)定性

Fig. 6 The locally asymptotical stability of positive equilibrium

最后，我們對二維空間變量情形進(jìn)行數(shù)值模擬。情形(1)選取初始條件為

圖8 演化時(shí)間為500的時(shí)空斑圖

Fig. 8 Snapshots of contour pictures of the time evolution of prey at the moment of t=500 .

圖9 選取時(shí)的時(shí)空斑圖

3 結(jié)語

[1] Lotka A J. Sui tentutive di applicazione delle mathematiche alle seienze biologiche e sociali[J]. Ann. Radioelectr. Univ. Romandes,1901,2:3-28.

[2] Volterra V. Variazione e fluttuazini del numero d’individui in specie animali conviventi[J]. Mem. R. Accad. Naz. Dei Lincei, 1926, 2: 31-113.

[3] Allee W C. Animal aggregations: a study in general sociology[M]. Chicago:University of Chicago Press, 1931.

[4] Cui R H, Shi J P, Wu B Y. Strong Allee effect in a diffusive predator-prey system with a protection zone[J]. Journal of Differential Equations, 2014, 256(1):108-129.

[5] Wang X C, Wei J J. Dynamics in a diffusive predator-prey system with strong Allee effect and Ivlev-type functional response[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015, 422 (2): 1447-1462.

[6] Zhang L M, Zou L. Bifurcations and control in a discrete predator-prey model with strong Allee effect[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2018, 28(5): 1850062.

[7] Michel Iskin da S C, Lucas dos A. Multiple hydra effect in a predator–prey model with Allee effect and mutual interference in the predator[J]. Ecological Modelling, 2018, 373: 22-24.

[8] Tyutyunov Y V, Sen D, Titova L I, et al. Predator overcomes the Allee effect due to indirect prey-taxis[J]. Ecological Modelling, 2019, 39: 100772.

[9] Zhang C H, Yuan H L. Pattern formation in a variable diffusion predator-prey model with additive Allee effect[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2020, 43(7): 4023-4035.

[10] Liu Y Y, Wei J J. Spatiotemporal dynamics of a modified Leslie-Gower model with weak Allee effect[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2020, 30(12): 2050169.

[11] Turing A L. The chemical basis of morphogenesis[J]. Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. B Biol. Sci., 1952, 237: 37-72.

[12] 歐陽頎. 非線性科學(xué)與斑圖動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2010.

SPATIOTEMPORAL DYNAMICS OF A DELAYED DIFFUSIVE PREDATOR-PREY MODEL WITH DOUBLE ALLEE EFFECT

LIAN Qing-qing1, PEI Xin-ping1, CHEN Yun-shan1, MENG Wei-ming2, LIANG Sheng2,*TANG Xiao-song1

（1. School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China; 2. School of Electronics and Information Engineering, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China）

A delayed diffusive predator-prey model with double Allee effect was investigated in this paper. Allee threshold value and delay was chosen as bifurcation parameter, the stability of the positive equilibrium, Turing instability deduced by diffusion and the existence of Hopf bifurcation deduced by delay for this model were discussed by using the characteristic equation and mathematical analysis skills. At last, by performing numerical simulations, the spatial homogeneous periodic solution of this model was obtained, and the validity of theoretical results was illustrated.

predator-prey model; double Allee effect; periodic solutions; spatial patterns

1674-8085（2021）06-0001-07

O175.26

A

10.3669/j.issn.1674-8085.2021.06.001

2021-07-17；

2021-09-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11761038)；江西省教育廳科技計(jì)劃項(xiàng)目(GJJ180583)；江西省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(S202010419044)；2019年井岡山大學(xué)校級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(2019-74)

練清清(1998-)，女，河南商丘人，井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2018級本科生(E-mail:2993959309@qq. com)；

裴鑫萍(1999-)，女，江西豐城人，井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2018級本科生(E-mail:1983476687@qq.com)；

陳云珊(2000-)，女，江西贛州人，井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2018級本科生(E-mail:2196429188@qq.com)；

蒙偉明(2000-)，男，江西于都人，井岡山大學(xué)電子信息工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)2018級本科生(E-mail:2715625534@qq.com)；

梁 盛(2000-)，男，江西興國人，井岡山大學(xué)電子信息工程學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)2018級本科生(E-mail:2838532805@qq.com)；

*湯小松(1975-)，男，江西永新人，男，副教授，博士，主要從事微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)研究(E-mail: tangxs40@sina.com).