謝小軍，馬 虹，邱云蘭

（1.廣州工商學(xué)院，廣東 廣州 510850；2.廣東金融學(xué)院，廣東 廣州 510521）

0 引言

Bates和Grange在1969年首次公開發(fā)表了組合預(yù)測方法的理論[1]，預(yù)測實(shí)踐表明組合模型能夠提高預(yù)測精度，具有更好的泛化能力.因此組合預(yù)測模型逐漸成為預(yù)測領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一，并已經(jīng)取得大量的研究成果.前期對組合預(yù)測方法的研究對象大多數(shù)是實(shí)數(shù)，但因事物預(yù)測模糊性和不確定性，很多時(shí)候是以區(qū)間數(shù)的形式表示，近幾年對于區(qū)間數(shù)組合預(yù)測方法的研究較多[2-7].隨著社會經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，系統(tǒng)的復(fù)雜性和不確定性導(dǎo)致事物更具有模糊特征，三角模糊數(shù)成為了刻畫事物的一種常見的不確定信息的表達(dá)形式，它彌補(bǔ)了實(shí)數(shù)和區(qū)間數(shù)的不足.因此構(gòu)建基于三角模糊數(shù)的組合預(yù)測模型符合事物的實(shí)際發(fā)展趨勢，研究三角模糊數(shù)組合預(yù)測模型既具有理論意義也具有現(xiàn)實(shí)意義.在已有的組合預(yù)測模型研究成果中，以三角模糊數(shù)作為研究對象的組合預(yù)測方法還不是很成熟，大多數(shù)是以對稱三角模糊數(shù)進(jìn)行建模預(yù)測.例如文獻(xiàn)[8]將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)換為對稱三角模糊數(shù)，以三角模糊數(shù)相似度作為最優(yōu)準(zhǔn)則度量指標(biāo)，提出了一種基于三角模糊相似度的組合模型.文獻(xiàn)[9]引入廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子，構(gòu)建了基于對稱三角模糊數(shù)及GIOWA算子的組合預(yù)測模型.文獻(xiàn)[10]也是基于對稱三角模糊數(shù)，將對稱三角模糊數(shù)的利用面積中心和重心指標(biāo)進(jìn)行替代，運(yùn)用IOWA算子建立了相應(yīng)的三角模糊數(shù)面積序列和重心序列的相關(guān)系數(shù)的多目標(biāo)組合預(yù)測模型，并引入重要性參數(shù)將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型.因此，文獻(xiàn)[11]基于三角模糊數(shù)面積型中心，面積型散度，質(zhì)心三個(gè)指標(biāo)的基礎(chǔ)上，提出了一種以有效度為最優(yōu)準(zhǔn)則的三角模糊數(shù)組合預(yù)測模型.

本文旨在建立一種適用于普遍三角模糊數(shù)時(shí)間序列組合預(yù)測模型.首先從三角模糊數(shù)序列的整體性以及預(yù)測時(shí)各界點(diǎn)可能發(fā)生跳躍等考慮，基于文獻(xiàn)[11]的研究基礎(chǔ)，將三角模糊數(shù)序列三個(gè)界點(diǎn)序列轉(zhuǎn)換成面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個(gè)指標(biāo)序列，轉(zhuǎn)換后的序列同時(shí)受原三角模糊數(shù)的三個(gè)界點(diǎn)制約，然后引入誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子（IOWGA）算子，并以面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個(gè)指標(biāo)的對數(shù)誤差為最優(yōu)準(zhǔn)則，通過引入偏好系數(shù)，建立了一種基于對數(shù)誤差的IOWGA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預(yù)測模型，最后通過實(shí)例分析驗(yàn)證了該模型的有效性.

1 理論基礎(chǔ)

定義 1.1[11-12]設(shè)三角模糊數(shù) a＝（al，am，au），其中 al≤bm≤cu，滿足 al－am＝au－am時(shí)，稱為對稱三角模糊數(shù)，滿足al＝am＝au時(shí)，即為普通實(shí)數(shù)序列，令：

原三角模糊數(shù)a＝（al，am，au）轉(zhuǎn)換成了面積型中心 c、面積型散度d、質(zhì)心 M，記為（c；d；M），轉(zhuǎn)換后的序列同時(shí)受到三角模糊數(shù)的三個(gè)界點(diǎn)的約束，即由（c；d；M）也可以推導(dǎo)出原三角模糊序列的三個(gè)界點(diǎn)，還原公式：

任意兩個(gè)三角模糊數(shù) a＝（al，am，au）和 b＝（bl，bm，bu），則有：

（1）a＝b? al＝bl，am＝bm，au＝bu；

（2）a±b＝（al±bl，am±bm，au±bu）；

（3）ka＝（kal，kam，kau）.

定義 1.2[13]設(shè) IOWGAW：Rn→R 為 n 元函數(shù)，W＝（w1，w2，…，wn）T為加權(quán)向量，滿足若：

則稱IOWGAW是u1，u2，…，un所構(gòu)成的n維誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子，簡記為IOWGA算子.

2 基于區(qū)間相似度的IOWGA算子的三角模糊數(shù)組合預(yù)測模型的建立

定義2.1設(shè)cit、dit、Mit分別為面積型中心、面積型散度、質(zhì)心指標(biāo)第i種方法的預(yù)測結(jié)果，令：

則稱εit、φit、φit第i種方法在t時(shí)刻的面積型中心、面積型散度、質(zhì)心指標(biāo)預(yù)測精度.

利用定義3的εit、φit、φit作為定義2的誘導(dǎo)值，構(gòu)建t時(shí)刻IOWGA算子產(chǎn)生的面積型中心、面積型散度、質(zhì)心的預(yù)測值：

定義2.2令：

則稱Ec、Ed、EM分別為基于面積型中心、面積型散度、質(zhì)心指標(biāo)的預(yù)測對數(shù)誤差.顯然Ec、Ed、EM越小，表示預(yù)測效果越好.

定義 2.3 引入偏好系數(shù) α，β，γ，其中 α≥0，β≥0，γ≥0，且滿足 α＋β＋γ＝1，令：

則稱EW為對數(shù)誤差，其中α，β，γ的取值由決策者確定，反映了面積型中心、面積型散度、質(zhì)心指標(biāo)對決策者的重要性考量.因此，可建立基于對數(shù)誤差的IOWGA算子的三角模糊數(shù)組合預(yù)測模型為：

3 實(shí)例分析

為了驗(yàn)證基于對數(shù)誤差的IOWGA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預(yù)測模型的有效性，以文獻(xiàn)[2]的原始數(shù)據(jù)和單項(xiàng)預(yù)測方法的結(jié)果為研究基礎(chǔ)進(jìn)行實(shí)例分析，原始數(shù)據(jù)和各單項(xiàng)預(yù)測方法預(yù)測結(jié)果見表1.

表1 實(shí)際三角模糊數(shù)序列與三種單項(xiàng)預(yù)測方法擬合預(yù)測結(jié)果

由表1數(shù)據(jù)代入式（1）可將三角模糊數(shù)序列轉(zhuǎn)化為面積型中心、面積型散度、質(zhì)心指標(biāo)序列.利用式（4），（5），（6）可得到面積型中心、面積型散度、質(zhì)心指標(biāo)序列各單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測精度，見表2.將各指標(biāo)各時(shí)刻精度值從大到小排列就能知道每個(gè)預(yù)測精度對應(yīng)的預(yù)測三角模糊數(shù)（cε-index(it），dφ-index(it），Mφ-index(it）），利用式（7），（8），（9）計(jì)算，利用定義4，計(jì)算Ec、Ed、EM代入模型（14），確定偏好系數(shù)α，β，γ，文章選取了三組偏好系數(shù)值，分別是 α＝0.5，β＝0.3，γ＝0.2 和 α＝0.1，β＝0.2，γ＝0.7 以及 α＝0.2，β＝0.7，γ＝0.1，利用Lingo11計(jì)算求得對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)系數(shù)，見表3.通過表3對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)，可以進(jìn)一步計(jì)算得到組合模型下面積型中心、面積型散度、質(zhì)心指標(biāo)的預(yù)測值，然后利用式（2）還原為原始三角模糊數(shù)對應(yīng)的預(yù)測值，結(jié)果見表4.

表2 單項(xiàng)預(yù)測方法各時(shí)點(diǎn)面積指標(biāo)、中界點(diǎn)，重心指標(biāo)序列的預(yù)測精度

表3 偏好系數(shù)不同取值對應(yīng)下組合模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)

表4 偏好系數(shù)不同取值對應(yīng)下本文組合模型三角模糊數(shù)預(yù)測值

本文除了與3種單項(xiàng)方法對比外，還選取了文獻(xiàn)[11]的方法進(jìn)行對比.利用基于三角模糊數(shù)下界點(diǎn)的預(yù)測均方誤差（MSEL）、基于中界點(diǎn)的預(yù)測均方誤差（MSEM）和基于上界點(diǎn)點(diǎn)預(yù)測均方誤差（MSEU）、均方誤差和（MSEI）來作為衡量其預(yù)測效果的指標(biāo)，具體結(jié)果見表5.

表5 本文組合模型與各單項(xiàng)預(yù)測方法預(yù)測效果評價(jià)指標(biāo)

由表5可知：

（1）本文所提出的基于對數(shù)誤差的IOWGA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預(yù)測模型的四個(gè)誤差指標(biāo)MSEL、MSEM、MSEU、MSEI都遠(yuǎn)小于所有單項(xiàng)預(yù)測方法的誤差，因此本文提出的組合模型能夠顯著提高三角模糊數(shù)的預(yù)測精度；

（2）與文獻(xiàn)[11]組合模型對比，本文提出的基于對數(shù)誤差的IOWGA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預(yù)測模型四個(gè)誤差指標(biāo)MSEL、MSEM、MSEU、MSEI也都均小于文獻(xiàn)[11]的方法的誤差，且本文提出的組合模型可適用普遍三角模糊數(shù)序列的建模，可應(yīng)用性更廣，故本文提出的模型是有效的.

4 結(jié)語

針對三角模糊數(shù)序列的組合預(yù)測研究相對還不夠成熟，通過對三角模糊數(shù)序列組合預(yù)測方法以及理論研究，建立了一種適用于普遍三角模糊數(shù)時(shí)間序列的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預(yù)測模型.通過實(shí)例分析進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的模型的有效性，能夠顯著提高三角模糊數(shù)的預(yù)測精度，而且可適用性更加廣泛，并且克服了組合模型定權(quán)的缺點(diǎn).但是本文沒有針對偏好系數(shù)的取值進(jìn)一步分析所有的可能情況，故本文選取對應(yīng)的模型可能不是最優(yōu)的.因此，后期進(jìn)一步工作討論偏好系數(shù)取值不同可能對預(yù)測精度產(chǎn)生的影響.