胡志賢，楊 慧

（上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運輸學(xué)院，上海 201620）

0 引 言

氣動彈性系統(tǒng)中包括結(jié)構(gòu)力、慣性力和空氣動力學(xué)產(chǎn)生的非線性相互作用，這可能導(dǎo)致振動和其它不穩(wěn)定現(xiàn)象［1－2］。當(dāng)機翼發(fā)生振動時，會影響飛行安全，甚至導(dǎo)致毀滅性的事故。為了避免機翼振動對結(jié)構(gòu)造成損壞，并確保飛行安全，人們已經(jīng)研究了諸多被動控制方法。如，采用質(zhì)量平衡和局部剛度增強等措施，這將導(dǎo)致飛機重量增加并降低飛行性能。而主動控制，能夠適應(yīng)意外的結(jié)構(gòu)和環(huán)境變化，極大地改善了飛行器的性能指標(biāo)，克服了被動控制技術(shù)的缺點，因此成為當(dāng)下研究的熱點［3－4］。

利用控制面的偏轉(zhuǎn)實現(xiàn)振動抑制，是目前常見的主動控制技術(shù)方法。文獻［5－7］中將單尾緣控制的二元機翼的參數(shù)變化狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)化為張量積模型，有效地實現(xiàn)了非線性氣動彈性系統(tǒng)的控制。文獻［8］提出了積分反演滑?？刂品椒?，較好地克服滑?？刂贫墩竦娜秉c。然而上述大多數(shù)文獻研究中，氣動力載荷是基于準(zhǔn)定常氣動理論的，這會給氣動彈性模型帶來不精確的弊端，并且只適用于低頻的飛行條件［9］。

非定常氣動理論克服了上述缺點，不少學(xué)者將其應(yīng)用于機翼氣動彈性系統(tǒng)［10－15］。然而，為獲得模型的時域表達式，會引入不可測的空氣動力狀態(tài)［16］，難以用傳感器去測量所有狀態(tài)，這為全狀態(tài)反饋方法的現(xiàn)實應(yīng)用帶來困難；并且機翼布置過多傳感器，增加了傳感器失靈引起故障的概率。張量積模型變換方法的主要優(yōu)點是，將各種模型表示形式，生成基于高階奇異值分解（HOSVD）的凸多面體的TP模型表示形式［17－18］，從而可以很好地應(yīng)用于現(xiàn)代控制設(shè)計工具中，有效地解決非線性系統(tǒng)問題。

基于上述原因，本文的貢獻在于使用張量積模型變換的LMI 控制設(shè)計方法，設(shè)計控制器和觀測器，用于穩(wěn)定和跟蹤具有結(jié)構(gòu)立方非線性的非定常氣動彈性系統(tǒng)。首先依據(jù)拉格朗日方程和Theodorsen 理論建立了帶后緣控制面的非定常氣動機翼模型的狀態(tài)空間方程；基于TPtool 工具箱，開發(fā)了觀測器的設(shè)計程序，應(yīng)用張量積模型變換的控制設(shè)計方法，得到整個系統(tǒng)的控制器和觀測器；通過仿真驗證該方法的有效性。

1 氣動彈性模型

1.1 氣動彈性系統(tǒng)建模

帶有控制面的二元機翼力學(xué)模型如圖1 所示。該模型的3 個自由度為：沉浮位移h（向下為正）、俯仰角α（迎風(fēng)抬頭為正）、以及控制面偏轉(zhuǎn)角β（向下偏轉(zhuǎn)為正）。彈性軸在翼弦中點前時，a－ ＜0。表1 給出了本文相關(guān)機翼結(jié)構(gòu)參數(shù)的符號表示。

圖1 機翼的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of wings

表1 機翼結(jié)構(gòu)參數(shù)的符號表示Tab.1 Symbolic of wings structureparameters

二元機翼的運動方程為：

其中，k(α)可通過對非線性彈簧的實測位移－力矩數(shù)據(jù)進行曲線擬合得到：

不可壓縮流下的二元機翼振動抑制采用非定常氣動力。根據(jù)Theodorsen 氣動理論，氣動升力和氣動力矩可為如下形式［19］：

其中，Ti（i＝1，4，7，8，10，11）為Theodorsen 常數(shù)，取決于彈性軸位置和控制面鉸鏈位置，C（k）為Theodorsen 函數(shù)。

控制面可用如下二階微分方程表示［19］：

根據(jù)式（17）、（18），得到包含作動系統(tǒng)動特性在內(nèi)的機翼運動方程為：

1.2 狀態(tài)方程

為了計算的簡便性，將C（k）寫為Jones 近似形式［20］：

式中，z1＝0.007 5；z2＝0.100 55；p1＝0.045 5；p2＝0.3；s為Laplace 變量。

引入空氣動力狀態(tài)變量，C（s）對應(yīng)的狀態(tài)方程為：

該系統(tǒng)的輸入為：

氣動力公式可以重寫為：

氣動力Fae表示為非環(huán)量部分和環(huán)量部分之和的形式，即：

根據(jù)式（24），非環(huán)量部分可表示為：

式中，

環(huán)量部分Fc可表示為：

根據(jù)式（13）、式（14）和式（16），式（6）可以寫成如下形式：

結(jié)合式（28）和式（29），得到機翼氣動彈性方程的狀態(tài)空間為：

2 控制方法

在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)的狀態(tài)一般難以直接測量，因此，應(yīng)用到輸出反饋設(shè)計。p（t）包含所估計的狀態(tài)向量x2（t），假設(shè)只有狀態(tài)x2（t）為可測的，其余狀態(tài)都不可觀測，系統(tǒng)輸出為：

將上述狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換成線性變參數(shù)（LPV）模型：

對于LPV模型，式（21）的系統(tǒng)矩陣S（p（t））可以通過高階奇異值分解得到如下形式的TP模型表示［5，18］：

定義［18］如果權(quán)重函數(shù)滿足式（23）、（24），并且所有權(quán)重函數(shù)的最大值為1 或者接近1，那么凸TP模型為CNO 類型。

觀測器需要滿足：當(dāng)t→∞時，x（t）（t）→0，（t）為觀測器估計的狀態(tài)向量。為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，引入如下觀測器結(jié)構(gòu)：

上式結(jié)構(gòu)采用多胞模型形式為：

其中，Kr，r＝1，2，…，R為反饋增益，Kr由基于LMI 穩(wěn)定性定理計算得出。

基于PDC 技術(shù)設(shè)計如下控制器：

其中，反饋增益Fr，r＝1，2，…，R，F(xiàn)r由基于LMI 穩(wěn)定性定理計算得出。

定理1［18］（全局漸近穩(wěn)定的觀測器和控制器）如果帶觀測器和控制器的多胞模型漸近穩(wěn)定，則存在P1＞0、P2＞0 和M1，r、N2，r（r＝1，…，R，R為LTI 頂點系統(tǒng)的數(shù)量）滿足如下線性矩陣不等式：

3 數(shù)值仿真

機翼相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。選擇變參數(shù)p（t）＝（V，α），流速度V∈[15，30]m／s，俯仰角α∈[－0.15，0.15] rad。因此，Ω：[15，30]×[－0.15，0.15] 。網(wǎng)格密度為M1× M2（其中M1＝31，M2＝31）。在TP模型轉(zhuǎn)換過程中可以看到，離散張量SD∈在第一維上的秩為3，分別為178 081.327 6、1 052.169 57 和1.372 03，在第二維上的秩為2，分別為177 969.499 61 和6 397 014 872；對SD進行HOSVD，得到3×2＝6 個奇異值，LTI 頂點系統(tǒng)的數(shù)量也為6。在本例中，選擇一個接近正態(tài)類型的權(quán)重函數(shù)，權(quán)重函數(shù)w1，i（V），i＝1，…，3 和權(quán)重函數(shù)w2，j（α），j＝1，…，2，如圖2 所示。

圖2 V 和α 的權(quán)重函數(shù)Fig.2 Weighting function of V and α

表2 機翼的結(jié)構(gòu)參數(shù)值Tab.2 Structural parameter values of wings

可以得到3×2＝6 個線性時不變（LTI）系統(tǒng)的頂點。該氣動彈性模型可以用6 個LTI 系統(tǒng)的有限元凸TP模型形式精確描述。實際上，可以嘗試從式（21）中解析得出權(quán)重函數(shù)和LTI 系統(tǒng)。此外，如果第一維度的第三奇異值相對較小，則可通過丟棄其來進一步降低維度，產(chǎn)生一個縮小的2×2 TP模型。但在此情況下，其只是該模型的近似值。α的權(quán)重函數(shù)可以從k(α)中提取，U 的權(quán)重函數(shù)將來流速度作為未知量來提取的。根據(jù)具體情況，生成的TP模型可能只是氣動彈性系統(tǒng)的近似值，并且包含不同且可能比本示例中更多的LTI 系統(tǒng)。然而，如果生成的結(jié)果中保留足夠數(shù)量的非0 奇異值，則生成的TP模型將具有可接受的精度。

將所得LTI 頂點系統(tǒng)代入定理1 的LMI 中，LMI 求解器顯示不等式組在當(dāng)前情況下是可行的，控制器與觀測器的增益矩陣如下：

得到如下控制器和觀測器：

在本例中，對觀測器與控制器選擇不同的初值。來流速度為V＝23 m／s，速度已大于該模型的顫振速度（顫振速度為21.8m／s）；系統(tǒng)初值為x0＝[0.01，0.05，0.1，0.01，0.05，0.1，0.01，0.01]T，觀 測器初值選擇為＝[0，0，0，0，0，0，0，0]T。

在包含模型（式19）、控制器（式28）、觀測器（式29）的閉環(huán)系統(tǒng)中，系統(tǒng)各狀態(tài)的響應(yīng)曲線如圖3～7 所示。為了顯示控制效果，模型（式19）開環(huán)系統(tǒng)的仿真結(jié)果也顯示在圖中。

圖3 控制輸入Fig.3 Control input

從這些圖中可以看出，觀測器所有的狀態(tài)估值，可以較好地跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)的真實值，閉環(huán)系統(tǒng)可以快速穩(wěn)定。由圖4 中可以看出，浮沉位移及其變化率的跟蹤效果相對于其它狀態(tài)較差，系統(tǒng)的真實值快速收斂到0，而浮沉位移及其變化率的估計值發(fā)生較大的震蕩。從圖5 和圖6 中可以看出，俯仰角及其變化率、控制面偏轉(zhuǎn)角及其變化率的跟蹤效果較好，控制面偏轉(zhuǎn)角的變化率約達到320。由圖7中可以看出，兩個空氣動力狀態(tài)變量跟蹤誤差較小，震蕩相對于其它狀態(tài)較為劇烈。

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)h、及其估計值Fig.4 System states h，and their estimation

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)α、及其估計值Fig.5 System states α， and their estimation

圖6 系統(tǒng)狀態(tài)β、及其估計值Fig.6 System states β，and their estimation

圖7 系統(tǒng)狀態(tài)xa1、xa2及其估計值Fig.7 System states xa1， xa2 and their estimation

4 結(jié)束語

本文針對具有非定常氣動力和結(jié)構(gòu)非線性的機翼振動問題，建立了帶后緣控制面的機翼狀態(tài)空間方程，設(shè)計了一個觀測器來獲得不可測量狀態(tài)的估計值，并結(jié)合張量積模型變換的控制設(shè)計方法，獲得系統(tǒng)的控制器和觀測器。數(shù)值仿真結(jié)果表明，控制器能夠快速穩(wěn)定系統(tǒng)，觀測器的估計值能較好地跟蹤系統(tǒng)的真實值，驗證了所提方法的可靠性。