鄭林 丘遠青

2020年9月福建省高中全面實施新課程、使用新教材，數(shù)學(xué)建模的實踐和活動進入到必修教材中.在課堂上如何有效開展數(shù)學(xué)建?；顒?，讓高中生親身體驗數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值，取得在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中難以收獲的寶貴經(jīng)驗和感受，應(yīng)是高中數(shù)學(xué)教師積極探索的課題.本文分享一節(jié)開展數(shù)學(xué)建模活動課的案例.

1教學(xué)內(nèi)容解析

《停車距離問題》是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》第116頁的案例7，是新教材數(shù)學(xué)建?；顒诱n的內(nèi)容.通過停車距離問題的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題、確定變量、探尋關(guān)系、建立模型、分析模型、運用模型的數(shù)學(xué)建模一般過程，從中體會到數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用價值，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)，積累獨立思考和合作交流的經(jīng)驗.

2教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）針對停車距離問題的分析，讓學(xué)生體會在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達所要解決的問題，體驗數(shù)學(xué)建模的一般步驟;

（2）引導(dǎo)學(xué)生基于合理假設(shè)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析模型參數(shù)的實際意義，并以此檢驗結(jié)果、完善模型，運用數(shù)學(xué)語言表達數(shù)學(xué)建模的過程和結(jié)果，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng);

（3）培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性和創(chuàng)新意識，增強交通安全意識，養(yǎng)成自覺遵守交通規(guī)則的良好習(xí)慣.

3教學(xué)案例實錄

3.1創(chuàng)設(shè)實際情景，提出問題

教師活動：看幾張高速路上汽車追尾事故的照片.如果開著車行駛在高速路上，怎么樣才能降低追尾事故發(fā)生的可能性？考慮這個問題，首先要思考導(dǎo)致汽車追尾事故發(fā)生的因素有哪些？

生1：車速、天氣、路面情況、汽車剎車性能、司機是否疲勞駕駛、酒駕、醉駕等.

教師活動：這些因素都會影響一輛高速行駛的汽車迅速停穩(wěn)需要的距離，我們需要研究車輛的停車距離受什么因素影響最大.

設(shè)計意圖《關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》（國辦發(fā)[2019]29號）中強調(diào)，在全面實施新課程、使用新教材的過程中，要“積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué)”.本節(jié)課在教學(xué)實踐中，以問題導(dǎo)向的形式從看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的實際生活場景中獲得本次數(shù)學(xué)建模活動的研究對象：汽車在急剎車的過程中，停車距離受什么因素影響最大，這個因素如何影響停車距離.

3.2抽象實際問題，確定變量

教師活動：課前以小組的形式布置這些問題給同學(xué)們思考和討論，誰來分享你們小組的想法？

生2：車輛的行駛速度是影響停車距離最大的因素.司機的身體狀況、天氣、路面情況、汽車性能是否正常等其他因素是隨機的，理想狀態(tài)下把它們看成是不變的量.

教師活動：大家都一致認(rèn)同停車距離受車速的影響最大，其他次要因素我們暫時看成是穩(wěn)定不變的.這節(jié)課來研究車速是如何影響停車距離的.我們將車速v看作解釋變量，停車距離d看作預(yù)報變量，去考察這兩者之間的相關(guān)關(guān)系.

設(shè)計意圖對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)的語言表達問題并確定變量是用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的第一步.受到高中生學(xué)習(xí)內(nèi)容的局限，影響停車距離的主要因素確定為車速，忽略次要的影響因素，為學(xué)生后面成功構(gòu)建距離與車速關(guān)系的數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ).

3.3分析數(shù)據(jù)，探尋變量關(guān)系

教師活動：我們引用一組樣本數(shù)據(jù)來研究停車距離d和車速v的相關(guān)關(guān)系，參考北京工業(yè)出版社《數(shù)學(xué)建?！酚涗浀囊唤M美國公路局公布的試驗數(shù)據(jù)，請生2繼續(xù)分享你們小組的想法.

生2：暫定d=f（v），數(shù)據(jù)可看作13個（v，d）的樣本點，利用Excel軟件上的散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點大致分布在一條曲線附近，這條曲線對應(yīng)的函數(shù)是單調(diào)遞增的，增加速度有越來越快的趨勢，所以不考慮一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù).用指數(shù)函數(shù)去擬合感覺不錯，用二次函數(shù)去擬合效果更好.

生3：試試三次函數(shù)，再比較一下擬合系數(shù)R，擬合效果比二次函數(shù)更好.

教師活動：二次函數(shù)y=0.0106x-0.4102x+16.669，它的R=0.9988，三次函數(shù)d=6x10v-0.0045v+0.7003v-7.5609，它的R=0.9998，都很接近1.對于這13組數(shù)據(jù)，為了追求最佳的擬合效果，增加最高項次數(shù)直到函數(shù)圖像經(jīng)過所有的樣本點，這樣的多項式函數(shù)出現(xiàn)了“過擬合”現(xiàn)象.

設(shè)計意圖在探尋距離與車速變量間關(guān)系的時候，學(xué)生提出擬合的函數(shù)類型不唯一時，教師引導(dǎo)學(xué)生利用不同函數(shù)的增長特征，選擇合適的函數(shù)模型來描述樣本點的趨勢.既要考慮數(shù)據(jù)的特點，也要考慮函數(shù)類型的簡潔，將擬合函數(shù)順利過渡到二次函數(shù)模型.

3.4利用數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型

教師活動：二次函數(shù)和三次函數(shù)擬合效果都很好，三次函數(shù)的最高項系數(shù)6×10，非常接近于0，這一項可以忽略不計.從函數(shù)簡潔的角度選擇二次函數(shù)，大家還有不同的想法嗎？

生4：實際生活中，當(dāng)v=0時，d=0.擬合函數(shù)怎么有接近17的常數(shù)項呢？直接用二次函數(shù)進行擬合看來不夠合理.

教師活動：回到最初的探尋關(guān)系，再重新考慮v與d的關(guān)系.從實際生活經(jīng)驗出發(fā)：在高速公路上，司機看到前方車輛在自己的視野里變大并意識到危險，在這很短暫的時間里可以假定汽車是勻速行進的.當(dāng)司機作出反應(yīng)，踩下剎車，汽車才會在制動系統(tǒng)作用下做勻減速直線運動直至停下.所以v與d的關(guān)系分成兩個階段描述更符合實際，

生5：回到13組數(shù)據(jù)，可以得到13個a，β的估計值，取平均數(shù)得到a，β的最終估計值，從而得到函數(shù)模型d=0.21v+0.006v.這里的系數(shù)0.21刻畫了司機在緊急剎車時的反應(yīng)情況，對于身體狀態(tài)穩(wěn)定的司機這個值是常數(shù).而系數(shù)0.006由汽車和地面情況決定，正常的車輛行駛狀態(tài)下這個系數(shù)也是常數(shù).

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)建?；顒記]有現(xiàn)成的答案，沒有固定的求解方式，學(xué)生們要相互討論，反復(fù)鉆研并相互切磋.這個過程以“頭腦風(fēng)暴”的形式進行，活動過程中師生集思廣益、群策群力，既是在建立模型，也是在改進模型，讓學(xué)生體驗到物理理論模型中各項系數(shù)背后的實際意義，深刻認(rèn)識模型的結(jié)構(gòu)和理解該模型穩(wěn)定的原因.

3.5結(jié)合生活經(jīng)驗，分析模型

教師活動：比較兩個不同角度得到的二次函數(shù)模型，大家覺得哪個更優(yōu)？

生5：從物理理論推導(dǎo)的模型穩(wěn)定.去掉表格中任意一個樣本點，模型中a，β精確到千分位的估計值沒有變化，這兩個參數(shù)的穩(wěn)定性確實應(yīng)該和司機狀態(tài)、輪胎路面情況相關(guān)，和車速沒有直接關(guān)系，和實際情況吻合.

生6：擬合的二次函數(shù)優(yōu)點和缺點都是因為它來源于數(shù)據(jù)，從表格中13個（v，d）的數(shù)據(jù)擬合效果來看，肯定擬合出來的二次函數(shù)刻畫散點的趨勢效果更好.對于在樣本點范圍內(nèi)的速度去估計停車距離，用Excel得到二次函數(shù)有優(yōu)勢.而速度不在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，就可能會得到異常的估計效果，比如v=0時，d≈17.另外正是因為電腦追求最佳擬合效果，只要樣本點改變，這個二次函數(shù)的系數(shù)會隨之改變，因此這個模型不穩(wěn)定也是它的缺點.

設(shè)計意圖在實際生活經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)模型的不足，也在數(shù)據(jù)中認(rèn)識到模型的優(yōu)勢，學(xué)生在交流中將模型的優(yōu)缺點辯證思考，一一呈現(xiàn).學(xué)生表達出自己對本次數(shù)學(xué)建?；顒觾?nèi)容的理解，也體驗了科學(xué)發(fā)展往前步步推進的一般過程.

3.6課堂歸納小結(jié)，課后作業(yè)

教師活動：我們來整理一下這節(jié)課的內(nèi)容，大家談?wù)勛约旱氖斋@？

生7：當(dāng)面對生活中的問題時，我們首先應(yīng)該確定變量，然后通過試驗或者調(diào)查得到數(shù)據(jù)，再用函數(shù)的工具去刻畫數(shù)據(jù)關(guān)系，找到合適的數(shù)學(xué)模型.

學(xué)8：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)我發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科可以在其他學(xué)科中發(fā)揮作用，物理學(xué)科也是一個工具學(xué)科，它也可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮作用.

教師活動：著名的統(tǒng)計學(xué)家喬治·博克斯說：所有的模型都是錯誤的，但是有一些模型是有用的.基于物理機理建立的模型符合客觀規(guī)律，是穩(wěn)定可靠的.用這個模型為汽車的剎車系統(tǒng)改進提供建議，給高速路上限速警示牌和車距標(biāo)識的制作提供理論支持，減少了追尾事故的發(fā)生，這就是成功的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值.課后請學(xué)生以小組合作的形式，整理課堂內(nèi)容，以小組為單位完成一份關(guān)于《停車距離問題》的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)報告.

4課后感悟總結(jié)

4.1數(shù)學(xué)建?；顒映浞致鋵嵙⒌聵淙说挠俗谥?/p>

通過數(shù)學(xué)建?；顒诱n的體驗，讓學(xué)生感受到學(xué)科之間的交融，理論知識與實際生活的緊密聯(lián)系.學(xué)生能深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值.本次活動通過學(xué)生對高速行車急剎車模型的建立，從數(shù)據(jù)分析的角度培養(yǎng)了學(xué)生安全行車的習(xí)慣，不疲勞駕駛，注意控制車速和保持車距等，在數(shù)學(xué)課堂上落實立德樹人的育人宗旨.

4.2確定數(shù)學(xué)建?；顒舆x題的原則

數(shù)?；顒诱n的選題內(nèi)容要來源于實際生活，背景最好是學(xué)生熟悉并有一定的挑戰(zhàn)性，學(xué)生在課堂上才會踴躍發(fā)言，積極參與，這樣的活動課有意義有樂趣.課堂內(nèi)容學(xué)生要有必要的知識儲備，讓數(shù)學(xué)建?；顒右渤蔀槔斫夂途C合應(yīng)用相關(guān)知識的過程.更能激發(fā)學(xué)生主動的學(xué)習(xí)熱情，體驗到生活處處有數(shù)學(xué).

4.3充分發(fā)揮信息技術(shù)的輔助作用

在信息時代我們生活在無處不在的數(shù)據(jù)之中，獲得數(shù)據(jù)、篩選數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)都離不開信息技術(shù)，學(xué)生對新鮮事物的學(xué)習(xí)和感受力很強，這對授課教師也提出了更高的要求.對于一些數(shù)學(xué)建模常用的軟件，教師應(yīng)該去關(guān)注并學(xué)習(xí)使用，如Excel.MATLAB.R軟件等.

4.4建?；顒又攸c關(guān)注“活動的過程”

數(shù)學(xué)建模課的設(shè)計應(yīng)以活動形式為主，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)、個性展示、協(xié)作支持、交流分享、反思拓展，這種全新的體驗是學(xué)生前所未有過的.數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的一種方式，面對實際問題，學(xué)生要在教師的引導(dǎo)下確定變量、探尋關(guān)系、形成模型并分析優(yōu)劣，再到實際應(yīng)用，在這個過程中形成和發(fā)展了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建?；顒诱n從實際生活的場景開始，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，確定合適的變量后探究變量之間的關(guān)系，從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度感受函數(shù)是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的有力工具.在高中階段讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模讓數(shù)學(xué)走出封閉的世界，構(gòu)建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁.