溫世林，韓 偉，桑彥斌

（中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051）

1 相關(guān)進(jìn)展

分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、工程等各個(gè)領(lǐng)域［1－3］，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的研究具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。特別是具有多種邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程，近年來(lái)引起人們的極大興趣，對(duì)其研究主要集中在非線性分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題正解的存在性、多重性和唯一性。LI等［4］研究了如下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性，其中Dα0＋，Dv0＋為標(biāo)準(zhǔn)的Riemann Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)：

Wang等［5］利用格林函數(shù)的性質(zhì)和錐理論，討論了如下高階非線性奇異分?jǐn)?shù)階微分方程的唯一存在準(zhǔn)則：

Jleli等［6］利用混合單調(diào)算子方法對(duì)以下任意階非線性分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在唯一性進(jìn)行了研究，其中n＞3（n∈N），f、g為連續(xù)函數(shù)。

本文中將研究如下具有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在唯一性：

其中：Dα0＋，Dβ0＋，Dv0＋為標(biāo)準(zhǔn)的Riemann Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，0＜t＜1，n－1＜α≤n（n∈N，n≥2），n－2＜β≤v≤n－1，0≤b≤1，ξ∈（0，1），α－v－1≥0，0≤bξα－v－1＜1。應(yīng)用文獻(xiàn)［7］中算子方程，其中A，B，C∶P×P→P是混合單調(diào)算子：

2 預(yù)備知識(shí)和相關(guān)引理

本節(jié)簡(jiǎn)單介紹了一些定義、符號(hào)和已知結(jié)果［8－10］。

定義1 A∶P×P→P是1個(gè)混合單調(diào)算子，如果A（x，y）在x上遞增，在y上遞減，則x（x∈P）為A的不動(dòng)點(diǎn)［11］。

定義2 A∶D（A） E→E，若對(duì) x，y∈D（A），x≤y，t∈（0，1），有A（tx＋（1－t）y）≤tAx＋（1－t）Ay，稱A為凸算子。若A為凸算子，則－A為凹算子［12］。

集合E＝｛x｜x∈C［0，1］，D0β＋x∈C［0，1］｝為實(shí)Banach空間，定義它的范數(shù)為： x（t） ＝max｛t∈m［a0，x1］｜x（t）｜，t∈m［a0，x1］D0β＋｜x（t）｜｝。E被賦予一個(gè)半序關(guān)系：若u（t）≤v（t），D0β＋u（t）≤D0β＋v（t），那么u v。設(shè)P E，定義：P＝｛x∈E∶x（t）≥0，D0β＋x（t）≥0， t∈［0，1］｝，顯然P是1個(gè)正規(guī)錐且Ph∈E。

引理1 P是E中的1個(gè)正規(guī)錐，假設(shè)A，B，C∶P×P→P是3個(gè)混合單調(diào)算子，并且滿足如下條件：

3）對(duì)y∈P中任一點(diǎn)，C（·，y）∶P→P為凹算子；對(duì)x∈P中任一點(diǎn)，C（x，·）∶P→P為凸算子；

4）-h∈P，h＞θ使A（h，h）∈Ph，B（h，h）∈Ph，C（h，h）∈Ph；

6）存在常數(shù) δ0＞0，對(duì)于 x，y∈Ph，B（x，y）＋C（x，y）≤δ0A（x，y）；

那么算子方程（2）在P中有唯一正解x ，滿足μh≤x ≤λh，λ、μ為2個(gè)正實(shí)數(shù)。對(duì)任意的初始值x0，y0∈Ph，依次構(gòu)造如下序列：在E中，n→∞時(shí)，xn→x ，yn→x 。

3 主要結(jié)果

許多問題都可轉(zhuǎn)化為算子方程（2）［13－18］。本節(jié)將研究方程（1）正解的存在唯一性。

其中

引理2 G（t，s）滿足如下性質(zhì)：

式（2）后半部分不等式的右邊由0≤b≤1和0＜d＝1－bξα－v－1≤1易得。下面證明左邊：

當(dāng)0≤s≤min｛t，ξ｝＜1時(shí)，

當(dāng)0＜ξ≤s≤t≤1時(shí)，由0＜d＝1－bξα－v－1≤1，

當(dāng)0＜t≤s≤ξ≤1時(shí)，

當(dāng)0≤max｛t，ξ｝≤s≤1時(shí)，

定理1 假設(shè)如下條件成立：

5）存在常數(shù) δ0＞0，對(duì) t∈［0，1］，u，v∈［0，＋∞），g（t，u，v）＋k（t，u，v）≤δ0f（t，u，v）；那么方程（1）在P中存在唯一正解u ，滿足 μtα－1≤u ≤λtα－1，t∈［0，1］，λ、μ為2個(gè)正實(shí)數(shù)。

證明：從文獻(xiàn)［5］可知方程（1）解的積分公式如下，其中G（t，s）在式（5）已給出。

其中X＝A，B，C，p＝f，g，k。

容易證明當(dāng)且僅當(dāng)u＝A（u，u）＋B（u，u）＋C（u，u）時(shí)，u是方程（1）的解。

從假設(shè)條件1）和引理2可以得出，A（u，v）≥0，Dβ0＋A（u，v）≥0，即A∶P×P→E。同理可得B，C∶P×P→E。下面證明A，B，C是混合單調(diào)算子：

對(duì)于固定的t∈［0，1］和v∈［0，＋∞）， a∈（0，1），u1，u2∈P，

同理可得：

同理可得Dβ0＋C（θ，lh（t））≥cDβ0＋C（lh（t），θ），即滿足引理1的條件5）。從定理1的條件5）可知，u，v∈P

同理，D0β＋（B（u，v）（t）＋C（u，v）（t））≤δ0D0β＋A（u，v）（t），所以算子A滿足引理1的條件6）。因此定理1的條件滿足引理1。證畢。