劉巍巍，李海新

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

在處理材料圖像時(shí)[1]，國內(nèi)外學(xué)者提出幾種典型的去噪算法，如文獻(xiàn)[2]中的巴特沃斯高通濾波去噪，文獻(xiàn)[3]中的維納濾波去噪，文獻(xiàn)[4]中的多方向的加權(quán)均值濾波去噪以及文獻(xiàn)[5]小波變換的圖像去噪研究等，以上算法對圖像進(jìn)行了不同程度的去噪，但是這些去噪算法的掩模模板均為整數(shù)階積分，在去噪的同時(shí)造成了圖像邊緣和紋理細(xì)節(jié)的缺失。

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分在圖像去噪上成為一個新的研究熱點(diǎn)[6,7]。文獻(xiàn)[8,9]采用Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分掩模去噪，雖然可以保留部分紋理細(xì)節(jié)，但是整幅圖像的噪聲點(diǎn)未能精確去除；文獻(xiàn)[10]提出的分?jǐn)?shù)階Alexander多項(xiàng)式去噪算法，能較好保留圖像的紋理信息，但該算法利用自定的微積分階次，在處理不同類型的噪聲時(shí)，只能根據(jù)同一階次的頻率特性曲線，難以達(dá)到優(yōu)良的去除噪聲效果。

本文提出改進(jìn)的A-FAP圖像去噪算法，通過分析原始圖像的灰度值，調(diào)定去噪的微積分階次，利用構(gòu)造的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階Alexander函數(shù)(adaptive fractional Alexander polynomials，A-FAP)濾波器對圖像進(jìn)行去噪，使處理后的圖像具有清晰的視覺效果，對圖像的弱邊緣和紋理細(xì)節(jié)信息的顯現(xiàn)具有明顯優(yōu)勢。

1 問題描述及算法流程

材料圖像在傳輸過程中受到信號和設(shè)備的干擾，極易產(chǎn)生高斯、椒鹽和乘性噪聲，從而造成圖像失真和模糊，圖像邊緣和紋理細(xì)節(jié)信息的缺失則會導(dǎo)致色偏現(xiàn)象的出現(xiàn)。本文提出改進(jìn)的A-FAP去噪算法，通過建立去噪模型，構(gòu)造A-FAP掩模模板對圖像進(jìn)行去噪，利用小波反變換對圖像進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的圖像。本文算法的過程如圖1所示。

圖1 A-FAP算法去噪流程

2 去噪模型的建立

2.1 建立二維離散小波變換模型

小波變換在處理大小為M×N的圖像時(shí)，通常根據(jù)規(guī)范正交基函數(shù)，將小波級數(shù)進(jìn)行展開，展開為二維尺度空間函數(shù)和二維小波空間函數(shù)；具體展開形式如下

(1)

(2)

對受到噪聲污染的lean圖像，采用二維離散小波進(jìn)行二層展開，如圖2所示；其中J2是低頻分量，通過分級濾波和沿橫縱方向的雙重提取獲得；H1、H2、V1、V2和D1、D2表示水平、垂直和對角線上的高頻分量系數(shù)。尺度空間函數(shù)二層展開k的近似J2是圖像的高尺度、低頻分量，小波空間函數(shù)中的i的二級分解為H2、V2、D2、H1、V1和D1是低尺度、高頻分量。因?yàn)樵肼晫儆诟哳l信號，通常存在于高頻分量中。

圖2 二維離散小波的二級展開

2.2 建立Alexander分?jǐn)?shù)階微積分(Alexander fractional，AF)模型

2.2.1 Alexander函數(shù)

(3)

式中：lm為正整數(shù)。

2.2.2 分?jǐn)?shù)階微積分函數(shù)

當(dāng)v>0時(shí)，函數(shù)s(t)的分?jǐn)?shù)階微積分為

(4)

當(dāng)0

(5)

3 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階Alexander濾波器的構(gòu)造

3.1 Alexander分?jǐn)?shù)階微積分掩模的構(gòu)造

為保持圖像的邊緣信息，進(jìn)一步豐富圖像紋理細(xì)節(jié)，更好抑制噪聲，對式(4)、式(5)進(jìn)一步推導(dǎo)；α=0時(shí)

(6)

(7)

基于Mittag-Leffler函數(shù)的定義參見文獻(xiàn)[6]，結(jié)合Alexander函數(shù)(3)，根據(jù)式(6)、式(7)得出分?jǐn)?shù)階微分算子(AFD)和分?jǐn)?shù)階積分算子(AFI)的兩個掩模窗口系數(shù)。

分?jǐn)?shù)階微分算子(Alexander fractional differential，AFD)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

分?jǐn)?shù)階積分算子(Alexander fractional integral，AFI)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

圖3 分?jǐn)?shù)階掩模模板

3.2 自適應(yīng)函數(shù)階次的構(gòu)造

圖像的邊緣和紋理信息主要與圖像結(jié)構(gòu)特征(圖像梯度)、圖像統(tǒng)計(jì)信息特征(信息熵)和圖像差異特征(對比度)有關(guān)，因此利用以上3個特征構(gòu)造自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階函數(shù)，確定分?jǐn)?shù)階微分階次。

圖像梯度(G)體現(xiàn)了圖像灰度頻率特征，判斷圖像紋理信息是否豐富；圖像在灰度點(diǎn)(x，y)處的梯度是對該圖像離散小波模型的微分，具體表示為：G[f(x，y)]=[?f/?x,?f/?y]；為計(jì)算方便，定義梯度模值為

|G|=max{|Gx|,|Gy|}

(20)

信息熵(S)是表征圖像灰度信息量的頻率變化，S較小時(shí)，圖像表現(xiàn)為平滑區(qū)域，反之，則為邊緣和平滑區(qū)域。表達(dá)式為

(21)

式中：pij表示為灰度點(diǎn)(x，y)在分量展開區(qū)域中出現(xiàn)的概率。

對比度(C)表現(xiàn)圖像灰度差異性的特征，圖像灰度差異性顯示圖像的清晰度、紋理度，即圖像越清晰，紋理細(xì)節(jié)越明顯，C越大，反之，C越小。其公式為

(22)

式中：σ為圖像灰度值的標(biāo)準(zhǔn)差，u2為圖像灰度的中心距離。

因此，分?jǐn)?shù)階微積分算子根據(jù)以上3個特征參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)的變化，本文對二維離散小波分解后的圖像進(jìn)行去噪，高噪聲密度區(qū)域主要集中在高頻區(qū)域；因微分階次隨G、S、C的增加而增加，所以本文利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造階數(shù)v與f(G,S,C)之間的函數(shù)關(guān)系。

即

v=ef(|G|,S,C)-b

(23)

為突出掩模中心點(diǎn)的紋理細(xì)節(jié)，增設(shè)一個平衡系數(shù)β，式中，f(|G|,S,C)=lG+mS+nC+β，表示對梯度、信息熵和對比度的加權(quán)求和。其中l(wèi)+m+n+β=1，l,m,n分別表示為梯度加權(quán)系數(shù)、信息熵加權(quán)系數(shù)和對比度加權(quán)系數(shù)。

對于分?jǐn)?shù)階階次函數(shù)v=ef(|G|,S,C)-b，設(shè)：φ=f(|G|,S,C)，即v=eφ-b,φ∈[0,1]；對分?jǐn)?shù)階次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，v′=eφ>0，函數(shù)在區(qū)間[0,1]內(nèi)>0，函數(shù)為增函數(shù)，即vmin=1-b,vmax=e-b。

為保證v∈[0,1]，b的取值范圍為[1,e-1]，保持去噪效果的穩(wěn)定性，本實(shí)驗(yàn)b取中間值1.35。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文算法的去噪性能，選取標(biāo)準(zhǔn)庫中受到高斯、椒鹽和乘性噪聲污染的256×256的原始lena圖像，在操作系統(tǒng)為Windows7，處理器為inter-COREi3-3217 CPU，內(nèi)核為1.80 GHz，RAM2.00的條件下，通過軟件MATLAB 2013a進(jìn)行去噪處理。仿真實(shí)驗(yàn)的具體分析過程如下：

(1)對受到噪聲污染的圖像進(jìn)行二層級數(shù)展開，得到高、低頻分量系數(shù)；

(2)對低頻分量系數(shù)采用AFD模板進(jìn)行處理，最大限度保留低頻圖像的邊緣和紋理信息；

(3)對高頻分量系數(shù)(水平、垂直、對角)運(yùn)用構(gòu)造的分?jǐn)?shù)階函數(shù)自適應(yīng)確定去噪階次，采用AFD和AFI掩模模板相結(jié)合的方案進(jìn)行處理，即可以顯現(xiàn)高頻圖像的邊緣和紋理信息，又可以最大程度抑制噪聲；

(4)對處理后的分量系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的圖像。

4.2 結(jié)果分析

對處理后的lena圖像，采用PSNR和SSIM對算法進(jìn)行性能評價(jià)。其定義參見文獻(xiàn)[12]

(24)

(25)

式中：Ii,j是像素點(diǎn)為256×256的原始lena圖像，Ki,j為去噪后的圖像，u1,u2分別為Ii,j,Ki,j的均值，σ1,σ2分別表示Ii,j,Ki,j的方差，σ1,2表示Ii,j,Ki,j的協(xié)方差，為保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，引入定量常數(shù)c1=0.01,c2=0.02；其PSNR越高，SSIM越大，表示圖像的去噪效果越好。

采用3組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本算法的去噪效果，分別利用巴特去噪、維納去噪、均值去噪、小波去噪、分?jǐn)?shù)階積分去噪和A-FAP圖像去噪算法對高斯噪聲、椒鹽噪聲、乘性噪聲進(jìn)行去噪。

第一組(圖4)對加入高斯噪聲(噪聲中有均值u1=u2=0，方差σ1=σ2=0.02，協(xié)方差σ1,2=0)的lena圖像進(jìn)行去噪效果的驗(yàn)證，并與其它算法進(jìn)行對照，去噪結(jié)果分析如圖4所示。

圖4 不同算法對受到高斯噪聲的處理結(jié)果

圖4(a)為初始lena圖像，圖4(b)是加入高斯噪聲的圖像。圖4(c)～圖4(f)是對加入高斯噪聲的圖像，通過傳統(tǒng)方法進(jìn)行去噪[1-5]，對高斯噪聲的處理有一定的抑制作用，但是易造成lena圖像的面部、頭發(fā)和帽檐邊緣部分出現(xiàn)模糊現(xiàn)象。圖4(g)為分?jǐn)?shù)階積分去噪，根據(jù)文獻(xiàn)[11]利用梯度檢測噪聲點(diǎn)，運(yùn)用分?jǐn)?shù)階積分模板進(jìn)行去噪，圖像的邊緣細(xì)節(jié)得到了部分顯現(xiàn)，整體的去噪效果有所欠缺，顯現(xiàn)出一種模糊現(xiàn)象。利用本文算法去噪的結(jié)果如圖4(h)所示，該算法抑制了大量的噪聲，保留了圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)，使lena圖像的面部、頭發(fā)和帽檐邊緣部分清晰顯示出來。

此外，從表1中的PSNR值和SSIM值可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它每個算法，相對于其它算法的平均值提高了2.286 dB、0.123，這從客觀說明了本文算法對高斯噪聲去噪效果的良好性。

表1 各算法對高斯噪聲去噪后的PSNR和SSIM

第二組(圖5)對加入椒鹽噪聲(其噪聲概率為0.2，u1=u2=0.01，方差σ1=σ2=0.03，協(xié)方差σ1,2=0.01)的lena圖像進(jìn)行去噪效果的驗(yàn)證，并與不同算法進(jìn)行對比，去噪結(jié)果分析如圖5所示。

圖5 不同算法對受到椒鹽噪聲的處理結(jié)果

圖5(a)為原始圖像，圖5(b)是被椒鹽噪聲污染的lena圖像。圖5(c)～圖5(f)為傳統(tǒng)去噪算法，其中巴特去噪[2]和維納去噪[3]對噪聲的抑制能力較弱，均值去噪[4]和小波去噪[5]對椒鹽噪聲有一定的抑制作用，但是整幅圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)較為模糊。圖5(g)為分?jǐn)?shù)階積分去噪[12](階次為v=0.52)，圖像邊緣和細(xì)節(jié)信息得到了很好的凸顯，但是由于缺乏梯度的自適應(yīng)階次判別，其噪聲點(diǎn)未能很好的去除。本文算法的去噪結(jié)果如圖5(h)所示，對于圖像的紋理細(xì)節(jié)有較好的保留，對噪聲造成的模糊邊緣有針對性的去除，從圖像的清晰度和視覺感知上較其它算法有了明顯的改善。

同理，對比表2中的數(shù)值可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它每個去噪算法，相對于其它算法的平均值提高了4.707 dB、0.108，這從客觀說明了本文算法對椒鹽噪聲去噪效果的優(yōu)越性。

表2 各算法對椒鹽噪聲去噪后的PSNR和SSIM

第三組(圖6)對加入乘性噪聲(u1=u2=0，方差σ1=σ2=0.04，協(xié)方差σ1,2=0)的lena圖像進(jìn)行去噪效果的驗(yàn)證，并與其它算法進(jìn)行對照，去噪結(jié)果分析如圖6所示。

圖6 不同算法對受到乘性噪聲的處理結(jié)果

圖6(a)為初始圖像，圖6(b)為加入乘性噪聲的lena圖像。圖6(c)～圖6(f)是采用傳統(tǒng)濾波器進(jìn)行乘性噪聲去噪的結(jié)果圖，其中巴特算法[2]對乘性噪聲抑制作用較弱，維納算法[3]、均值算法[4]和小波算法[5]對乘性噪聲有一定的抑制能力，噪聲得到了很好的去除，但是對于lena圖像面部紋理細(xì)節(jié)和發(fā)絲的邊緣細(xì)節(jié)未能得到較好的保留，造成局部模糊的現(xiàn)象。圖6(g)是運(yùn)用分?jǐn)?shù)階積分[13]對乘性噪聲進(jìn)行去噪的結(jié)果圖，由于該算法對乘性噪聲點(diǎn)的去噪能力有限，雖然對于發(fā)絲的細(xì)節(jié)有所保留，但是該圖整體較為模糊。圖6(h)為本文算法去噪，根據(jù)圖像的灰度情況，自適應(yīng)的確定積分階次，抑制了大量的乘性噪聲點(diǎn)，并對圖像面部、發(fā)絲的紋理和邊緣細(xì)節(jié)得到了保留。

通過比對表3中的結(jié)果可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它算法，相對于其它算法的平均值提高了2.259 dB、0.070，進(jìn)一步說明了本文算法對乘性噪聲去噪的性能高于其它算法。

表3 各算法對乘性噪聲去噪后的PSNR和SSIM

5 結(jié)束語

本文提出改進(jìn)的A-FAP圖像去噪算法，通過圖像的梯度、信息熵和對比度的參數(shù)變化，判斷去噪的微分階次，配合高低頻二級展開的分量系數(shù)，針對性地抑制大量噪聲點(diǎn)，利用構(gòu)造的AFD、AFI掩模算子，對圖像進(jìn)行自適應(yīng)去噪。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法對比與其它各類型的算法，從視覺感知和性能評價(jià)上顯現(xiàn)出本文算法的去噪效果，其抑制噪聲的能力突出，保持圖像紋理細(xì)節(jié)和邊緣信息上具有優(yōu)勢，得到的PSNR值和SSIM值高，從而驗(yàn)證了本文算法在對高斯、椒鹽和乘性噪聲去噪方面的準(zhǔn)確性和優(yōu)越性。