張 薇，余昭旭

(華東理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院 自動化系，上海 200237)

0 引 言

多智能體系統(tǒng)因其在城市交通控制、無人機及機器人編隊等系統(tǒng)中[1,2]的廣泛應(yīng)用受到了大量關(guān)注，而一致性問題是其中的研究熱點。早期的研究主要集中在低階確定性系統(tǒng)[3-7]，但由于實際系統(tǒng)大部分為高階不確定性系統(tǒng)[8,9]，故需引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊系統(tǒng)來處理系統(tǒng)的不確定性[10-12]。

反步法是處理具有下三角形式非線性系統(tǒng)的常用方法，但由于其容易造成“復(fù)雜性爆炸”問題[13]，故引入動態(tài)面控制法來簡化計算[14-18]。由于傳統(tǒng)動態(tài)面法中邊界層誤差動態(tài)系統(tǒng)的未知非線性項沒有得到補償，控制性能會下降，故文獻[19]提出了一種新的非線性濾波器來改善控制性能。

此外，實際系統(tǒng)中大量存在的未知控制方向情況也給控制設(shè)計帶來了困難。目前，Nussbaum增益函數(shù)是解決控制方向未知問題最常用的方法[20]，并已應(yīng)用到多智能體系統(tǒng)中[21-23]。不過目前考慮的大多是仿射系統(tǒng)，而非仿射系統(tǒng)具有更一般的形式，可描述更為廣泛的實際系統(tǒng)。但具有未知控制方向的非仿射系統(tǒng)所具有的特性也會增大控制策略設(shè)計的難度。

本文的研究對象是有向拓撲圖下控制方向未知的非仿射非線性多智能體系統(tǒng)，并引入Nussbaum增益函數(shù)來處理由控制方向未知而帶來的問題；利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來處理系統(tǒng)的不確定項及耦合項；將新的非線性濾波器與反步法相結(jié)合來設(shè)計控制協(xié)議，最后通過一致性分析和仿真例子來驗證所提出的控制協(xié)議的有效性。

1 問題描述及預(yù)備知識

1.1 圖 論

有向圖G={V,E,A} 表示智能體之間的信息交換，其中，V={v1,v2,…,vN} 是節(jié)點集合，E?V×V是邊集。定義節(jié)點vi的鄰居節(jié)點的集合為Ni={vi∈V|(vi,vj)∈E}。A=[aij]∈RN×N是鄰接矩陣，其中aij≥0。 如果vj∈Ni， 則權(quán)值aij>0， 否則aij=0。 通常認為智能體無法從自身獲得信息，即aii=0。 定義領(lǐng)導(dǎo)者的權(quán)值矩陣為B=diag{b1,b2,…,bN}， 若智能體i(i=1,2,…,N) 能從領(lǐng)導(dǎo)者獲得信息，則bi>0， 否則bi=0。 通常假定至少存在一個跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者有信息交流，即有b1+b2+…+bN>0。

1.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其逼近

f(Z)=WTΦ(Z)+ε(Z), ?Z∈ΩZ

(1)

引理1[24]假設(shè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)向量為Φ(Zb)=[φ1(Zb),φ2(Zb),…,φl(Zb)]T，Zb=[z1,z2,…,zb]T， 為其輸入向量，則對任意的正整數(shù)a≤b， 有

(2)

1.3 系統(tǒng)描述

考慮一類由標記為0的領(lǐng)導(dǎo)者和分別標記為1,2,…,N的跟隨者組成的多智能體系統(tǒng)，第i(i=1,2,…,N) 個跟隨者的動態(tài)系統(tǒng)描述如下

(3)

領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)系統(tǒng)描述如下

(4)

其中，x0∈R表示領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，y0∈R表示領(lǐng)導(dǎo)者的輸出，且f(x0,t) 為連續(xù)有界函數(shù)。

注1：非線性系統(tǒng)(3)同時具有非仿射及非下三角的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可用來描述許多的實際系統(tǒng)，如船舶操縱系統(tǒng)、單桿機械臂及化工過程等。

本文的控制目標是設(shè)計分布式自適應(yīng)控制協(xié)議ui，使得在有向網(wǎng)絡(luò)拓撲下的多智能體系統(tǒng)中，各跟隨者(3)的輸出能與領(lǐng)導(dǎo)者(4)的輸出同步,并且能夠保證同步誤差在零點的小鄰域內(nèi)。

為了實現(xiàn)以上控制目標，引入下列定義、假設(shè)和引理：

假設(shè)1[24]：有向圖G包含一個領(lǐng)導(dǎo)者作為根節(jié)點的生成樹。另外，第i個跟隨者只能獲得與其相鄰的智能體的狀態(tài)信息。

根據(jù)文獻[24]，假設(shè)1表明通過設(shè)計適當(dāng)?shù)姆植际娇刂茀f(xié)議，第i(i=1,2,…,N) 個跟隨者的輸出yi可以實現(xiàn)與領(lǐng)導(dǎo)者的輸出y0同步。

引理2[25]對于有向圖G及領(lǐng)導(dǎo)者的鄰接矩陣B，如果存在任意一個bi>0，那么L+B為非奇異矩陣。

引理3[25]對于有向網(wǎng)絡(luò)拓撲G的多智能體系統(tǒng)，令z1=[z1,1,z2,1,…,zN,1]T，y=[y1,y2,…,yN]T和y0=[y0,y0,…,y0]T， 則有下式成立

(5)

其中，同步誤差zi,1,i=1,2,…,N將在下文給出，且σmin(L+B) 為矩陣L+B的最小奇異值。

定義2[20]如果N(ζ)∶R→R是一個可微函數(shù)且具有如下特性，則稱其為Nussbaum函數(shù)

(6)

(7)

引理4[26]假設(shè)V(t) 和i(t)(i=1,2,…,N) 是定義在 [0,tf) 上的光滑函數(shù)，且對于任意t∈[0,tf)， 都有V(t)≥0。 取Nussbaum函數(shù)為若有下列不等式成立

(8)

2 控制協(xié)議設(shè)計及一致性分析

本節(jié)將針對由式(3)和式(4)組成的多智能體系統(tǒng)，采用反步法與改進的動態(tài)面結(jié)合的方法，給出分布式自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議的設(shè)計及閉環(huán)系統(tǒng)的一致性分析。

2.1 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議設(shè)計

首先，定義同步誤差zi,1

(9)

其中，aij和bi分別為鄰接矩陣A與B中的元素。

對于第m(1≤m≤ni-1) 步，定義誤差變量

zi,m+1=xi,m+1-si,m,ei,m=si,m-αi,m

(10)

其中，αi,m是待設(shè)計的虛擬控制函數(shù)，并將αi,m通過非線性濾波后可得到si,m。 類似于文獻[19]，非線性濾波器設(shè)計為

(11)

(12)

其中，βi,m和λi,m均為正的調(diào)整參數(shù)。

步驟1 根據(jù)式(9)，對其求導(dǎo)，可得

(13)

(14)

由引理1和引理5可得

(15)

構(gòu)造虛擬控制函數(shù)αi,1為

(16)

(17)

(18)

步驟m(2≤m≤ni-1) 根據(jù)式(3)和式(10)～式(11)可得

(19)

及當(dāng)3≤m≤ni-1時

(20)

(21)

類似于式(15)，容易得到

(22)

構(gòu)造虛擬控制函數(shù)為

(23)

并選取自適應(yīng)率為

(24)

(25)

(26)

由式(26),關(guān)于zi,ni的動態(tài)系統(tǒng)可描述為

(27)

(28)

(29)

此時，實際控制協(xié)議可設(shè)計為

(30)

(31)

(32)

其中，pi,ni和ηi,ni皆為正的設(shè)計參數(shù)。

則由式(26)～式(32)可得

(33)

2.2 一致性分析

根據(jù)式(9)～式(11)，可得邊界層誤差ei,m(m=1,2,…,ni-1) 的動態(tài)系統(tǒng)為

(34)

則在待定的緊集Ω上，對于m=1,2,…,ni-1， 一定存在正常數(shù)Mi,m， 使 |Bi,m|≤Mi,m成立。因此可得如下不等式

(35)

(36)

(37)

(38)

由式(38),并采用文獻[26]中類似的方法可得

(39)

根據(jù)引理4及式(39)可知，V(t) 有界，即存在正常數(shù)P0，使得V(t)≤P0， ?t≥0。 并根據(jù)V(t) 的定義可得

(40)

由引理3和式(40)可得，跟蹤誤差滿足不等式

(41)

根據(jù)式(39)～式(41)可知，跟隨者(3)和領(lǐng)導(dǎo)者(4)之間的所有跟蹤誤差為合作半全局一致最終有界，且可通過選擇合適的設(shè)計參數(shù)使跟蹤誤差保持在零點的小鄰域內(nèi)。

基于以上的設(shè)計與分析，通過下面定理給出本文的主要結(jié)論。

注2：由式(39)～式(41)可以看出，跟蹤誤差的界在很大程度上取決于常數(shù)ψ和v的值的大小。為了獲得較小的跟蹤誤差，可以通過選擇合適的設(shè)計參數(shù)pi,m，ηi,m，μi,m，τi,m，βi,m，λi,m，ωi,m和κi,m使得ψ的值變大且v的值變小。

3 仿真例子

本節(jié)通過兩個仿真例子說明所提出控制方案的有效性及適用性。

例1：考慮由3個跟隨者和1個領(lǐng)導(dǎo)者組成的單桿機械臂系統(tǒng)[18]。圖1描述了各智能體之間的信息傳遞。選取領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)方程為

(42)

跟隨者的動態(tài)方程可描述為

(43)

(44)

例1中各智能體之間的信息傳遞如圖1所示。

圖1 例1中跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間信息傳遞拓撲

在仿真過程中，設(shè)計參數(shù)可取為η1,1=17，μ1,1=0.01，ω1,1=0.5，p1,1=10，τ1,1=0.035，κ1,1=0.04，β1,1=0.01，λ1,1=74；η1,2=13，μ1,2=0.02，ω1,2=0.05，p1,2=25，τ1,2=0.01，κ1,2=0.04，β1,2=0.01，λ1,2=68，η1,3=16，μ1,3=0.7，ω1,3=0.07，p1,3=20；η2,1=17，μ2,1=0.6，ω2,1=0.7，p2,1=15，τ2,1=0.035，κ2,1=0.04，β2,1=0.01，λ2,1=75；η2,2=15，μ2,2=0.7，ω2,2=0.05，p2,2=25，τ2,2=0.01，κ2,2=0.04，β2,2=0.01，λ2,2=68，η2,3=16，μ2,3=0.5，ω2,3=0.07，p2,3=20；η3,1=15，μ3,1=0.6，ω3,1=0.05，p3,1=16，τ3,1=0.035，κ3,1=0.04，β3,1=0.01，λ3,1=75；η3,2=20，μ3,2=0.8，ω3,2=0.05，p3,2=10，τ3,2=0.01，κ3,2=0.04，β3,2=0.01，λ3,2=70，η3,3=16，μ3,3=0.7，ω3,3=0.5和p3,3=20。

根據(jù)系統(tǒng)(42)～系統(tǒng)(44)和上述參數(shù)來設(shè)計仿真，其結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 例1中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0

圖3 例1中跟隨者的控制輸入ui(i=1,2,3)

圖4 例1中改進動態(tài)面控制(MDSC)與傳統(tǒng)動態(tài)面控制(CDSC)的跟蹤誤差E(t)

根據(jù)圖2可看出，所設(shè)計的控制策略可以使3個跟隨者較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出，即跟隨者的輸出曲線能夠較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出曲線的變化而變化，且根據(jù)圖像可看出，其跟蹤誤差可以維持在較小的范圍內(nèi)。圖3則為各個跟隨者的控制輸入信號的曲線圖。

例1中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0的同步性能如圖2所示。

例1中各跟隨者的控制輸入信號ui(i=1,2,3) 如圖3所示。

例1中改進動態(tài)面控制法(MDSC)與傳統(tǒng)動態(tài)面控制法(CDSC)的一致性跟蹤誤差的對比如圖4所示。

例2：考慮一個具有3個跟隨者 (i=1,2,3) 和1個領(lǐng)導(dǎo)者(標為0)的非線性多智能體系統(tǒng)，其中，第1，2個跟隨者為二階非線性系統(tǒng)，其動態(tài)方程為

(45)

第3個跟隨者為三階非線性系統(tǒng)，其動態(tài)方程為

(46)

領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)方程為

(47)

例2中各智能體之間信息傳遞如圖5所示。

圖5 例2中跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間信息傳遞拓撲

設(shè)計參數(shù)選取為η1,1=17，μ1,1=0.03，ω1,1=0.1，p1,1=10，τ1,1=0.01，κ1,1=0.04，β1,1=0.01，λ1,1=70；η1,2=1.3，μ1,2=0.02，ω1,2=0.07，p1,2=5；η2,1=15，μ2,1=0.2，ω2,1=0.5，p2,1=8，τ2,1=0.01，κ2,1=0.04，β2,1=0.01，λ2,1=75；η2,2=15，μ2,2=0.01，ω2,2=0.05，p2,2=15；η3,1=30，μ3,1=0.6，ω3,1=0.05，p3,1=16，τ3,1=0.01，κ3,1=0.04，β3,1=0.01，λ3,1=60；η3,2=1.6，μ3,2=0.8，ω3,2=0.5，p3,2=12，τ3,2=0.01，κ3,2=0.04，β3,2=0.01，λ3,2=68，η3,3=16，μ3,3=0.7，ω3,3=0.3和p3,3=5。

仿真結(jié)果如圖6～圖7所示。通過圖6可以看出，所提出的控制策略可以使跟隨者較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出。

圖6 例2中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0

圖7 例2中跟隨者的控制輸入ui(i=1,2,3)

例2中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0的同步性能如圖6所示。

例2中各跟隨者的控制輸入信號ui(i=1,2,3) 由圖7所示。

注3：由于系統(tǒng)(44)～系統(tǒng)(46)中考慮了非仿射及非下三角的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和未知控制方向的影響，使得已有的一些控制策略[16-18,24,26]并不適用于這些系統(tǒng)。然而以上仿真結(jié)果表明，本文所提出的分布式自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議能取得較好的輸出同步性能。

4 結(jié)束語

本文考慮了有向拓撲圖下具有未知控制方向的非仿射多智能體系統(tǒng)的輸出一致性問題。在設(shè)計控制策略的過程中，針對未知控制方向，引入了Nussbaum函數(shù)進行處理，而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其性質(zhì)用于處理非下三角形式的系統(tǒng)函數(shù)的不確定項及耦合項。同時，提出一種改進的動態(tài)面控制法用于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議的設(shè)計，以改善傳統(tǒng)動態(tài)面控制方法的性能。一致性分析和仿真實例都表明了所提出的控制協(xié)議有效，即跟隨者能夠較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出曲線。下一步的研究將考慮基于切換拓撲圖下非仿射多智能體系統(tǒng)的分布式自適應(yīng)控制問題。