楊慶培,尚朝軒,董 健,王 韓

(1.陸軍工程大學(xué)(石家莊校區(qū)) 電子與光學(xué)工程系，石家莊 050003；2.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，石家莊 050003)

0 引 言

雷達(dá)波形通常與探測的目標(biāo)類型、環(huán)境特性以及雷達(dá)的用途有關(guān)，好的波形能夠提高雷達(dá)的檢測性能和目標(biāo)參數(shù)估計精度。傳統(tǒng)波形設(shè)計方法通常假設(shè)目標(biāo)是先驗知識已知的準(zhǔn)確量，并且不去考慮干擾機(jī)的相互干擾，這與實戰(zhàn)環(huán)境相去甚遠(yuǎn)，會使波形設(shè)計性能降低，同時給波形參數(shù)優(yōu)化帶來較大的挑戰(zhàn)。因此，研究雷達(dá)與干擾機(jī)相互博弈條件下的波形優(yōu)化方法，提高雷達(dá)的檢測、跟蹤、識別性能，是當(dāng)前研究的重要課題。

對于隨機(jī)目標(biāo)，可將其沖激響應(yīng)建模為復(fù)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。依據(jù)這一模型，Bell[1]研究了最大化接收信號和高斯目標(biāo)之間最大互信息量(Mutual Information，MI)的波形設(shè)計方法，Leshem[2]將基于MI的波形設(shè)計方法用于多個擴(kuò)展目標(biāo)，Romero[3]分析了雜波條件下由MI準(zhǔn)則進(jìn)行波形設(shè)計在認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]證明基于最大化互信息準(zhǔn)則設(shè)計的最優(yōu)波形相較于正交波形，性能有明顯提升。文獻(xiàn)[5]基于MI和信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)準(zhǔn)則對確定目標(biāo)和隨機(jī)擴(kuò)展目標(biāo)波形設(shè)計相關(guān)理論進(jìn)行了闡述和論證。文獻(xiàn)[6]以互信息最大為設(shè)計指標(biāo)，建立統(tǒng)一信號模型，解決了頻譜受限多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達(dá)波形設(shè)計問題。文獻(xiàn)[7]首先對MIMO雷達(dá)與干擾機(jī)間的相互博弈現(xiàn)象進(jìn)行了研究，針對Stackelberg博弈模型提出了基于MI準(zhǔn)則的波形優(yōu)化策略。 文獻(xiàn)[8]采用極大極小方法，對雷達(dá)與干擾機(jī)分層博弈模型進(jìn)行了建模與仿真，通過將目標(biāo)頻譜建模為上下限已知的條帶模型，得到了最不利條件下的魯棒波形，有效提高了雷達(dá)的參數(shù)估計性能，但是并沒有論證條帶范圍的選取準(zhǔn)則，也沒有證明相關(guān)模型的優(yōu)越性。文獻(xiàn)[9]基于最大信干噪比準(zhǔn)則，推導(dǎo)論證了彈載雷達(dá)與目標(biāo)相互博弈過程中波形設(shè)計納什均衡解的存在性，并通過多次迭代注水的方法進(jìn)行了求解，其方法更接近帕累托最優(yōu)。但是該算法需要對雙拉格朗日乘子進(jìn)行搜索，計算較復(fù)雜。文獻(xiàn)[10]研究了單基地雷達(dá)和干擾機(jī)的博弈策略設(shè)計問題，推導(dǎo)并驗證了平衡策略的有效性。但是在問題建模時，并沒有考慮信號相關(guān)雜波的影響。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法和粒子群(Particle Swarm Optimization，PSO)算法得到了Stackelberg平衡，仿真證明了相關(guān)算法的有效性，但是同樣未考慮信號相關(guān)雜波的影響。基于上述研究，本文討論了雜波條件下雷達(dá)與干擾機(jī)均衡博弈策略，考慮到注水法對拉格朗日乘子初值設(shè)定以及搜索過程要求較高，采用最大邊緣分配(Maximum Marginal Allocation,MMA)算法進(jìn)行求解，并設(shè)計了仿真實驗進(jìn)行驗證。

本文的創(chuàng)新工作主要是：將MMA算法引入雷達(dá)博弈過程，相較于傳統(tǒng)迭代注水算法，該算法不需要對拉格朗日乘子進(jìn)行搜索，并且避免了乘子初值對波形的影響，大大減少了計算量；基于最大互信息準(zhǔn)則建立了認(rèn)知雷達(dá)與干擾之間的非合作博弈模型，迭代求解了納什均衡時雷達(dá)波形的能量譜分布，并將均衡策略與maxmin策略以及minmax策略和隨機(jī)策略進(jìn)行了對比，仿真實驗驗證了均衡策略的有效性。

1 問題建模

1.1 有限能量隨機(jī)目標(biāo)

定義在時間間隔為[0,Th]內(nèi)平穩(wěn)隨機(jī)目標(biāo)模型為一廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，在該區(qū)間外為0。圖1[12]是有限持續(xù)時間的隨機(jī)目標(biāo)信號的產(chǎn)生過程，其中g(shù)(t)是一個具有確定功率譜密度的復(fù)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，a(t)是持續(xù)時間Tk的矩形窗函數(shù)，由此可得輸出h(t)=a(t)?g(t)是一個僅在[0,Th]有效的有限時間隨機(jī)過程，且由于g(t)廣義平穩(wěn)，故h(t)在[0,Th]上也是平穩(wěn)隨機(jī)過程[13]。

圖1 有限時間隨機(jī)目標(biāo)模型[12]

該隨機(jī)過程的能量譜密度(Energy Spectral Density,ESD)可定義為

ξH(f)=E[|H(f)|2] 。

(1)

若隨機(jī)過程的傅里葉變換函數(shù)的均值表示為

μH(f)=E[|H(f)|] ，

(2)

則該過程傅里葉變換H(f)的方差為

(3)

1.2 雜波環(huán)境下基于最大化互信息準(zhǔn)則的波形設(shè)計

圖2給出了適用于基于MI波形設(shè)計方法的信道模型，其中，單一或擴(kuò)展隨機(jī)目標(biāo)為g(t)，其傅里葉變換為g(f)；n(t)是具有功率譜密度為Snn(f)的零均值接收機(jī)噪聲過程，假設(shè)Snn(f)是一個雙邊帶功率譜密度，頻帶范圍為[-W/2,W/2]；雜波分量c(t)也是一個零均值隨機(jī)過程，PSD為Scc(f)，且在帶寬范圍內(nèi)有效；x(t)為復(fù)值基帶發(fā)射信號，其傅里葉變換為X(f)；干擾信號為j(t)，其PSD為J(f)。

圖2 基于MI波形設(shè)計方法的信道模型

雷達(dá)接收回波為

y(t)=s(t)*g(t)+s(t)*c(t)+n(t)+j(t)。

(4)

用頻域相乘代替時域卷積過程：

Y(f)=S(f)G(f)+S(f)C(f)+N(f)+J(f)。

(5)

將帶寬W劃分為M個等寬的小頻段Δf，每個子頻段Fk=[fk,fk+Δf]，其間信號頻譜近似為常數(shù)，在時寬t∈[0,T]內(nèi)對每個子頻段的時域采樣，則互信息[14]為

(6)

對于一個時間有限的隨機(jī)目標(biāo)g(t)，它的原始熵是有限的，因此并不存在功率譜密度。

用ESV代替PSD,得到

I(y(t);x(t)/s(t))=

(7)

1.3 均衡博弈波形建模

考慮理想情況，雷達(dá)與干擾機(jī)均可以根據(jù)獲得的信息自適應(yīng)改變發(fā)射波形。對于雷達(dá)來說，通過改變發(fā)射波形的能量譜使得雷達(dá)所獲得的互信息最大，用數(shù)學(xué)表示即為

(8)

式中：Ep為發(fā)射機(jī)能量限制，Ej為干擾機(jī)能量限制，BW為頻帶范圍[-W/2,W/2]。

對于干擾機(jī)來說剛好相反。干擾機(jī)想通過優(yōu)化干擾波形J(f)使得雷達(dá)所獲得的互信息最小，數(shù)學(xué)表示為

(9)

由于目標(biāo)完全對立，雷達(dá)與干擾機(jī)構(gòu)成了二元零和博弈，一方策略的改變將直接影響另一方的策略。在電子戰(zhàn)中，雷達(dá)處于領(lǐng)先地位，干擾機(jī)會根據(jù)偵測信息改變策略，以匹配當(dāng)前環(huán)境，使雷達(dá)所獲得的互信息最小。雷達(dá)偵測到干擾機(jī)的變化，也會自適應(yīng)改變發(fā)射波形來提高互信息，兩者相互博弈直至達(dá)到納什均衡。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)論證了納什均衡解的存在性和收斂性，在此不再贅述，直接引用結(jié)論。

2 MMA算法在求解均衡博弈波形中的應(yīng)用

2.1 MMA算法介紹

MMA算法其實是解決固定資源分配問題，它是在單約束或多約束條件下將固定數(shù)量的資源投入給不同的活動，以達(dá)到最有效的效果。

假設(shè)給定式子

(10)

(11)

(12)

式中：

(13)

(14)

文獻(xiàn)[16-17]仿真驗證了MMA算法與拉格朗日乘子算法所得的波形能量譜幾近重合，前者因為突破了乘子復(fù)雜搜索過程，只與最小能量分配單元有關(guān)，運行時間極大縮短。

2.2 MMA算法求解均衡博弈波形過程

將上述MMA算法原理運用在基于MI最大的博弈波形設(shè)計問題上。將MI離散化后得

(15)

式中：Δf=W/N；k=1,2,3,…,N；fk=kΔf。同時，將能量約束離散化，公式可寫為

(16)

(17)

令

u(k)=|S(fk)|2，

(18)

(19)

(20)

則最大化互信息可簡寫成

(21)

(22)

將umax離散等分成M份，最小單元為Δ，umax=MΔ，u(k)的取值范圍為{0,Δ,2Δ,…,MΔ}。該算法每一次都把Δ單位的能量分配給可以獲得最大互信息的頻段，當(dāng)所有的能量都分配完，獲得的目標(biāo)與回波之間互信息最大[18]。即：對所有k值，均選擇D(u(k),k)中的最大值D(u(kmax),kmax)，將Δ的能量分配給u(kmax)，在下一次能量分配之前更新D(u(k),k)，直至整個能量分配過程結(jié)束，此時得到的結(jié)果即為目標(biāo)與回波之間的最大互信息量，且對不同的k值，在各頻段分配的能量u(k)就是最優(yōu)發(fā)射波形的能量譜。

本文利用MMA算法對納什均衡解進(jìn)行求解，將大大縮短運算時間。均衡博弈波形設(shè)計MMA算法流程如下：

Step5 更新干擾波形：|J(fk)|=|J(fk)|1。

Step6 重復(fù)Step 2～5，直至互信息不再變化。

3 仿真實驗

某型雷達(dá)發(fā)射信號總能量限定為E=1，信號頻率范圍為[0,1]，最小能量分配單元Δ設(shè)為0.2，則能量分配份數(shù)也即該算法步驟數(shù)M=500，采樣點數(shù)為100。設(shè)高斯白噪聲功率譜密度為Pnn(f)=0.05，觀測時間T=1。針對隨機(jī)目標(biāo)，此時的目標(biāo)雜波比為-4.8 dB，目標(biāo)噪聲比為5.2 dB。

3.1 固定能量雷達(dá)和固定能量干擾機(jī)博弈

首先仿真固定能量干擾的博弈策略。干擾能量設(shè)置為0.8，圖3顯示了雷達(dá)與干擾機(jī)波形能量分配情況。能夠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)雷達(dá)處于主導(dǎo)地位時，雷達(dá)與干擾機(jī)相互博弈的結(jié)果是傾向于將能量分配在目標(biāo)沖激響應(yīng)最強(qiáng)烈的頻段。圖4是兩者相互博弈過程中互信息的變化情況?？芍?jīng)過六次博弈，互信息達(dá)到平衡，之后兩者的策略均不再對互信息有明顯的影響。

圖3 固定能量干擾機(jī)波形

圖4 博弈過程中互信息變化情況

3.2 固定能量雷達(dá)和變能量干擾機(jī)博弈

接下來對干擾機(jī)的變功率情況進(jìn)行仿真。設(shè)定干擾能量變化范圍0.6～1，仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，干擾能量越強(qiáng)，干擾機(jī)與雷達(dá)的策略越接近。圖6給出了變功率情況的互信息變化情況，可見干擾機(jī)的能量越強(qiáng)，互信息的整體變化趨勢是減少，雷達(dá)所獲得的有效信息將減少。

(a)干擾能量為0.6

(b)干擾能量為0.7

(c)干擾能量為0.8

(d)干擾能量為1圖5 變功率干擾機(jī)與雷達(dá)博弈波形

圖6 變功率干擾機(jī)與雷達(dá)博弈互信息變化情況

3.3 變能量雷達(dá)和變能量干擾機(jī)博弈

圖7～10給出了變能量雷達(dá)與變能量干擾機(jī)相互博弈時互信息的變化情況。為了驗證均衡博弈策略的有效性，圖9和圖10給出了maxmin策略和minmax策略時雷達(dá)和干擾機(jī)能量變化時互信息變化情況的三維圖，能夠發(fā)現(xiàn)幾種策略較為接近，但是并不相同。

圖7 雷達(dá)主導(dǎo)時均衡策略互信息變化情況

圖8 干擾機(jī)主導(dǎo)時均衡策略互信息變化情況

圖9 maxmin策略互信息變化情況

圖10 minmax策略互信息變化情況

為了定量分析，圖11則對幾種策略進(jìn)行了直觀對比。該對比實驗固定了雷達(dá)能量，可以發(fā)現(xiàn)，無論干擾機(jī)能量如何變化，均衡博弈策略互信息要始終高于其他策略，性能最優(yōu)。

圖11 幾種策略對比

4 結(jié) 論

本文通過對雷達(dá)與干擾機(jī)相互博弈過程的建模，研究了雷達(dá)與干擾機(jī)的策略設(shè)計問題。首先將認(rèn)知雷達(dá)和干擾機(jī)之間的關(guān)系建模為Stackelberg博弈，然后基于MI效用函數(shù)分析推導(dǎo)了平衡策略。仿真實驗表明，當(dāng)雷達(dá)處于主導(dǎo)地位時，雷達(dá)與干擾機(jī)互相博弈的策略都傾向于在目標(biāo)ESV較大的頻率上分配更多的能量，盡管干擾機(jī)設(shè)計的干擾波形會降低雷達(dá)系統(tǒng)的性能，但當(dāng)雷達(dá)處于主導(dǎo)地位時，基于均衡策略設(shè)計的發(fā)射波形最終可以保證雷達(dá)系統(tǒng)的估計性能，為解決干擾條件下提高雷達(dá)性能問題提供了有益的指導(dǎo)。