黃明祥 卞宏志 林奕夫

（國(guó)網(wǎng)福建經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院 福州 350012）

1 引言

接地網(wǎng)是保證電力操作人員和運(yùn)維人員安全至關(guān)重要的保障設(shè)施。當(dāng)電網(wǎng)中存在雷電流和故障電流時(shí)，接地網(wǎng)可以提供放電通道［1］。因此，接地網(wǎng)的導(dǎo)電能力非常重要。隨著運(yùn)行時(shí)間的增加，由于腐蝕或分支斷裂，接地網(wǎng)中會(huì)出現(xiàn)故障［2］，因此需要提高和完善測(cè)量接地網(wǎng)的拓?fù)浜蛿帱c(diǎn)的技術(shù)。接地網(wǎng)通常由銅或鐵導(dǎo)體制成，埋在地下約0.3m～2m 處。這導(dǎo)致通過(guò)常規(guī)方法直接測(cè)量斷點(diǎn)或接地網(wǎng)拓?fù)浜芾щy［3］。文獻(xiàn)［4］將高頻大電流的方波電流注入電網(wǎng)，通過(guò)對(duì)表面感應(yīng)磁場(chǎng)強(qiáng)度的測(cè)量來(lái)研究接地網(wǎng)的完整性。文獻(xiàn)［5］向下引線注入100A 直流電并測(cè)量表面磁場(chǎng)，基于電磁理論并借助測(cè)量結(jié)果來(lái)診斷接地網(wǎng)的斷點(diǎn)。文獻(xiàn)［6］向下引線注入300Hz的電流并測(cè)量表面磁場(chǎng)強(qiáng)度，并基于測(cè)量結(jié)果發(fā)出完整的接地網(wǎng)腐蝕或斷點(diǎn)診斷檢測(cè)系統(tǒng)。文獻(xiàn)［7］采用電磁法診斷變電站接地網(wǎng)中的分支故障斷裂。上述所有方法的思路都是通過(guò)直接測(cè)量磁場(chǎng)以檢測(cè)接地網(wǎng)的拓?fù)浠驍帱c(diǎn)。但是，這些方法存在的共同問(wèn)題是需要測(cè)量大量數(shù)據(jù)且計(jì)算工作復(fù)雜。磁檢測(cè)電阻抗斷層攝影（MDEIT）是用于重建對(duì)象電阻率分布的成像技術(shù)，最初用于重建人體的橫截面電導(dǎo)率分布［8～9］。MDEIT 在技術(shù)上基于在對(duì)象內(nèi)部生成電流分布并測(cè)量對(duì)象外部的磁場(chǎng)分布以重建成像對(duì)象的電阻率分布［10］。文獻(xiàn)［11］從被檢測(cè)物體的表面注入電流并測(cè)量物體周?chē)拇艌?chǎng)，以重建內(nèi)部電阻率分布。在該方法中，當(dāng)前注入的點(diǎn)和測(cè)量點(diǎn)位于物體的表面中，這將限制注入點(diǎn)的數(shù)量和測(cè)量模式。因此，本文提出了一種基于MDEIT 的電阻率重建方法來(lái)確定接地網(wǎng)的拓?fù)浜蛿帱c(diǎn)。本文描述了基于MDEIT 的接地網(wǎng)成像的正反問(wèn)題。最后通過(guò)數(shù)值和實(shí)驗(yàn)例證實(shí)了該方法的可行性。

2 MDEIT中接地網(wǎng)的前向推導(dǎo)問(wèn)題

2.1 前向推導(dǎo)問(wèn)題的計(jì)算模型

本文的分析基于以下基本假設(shè)［12］：

1）當(dāng)前場(chǎng)滿足準(zhǔn)靜態(tài)條件。

2）成像對(duì)象內(nèi)沒(méi)有電流源。

3）成像對(duì)象的電阻率是各向同性的。

基于上述假設(shè)和麥克斯韋方程［13］，MDEIT中的前向問(wèn)題可以簡(jiǎn)化如下：

其中式（1）滿足：

則式（3）可以改寫(xiě)為

其中σ是電導(dǎo)率。流入和流出邊界面的條件如下：

其中n 是法向量，Jn是邊界面的流入電流密度。假設(shè)邊界面的電流密度是均勻的，Jn可以描述如下其中A+是當(dāng)前電流流入面積，A-是當(dāng)前電流流出面積。則式（6）可改寫(xiě)為

根據(jù)式（5）和（6），使用有限元方法（FEM）［14］來(lái)計(jì)算φ，則電流密度可以通過(guò)下式計(jì)算：

基于 Biot-Savart 定律［15］，磁通強(qiáng)度 B 可描述如下：

因此，MDEIT 的前向推導(dǎo)問(wèn)題是在知道當(dāng)前J和電導(dǎo)率σ時(shí)求解B。

2.2 計(jì)算方法

為了解決MDEIT 的前向問(wèn)題，可以使用有限元方法求解式（5）和（8），并使用式（9）來(lái)分析MDEIT前向推導(dǎo)問(wèn)題。式（5）用有限元方法可表述為

根據(jù)格林函數(shù)理論，式（10）可以改寫(xiě)為

考慮到邊界條件，上式改寫(xiě)為

式（12）的最小化問(wèn)題可表述為

如果k是有限元中的單元數(shù)量，那么

式（13）和（14）可改寫(xiě)為

根據(jù)式（16），φ可以計(jì)算得出，然后J和B也可以分別用式（8）和（9）計(jì)算得出。

2.3 仿真算例

仿真案例研究了典型的方形接地網(wǎng)，接地網(wǎng)大小約為2m×2m，網(wǎng)格大小為1m×1m，如圖1 所示。注入電流為10A，測(cè)量平面與接地網(wǎng)之間的垂直距離為h=0.8m。

基于有限元分析，接地網(wǎng)的網(wǎng)格模型如圖2 所示。根據(jù)式（8），測(cè)量平面上的磁通密度如圖3 所示。

圖1 簡(jiǎn)化的接地網(wǎng)格模型

圖2 接地網(wǎng)的網(wǎng)格模型

從圖3 中可以看出，當(dāng)電流流過(guò)導(dǎo)體時(shí)，電流將在測(cè)量平面上產(chǎn)生磁通密度。

圖3 測(cè)量平面上的磁通密度

3 MDEIT中接地網(wǎng)的后向推導(dǎo)問(wèn)題

3.1 后向推導(dǎo)問(wèn)題的計(jì)算模型

磁通密度和電阻率分布之間的關(guān)系如式（17）。 MDEIT 的反向問(wèn)題是在知道B 時(shí)找到σ并重建電導(dǎo)率分布：

其中B 和σ是測(cè)量平面上的磁通密度和成像區(qū)域的電導(dǎo)率。為了求解式（16）中的σ，根據(jù)最小二乘法，可以得到目標(biāo)函數(shù)如下：

對(duì)式（17）求導(dǎo)：

式（19）中A 是雅可比矩陣。式（18）的泰勒級(jí)數(shù) 展 開(kāi) 為其 中是海森矩陣，并且 ΔσK=σK+1-σK，

根據(jù)式（8）和（9），外部磁通密度B 和電導(dǎo)率σ分布矩陣之間的關(guān)系可以寫(xiě)成如下：

在重建過(guò)程中，電導(dǎo)率σ可以通過(guò)迭代方法計(jì)算，迭代方程如下：

電阻率δ可根據(jù)下式計(jì)算：

式（22）中δ和σ是分別電阻率和電導(dǎo)率。

3.2 仿真算例

基于圖1 所示的模型，接地網(wǎng)的電阻率分布如圖4 所示。紅色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域分別代表接地網(wǎng)的土壤和鋼制接地體。

圖4 接地網(wǎng)模型的電阻率分布

假設(shè)流入的電流為10A，則測(cè)量平面上的磁通密度B 可以被測(cè)量?；谒岢龅姆椒?，可以重建電阻率分布，如圖5所示。

圖5 表明，高電阻率區(qū)域主要集中在接地網(wǎng)的中心，此處主要是土壤，并具有與圖4 類似的電阻率分布。該電阻率的重建結(jié)果表明該方法可用于測(cè)量接地網(wǎng)拓?fù)洌约皽y(cè)定地網(wǎng)中可能存在的斷點(diǎn)。

圖5 電阻率分布的重建結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

如圖6所示，實(shí)驗(yàn)所搭建的小型的接地網(wǎng)由2×2 方形網(wǎng)格組成，接地網(wǎng)的導(dǎo)體采用?3.5mm 銅軟線。 為了重建接地網(wǎng)的電阻成像，霍爾效應(yīng)探頭和三維數(shù)控電機(jī)平臺(tái)用于測(cè)量測(cè)量平面上的磁通密度。測(cè)量點(diǎn)的總數(shù)為100，點(diǎn)間距為1cm。測(cè)量探頭在每個(gè)點(diǎn)的穩(wěn)定時(shí)間是2s。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖7所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)所用接地網(wǎng)

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

根據(jù)本文提出的方法所重建的電阻率分布如圖8所示。

可以看出，存在四個(gè)具有高電阻率的紅色區(qū)域，這與預(yù)定義的實(shí)驗(yàn)條件一致此外，在存在斷點(diǎn)情況下的電阻率分布如圖9 所示，其中紅色和藍(lán)色區(qū)域分別代表土壤和接地網(wǎng)的導(dǎo)體。

圖8 電阻率分布的重建結(jié)果

圖9 接地網(wǎng)模型的電阻率分布

相應(yīng)的電阻率重建結(jié)果如圖10 所示?？梢钥闯?，有三個(gè)具有高電阻率的紅色區(qū)域，這與圖9 中的預(yù)定電阻率分布相匹配?？梢缘贸鼋Y(jié)論，所提出的方法可用于測(cè)量通過(guò)重建接地網(wǎng)的成像來(lái)確定接地網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和斷點(diǎn)。

圖10 電阻率分布的重建結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于MDEIT 的接地網(wǎng)電阻率重建方法。首先分析了基于MDEIT 的接地網(wǎng)成像的正反向推導(dǎo)問(wèn)題。然后，通過(guò)數(shù)值和實(shí)驗(yàn)例驗(yàn)證了所提方法的可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明電阻率重建方法可用于測(cè)量接地網(wǎng)的拓?fù)浜蛿帱c(diǎn)。