向 亮， 葉 飛， 梁 興， 歐陽奧輝， 趙汝亮， 3

(1. 中鐵第一勘察設(shè)計院集團有限公司， 陜西 西安 710043； 2. 長安大學(xué)公路學(xué)院， 陜西 西安 710064；3. 天津市市政工程設(shè)計研究總院， 天津 300450)

0 引言

人工凍結(jié)法加固地層效果良好、地表沉降易控制，因此在地下空間領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛，對其施工過程中產(chǎn)生的溫度場的研究也如火如荼[1-3]。

目前，研究人工凍結(jié)溫度場的手段很多，其中包括數(shù)值模擬、模型試驗、理論分析以及現(xiàn)場實測調(diào)研等[4-6]。1954年，特魯巴克[7]首先提出了單管凍結(jié)溫度場的計算公式； 巴霍爾金基于理想凍結(jié)管相互影響模型和水力學(xué)相關(guān)概念得到單排管和雙排管凍結(jié)壁交圈后的溫度場分布特點[1]。文獻[8-9]提出單排管凍土帷幕溫度場的計算公式，并在實際工程中得到廣泛實踐。汪仁和等[10]基于平面單管傳熱模型，提出了雙孔和多孔凍結(jié)的溫度場疊加公式。李方政[11]通過指數(shù)積分函數(shù)，假設(shè)單管凍結(jié)為一維軸對稱問題，得出人工凍土瞬態(tài)溫度場的解析解，并分析了凍結(jié)交圈時間和凍結(jié)發(fā)展規(guī)律。胡向東等[12]對特魯巴克解和巴霍爾金解進行修正，提出土體凍結(jié)溫度不為零時的凍結(jié)溫度場計算模型，并采用勢函數(shù)疊加原理提出單排、雙排和3排凍結(jié)管的穩(wěn)態(tài)溫度場求解方法。劉健鵬等[13]針對南京地鐵盾構(gòu)隧道端頭加固凍結(jié)，推導(dǎo)了多排管凍結(jié)壁的平均溫度計算公式。肖朝昀等[14]從凍結(jié)厚度和深度上分析了多排管局部凍結(jié)的溫度發(fā)展特征，并計算出了積極凍結(jié)期結(jié)束時的凍土壁厚度。楊平等[15]以軟土隧道聯(lián)絡(luò)通道凍結(jié)為背景，進行全程溫度實測，探索施工中溫度場的發(fā)展規(guī)律。對于平面斜交聯(lián)絡(luò)通道，馬俊等[16]通過溫度與位移實測，分析了凍結(jié)溫度場發(fā)展規(guī)律及地表位移變化規(guī)律。

實際工程中，凍結(jié)管的影響范圍并不是無限的，凍結(jié)管的布置間距往往會大于積極凍結(jié)期內(nèi)單管凍結(jié)鋒面半徑。然而，目前，學(xué)者們考慮凍結(jié)管疊加影響范圍的較少。為提高凍結(jié)管溫度場計算的準(zhǔn)確性，本文將凍結(jié)管影響范圍假定為雙管凍結(jié)范圍，并推導(dǎo)雙管凍結(jié)條件下疊加場范圍的溫度表達式，然后進行周期擴展，得到多管凍結(jié)條件下疊加溫度場的分布形式。同時，依托蘭州軌道1號線聯(lián)絡(luò)通道，通過數(shù)值模擬對推導(dǎo)的表達式進行驗證，最后按照工程實際布管進行計算，并對設(shè)計方案進行驗證。

1 多管凍結(jié)條件下疊加溫度場計算

1.1 單管凍結(jié)條件下的穩(wěn)態(tài)溫度場計算

多管凍結(jié)溫度場可認為是考慮相互作用影響下的多個單管凍結(jié)溫度場的疊加，因此研究單管凍結(jié)是基礎(chǔ)。由于凍結(jié)管的半徑遠小于其長度，可將其作為平面內(nèi)冷源的熱傳導(dǎo)問題進行研究。在計算分析之前先做如下假設(shè)：

1)凍結(jié)管的溫度輻射僅發(fā)生在垂直于軸線方向；

2)待凍結(jié)土體均質(zhì)連續(xù)，且凍結(jié)前初始溫度相同；

3)無窮遠處的溫度為地層初始溫度；

4)假定土體凍結(jié)溫度為0 ℃;

5)不計相變發(fā)生的時間，不考慮水分遷移，當(dāng)某點達到凍結(jié)溫度時，即可認為該位置土體已經(jīng)凍結(jié)。

單管凍結(jié)計算模型如圖1所示。

Ⅰ為凍結(jié)區(qū)； Ⅱ為未凍區(qū)； r0為凍結(jié)管半徑； R為凍結(jié)鋒面半徑。

穩(wěn)態(tài)溫度場是一種理想中的溫度分布模型，其溫度分布以固定形式表示，見式(1)。

(1)

式中： 溫度T為距凍結(jié)管中心的距離r的函數(shù)；r為任意點距離凍結(jié)管中心的距離；

由假設(shè)條件可得下列邊界條件：

T(R)=Td； (2)

T(r0)=Tp。 (3)

式(2)—(3)中：Td為凍結(jié)溫度；Tp為凍結(jié)管中心溫度；r0為凍結(jié)管半徑， m；R為凍結(jié)鋒面半徑(即凍結(jié)壁厚度)， m。

取凍結(jié)溫度Td為0 ℃時，代入邊界條件式(2)和式(3)可得特魯巴克單管凍結(jié)公式

(4)

1.2 雙管凍結(jié)條件下的疊加溫度場計算

由式(4)可知，在某一時刻單管凍結(jié)形成的溫度與距離呈對數(shù)函數(shù)單調(diào)變化。凍結(jié)管對未凍區(qū)的影響較小，且實際凍結(jié)管布置間距大于單管凍結(jié)鋒面半徑，因此可假設(shè)相鄰雙管凍結(jié)時僅2凍結(jié)管之間的區(qū)域受疊加影響，即圖2中x軸[O1,O2]區(qū)間，且以下計算坐標(biāo)原點為O1。

圖2 雙管凍結(jié)計算模型

如圖2所示，2個凍結(jié)管的凍結(jié)鋒面剛好相切時，2個冷源周圍的溫度場是關(guān)于直線M1M2對稱的，因此可假設(shè)2個冷源同時開始凍結(jié)，研究范圍進而可縮小至[0,l/2]區(qū)間。

胡向東等[12]提出了溫度勢函數(shù)的概念，在單管凍結(jié)模型中，取半徑為r的一個圓形界面，其表達形式為

(5)

式中：Q是半徑為r的界面上任一點可通過的熱量， kJ/(m·s)；q是半徑為r的界面上單位時間單位長度上的總熱流量， kJ/(m·s)；C0為積分常數(shù)。

依照上述假定條件，相鄰雙管凍結(jié)時僅2個凍結(jié)管之間的區(qū)域受疊加影響。2場疊加范圍內(nèi)任意點A(x,y)受相鄰2個凍結(jié)管的熱量QA(x,y)和QA′(x,y)的影響，受到的熱量之和

Q(x,y)=QA(x,y)+QA′(x,y)=

(6)

由于2個溫度的參數(shù)完全一致，A(x,y)點標(biāo)量Q的表達式為

(7)

由此可得凍結(jié)鋒面和凍結(jié)管外表面上的標(biāo)量值Qd和Qp。

(8)

(9)

由于凍結(jié)管半徑遠小于凍結(jié)管間距，即r0<

由式(8)和式(9)聯(lián)立可得

(10)

取凍結(jié)鋒面為標(biāo)量Q的零點，可得

(11)

將式(10)和式(11)代入式(7)可得到雙場疊加區(qū)內(nèi)Q的最終表達式：

(0≤x≤l)。

(12)

取土體的凍結(jié)溫度Td=0 ℃、Q=λT(λ為導(dǎo)熱系數(shù))可求得雙管凍結(jié)條件下疊加場范圍的溫度表達式

(0≤x≤l)。

(13)

2 算例分析研究

2.1 紅砂巖地層算例分析

2.1.1 雙管溫度場分布

為驗證本文提出的溫度場計算模型的合理性，此處結(jié)合蘭州地鐵1號線聯(lián)絡(luò)通道所在的紅砂巖地層進行計算，并通過FLAC 3D進行算例的模擬計算，對結(jié)果進行分析和驗證。根據(jù)地勘報告和凍結(jié)設(shè)計方案，凍結(jié)計算參數(shù)取值見表1，紅砂巖地層熱物理參數(shù)見表2。

表1 凍結(jié)計算參數(shù)取值

表2 紅砂巖地層熱物理參數(shù)取值

根據(jù)設(shè)計要求，依托工程的凍結(jié)壁厚度需要在40 d達到單側(cè)1 m的厚度。取凍結(jié)壁厚度R為1 m、凍結(jié)管間距l(xiāng)為1 m，在凍結(jié)管中心溫度Tp取-28 ℃情況下，雙管凍結(jié)穩(wěn)態(tài)溫度場分布如圖3所示。

圖3 雙管凍結(jié)溫度分布圖(l=1 m,R=1 m)(單位： ℃)

通過FLAC3D建立50 m×50 m×10 m的平板模型，模型初始溫度設(shè)置為-28 ℃，地層溫度設(shè)置為17.4 ℃，建立2個冷源(圓柱)，直徑為0.127 m，長度為10 m，間距為1 m，模型參數(shù)按表1和表2選取。通過模擬計算可以發(fā)現(xiàn)，在紅砂巖地層中，相同布置條件下，40 d時的雙管凍結(jié)壁厚度R剛好達到1 m，此時的溫度分布情況如圖4所示。

由圖3和圖4知，理論公式與數(shù)值模擬基本吻合，溫度變化規(guī)律保持一致。雙管凍結(jié)溫度場呈近橢圓形分布，并以兩管連線的中垂線為對稱軸。受相互作用最明顯的是兩凍結(jié)管之間的區(qū)域，兩邊外側(cè)部分受相鄰凍結(jié)管的影響作用較小，等溫線依舊近似呈同心圓分布。

圖4 雙管凍結(jié)模擬計算結(jié)果(l=1 m,R=1 m)(單位： ℃)

2.1.2 單排多管溫度場分布

根據(jù)假設(shè)，單排多管凍結(jié)條件下的溫度場函數(shù)可以看作是式(13)的周期函數(shù)。將x=0與x=l之間的函數(shù)圖像周期重復(fù)可得單排多管凍結(jié)情況下的溫度場分布。相同間距不同凍結(jié)壁厚度下的凍結(jié)溫度分布如圖5和圖6所示。

圖5 多管凍結(jié)溫度分布(l=1 m,R=1 m)(單位： ℃)

同雙管數(shù)值模擬類似，在平板模型中心布置10個大小相同的凍結(jié)管，間距1 m，單側(cè)凍結(jié)壁厚度為1.6 m，凍結(jié)溫度場如圖7所示。

由圖6和圖7可知，理論公式與數(shù)值模擬計算的結(jié)果基本吻合，溫度變化規(guī)律保持一致。在單排多管凍結(jié)條件下，相鄰兩管之間的凍結(jié)鋒面及等溫線都呈波浪形分布，且相鄰凍結(jié)管連線的中垂線上凍結(jié)壁厚度達到最大值，與巴霍爾金單排凍結(jié)模型的結(jié)果一致。保持凍結(jié)管間距l(xiāng)不變，增加凍結(jié)管豎向凍結(jié)壁厚度R，整體凍結(jié)壁厚度也將相應(yīng)的增加，反映在實際工程中，即凍結(jié)管布置完畢后，可通過調(diào)整冷媒溫度來間接控制凍結(jié)壁厚度。

圖6 多管凍結(jié)溫度分布(l=1 m,R=1.6 m)(單位： ℃)

圖7 多管凍結(jié)模擬計算結(jié)果(l=1 m,R=1.6 m)(單位： ℃)

2.2 參數(shù)分析

與單管穩(wěn)態(tài)溫度場的計算類似，本文溫度場計算模型推導(dǎo)也是將凍結(jié)管位置的豎向凍結(jié)壁厚度R作為已知量考慮的，一般根據(jù)工程經(jīng)驗取值。此處不妨先將其假設(shè)為單管凍結(jié)凍結(jié)壁厚度的k倍，結(jié)合算例探究凍結(jié)壁厚度R與凍結(jié)管布置間距l(xiāng)對溫度場分布的影響。

2.2.1 凍結(jié)管間距對溫度場分布的影響

為研究凍結(jié)管間距對雙管穩(wěn)態(tài)溫度場的影響，保持其他參數(shù)不變，選取凍結(jié)管間距值l為0.8、1.0、1.2、1.6、2.0 m，計算得溫度T在凍結(jié)管連線及其中垂線上的分布規(guī)律如圖8和圖9所示。為方便描述，以凍結(jié)管連線所在直線為x軸。

由x軸上的溫度計算結(jié)果可知，凍結(jié)管兩側(cè)(之前假設(shè)的非溫度疊加區(qū)域)的溫度分布是對稱的，且多條溫度曲線在外側(cè)幾乎重合，這說明之前的假設(shè)是合理的，即相鄰凍結(jié)管的影響區(qū)域有限，兩邊外側(cè)溫度仍按單管凍結(jié)形式分布，外側(cè)凍結(jié)鋒面半徑約為0.81 m。在溫度疊加區(qū)內(nèi)，凍結(jié)管連線中點位置溫度為最高值，同時也是中垂線上溫度最低點，凍結(jié)管間距l(xiāng)越小，該點溫度也越低。中垂線上凍結(jié)鋒面位置不會隨凍結(jié)管間距l(xiāng)改變，該方向上的凍結(jié)壁厚度的一半穩(wěn)定在1.1 m左右，略大于設(shè)定的凍結(jié)壁厚度R。

圖8 雙管凍結(jié)時凍結(jié)管連線上的溫度分布(R=1 m)

圖9 雙管凍結(jié)時凍結(jié)管連線中垂線上的溫度分布(R=1 m)

2.2.2 豎向凍結(jié)壁厚度對溫度場分布的影響

保持其他參數(shù)不變，當(dāng)凍結(jié)管間距值l=1 m時，分別取豎向凍結(jié)壁厚度R為0.6、0.8、1.0、1.2、1.6 m，計算得溫度T在凍結(jié)管連線及其中垂線上的分布規(guī)律如圖10和圖11所示。

隨著設(shè)定凍結(jié)壁厚度R的增加，兩邊外側(cè)凍結(jié)鋒面半徑和中垂線上的凍結(jié)鋒面縱坐標(biāo)都有了不同程度的增長，以外側(cè)凍結(jié)區(qū)的發(fā)展最為明顯，取比值如表3所示。由表3可知，隨著R的增加，疊加溫度場的形狀逐漸向標(biāo)準(zhǔn)圓形靠近。類似于在實際工程中加設(shè)一補充凍結(jié)管，若其與附近凍結(jié)管的距離很近且冷源溫度都很低時，可以將2個凍結(jié)管看作一個加強的凍結(jié)管。

圖10 凍結(jié)管連線上溫度分布規(guī)律

圖11 凍結(jié)管連線中垂線上溫度分布規(guī)律

表3 雙管凍結(jié)時凍結(jié)管連線與其中垂線上凍結(jié)壁厚度(l=1 m)

2.2.3 關(guān)于k值的討論

豎向凍結(jié)壁厚度R通常難以選取，需要根據(jù)測溫孔實測溫度反演確定，本節(jié)中假設(shè)雙管凍結(jié)壁厚度為單管凍結(jié)壁厚度的k倍。

以數(shù)值模擬結(jié)果表示雙管凍結(jié)瞬態(tài)溫度場的分布，將模擬計算得出的疊加區(qū)凍結(jié)壁厚度最小值R與單管凍結(jié)壁厚度R′進行比較，凍結(jié)壁厚度隨時間的發(fā)展規(guī)律如圖12所示。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，兩者的比值k為1.2～1.8，在一般積極凍結(jié)期30～60 d，k值基本穩(wěn)定在1.6左右。

圖12 雙管凍結(jié)時凍結(jié)壁厚度變化規(guī)律

2.3 現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)對比

本文選取距單排凍結(jié)管相鄰2凍結(jié)管中心線1 m處的測溫管數(shù)據(jù)，與理論公式計算結(jié)果相對比，如圖13所示。因本文討論的是凍結(jié)穩(wěn)態(tài)溫度場分布，故以10 d為一間隔，給出該測溫管處積極凍結(jié)期內(nèi)的實測溫度。經(jīng)42 d積極凍結(jié)期后，該處溫度降至-2.9 ℃，這證明單排管單側(cè)凍結(jié)壁厚度已達1 m左右，與本文提出的雙管凍結(jié)公式及數(shù)值模擬結(jié)果吻合，公式適用性較好。

圖13 實測數(shù)據(jù)與理論計算結(jié)果對比

3 結(jié)論與建議

1)根據(jù)溫度“勢函數(shù)”的概念，考慮到相鄰凍結(jié)管的疊加影響范圍有限，對平面內(nèi)雙管溫度場穩(wěn)態(tài)模型的解析解進行了推導(dǎo)，并通過數(shù)值模擬驗證了其合理性。

2)將雙管凍結(jié)條件下的疊加溫度場周期化，得到了單排等距多管溫度場的分布規(guī)律，其計算結(jié)果與巴霍爾金解具有同樣的規(guī)律。

3)在雙管溫度疊加區(qū)內(nèi)，凍結(jié)管連線中點為中垂線溫度的最低點，并隨著凍結(jié)管間距l(xiāng)減小而減小，但中垂線上凍結(jié)壁厚度不隨凍結(jié)管間距l(xiāng)改變。

4)隨著凍結(jié)壁厚度R的增加，雙管穩(wěn)態(tài)溫度場分布接近圓形，近似為一個加強單管穩(wěn)態(tài)溫度場。

5)結(jié)合蘭州紅砂巖地層進行了溫度場模擬，得到了雙管與單管2種條件下的凍結(jié)壁厚度比值k的取值為1.2～1.8； 在一般積極凍結(jié)期30～60 d，k值基本穩(wěn)定在1.6左右，為蘭州紅砂巖這種特殊地層的凍結(jié)壁厚度設(shè)計提供了參考。

6)凍結(jié)管疊加范圍下的凍結(jié)壁厚度R的取值仍需結(jié)合現(xiàn)場實測值進行研究。