李 競(jìng),王紅賽,關(guān) 棟,張 純,沈 輝

(揚(yáng)州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，揚(yáng)州 225127)

0 引 言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平的飛速發(fā)展，人民生活水平的快速提高，車輛、船舶、飛行器等運(yùn)載工具以及家電設(shè)備等成為人們生活中不可或缺的部分。然而這些設(shè)備在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中會(huì)產(chǎn)生令人不悅的振動(dòng)，特別是低頻振動(dòng)。如何抑制低頻振動(dòng)是振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域的重要問題[1-4]。聲子晶體[5]的提出，特別是局域共振禁帶機(jī)理[6]的提出，為低頻振動(dòng)控制提供了重要理論支持[7-9]。

在對(duì)聲子晶體的研究中，彈簧質(zhì)量鏈模型因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、力學(xué)模型清晰而受到學(xué)者的青睞。早在2003年，Jensen[10]通過彈簧質(zhì)量鏈模型研究了材料屬性周期分布的一維和二維結(jié)構(gòu)。此外，對(duì)局域共振聲子晶體的研究表明，其共振模式與多自由度系統(tǒng)的共振模式具有相似性[11]。因此，能夠?qū)⑦B續(xù)體模型簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量鏈模型，進(jìn)而探索其低頻段的動(dòng)力學(xué)特性。通過這種簡(jiǎn)化方式，學(xué)者們分別研究了含有單個(gè)共振子[12-13]、含有多個(gè)共振子[14-15]、含有不同阻尼模型[16-17]、含有彈性支承邊界條件[18-19]的彈簧質(zhì)量鏈模型。研究表明，此類結(jié)構(gòu)存在禁帶，且禁帶內(nèi)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)等效質(zhì)量為負(fù)數(shù)[13-15]。此外，Liu等[20]還對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)等效剛度進(jìn)行了求解，他們發(fā)現(xiàn)在某些禁帶內(nèi)動(dòng)態(tài)等效剛度也存在負(fù)值。在上述結(jié)構(gòu)中，含彈性支承的聲子晶體因其第一禁帶從0 Hz開始而受到學(xué)者關(guān)注[21-25]。Lee等[21]在研究一種具有骨架的一維薄膜陣列結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)在0～735 Hz間具有強(qiáng)烈的聲衰減作用。事實(shí)上，含彈性支承的彈簧質(zhì)量鏈模型即是這種具有骨架的薄膜結(jié)構(gòu)的理論模型[18,22]。Li等[23]通過對(duì)這種含彈性支承的聲子晶體進(jìn)行設(shè)計(jì)，得到了一種聲二極管。Liu等[24]將這種含彈性支承結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)思想擴(kuò)展到高維結(jié)構(gòu)，并得到了具有低頻禁帶的二維結(jié)構(gòu)。隨后，Liu等[25]設(shè)計(jì)了一種復(fù)合桿結(jié)構(gòu)，通過將硬質(zhì)外殼夾緊固定模擬固定約束，從而實(shí)現(xiàn)周期彈性支承結(jié)構(gòu)，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種含彈性支承的聲子晶體的動(dòng)力學(xué)特性。

本文提出了一種具有諧振單元和彈性支承諧振單元的聲子晶體結(jié)構(gòu)。通過聲子晶體理論、等效介質(zhì)理論和振動(dòng)理論，計(jì)算了該聲子晶體結(jié)構(gòu)的能帶關(guān)系和有限結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞曲線，并考察該結(jié)構(gòu)的禁帶調(diào)控特性。研究表明，該結(jié)構(gòu)第一禁帶的起始頻率為0 Hz，禁帶對(duì)彈性波衰減強(qiáng)度由有限結(jié)構(gòu)周期數(shù)和衰減因子共同決定，諧振單元和彈性支承諧振單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)低頻禁帶的頻率范圍具有重要影響。

1 理論模型

圖1 具有諧振單元和彈性支承聲子晶體的結(jié)構(gòu)模型圖

具有諧振單元和彈性支承諧振單元聲子晶體的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。該結(jié)構(gòu)由一條左右無限拓延的彈簧質(zhì)量鏈以及從屬于該彈簧質(zhì)量鏈的諧振單元和彈性支承諧振單元構(gòu)成。彈簧質(zhì)量鏈中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1，彈簧的剛度為k1，不同質(zhì)點(diǎn)的間距均為a；諧振單元中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m2，彈簧的剛度為k2；彈性支承諧振單元中質(zhì)點(diǎn)的剛度為m3，彈簧的剛度分別為k3和k4，其中剛度為k3的彈簧將m3和m1相連，剛度為k4的彈簧則將m3與固定約束相連。

當(dāng)彈性波在該結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，對(duì)于第n個(gè)單元有動(dòng)力學(xué)方程組：

(1)

式中，t表示時(shí)間，un、vn和wn分別表示第n個(gè)原胞中質(zhì)點(diǎn)m1、m2和m3的位移。在穩(wěn)態(tài)條件下，式(1)的解可以寫為：

(2)

式中，x表示質(zhì)點(diǎn)所在位置，U、V和W分別表示結(jié)構(gòu)中三類質(zhì)點(diǎn)的位移幅值，q為彈性波的波數(shù)，ω為彈性波的角頻率。將式(2)帶入式(1)并寫成矩陣形式有：

(3)

若要式(3)有解，則其中行列式的值為零，進(jìn)一步可得到該結(jié)構(gòu)的色散方程，即

(4)

其中：

(5)

觀察式(4)不難發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)算結(jié)構(gòu)色散曲線的方法。第一種方法是給定歸一化波矢qa求解角頻率ω，這將得到一個(gè)關(guān)于角頻率ω的六階多項(xiàng)式方程。求解該方程將得到三組互為相反數(shù)的解，舍去復(fù)數(shù)解后，得到本結(jié)構(gòu)的三條色散曲線。第二種方法是給定角頻率ω求解歸一化波矢qa，這將得到一個(gè)關(guān)于歸一化波矢qa的三角函數(shù)方程。求解該方程得到的歸一化波矢qa具有復(fù)數(shù)形式，即qa=α+iβ，其中β表示衰減因子。衰減因子的出現(xiàn)在無限周期結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)為彈性波帶隙，在有限周期結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)為彈性波衰減。因此，本文采用第二種計(jì)算方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的色散曲線。

為了驗(yàn)證復(fù)能帶計(jì)算的正確性及衰減因子對(duì)傳輸特性的影響規(guī)律，本文進(jìn)一步計(jì)算了具有彈性支承和諧振單元聲子晶體的彈性波傳輸特性。首先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行均質(zhì)化等效，即將諧振單元和彈性支承諧振單元并入假想的等效質(zhì)量meff中，如圖2(a)所示。

圖2 具有彈性支承和諧振單元聲子晶體的等效結(jié)構(gòu)模型圖

通過采用前文的理論分析方法，能夠得到圖2(a)中彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的色散方程，即

(6)

對(duì)比式(4)和式(6)不難發(fā)現(xiàn)，若要等效模型與具有動(dòng)態(tài)質(zhì)量的彈簧質(zhì)量鏈模型具有相同的色散關(guān)系，則必有

(7)

進(jìn)一步建立有限周期的等效結(jié)構(gòu)模型，如圖2(b)所示。對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析有

(8)

式中，Uj表示第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移幅值。令相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的彈性波傳遞率為

(9)

將式(8)帶入式(9)有

(10)

整體結(jié)構(gòu)的總傳遞率有

(11)

分別將相關(guān)參數(shù)帶入式(4)和式(11)計(jì)算，即可得到具有彈性支承和諧振單元聲子晶體的復(fù)能帶結(jié)構(gòu)圖和有限結(jié)構(gòu)的彈性波傳輸特性曲線。

2 結(jié)果與討論

圖3即為計(jì)算所得的諧振單元和具有彈性支承諧振單元聲子晶體的復(fù)能帶結(jié)構(gòu)圖和有限結(jié)構(gòu)的彈性波傳輸特性曲線。從圖3(a)中可以看出，在不同角頻率ω的取值下，歸一化波矢qa的取值可以分為兩類：第一類是實(shí)部在0到π間取值，且虛部為0，此時(shí)角頻率ω落在結(jié)構(gòu)的通帶內(nèi)；第二類是虛部不為0，此時(shí)角頻率ω落在結(jié)構(gòu)的禁帶內(nèi)。即當(dāng)衰減因子為0時(shí)，結(jié)構(gòu)存在通帶；當(dāng)衰減因子不為0時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生禁帶。觀察圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)，該結(jié)構(gòu)在角頻率為0～3的范圍內(nèi)存在四個(gè)彈性波禁帶，這四個(gè)禁帶的角頻率范圍分別為0～0.44，0.88～1.25，1.35～1.80和2.53～3，即圖中顯示的四條禁帶的禁帶寬度相差不大。觀察禁帶內(nèi)衰減因子的變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，在第一禁帶和第四禁帶內(nèi)，衰減因子在禁帶邊界處的變化速率較大，而在遠(yuǎn)離禁帶邊界的區(qū)域，變化速率較小；相反，在第二和第四禁帶內(nèi)，衰減因子的變化速率在禁帶范圍內(nèi)均較大。圖3(b)中原始模型曲線，即實(shí)線，表示元胞結(jié)構(gòu)為圖1的仿真計(jì)算結(jié)果；等效模型曲線，即圓圈符號(hào)，表示元胞結(jié)構(gòu)為圖2(a)的理論計(jì)算結(jié)果。對(duì)比兩者可以發(fā)現(xiàn)，在不同周期數(shù)下等效結(jié)構(gòu)曲線與原始結(jié)構(gòu)曲線基本重合。這說明可以通過等效方法來計(jì)算有限結(jié)構(gòu)的傳輸特性，因此，運(yùn)用這種等效方法進(jìn)行計(jì)算不但能極大地降低運(yùn)算量，而且計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性并不會(huì)降低。該圖中曲線①與方形符號(hào)表示周期數(shù)為3的有限周期結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果，曲線②和圓圈符號(hào)表示周期數(shù)為5的有限周期結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果。從這些曲線與圓圈符號(hào)中不難看出，禁帶范圍內(nèi)的傳遞率存在明顯的衰減現(xiàn)象，且周期數(shù)越大，傳遞率的衰減量越大。此外，對(duì)比圖3(a)和(b)不難發(fā)現(xiàn)，衰減因子越大，傳遞率衰減越強(qiáng)。周期數(shù)和衰減因子對(duì)傳遞率的影響亦可通過理論推導(dǎo)“近似”得到，即將式(2)和式(9)帶入式(11)可得

(12)

觀察式(12)不難發(fā)現(xiàn)，傳遞率T中分母e的指數(shù)為虛數(shù)單位i、周期數(shù)n以及歸一化波矢qa的乘積。當(dāng)歸一化波矢qa為虛數(shù)，即衰減因子不為0時(shí)，總體的傳遞率T總小于1，并且衰減因子對(duì)傳遞率的影響規(guī)律與周期數(shù)對(duì)傳遞率的影響規(guī)律相同。因此，衰減因子越大，傳遞率的衰減越大。這里需要指出的是，由于式(2)是無限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)解，因此由此計(jì)算得到的式(12)為無限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞率表達(dá)式。無限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程與有限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程僅在邊界處略有不同，這種差異對(duì)禁帶內(nèi)的彈性波傳播規(guī)律影響不大。因此可以通過式(12)近似地分析相關(guān)參數(shù)對(duì)有限結(jié)構(gòu)中禁帶內(nèi)傳遞率的影響規(guī)律。

由于衰減因子對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性有著重要影響，因此有必要探索具有彈性支承和諧振單元聲子晶體中相關(guān)參數(shù)變化對(duì)衰減因子的影響規(guī)律。首先對(duì)諧振單元和彈性支承諧振單元中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行歸一化處理，即將諧振單元中的質(zhì)量m2和剛度k2以及彈性支承中的質(zhì)量m3、剛度k3和剛度k4分別除以主鏈的質(zhì)量m1和剛度k1，得到歸一化質(zhì)量Δm2和Δm3以及歸一化剛度Δk2、Δk3和Δk4。隨后將這些參數(shù)帶入式(4)中求解衰減因子。圖4顯示了上述參數(shù)變化對(duì)衰減因子的影響規(guī)律。圖中深藍(lán)色區(qū)域①表示衰減因子為0，結(jié)構(gòu)處于通帶；淺藍(lán)色區(qū)域②表示結(jié)構(gòu)處于禁帶，但衰減因子較小，減振效果一般；黃色區(qū)域③表示結(jié)構(gòu)處于禁帶，衰減因子較大，減振效果較好。從圖4中不難看出，在大多數(shù)情況下，結(jié)構(gòu)在0.1～10 Hz的范圍內(nèi)存在三條通帶和四條禁帶。其中第一條禁帶和第四條禁帶僅在歸一化質(zhì)量和剛度過大或者過小時(shí)才發(fā)生變化，剩余兩條禁帶中有一條禁帶對(duì)歸一化質(zhì)量和剛度變化比較敏感，另一條則對(duì)歸一化質(zhì)量和剛度變化不敏感。因此可定義對(duì)歸一化質(zhì)量和剛度變化敏感的禁帶為可調(diào)禁帶，對(duì)歸一化質(zhì)量和剛度變化不敏感的禁帶為不可調(diào)禁帶。

圖3 復(fù)能帶結(jié)構(gòu)圖以及傳輸特性圖

圖4 支鏈中質(zhì)量和剛度變化對(duì)衰減因子的影響規(guī)律

通過圖4(a)可知，隨著歸一化質(zhì)量Δm2的增加，可調(diào)禁帶逐漸降低，隨后與不可調(diào)禁帶相交，并最終落在不可調(diào)禁帶之下。同時(shí)，不可調(diào)禁帶的范圍隨著歸一化質(zhì)量Δm2的增加而增加。通過圖4(b)可知，隨著歸一化剛度Δk2的增加，可調(diào)禁帶向高頻段移動(dòng)，隨后與不可調(diào)禁帶相交，并最終落在不可調(diào)禁帶之上。同時(shí)，不可調(diào)禁帶的減振效果隨歸一化剛度Δk2的增加而提高。這里需要指出的是，在1～10這一范圍內(nèi)調(diào)節(jié)歸一化剛度Δk2不僅能夠提升抑制高頻段彈性波的能力，同時(shí)也能夠利用通帶特性對(duì)彈性波進(jìn)行濾波。觀察圖4(c)不難看出，歸一化質(zhì)量Δm3對(duì)衰減因子的影響與歸一化質(zhì)量Δm2類似，均使可調(diào)禁帶從高頻段移動(dòng)至低頻段。對(duì)比圖4(d)和(e)可以看出，隨著歸一化剛度Δk3或Δk4的增加，可調(diào)禁帶從不可調(diào)禁帶上分離后將繼續(xù)向高頻段移動(dòng)。但是歸一化剛度Δk3的增加對(duì)減振效果的提升要優(yōu)于Δk4的增加。

3 結(jié) 論

本文對(duì)具有諧振單元和彈性支承諧振單元聲子晶體的禁帶特性和禁帶調(diào)節(jié)特性進(jìn)行了研究，得出結(jié)論如下：

(1)對(duì)該聲子晶體禁帶特性的研究表明，該結(jié)構(gòu)存在四條禁帶，其中第一條禁帶的起始頻率為0 Hz。禁帶形成的原因在于歸一化波矢中的衰減因子不為0。衰減因子和有限結(jié)構(gòu)周期數(shù)的大小將直接影響彈性波在結(jié)構(gòu)中傳播的衰減強(qiáng)度。

(2)對(duì)該聲子晶體禁帶調(diào)節(jié)特性的研究表明，結(jié)構(gòu)中的四條禁帶可分為1條可調(diào)禁帶和3條不可調(diào)禁帶。其中，不可調(diào)禁帶對(duì)諧振單元和彈性支承諧振單元中結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化不敏感，可調(diào)控禁帶則能夠通過諧振單元和彈性支承諧振單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。