周 云，衛(wèi)雪梅

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

1 問題的提出

有關(guān)于腫瘤生長的偏微分模型的方程類型總共有3類：一類是Byrne-Chaplain型腫瘤模型，只含反應(yīng)擴散方程；另一類是King-Ward型腫瘤模型，既含反應(yīng)擴散方程又含守恒率方程；以及流體型腫瘤模型，不僅含有以上兩類方程而且還含有Stokes方程[1](由Franks等[2-5]提出)。本文研究的模型屬于King-Ward型腫瘤模型，該模型的腫瘤來源于實驗室，專門培育出來用于研究腫瘤生長問題[6-7]。該模型由關(guān)于繁殖細(xì)胞密度、休眠態(tài)細(xì)胞密度以及死細(xì)胞密度的一階雙曲方程組，一個關(guān)于營養(yǎng)物濃度的橢圓方程和用來描述腫瘤自由邊界運動的常微分方程所耦合的自由邊界問題。在營養(yǎng)物濃度是線性反應(yīng)擴散方程和Dirichlet邊界條件下，文獻[8-10]得到了整體解的適定性和腫瘤半徑的一些性質(zhì)。

腫瘤的生長依賴于新生血管，當(dāng)腫瘤細(xì)胞分泌生長因子時，會促進血管的再生。而新生的腫瘤血管組織，仍然可以作為輸送途徑吸收營養(yǎng)物[11-12]，因此本文假設(shè)

本文在前述文獻的基礎(chǔ)上，考慮營養(yǎng)物濃度C為線性橢圓方程的Robin問題。該模型中描述腫瘤細(xì)胞生長的兩個雙曲型偏微分方程，包含繁衍態(tài)的腫瘤細(xì)胞密度 P 、休眠態(tài)的腫瘤細(xì)胞密度 Q和已經(jīng)死亡但尚未消解的腫瘤細(xì)胞密度 D[1], N代表這3類細(xì)胞混合體的密度且為正常數(shù)，有

細(xì)胞在腫瘤內(nèi)做連續(xù)運動，其中包括細(xì)胞的增殖和細(xì)胞的壞死。本文用速度場v表示此運動速度，將腫瘤組胞視為多孔介質(zhì)，因此根據(jù)Darcy’s定律，有

假設(shè)腫瘤表面的壓力即表面張力，則在細(xì)胞邊界處有

σ=γκ

其中κ表示平均曲率，γ 為正常數(shù)。

本文研究的具體模型為

其中λ是非負(fù)常數(shù),|x|≤R(t) (x ∈R3)表示腫瘤在時刻t所占的空間區(qū)域，KB(C), KP(C), KQ(C)分別表示繁衍態(tài)細(xì)胞的繁殖速率，休眠態(tài)細(xì)胞變?yōu)榉敝臣?xì)胞的轉(zhuǎn)換速率和繁殖細(xì)胞變?yōu)樾菝邞B(tài)細(xì)胞的轉(zhuǎn)換速率，KA(C) 和KD(C)分別表示繁衍態(tài)細(xì)胞和休眠態(tài)細(xì)胞的死亡速率[1]，其中KB(C), KP(C)隨著C 的增大而增大，K(C), K(C), K(C)隨著C 的增大而減小。另外，由于增殖率大于凋亡率，所以KB(C)＞KA(C)。 KR表示死亡細(xì)胞的消解速率，這個速率是一個非負(fù)的且與C 無關(guān)的常數(shù)[8]。

由式(8)～(9)可得，只要給定了v和R(t)，則σ 能夠直接被確定，因此在本文后面的計算中忽略σ 。

給定初始條件

在本文的第2節(jié)中，將徑向?qū)ΨQ問題轉(zhuǎn)換為固定域中的方程組。在第3～4節(jié)中，證明了方程組整體解的存在性和唯一性。最后，在第5節(jié)中，考慮一個特殊情況：腫瘤中的死亡細(xì)胞根本沒有消解，即KR=0,并證明了當(dāng)t →∞時，有R(t)→∞。

2 轉(zhuǎn)換方程組

為了能夠更簡便地求解以上方程組，本文將其轉(zhuǎn)換為一個與之等價的固定區(qū)域進行求解?？紤]營養(yǎng)物濃度的方程及邊界條件[12]，可得