張玉元 張元海 張 慧
(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)
大跨度混凝土箱梁橋下?lián)虾烷_裂是制約其發(fā)展和應(yīng)用的主要因素之一.國內(nèi)外學(xué)者普遍認(rèn)為,進(jìn)一步優(yōu)化薄壁結(jié)構(gòu)剪應(yīng)力計算方法對分析箱梁橋屈曲變形和撓度控制具有十分重要的力學(xué)意義[1-6].
目前,國內(nèi)外學(xué)者對箱梁橋剪應(yīng)力計算方法已開展了比較深入的理論和試驗研究,同時也取得了一些對工程設(shè)計有指導(dǎo)意義的方法和結(jié)論.在試驗研究方面,張哲等[7]以某工程單箱八室變截面PC組合箱梁橋為例,進(jìn)行了實橋試驗研究和有限元模擬,發(fā)現(xiàn)各腹板剪應(yīng)力分配不均勻,在設(shè)計中應(yīng)予以充分考慮;李海燕等[8]以運寶黃河大橋為工程背景,研究了單箱五室斜拉箱梁橋腹板的抗剪性能,得到混凝土腹板的剪力分配比重高于鋼腹板;鄧文琴等[9]以模型試驗和數(shù)值模擬為手段,研究了內(nèi)襯混凝土對變截面組合箱梁橋剪切和扭轉(zhuǎn)性能的影響,發(fā)現(xiàn)內(nèi)襯混凝土與鋼腹板承剪比隨荷載的增加而變化;崔學(xué)峰等[10]研究了內(nèi)襯混凝土對波形鋼腹板受剪性能的影響,并給出了內(nèi)襯混凝土構(gòu)造尺寸的優(yōu)化建議.在理論研究方面,尼穎升等[11]運用空間網(wǎng)格法分析了多室組合箱梁的腹板剪力分配情況,揭示了橫隔板處截面的剪應(yīng)力分布規(guī)律;劉超等[12]在不考慮組合梁界面滑移的前提下,運用梁段微元法給出了組合箱梁的剪應(yīng)力計算方法;李杰等[13-14]以理論推導(dǎo)和有限元方法為手段,計算分析了多種荷載作用下組合箱梁波形鋼腹板的剪應(yīng)力分布規(guī)律及其傳遞效率;王強等[15]在既有變截面箱梁剪應(yīng)力計算方法的基礎(chǔ)上,分析了懸臂板寬度和厚度、梁高、腹板和底板厚度及箱室寬度對腹板剪力流分配的影響;喬朋等[16]建立了單箱雙室和三室波形鋼腹板組合梁的有限元模型和試驗?zāi)P?,分析了橫向?qū)ΨQ和偏心荷載作用下波形鋼腹板的剪應(yīng)力分布模式,并揭示了其產(chǎn)生機理及分布規(guī)律;Zhou等[17]在分析變截面箱梁剪應(yīng)力分布模式的基礎(chǔ)上,結(jié)合力的等效原理給出了該箱梁剪應(yīng)力的簡化計算公式.上述文獻(xiàn)對箱梁橋剪應(yīng)力的計算方法已開展了比較深入的研究,但現(xiàn)有方法計算箱梁剪應(yīng)力時過程較繁瑣,不便于設(shè)計人員使用,尤其對于變厚度的變截面箱梁剪應(yīng)力計算更是麻煩,因此需要對該方法做進(jìn)一步優(yōu)化和精簡.
本文運用變截面梁段內(nèi)力微分關(guān)系和微元體平衡微分方程建立箱梁剪應(yīng)力的傳統(tǒng)計算方法(即TCM法);基于TCM法計算公式,分析變截面箱梁各項剪應(yīng)力分布模式之間的相似關(guān)系,提出截面換算剪力的概念,并引入剪應(yīng)力分項系數(shù),建立變截面箱梁剪應(yīng)力的簡化計算方法(即SCM法);以變截面懸臂箱梁為例,通過有限元解和TCM解來考證簡化計算方法的正確性,并揭示各項剪應(yīng)力沿截面橫、縱向的分布規(guī)律.
圖1為受任意豎向?qū)ΨQ荷載p(z)作用的變截面箱梁橫斷面簡圖.oxyz為右手直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點o位于截面形心處,z為縱軸;b1、b2、b3分別為頂、底板半寬和懸臂板寬,hu、hb分別為頂、底板中面至形心軸的距離,h為頂?shù)装逯忻嬷g的距離,tu、tb分別為頂、底板厚度,tw為腹板厚度,θ為腹板俯角;中面上的箭頭表示剪力流坐標(biāo)系(即s坐標(biāo)系),計算起點選在頂、底板中點和懸臂板自由端處,箭頭指向表示靜面矩積分方向,數(shù)字1~10表示相應(yīng)的積分起止點.計算時假定箱梁彎曲剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布,則剪力流可表達(dá)為剪應(yīng)力τ與壁厚t的乘積,即q=τt.
圖1 箱梁橫截面及坐標(biāo)系
如圖2所示,在變截面箱梁上取長度為dz的微段,圖中M、Q、N分別為作用在梁端的彎矩、剪力和軸力,α為兩端橫截面形心連線的水平傾角,β為梁底傾角.
圖2 變截面箱梁微段受力圖
運用力矩平衡條件可得內(nèi)力的微分關(guān)系,即
(1)
式中,M為截面繞x軸的彎矩,其方向為梁體下側(cè)受拉為正,受壓為負(fù);N的方向為壓為正,拉為負(fù);Q的方向為順時針正,逆時針負(fù).
由材料力學(xué)可知,變截面箱梁任一點的初等梁縱向應(yīng)力σ0可表達(dá)為
(2)
式中,Ix為截面繞x軸的慣性矩;A為橫截面積.
式(2)對z求一階導(dǎo),并結(jié)合式(1)可得
(3)
式中,A、y、Q、M、Ix都是關(guān)于z的函數(shù).
如圖3所示,在箱梁截面任意點處取壁厚為t的微元體dsdz,沿z向建立正應(yīng)力與剪力流的平衡微分方程,即
(4)
對s積分可得
(5)
式中,q0為截面剪力流;qA為箱梁橫截面頂板中點切口處的常剪流.
圖3 箱梁任一點微元體受力圖
由箱形梁理論可知,截面開口處的常剪流qA=0[18],將式(3)代入式(5)可得變截面箱梁橫截面任一點處的剪力流計算公式:
(6)
由剪力流與剪應(yīng)力的關(guān)系,可得到變截面箱梁橫截面任一點的剪應(yīng)力計算公式:
(7)
即
τ0=τQ+τN+τM
(8)
由式(8)可知,變截面箱梁剪應(yīng)力由剪力引起的剪應(yīng)力分量τQ(等截面箱梁計算公式)、軸力引起的剪應(yīng)力分量τN和彎矩引起的剪應(yīng)力分量τM組成,這與等截面箱梁剪應(yīng)力構(gòu)成存在很大區(qū)別.
為了簡化變截面箱梁剪應(yīng)力計算公式,需從TCM法導(dǎo)出的剪應(yīng)力計算公式入手,發(fā)現(xiàn)各內(nèi)力引起的剪應(yīng)力分量沿橫截面的分布規(guī)律,以此建立各項剪應(yīng)力之間關(guān)系.然后,通過積分法導(dǎo)出各項剪應(yīng)力沿腹板的合力(即換算剪力),并將其代入等截面箱梁剪應(yīng)力計算公式得到各項內(nèi)力對應(yīng)的剪應(yīng)力分量,疊加后即可得到截面任一點的剪應(yīng)力.
由TCM法導(dǎo)出的彎矩剪應(yīng)力分量τM可知,在任意橫截面z處,其幾何參數(shù)Ix和I′x為常數(shù),靜面矩Sx和S′x是關(guān)于s的函數(shù).由此可見,彎矩和剪力引起的剪應(yīng)力橫向分布模式之間存在一定的相似性.故運用積分法可導(dǎo)出彎矩剪應(yīng)力分量的豎向合力QM(即彎矩?fù)Q算剪力),其表達(dá)式為
(9)
式中
將式(9)代入等截面箱梁剪應(yīng)力計算公式可得彎矩剪應(yīng)力分量τM的表達(dá)式:
(10)
為了研究各分項剪應(yīng)力對總剪應(yīng)力的貢獻(xiàn)度,特引入剪應(yīng)力分項系數(shù)χi,其定義為
(11)
式中,下標(biāo)i取M、N,其符號含義與截面內(nèi)力一致.
將式(10)代入式(11)可得彎矩引起的剪應(yīng)力分項系數(shù)χM表達(dá)式,即
(12)
由TCM法導(dǎo)出的軸力剪應(yīng)力分量τN可知,在任意橫截面z處,其面積參數(shù)A、Aa、面積微分A′和慣性矩Ix均為常數(shù),靜面矩Sx為關(guān)于s的函數(shù),故軸力和剪力引起的剪應(yīng)力橫向分布模式之間也存在一定的相似性.此時,可直接導(dǎo)出軸力剪應(yīng)力分量沿豎向的合力QN(即軸力換算剪力),其表達(dá)式為
(13)
將式(13)代入等截面箱梁剪應(yīng)力計算公式可得軸力剪應(yīng)力分量τN的表達(dá)式:
(14)
將式(14)代入剪應(yīng)力分項系數(shù)表達(dá)式(11),可得軸力引起的剪應(yīng)力分項系數(shù)χN,即
(15)
上述已通過簡化計算方法(SCM法)導(dǎo)出了變截面箱梁彎矩和軸力引起的剪應(yīng)力簡便計算公式,則橫截面任一點的剪應(yīng)力可表達(dá)為
τ0=τQ+τM+τN=
(16)
根據(jù)變截面箱梁各項剪應(yīng)力分項系數(shù)的定義,可導(dǎo)出變截面箱梁剪應(yīng)力的另一表達(dá)式:
(17)
圖4 懸臂箱梁作用均布荷載簡圖
根據(jù)梁底曲線分布形式,可求出縱向任意位置處的梁高h(yuǎn)(z),即
(18)
截面積A和面積微分A′可表達(dá)為
(19)
式中,b2=b1-htanθ.
形心至上、下翼板的距離hu和hb可表達(dá)為
(20)
慣性矩Ix和微分關(guān)系I′x可表達(dá)為
(21)
1) 形心軸以上部分
在1→2段
在3→2段
在2→4段
2) 形心軸以下部分
在6→5段
在5→4段
以文獻(xiàn)[19]中介紹的混凝土變截面懸臂箱梁為例,梁高按一次線性分布,跨度為0.6 m,橫截面尺寸如圖5所示.自由端截面頂板肋處對稱施加豎向集中荷載P=2×15 kN,腹板重心軸處對稱施加軸向壓力N=2×5 kN,彈性模量E=2.9 GPa,泊松比μ=0.375,剪切模量G=1.054 5 GPa.
圖5 變截面懸臂箱梁橫截面尺寸(單位:mm)
運用ANSYS Shell63單元建立變截面箱梁有限元模型,如圖6所示,該模型共劃分為4 178個節(jié)點,4 160個單元.固定端截面約束x、y、z三個方向的平動自由度和轉(zhuǎn)動自由度,計算并提取l/2截面的剪應(yīng)力.利用本文TCM和SCM方法計算并繪制l/2截面的剪應(yīng)力橫向分布圖、腹板重心軸處的剪應(yīng)力縱向分布圖及剪應(yīng)力分項系數(shù)縱向分布圖,如圖7~圖9所示;將截面關(guān)鍵點剪應(yīng)力列于表1和表2,以便于對比.
圖6 變截面懸臂箱梁有限元模型
(a) 頂板和懸臂板
(b) 底板
(c) 左腹板
圖7 變截面懸臂箱梁l/2截面剪應(yīng)力橫向分布圖
圖8 變截面懸臂箱梁腹板重心軸處的剪應(yīng)力縱向分布圖
由圖7和表1可知:懸臂板、頂板和底板上剪力、軸力及彎矩引起的剪應(yīng)力沿橫向呈一次線性分布,腹板上各項剪應(yīng)力沿豎向呈二次拋物線分布;剪力、軸力引起的剪應(yīng)力流向相同,彎矩引起的剪應(yīng)力流向與前者相反,可見彎矩剪應(yīng)力分量對總剪應(yīng)力有一定的削弱作用.TCM和SCM法計算得到的總剪應(yīng)力與有限元解吻合程度良好,2種方法計算的總剪應(yīng)力最大誤差為7.32%,進(jìn)而驗證了SCM方法的正確性.
圖9 變截面懸臂箱梁剪應(yīng)力分項系數(shù)縱向分布圖
由圖8和表2可知:在變截面懸臂箱梁腹板重心軸處,剪力、軸力引起的剪應(yīng)力分量及總剪應(yīng)力沿縱向呈遞增趨勢,彎矩引起的剪應(yīng)力分量呈遞減趨勢;彎矩、剪力引起的剪應(yīng)力分量遠(yuǎn)大于軸力引起的剪應(yīng)力分量;SCM和TCM法計算軸力引起的剪應(yīng)力分量存在一定的誤差,二者最大誤差為17.70%,其余內(nèi)力引起的剪應(yīng)力分量及總剪應(yīng)力吻合程度均良好.
表1 變截面懸臂箱梁l/2截面關(guān)鍵點剪應(yīng)力對比
表2 變截面懸臂箱梁腹板重心軸處的軸力剪應(yīng)力分量對比
由圖9可知:彎矩引起的剪應(yīng)力分項系數(shù)沿縱向逐漸減小,且其值小于零;軸力引起的剪應(yīng)力分項系數(shù)沿縱向逐漸增大,且其值大于0;總分項系數(shù)大于0,且沿縱向呈遞增趨勢,在自由端其值接近于1,在此截面處可按照等截面箱梁剪應(yīng)力計算公式求解;彎矩分項系數(shù)在總分項系數(shù)中占比較大,軸力分項系數(shù)占比甚小,因此在計算變截面箱梁剪應(yīng)力時應(yīng)主要考慮剪力和彎矩的影響.
1) 簡化計算方法得到的剪應(yīng)力與傳統(tǒng)計算方法結(jié)果和有限元解吻合程度良好,進(jìn)而驗證了該方法的正確性.
2) 剪力和軸力引起的剪應(yīng)力流向相同,彎矩引起的剪應(yīng)力流向與之相反,彎矩剪應(yīng)力分量對總剪應(yīng)力有一定的削弱作用.
3) 彎矩引起的剪應(yīng)力分項系數(shù)沿縱向逐漸減小,軸力分項系數(shù)及總分項系數(shù)沿縱向逐漸增大;在自由端處可按等截面箱梁剪應(yīng)力計算公式求解.
4)彎矩分項系數(shù)沿縱向減小幅度較大,且其在總分項系數(shù)中占比較大;軸力分項系數(shù)沿縱向增大幅度甚小,且其占比可忽略不計,因此在計算變截面箱梁剪應(yīng)力時應(yīng)主要考慮剪力和彎矩的影響.