張會娟，姚艷艷，劉建娟，吳才章，陳紅梅

(河南工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，鄭州 450000)

0 引言

PMSM制作工藝得到發(fā)展的同時，其控制策略也得到了快速發(fā)展[1-2]。PMSM本身就是一個多變量、強(qiáng)耦合的控制對象，對其控制參數(shù)進(jìn)行解耦是提高電機(jī)控制精度最有效的方法。矢量控制和直接轉(zhuǎn)矩控制是最為常見的解耦控制策略[3-5]。矢量控制首先將定子電流分解為電磁轉(zhuǎn)矩電流和勵磁電流，實現(xiàn)電機(jī)電流參數(shù)的解耦，再對兩個電流分量進(jìn)行獨立控制，最終實現(xiàn)PMSM的解耦控制，其控制效果在一定程度上依賴于電機(jī)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確型[6]。矢量控制是從定子磁鏈著手研究，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將定子磁鏈轉(zhuǎn)換到與轉(zhuǎn)子磁鏈方向上進(jìn)行控制，因此，該方法也被稱為磁場定向控制[7-8]。直接轉(zhuǎn)矩控制與矢量控制的相同之處在其控制也是基于PMSM數(shù)學(xué)模型進(jìn)行控制，但對模型的依賴程度比較低；不同之處在于直接轉(zhuǎn)矩控制，不需坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)化，而是直接對電機(jī)的總磁鏈進(jìn)行研究[9]。

矢量控制雖然對電機(jī)數(shù)學(xué)模型有一定的依賴，但是該方法控制下的PMSM系統(tǒng)穩(wěn)定性更好，響應(yīng)速度快。id=0控制、cosφ=1控制、最大轉(zhuǎn)矩/電流比控制、弱磁控制、最大效率控制等[10-12]是較常見的矢量控制方法。其中id=0矢量控制應(yīng)用最廣，該策略在控制過程中電機(jī)的轉(zhuǎn)矩角一直保持90°不變，因此該方法又被稱為恒轉(zhuǎn)矩角控制。此外，無論是表貼式還是內(nèi)置式PMSM，id=0矢量控制效果可以與直流電機(jī)相媲美，尤其是在低速范圍內(nèi)，控制效果更為突出[13]。因此，本文采用id=0矢量控制對PMSM進(jìn)行深入研究。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

1.1 PMSM工作原理

電動機(jī)有多種工作模式，具體工作于哪種模式不僅與電機(jī)定子繞組的結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與繞組的連接形式有關(guān)。本文選取的PMSM定子繞組采用的Y型連接，單極電機(jī)定、轉(zhuǎn)子磁場相互作用示意圖如圖1所示。

注：θe為A軸與d軸的夾角，即空間電角度

電機(jī)轉(zhuǎn)子靜止時，如果向電機(jī)三相繞組通入直流電流，將會在定子側(cè)產(chǎn)生定子磁場，其方向近似為圖中合成is所指方向。此時，定子磁場與永磁體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子磁場相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，轉(zhuǎn)子就會受到電磁轉(zhuǎn)矩而轉(zhuǎn)動；當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動時，電磁轉(zhuǎn)矩也將會隨電機(jī)定、轉(zhuǎn)子磁場位置的變化而變化。為了實現(xiàn)轉(zhuǎn)速的控制，希望電機(jī)轉(zhuǎn)子受到的作用力保持恒定，即產(chǎn)生恒定的電磁轉(zhuǎn)矩。因此，需要一種力量消除電機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的機(jī)械旋轉(zhuǎn)磁場，常用的消除辦法是在定子側(cè)形成一個圓形的電氣旋轉(zhuǎn)磁場。因此，電機(jī)轉(zhuǎn)速為：

(1)

式中,n為轉(zhuǎn)速(r/min)；np為磁極對數(shù)(個)；f為交流電頻率(Hz)。

1.2 ABC靜止坐標(biāo)系下PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM定子電壓狀態(tài)方程：

(2)

式中,uA、uB、uC為A、B、C三相相電壓(V)；iA、iB、iC為相電流(A)；ψA、ψB、ψC為全磁鏈(Wb)，其取值不僅與相電流有關(guān)，還與電角度θe(圖1中A軸與d軸的夾角)有關(guān)；Rs為單相繞組阻值(Ω)。

三相定子繞組全磁鏈方程為：

(3)

式中,LAA、LBB、LCC為繞組自感(H)；MAB、MAC、MBA、MBC、MCA、MCB為繞組間互感(H)；ψfA、ψfB、ψfC是永磁磁鏈在定子側(cè)分量(Wb)，由于本文采用的是正弦波PMSM，所以該永磁磁鏈滿足：

(4)

式中,ψf為永磁體磁鏈峰值。

電動機(jī)正常工作時，PMSM的磁能儲能為：

(5)

電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

(6)

式中,θm是電機(jī)轉(zhuǎn)子位置角度(rad)，滿足θm=npθe。

電機(jī)運動方程為：

(7)

式中,TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩(N·m)；ω為機(jī)械角速度(rad/s)；J為轉(zhuǎn)動慣量(kg·m2)。

綜上，PMSM在ABC坐標(biāo)系下的數(shù)模型各個變量之間存在較強(qiáng)的耦合性，基于此模型很難實現(xiàn)電機(jī)的高精度控制，因此，需要進(jìn)一步簡化模型。

1.3 dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下PMSM數(shù)學(xué)模型

為了實現(xiàn)PMSM控制，關(guān)鍵在于如何控制電機(jī)的轉(zhuǎn)子。因此，以轉(zhuǎn)子為參照物建立dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系更容易實現(xiàn)電機(jī)的控制。但是從ABC坐標(biāo)系到dq坐標(biāo)系PMSM數(shù)學(xué)模型很難直接進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此引入了αβ靜止坐標(biāo)系進(jìn)行過渡，三種坐標(biāo)系間的關(guān)系如圖2所示。

圖2 不同坐標(biāo)系間的空間矢量圖

為了實現(xiàn)PMSM數(shù)學(xué)模型在各個坐標(biāo)系之間的電磁轉(zhuǎn)化，本文主要根據(jù)幅值相等和總磁動勢不變原則進(jìn)行轉(zhuǎn)換。ABC坐標(biāo)系到αβ坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換為Clark變換，其變換矩陣為C3s/2s見式：

(8)

式中,3s表示ABC靜止坐標(biāo)系，2s表示αβ靜止坐標(biāo)系。

Clark逆變換矩陣為C2s/3s見式：

(9)

αβ坐標(biāo)系到dq坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換稱為Park變換，其變換矩陣為C2s/2r見式：

(10)

式中,2r表示dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。

Park逆變換矩陣為C2r/2s見式：

(11)

基于以上變換，建立dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PMSM數(shù)學(xué)模型，電壓方程為：

(12)

式中,ud、uq定子電壓(V)；ωe是電角速度(rad/s)，滿足ωe=npω；id、iq定子電流(A)；ψd、ψq電機(jī)磁鏈(Wb)，其表達(dá)式滿足式：

(13)

式中,Ld、Lq為定子電感，表貼式PMSM有式Ld=Lq成立。

在dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)矩方程為：

Te=1.5np(ψdiq-ψqid)

(14)

將磁鏈方程代入轉(zhuǎn)矩方程，整理可得PMSM的轉(zhuǎn)矩方程為：

Te=1.5np(ψdiq-ψqid)=1.5npiqψf

(15)

電機(jī)運動平衡方程為：

(16)

由上式可知，電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速變化率成正比，因此可以通過電磁轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制。觀察電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程可知，表貼式PMSM的轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)矩電流成正比。因此在整個PMSM控制系統(tǒng)中，可以通過控制轉(zhuǎn)矩電流實現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)矩控制，進(jìn)而實現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制。

2 PMSM矢量控制系統(tǒng)

2.1 PMSM矢量控制系統(tǒng)概述

PMSM矢量控制可以獨立控制電機(jī)的轉(zhuǎn)矩和勵磁電流。id=0是勵磁電流輸入為零的矢量控制，該方法使得電機(jī)定子電流全部用于電機(jī)的轉(zhuǎn)矩控制，其工作效率得以大大提高。為了達(dá)到本文所選電機(jī)的控制要求，采用id=0的矢量控制，其系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 PMSM矢量控制系統(tǒng)框圖

id=0矢量控制是雙閉環(huán)(電流環(huán)和速度環(huán))控制系統(tǒng)。為了實現(xiàn)電機(jī)的高精度控制，速度環(huán)調(diào)節(jié)至關(guān)重要。

2.2 PMSM空間脈寬調(diào)制

空間矢量脈寬調(diào)制是矢量控制的關(guān)鍵技術(shù)之一，傳統(tǒng)的空間脈寬調(diào)制技術(shù)是以產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的電壓正弦波形為主要控制目的，但是該方法使得輸入電機(jī)繞組的電流波形無法得到保證。因此電壓空間矢量脈寬調(diào)制技術(shù)應(yīng)用而生。三相兩電平型逆變器電路原理圖如圖4所示。

圖4 三相兩電平型逆變器電路原理圖

由圖4可知，該逆變器主要包括三相橋臂SA、SB、SC(由六個功率器件組成)，并分別與電機(jī)的三相繞組連接。逆變器正常工作時，每相橋臂的上下橋臂的功率器件不同時導(dǎo)或關(guān)閉。如此，每相橋臂就相當(dāng)于一個開關(guān)，每個開關(guān)各有兩種導(dǎo)通狀態(tài)，共由23個開關(guān)組合。不同開關(guān)組和狀態(tài)下的PMSM基本電壓矢量Us見表1。

表1 逆變器基本電壓空間矢量

計算表1中8個基本矢量電壓的幅值，除了U0和U7這兩個零矢量外，其余電壓的幅值均為2Udc/3，并將αβ坐標(biāo)系分為了6個扇區(qū)如圖5所示。

圖5 PMSM電壓空間矢量圖

為了形成圓形的磁鏈，僅僅通過以上8個基本的空間矢量電壓是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，但可以通過快速更替以上8個基本矢量電壓，從而使產(chǎn)生的定子磁鏈近似圓形磁鏈。本文的SVPWM采用的平均值等效原則，根據(jù)要輸出的空間矢量電壓Us所在的位置，首先判斷所在的扇區(qū)，其次確定劃分該扇區(qū)的兩個基本空間矢量電壓，最后由這兩個基本電壓合成Us。

2.3 SVPWM算法實現(xiàn)

基于PMSM空間矢量脈寬調(diào)制的工作原理，SVPWM算法可分三步完成，具體實現(xiàn)過程如下。

1)電壓矢量Us的扇區(qū)判斷

為了判斷電壓矢量Us所在的扇區(qū)，可以通過分析不同扇區(qū)時，Us在αβ軸上的電壓分量規(guī)律進(jìn)行判斷。不妨設(shè)三個參考電壓變量Uref1、Uref2、Uref3滿足：

(17)

定義三個變量a、b、c，則有以下規(guī)則成立：

當(dāng)Uref1>0時，a=1，否則a=0；

當(dāng)Uref2>0時，b=1，否則b=0；

當(dāng)Uref3>0時，c=1，否則c=0。

令N= 4c+2b+a，則N取值與扇區(qū)的關(guān)系見：

表2 N取值與扇區(qū)的關(guān)系

2)基本電壓矢量作用時間計算

電壓矢量Us在αβ軸上的電壓分量uα、uβ別為：

(18)

已知|U4|=|U6|=2Udc/3，式可變形為：

(19)

以上完成了電壓矢量Us在第Ⅰ扇區(qū)時在相鄰基本矢量電壓上作用時間的計算，用同樣的方法不難計算Us在其他扇區(qū)的作用時間，在此將不進(jìn)行詳盡的推導(dǎo)。根據(jù)推導(dǎo)結(jié)果，總結(jié)規(guī)律如下，令：

(20)

因此，通過以上X、Y、Z三個參考變量，很容易對推到結(jié)論進(jìn)行總結(jié)。電壓矢量Us在各個扇區(qū)作用時間與N的關(guān)系見表3。

表3 各扇區(qū)作用時間與N的關(guān)系

注：Tx為電壓空間矢量Us在主矢量(U1、U2、U4)上的作用時間；Ty為Us在輔矢量(U3、U5、U6)上的作用時間。

3)扇區(qū)矢量切換點的確定

根據(jù)7段式SVPWM算法，定義：

(21)

根據(jù)以上定義的TA、TB、TC時間，扇區(qū)矢量切換點Tcm1、Tcm2、Tcm3與N的關(guān)系如表4所示。

表4 各扇區(qū)時間切換點

3 仿真驗證

3.1 仿真條件

為了驗證矢量控制算法對PMSM的控制效果，根據(jù)其系統(tǒng)框圖(如圖3所示)在MATLAB/Simulink上搭建仿真模型。設(shè)置如下仿真條件：逆變器直流側(cè)電壓Udc=310 V，開關(guān)頻率10 kHz。速度控制器的PI參數(shù)對電機(jī)的工作性能有很大的影響，傳統(tǒng)PI控制器一般需要手動調(diào)節(jié)。經(jīng)調(diào)試速度環(huán)比例、積分參數(shù)分別為kp=0.27、ki=0.05。此外，所選電機(jī)仿真參數(shù)詳見表5。

表5 永磁同步電機(jī)仿真參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果與分析

本文將在轉(zhuǎn)速突變和負(fù)載突變兩種情況下分析PMSM矢量伺服控制系統(tǒng)性能。為了便于觀察設(shè)仿真時間為0.16 s，下面將簡單介紹仿真過程。

1)在0～0.04 s內(nèi)，電機(jī)以3 000 r/min的初始速度空載啟動，保持3 000 r/min的速度不變；

2)在0.04 s時刻，電機(jī)轉(zhuǎn)速突降為2 500 r/min，在0.4～0.1 s內(nèi)以2 500 r/min的速度空載運行；

3)在0.1 s時刻，電機(jī)負(fù)載突加為5 N·m；在0.1～0.16 s內(nèi)，電機(jī)以2 500 r/min的速度，5 N·m的負(fù)載運行。

id=0矢量控制PMSM轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 PMSM轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖中虛線表示電機(jī)給定轉(zhuǎn)速，實線是電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線。該速度響應(yīng)曲線總共包括三個階段，首先是電機(jī)啟動階段，電機(jī)以3 000 r/min的速度空載啟動，電機(jī)轉(zhuǎn)速從零開始增加，上升時間約為0.002 0 s，調(diào)節(jié)時間約為0.003 5 s (±2%)，并產(chǎn)生了3.1%的超調(diào)。其次是電機(jī)降速階段，在0.04 s處，電機(jī)轉(zhuǎn)速突降為2 500 r/min，經(jīng)過0.002 6 s的調(diào)節(jié)趨于穩(wěn)定，此過程產(chǎn)生了8.56%的超調(diào)。最后是電機(jī)負(fù)載突變階段，在0.1 s處，電機(jī)負(fù)載由零突加到5 N·m，轉(zhuǎn)速波形產(chǎn)生波動，產(chǎn)生了0.72%的超調(diào)。由于本文選擇的電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量很小，當(dāng)電機(jī)負(fù)載突變時，其調(diào)節(jié)時間不易求取。因此，在此不做更多的分析。

id=0矢量控制PMSM轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 PMSM轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線

從PMSM仿真過程可知，電機(jī)是空載啟動的，直到0.1 s時刻才給電機(jī)加了5 N·m的負(fù)載，所以理想條件下電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線正如圖虛線，實線表示電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線。為了分析電機(jī)不同情況下對電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)的影響，本文將從三個階段進(jìn)行分析。首先是電機(jī)啟動階段，電機(jī)空載啟動，從電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線觀察可得電機(jī)轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的增加產(chǎn)生了大的波動，產(chǎn)生了121.4 N·m的最大偏差。經(jīng)0.003 5 s的調(diào)節(jié)，電機(jī)完成提速的同時，電機(jī)將不再輸出轉(zhuǎn)矩。其次是電機(jī)降速階段，在0.04 s處電機(jī)轉(zhuǎn)速突降，電機(jī)降速的過程中，電機(jī)轉(zhuǎn)矩也增大，最大偏差為66.57 N·m。降速完成后，電機(jī)轉(zhuǎn)矩再次將為零。最后是電機(jī)負(fù)載突變階段，在0.1 s處電機(jī)負(fù)載突加到5 N·m，經(jīng)0.000 8 s電機(jī)轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線無超調(diào)穩(wěn)定于5 N·m。

通過以上理論分析可知SVPWM算法最終輸出的是逆變器開關(guān)時間切換點Tcm1、Tcm2、Tcm3波形，該波形也被稱為電機(jī)三相調(diào)制波圖8所示。由圖可得每相波形都呈馬鞍狀分布，從而提高電機(jī)母線電壓的利用率。

本文將三相調(diào)制波形兩兩做差可得圖8處理后的調(diào)制波，觀察處理后波形正是相位相差120°呈正弦分布的三相波形，SVPWM算法可以用于PMSM控制。

圖8 SVPWM三相調(diào)制信號及其處理信號

id=0矢量控制PMSM三相電流響應(yīng)曲線如圖9所示。

圖9 PMSM三相電流響應(yīng)曲線

下面將從以下三個階段進(jìn)行分析，首先是電機(jī)啟動階段，電機(jī)空載啟動時，電機(jī)轉(zhuǎn)速增加的同時，三相電流也隨之增大，最大波動值為114.7 A。電機(jī)完成提速后，電機(jī)三相電流趨于零。其次是電機(jī)轉(zhuǎn)突降階段，在0.04 s處電機(jī)轉(zhuǎn)速突降為2 500 r/min，電機(jī)三相電流也隨之產(chǎn)生波動，最大波動值為60.84 A。電機(jī)降速完成后，三相電流再次趨于零。最后是電機(jī)負(fù)載突變階段，在0.1 s處給電機(jī)突加5 N·m的負(fù)載，三相電流經(jīng)0.000 8 s調(diào)節(jié)后趨于穩(wěn)定，拖動電機(jī)負(fù)載運行，且波形呈正弦規(guī)律變化。

4 結(jié)束語

本文首先基于PMSM的工作原理，分別在ABC三相靜止坐標(biāo)系、dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立PMSM的數(shù)學(xué)模型；其次研究了PMSM空間矢量脈寬調(diào)制技術(shù)及其實現(xiàn)過程；最后在MATLAB/Simulink上搭建id=0的PMSM矢量控制系統(tǒng)仿真模型，在轉(zhuǎn)速突變和增加負(fù)載的情況下，分別從電機(jī)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、SVPWM調(diào)制信號、三相電流等響應(yīng)曲線進(jìn)行綜合分析，驗證了本文所建立的id=0矢量控制模型可以實現(xiàn)PMSM的高精度控制。