王蓉

（紹興市越州中學(xué)，浙江紹興 312000）

1 內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.1 教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是新人教A 版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)第七章第一節(jié)《復(fù)數(shù)的概念》的第一課時(shí)。通過(guò)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生對(duì)于數(shù)的概念有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)。復(fù)數(shù)的概念是整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式展開(kāi)的，復(fù)數(shù)單位、實(shí)部、虛部的命名，復(fù)數(shù)相等的含義，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理解，都是在促進(jìn)對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)實(shí)質(zhì)上是有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)。通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的揭示，為后續(xù)復(fù)數(shù)的結(jié)合意義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的三角表示的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備，對(duì)本章具有奠基性的作用。

1.2 核心素養(yǎng)分析

本節(jié)課通過(guò)回顧數(shù)系的擴(kuò)充的過(guò)程與方法，歸納數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過(guò)實(shí)數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；學(xué)生能體悟豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，能辯證地看到“?！迸c“機(jī)”的關(guān)系，感受人類(lèi)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，領(lǐng)略其推動(dòng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步的所需創(chuàng)新精神。

2 目標(biāo)和目標(biāo)解析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

了解引入復(fù)數(shù)的必要性；了解數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，了解從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過(guò)程，感受數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中人類(lèi)理性思維的作用，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)；理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表達(dá)式，理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，理解復(fù)數(shù)相等的含義。

2.2 目標(biāo)解析

能通過(guò)方程的解，感受引入復(fù)數(shù)的必要性，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用。

學(xué)生能夠從自然數(shù)系逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程中，歸納出數(shù)學(xué)擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，體會(huì)擴(kuò)充的合理性及人類(lèi)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。

學(xué)生能說(shuō)明虛數(shù)的由來(lái)，能夠明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的基本結(jié)構(gòu)，會(huì)對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，會(huì)用Venn 圖表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系；知道兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義，能利用復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)相等的含義解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。

3 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

3.1 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)可能出現(xiàn)的障礙為：

（1）因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中沒(méi)有任何事物支持虛數(shù)，學(xué)生可能會(huì)懷疑引入復(fù)數(shù)的必要性，在教學(xué)中，如果單純地講解或介紹復(fù)數(shù)的概念會(huì)顯得枯燥無(wú)味，學(xué)生不易接受；

（2）由于知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知能力的限制，學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則并不熟悉，對(duì)虛數(shù)單位的引入，以及虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)進(jìn)行形式化運(yùn)算的理解會(huì)出現(xiàn)一定困難；

（3）學(xué)生以前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)都是單純的一個(gè)數(shù)，而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是兩項(xiàng)和的形式，學(xué)生比較陌生，因此理解上會(huì)存在一定困難。

3.2 重難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：從實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過(guò)程與方法，復(fù)數(shù)的概念。

難點(diǎn)：復(fù)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程的數(shù)學(xué)基本思想，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示。

突破難點(diǎn)的策略如下：

（1）適當(dāng)介紹數(shù)的發(fā)展簡(jiǎn)史，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的生動(dòng)性。

（2）通過(guò)解方程問(wèn)題引導(dǎo)，借助已有的數(shù)系擴(kuò)充的經(jīng)驗(yàn)，特別是從有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的經(jīng)驗(yàn)，從特殊到一般，幫助學(xué)生梳理出數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中體現(xiàn)的“規(guī)則”，進(jìn)而在“規(guī)則”的引導(dǎo)下進(jìn)行從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，感受引人復(fù)數(shù)的必要性和合理性。

（3）引導(dǎo)學(xué)生按照“規(guī)則”自主探究出復(fù)數(shù)集中可能存在的各種數(shù)，并歸納總結(jié)出復(fù)數(shù)的一般表示方法，經(jīng)歷復(fù)數(shù)形式化的過(guò)程。

4 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，說(shuō)明實(shí)數(shù)系擴(kuò)充的必要性

問(wèn)題一：今天的數(shù)學(xué)課邀請(qǐng)大家和我一起來(lái)到16世紀(jì)文藝復(fù)興后的歐洲?？匆粋€(gè)當(dāng)時(shí)困擾了人類(lèi)幾百年的數(shù)學(xué)問(wèn)題：把10 拆分成兩個(gè)數(shù)，使這兩數(shù)的積等于40，求這兩數(shù)？記載在數(shù)學(xué)家卡爾丹1545 年的著作《大術(shù)》〔Arsmagna，1545〕。

師：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？為什么？

生：這個(gè)一元二次方程的判別式小于0，所以無(wú)解。

師：是的，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，看來(lái)實(shí)數(shù)不夠用了！卡爾丹也沒(méi)有找到實(shí)數(shù)解，但是他寫(xiě)下來(lái)這樣兩個(gè)解，自認(rèn)為是“違背良心寫(xiě)下的怪物”。

師：盡管他違背著良心，但后續(xù)通過(guò)數(shù)學(xué)家們的不斷探究給出了合理解釋。

師：是否存在，等價(jià)于方程？

師：方程不具一般性，怎么辦？

生：

師：為什么？

生：整理得，即

設(shè)計(jì)意圖：轉(zhuǎn)化化歸的思想。

師：若想預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的未來(lái)，一個(gè)方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀?，F(xiàn)在我們一起重溫?cái)?shù)的發(fā)展歷程！

4.2 類(lèi)比從有理數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充，梳理數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”

師：猜一猜：四幅圖各代表了哪一類(lèi)數(shù)？

生：自然數(shù)，負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，無(wú)理數(shù)。

師：我們把一個(gè)數(shù)集連同規(guī)定的運(yùn)算以及滿(mǎn)足的運(yùn)算律叫做一個(gè)數(shù)系。（自然數(shù)系，整數(shù)系，有理數(shù)系，實(shí)數(shù)系）

問(wèn)題二：有理數(shù)系到實(shí)數(shù)系擴(kuò)充的“危機(jī)”？

師：為什么要擴(kuò)充？

生：邊長(zhǎng)為1 的正方形對(duì)角線(xiàn)是，開(kāi)方開(kāi)不盡，不在有理數(shù)集內(nèi)。而且方程在有理數(shù)內(nèi)是無(wú)解的。

師：是的，這不僅是人類(lèi)生產(chǎn)生活的需要，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，讓擴(kuò)充前的數(shù)系中無(wú)解的一類(lèi)方程在新數(shù)系中有解了。

師：數(shù)與數(shù)的聯(lián)系是依靠一些運(yùn)算建立起來(lái)的。因此我們還要確保新數(shù)系中原來(lái)的運(yùn)算和運(yùn)算律可行。這里的運(yùn)算和運(yùn)算律指的是最基本的兩種運(yùn)算加法、乘法及運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律和分配律）。

師：以引入為例，會(huì)產(chǎn)生哪些其他形式的數(shù)呢？

師：很好，這些數(shù)是無(wú)理數(shù)集的其他成員。顯然保證了加法乘法和運(yùn)算律仍然適用。

師：數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則是什么？

生：形成數(shù)系擴(kuò)充的一般規(guī)則：（1）引入新成員，數(shù)系擴(kuò)大；（2）擴(kuò)充前數(shù)系不可行的某種運(yùn)算在新數(shù)系中可行了；（3）擴(kuò)充后的數(shù)系適用原有數(shù)系的運(yùn)算和運(yùn)算律。

設(shè)計(jì)意圖：梳理數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程和方法的一致性，總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充的一般“規(guī)則”，為后續(xù)實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充提供方法，進(jìn)而突破難點(diǎn)。

4.3 依據(jù)“規(guī)則”實(shí)數(shù)系擴(kuò)充至復(fù)數(shù)系，得到復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)形式

問(wèn)題三：類(lèi)比以上過(guò)程，你會(huì)怎樣實(shí)數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充？

生：將引入新成員。

師：如果是你，你打算如何設(shè)計(jì)這個(gè)新成員？

生：我會(huì)叫他虛數(shù)。

師：為什么？

生：因?yàn)閷?shí)和虛是反義詞。

師：很有想法哦！這個(gè)新數(shù)需要具備怎樣的性質(zhì)？

生：

師：板書(shū)，i 為虛數(shù)單位。虛數(shù)（imaginary）這個(gè)名稱(chēng)是法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾給出的，寫(xiě)在1637 年出版的《幾何》中。100 多年后，歐拉第一個(gè)使用符號(hào)i 表示虛數(shù)，寫(xiě)在1777 年提交給圣彼得堡科學(xué)院的論文中，而該論文直到1794 年才發(fā)表。

設(shè)計(jì)意圖：了解虛數(shù)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)史，體會(huì)數(shù)學(xué)家們的堅(jiān)持不懈。

師：為了使加法、乘法和運(yùn)算律在新數(shù)系中適用，除了新數(shù)i，新數(shù)系中還會(huì)有哪些形式的數(shù)？分小組討論，派代表展示你們組的成果。

學(xué)生回答：2i，-i，，

師追問(wèn)：有沒(méi)有一種形式可以把大家說(shuō)的這些數(shù)都包含在內(nèi)？

學(xué)生回答：

（學(xué)生如果遺漏了實(shí)數(shù)）

生答：能，當(dāng)b=0 時(shí)，令a=-1，，

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)與學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)相吻合的教學(xué)情境，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生以數(shù)系擴(kuò)充的基本思想為指導(dǎo)開(kāi)展引入新數(shù)、擴(kuò)充數(shù)系。在獲得“四基”、提高“四能”的同時(shí)，學(xué)習(xí)“用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”的方式方法。

學(xué)生自主閱讀課本概念并完成練習(xí)1：我們把形如（）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集。這樣，方程在復(fù)數(shù)集C 中就有解了。復(fù)數(shù)常用z 表示，即（）以后不作特殊說(shuō)明時(shí)，復(fù)數(shù)都有，其中a 和b 分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。

師板書(shū)概念。

4.4 通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)的分類(lèi)，相等復(fù)數(shù)條件的探究，強(qiáng)化、精致復(fù)數(shù)概念

師：研究一個(gè)概念，了解了他的來(lái)龍，還得清晰他的去脈。

剛才大家寫(xiě)了很多復(fù)數(shù)，我們一起來(lái)研究

（1）說(shuō)出這些復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。

（2）1+2i，2+i 這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等嗎？為什么？你能歸納出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件嗎？

（3）觀(guān)察這些數(shù)，復(fù)數(shù)集C 與實(shí)數(shù)集R 之間有什么關(guān)系？使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示

（4）說(shuō)說(shuō)復(fù)數(shù)有哪些特殊形式？結(jié)合一些圖標(biāo)題名式給復(fù)數(shù)分分類(lèi)吧。

（5）說(shuō)說(shuō)哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，為什么？

設(shè)計(jì)意圖：指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書(shū)，思考并回答問(wèn)題，明確復(fù)數(shù)的基本概念，培養(yǎng)閱讀教科書(shū)的習(xí)慣和閱讀理解能力。通過(guò)對(duì)具體數(shù)的觀(guān)察，抽象出復(fù)數(shù)集中的實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等概念。通過(guò)畫(huà)思維導(dǎo)圖細(xì)化復(fù)數(shù)集內(nèi)部關(guān)系，強(qiáng)化復(fù)數(shù)概念。

例1：當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？

（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：在變化中認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu)，正確判斷復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。

師：如何確定一個(gè)復(fù)數(shù)？回憶一下，復(fù)數(shù)的這個(gè)特征與你以往遇到過(guò)的什么數(shù)學(xué)對(duì)象類(lèi)似？

設(shè)計(jì)意圖：向?qū)W生明確，不僅給出了判斷兩復(fù)數(shù)相等的依據(jù)，也給出了求某些實(shí)數(shù)值的依據(jù)，即利用復(fù)數(shù)相等的含義，得到關(guān)于a，b 的方程組，通過(guò)解方程組，得到a，b 的值。把復(fù)數(shù)看成有序?qū)崝?shù)對(duì)，為幾何意義奠定基礎(chǔ)。

4.5 反思總結(jié)，提煉收獲

師：通過(guò)本節(jié)課，談?wù)勀銓W(xué)到了哪些知識(shí)？通過(guò)什么方法得到的？這個(gè)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造對(duì)你有什么啟示？

生：學(xué)到了為了解開(kāi)負(fù)數(shù)有平方根的難題，幾百年來(lái)數(shù)學(xué)家們鍥而不舍的堅(jiān)持探索，他們的理性思維戰(zhàn)勝了阻攔在數(shù)學(xué)發(fā)展面前的重重困惑。這個(gè)數(shù)系的擴(kuò)充給今后復(fù)數(shù)遇到不夠用的時(shí)候，就派上用處了。

師結(jié)束語(yǔ)：因?yàn)檫@個(gè)虛無(wú)縹緲的數(shù)的引入，多項(xiàng)式的理論成了完美的理論。物理學(xué)家和工程學(xué)家發(fā)現(xiàn)虛數(shù)是用來(lái)解釋所有波動(dòng)現(xiàn)象最佳的方法。這包括音樂(lè)、流體和量子力學(xué)里面的波動(dòng)力學(xué)的種種現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，柯西和黎曼開(kāi)始了復(fù)變函數(shù)的研究，將數(shù)學(xué)的眼界由一維推廣到二維，改變了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。復(fù)數(shù)的引入充滿(mǎn)了數(shù)學(xué)家們的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓、精益求精的精神，充分體現(xiàn)了理性思維的力量！

4.6 布置作業(yè)

查找資料，完成課外閱讀。

（1）了解一元三次方程求根公式。

（2）了解復(fù)數(shù)在流體力學(xué)、信號(hào)分析、電磁場(chǎng)等學(xué)科中的應(yīng)用。

（3）了解有關(guān)超復(fù)數(shù)系的設(shè)想。

5 課后反思

復(fù)數(shù)的引入是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的又一次飛躍，新課標(biāo)明確要求學(xué)生認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)概念形成的重要發(fā)生發(fā)展過(guò)程，領(lǐng)會(huì)其中的理性思維、創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)文化。什么才是這節(jié)課的真正重要的主題概念呢？在準(zhǔn)備教學(xué)設(shè)計(jì)之前，筆者帶著這個(gè)疑惑翻閱了教材和教參。從歷史的角度看，數(shù)的概念的發(fā)展與數(shù)系擴(kuò)充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線(xiàn)索。數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程展現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造兩大特征，也是當(dāng)時(shí)的客觀(guān)需要。復(fù)數(shù)的引入體現(xiàn)實(shí)際需求與已有知識(shí)不能解決之矛盾，以及有關(guān)數(shù)系運(yùn)算和性質(zhì)之變化。當(dāng)復(fù)數(shù)的幾何意義在解決實(shí)際問(wèn)題中嶄露頭角，復(fù)數(shù)的概念才被世人所認(rèn)可并發(fā)展。從認(rèn)知的角度看，繼初中數(shù)學(xué)課堂將數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充至實(shí)數(shù)后，復(fù)數(shù)是中學(xué)階段的又一次擴(kuò)充。應(yīng)在教學(xué)中突出過(guò)程二字。因此筆者將本節(jié)課確定的重要主題概念側(cè)重于經(jīng)歷過(guò)程。需要學(xué)生歷經(jīng)，以及從這樣的經(jīng)歷中深刻體會(huì)到數(shù)集的每一次擴(kuò)充，既是客觀(guān)世界實(shí)際的需求，也是解決數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾，從而不斷發(fā)展之迫切。從數(shù)的運(yùn)算，解方程等角度悟得“實(shí)數(shù)不夠用了”這一事實(shí)。理解引入虛數(shù)之水到渠成。體會(huì)人類(lèi)的理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展長(zhǎng)河中明燈般指引之力量。我們知道任何知識(shí)的獲取都遵循從未知區(qū)域轉(zhuǎn)化至最近發(fā)展區(qū)，再轉(zhuǎn)化至已知區(qū)域。本節(jié)課就需要教師搭建一個(gè)“引橋”。讓學(xué)生在已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)上獲得“再創(chuàng)造”。這個(gè)“引橋”就是對(duì)實(shí)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程的回憶。在層層剝離，提出問(wèn)題方程 后，讓學(xué)生觀(guān)察了四張有關(guān)數(shù)系發(fā)展歷程的圖片，并思考以下問(wèn)題：以往學(xué)習(xí)中有沒(méi)有遇見(jiàn)過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題？如果遇見(jiàn)過(guò)，解決了什么問(wèn)題？怎樣解決的？解決的過(guò)程有什么規(guī)律（共同的特點(diǎn)）？這些規(guī)律對(duì)解決當(dāng)前的問(wèn)題有什么借鑒作用？在這些問(wèn)題的支撐下，老師帶領(lǐng)著學(xué)生從卡丹之迷惑到笛卡爾的自我否定下提出“虛數(shù)”稱(chēng)呼，再到歐拉提出用符號(hào)i 來(lái)表示虛數(shù)，之后的高斯對(duì)該符號(hào)系統(tǒng)的應(yīng)用。前前后后幾百年，支撐起數(shù)系擴(kuò)充之路的是人類(lèi)對(duì)未知的渴望，是理性思維撥云見(jiàn)霧，揭開(kāi)了虛數(shù)虛無(wú)縹緲之面紗。

當(dāng)然課后筆者也在思考，與其說(shuō)是再創(chuàng)造，不如說(shuō)是再經(jīng)歷。其實(shí)創(chuàng)造的成分并不濃厚，因?yàn)檫@個(gè)規(guī)則已經(jīng)擺在那里了。相比當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們思維火花的碰撞，研究復(fù)數(shù)的熱火朝天。遺憾于課堂上沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的效果，只能接受這個(gè)“美麗凍人”的結(jié)果。如果在教學(xué)設(shè)計(jì)中出現(xiàn)一些預(yù)設(shè)的“意外”，讓學(xué)生經(jīng)歷頭腦風(fēng)暴。比如，使用類(lèi)比方法創(chuàng)造新數(shù)，改為學(xué)生的自我探索新數(shù)集中的運(yùn)算規(guī)律，讓學(xué)生設(shè)立探索方案。如可以從羅列自然數(shù)集開(kāi)始的若干數(shù)集中的運(yùn)算封閉、運(yùn)算律、排序、比較大小等方面進(jìn)行研究。為什么數(shù)集運(yùn)算需要封閉？新運(yùn)算解決了，原來(lái)的運(yùn)算規(guī)律卻破壞了行不行？為什么復(fù)數(shù)需要一個(gè)統(tǒng)一的代數(shù)形式？這些知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和爆發(fā)點(diǎn)不去觸動(dòng)，可能復(fù)數(shù)還是飄在空中，最后淪為一個(gè)生硬的代數(shù)運(yùn)算工具。如何通過(guò)我們老師的教學(xué)設(shè)計(jì)，快速通過(guò)這些階段，但卻不跳過(guò)這些階段，讓復(fù)數(shù)在學(xué)生心中落地生根。我們的類(lèi)比，舉一反三，給了學(xué)生足夠的參照模板，但是這個(gè)“一”是否小看了學(xué)生的獨(dú)立思維？是否阻礙了課堂的深度思考呢？值得繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究。