劉 濤 ，馮志國 ，孫永吉 ，2

（1.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050；2. 蘭州工業(yè)學院 工程訓練中心，蘭州 730050）

0 引言

渦旋壓縮機具有高效低振、可靠性高、結構簡單、體積輕小等優(yōu)點［1］，目前已經應用于新能源汽車空調、制冷、化工以及增壓泵等諸多領域［2-8］。

渦旋型線是渦旋壓縮機設計的難點和基礎，隨著渦旋壓縮機應用范圍的擴大，為適應壓縮機更大行程容積和更高壓縮比的需求，變截面以比等截面型線更少的圈數、更短的型線加工長度和泄漏線長度等優(yōu)點成為研究的熱點［9］。變截面型線主要組成單元有基圓漸開線、高次曲線、圓弧、變徑基圓漸開線等。郝勝利等［10］建立了一種變壁厚渦旋壓縮機型線方程，計算了容積特性，結果表明，吸氣容積、制冷量和制冷COP較等壁厚均有所提升。王君等［11-12］建立了一種漸變齒厚渦旋齒型線模型，對該渦旋齒渦旋壓縮機進行了流場分析以及渦旋齒變形分析，結果表明，該渦旋齒與等齒厚渦旋齒相比，其齒變形更小、應力分布更合理；丁佳男等［13］推導了變徑基圓漸開線型線不同起始位置下型線的方程。彭斌等［14］研究了圓漸開線-高次曲線-圓弧組合型線，建立了渦旋壓縮機的數學模型。

對各單元型線特性分析發(fā)現，圓漸開線性能穩(wěn)定且易于加工，高次曲線參數樣條可以有效減少渦旋圈數；變徑基圓漸開線節(jié)距隨著展角的變化而變化，隨著變徑系數取值不同可靈活調節(jié)型線齒厚，形成漸變齒厚渦旋型線。本文提出以圓漸開線-高次曲線-變徑基圓漸開線（Involute-High order curve-Variable radii involute，IHV）為基礎型線構造一種新的渦旋組合型線，以達到充分利用各類曲線的優(yōu)點、有效提高渦旋壓縮機幾何性能的目的。建立IHV型線數學模型，探討幾何參數對變截面渦旋齒等效齒厚的影響；研究了變徑系數對IHV型線行程容積和壓縮比的影響，并將IHV變截面型線與圓漸開線構成等截面型線幾何性能進行比較，研究結論可對變截面渦旋壓縮機設計提供參考。

1 IHV變截面型線數學模型

1.1 型線控制方程

渦旋齒型線的微分幾何關系如圖1所示［9］，圖中M為漸開線任意一點，φ為漸開角，α為單位切矢量，β為單位法矢量。根據嚙合原理，渦旋型線連續(xù)嚙合需要滿足如下型線控制方程［9］。

式中 R ——廣義基圓半徑；

ρ ——廣義展成半徑。

圖1 型線微分幾何關系Fig.1 Differential geometry relation for scroll profile

1.2 組合型線母線方程

組合型線的母線首段型線選用基圓漸開線，中間段選用高次曲線，末段型線采用變徑基圓漸開線。根據式（2），基圓漸開線段方程可表示為：

式中 R1——圓漸開線的基圓半徑。

中間段高次曲線方程可表示為：

變徑基圓漸開線方程可表示為：

式中 K ——基圓變徑系數；

φ1——基圓漸開線終端漸開角；

φ2——高次曲線終端漸開角；

φe——變徑基圓漸開線終端漸開角。

為了滿足型線的連續(xù)性與光滑性要求，在漸開角φ1和φ2處分別有：

由式（6）（7）可求得 c0，c1，c2，c3。在待定參數取R1=3 mm；φ1=2.5π；φ2=4π；φe=,7.5π，K=0.05時，由式（6）（7）解得 c0=365.59，c1=-114.36，c2=12.10，c3=-0.39。該組合型線母線如圖2所示。可見，采用高次曲線可有效減少渦旋圈數，縮短了徑向泄漏線長度。

圖2 IHV組合型線母線Fig.2 Generating line of the IHV combined scroll profile

1.3 組合型線渦旋齒型線數學模型

采用法向等距線法［15］生成渦旋齒內外壁型線，由于動靜渦旋盤相差180°，因此，可將母線旋轉180°形成另一條母線。以上述兩條母線為基準分別生成它的內、外法向等距線，構成動、靜渦旋盤的內、外壁面型線。其中動渦旋型線為：

靜渦旋盤的型線方程為：

2 IHV變截面型線渦旋齒等效齒厚

渦旋齒齒厚是渦旋壓縮機的一個重要幾何參數，不同的型線組成會影響其齒厚大小，進而影響渦旋齒的強度和傳熱性能，故研究齒厚的變化規(guī)律是十分必要的。

2.1 渦旋齒等效齒厚計算模型

變截面渦旋齒由不同型線組合形成，當渦旋齒內、外壁型線均為基圓漸開線時，其齒厚可按等截面齒厚兩點模型計算，即計算對應漸開角切線與內、外壁型線交點間的法向距離；當渦旋齒內、外壁型線由不同類型型線構成時，由于內外壁型線漸縮點不重合，故無法沿著同一漸開角切向方向計算，故本文提出一種等效齒厚計算模型。如圖3所示，在某一漸開角對應內、外壁型線上的點D，E找到其漸縮點A，B，過C點作CE垂直于BC交AD于E點。由于BC為內壁型線展弦ρi，AD為外壁型線展弦 ρo，可定義等效齒厚為：

圖3 IHV組合型線齒厚計算模型Fig.3 Tooth thickness calculation model of the IHV combined scroll profile

內、外型線展弦隨漸開角變化而變化，根據渦旋型線生成原理，內、外壁型線漸開角相差π；內、外壁型線由不同類型型線組成，故內、外壁展弦需要分段計算。

內壁型線展弦為：

外壁型線展弦為：

2.2 幾何參數對齒齒厚的影響

根據構建的IHV變截面渦旋型線幾何模型，影響渦旋型線的幾何參數有變徑基圓變徑系數K、基圓半徑R1以及不同型線間連接點漸開角φ1，φ2等?；谏鲜龅刃X厚計算模型，采用控制變量法，探討不同幾何參數對組合型線渦旋齒齒厚的影響。

2.2.1 變徑系數K的影響

其他幾何參數不變，改變變徑系數K的取值，渦旋齒型線等效齒厚隨漸開角變化如圖4所示。從圖中可看出，等效齒厚總體變化趨勢為隨漸開角的增大先增大后減小，在變徑基圓漸開線段隨K的不同取值有所不同。當K=0時，變徑基圓漸開線段齒厚保持不變；K<0時，變徑基圓漸開線段齒厚逐漸減小；K>0時，變徑基圓漸開線段齒厚逐漸增大。K=0.05時，最大齒厚為23.11 mm，以此作為基準，當K=0時，最大齒厚為20.74 mm，減小10.26%；K=-0.05時，最大齒厚為18.44 mm，減小了20.21%。

圖4 變徑系數K對等效齒厚的影響Fig.4 Influence of coefficient K of variable radii involute on equivalent tooth thickness

2.2.2 基圓半徑R1的影響

其他幾何參數不變，改變基圓半徑的取值，等效齒厚變化如圖5所示。由圖可知，隨著基圓半徑增大，渦旋齒等效齒厚增加，高次曲線段齒厚變化快且最大齒厚增加幅度比較大，變徑基圓漸開線段等效齒厚呈線性變化趨勢。R1=3 mm時，最大齒厚為23.11 mm，以此作為基準；R1=2.5 mm時，最大齒厚為19.65 mm，最大齒厚減小14.97%；R1=2 mm時，最大齒厚為16.19 mm，減小29.94%?；鶊A半徑增大渦旋盤半徑也會增大。

圖5 基圓半徑R1對等效齒厚的影響Fig.5 Influence of base circle radius R1 on equivalent tooth thickness

2.2.3 連接點漸開角φ1的影響

其他幾何參數不變，改變連接點漸開角φ1的取值，渦旋齒等效齒厚隨漸開角變化趨勢如圖6所示。由圖可知，隨著φ1的增大，渦旋齒最大齒厚顯著增加。當φ1=2.5π時，最大齒厚為23.11 mm，以此作為基準，φ1=2π時，最大齒厚為20.02 mm，較基準減小了13.37%；φ1=3π時，最大齒厚為25.78 mm，較基準增加了11.55%。

圖6 漸開角φ1對等效齒厚的影響Fig.6 Influence of involute angle on equivalent tooth thickness

2.2.4 連接點漸開角φ2的取值，渦旋型線等效最大齒厚隨漸開角φ2的影響

其他幾何參數不變，改變連接點φ2增大而減小，如圖7所示。當φ2=3.5π時，最大齒厚為25.78 mm，φ2=4π時，最大齒厚為23.11 mm，φ2=4.5π時，最大齒厚為20.02 mm，而且齒厚最大值所對應漸開角隨著φ2的增大而增大，渦旋型線終端徑向尺寸不變。

圖7 漸開角φ2對等效齒厚的影響Fig.7 Influence of involute angle on equivalent tooth thickness

3 IHV變截面型線幾何性能分析

3.1 幾何性能指標

為了評價新構建的變截面渦旋型線的幾何性能，引入一個等截面渦旋型線進行對比，等截面型線以基圓漸開線作為母線，使其與變截面型線具有相同的基圓半徑、齒高、最終展角等幾何參數。為了定量說明IHV組合型線的幾何性能，引入行程容積、徑向泄漏線長度和內容積比進行定量分析。

渦旋壓縮機工作原理為由動、靜渦旋齒相互嚙合形成多個封閉腔體，圖8示出動、靜渦旋齒嚙合模型，由外向內依次為第三壓縮腔、第二壓縮腔和中心工作腔（排氣腔），分別用③、②、①來表示。行程容積是反應渦旋壓縮機容積特性的一個重要參數，規(guī)定當θ=0時，最外圈齒尾處工作腔封閉，此時最外側工作腔容積為行程容積即第三壓縮腔容積 V3（θ）。

圖8 動、靜渦旋齒嚙合Fig.8 Meshing diagram of orbiting and fixed scroll teeth

式中 H ——渦旋齒高度；

θ ——曲軸轉角。

渦旋壓縮機泄漏是影響其工作效率的一個重要因素，而由于軸向間隙所產生的徑向泄漏是其主要泄漏，所以縮短泄漏線長度是提高其效率的重要方法。渦旋型線母線長度可近似作為渦旋壓縮機徑向泄漏線長度。

按理想氣體無泄漏壓縮過程，壓縮過程按絕熱過程，壓縮比定義為：

式中κ為氣體等熵指數，文中取值為1.19。

3.2 幾何性能分析

IHV渦旋型線末端由變徑基圓漸開線組成，變徑系數變化對變徑基圓漸開線的性能會產生影響，因此，討論變徑系數對型線性能的影響。結果如表1所示。結果表明，當變徑系數K為零時，構建的型線為常見的圓漸開線-高次曲線-圓漸開線（簡稱IHI）組合型線；以IHI型線為基準，其他幾何參數保持不變，當K由0增至0.05時，行程容積和壓縮比分別提高6.57%和7.85%；當K由0減至-0.02時，行程容積和壓縮比分別降低2.63%和3.14%。

表1 不同變徑系數K下IHV型線性能比較Tab.1 Performance comparison of IHV combined line under different coefficients K of variable radii involute

將新構建的IHV型線與傳統(tǒng)基圓漸開線型線對比，變徑系數K=0.05時，結果見表2。表中變化量表示各個指標的變化值。從表中可看出，IHV變截面型線與圓漸開線相比，行程容積和壓縮比均有所提高，分別提高5.82%，6.95%，徑向泄漏線長度縮短了26.80%。

表2 不同類型型線性能對比Tab.2 Performance comparison of different scroll profiles

4 結論

（1）根據微分幾何理論構建了基圓漸開線-高次曲線-變徑基圓漸開線（IHV）新型變截面渦旋型線，確定了組合型線母線方程，基于法向等距線法建立了動、靜渦旋齒型線數學模型。

（2）建立了IHV變截面型線渦旋齒等效齒厚計算模型，研究發(fā)現：等效齒厚隨著基圓半徑增大而增加，高次曲線段齒厚變化快且增幅較大，變徑基圓漸開線段齒厚呈線性變化；等效齒厚隨變徑系數取值不同有所不同增減變化規(guī)律；最大齒厚隨連接點漸開角φ1的增大顯著增加，隨漸開角φ2增大而減小。

（3）當變徑系數K=0.05時，IHV型線與基圓漸開線構成的等截面型線相比較，行程容積增大5.82%，壓縮比增加6.95%，徑向泄漏線長度縮短26.80%；與常見的IHI變截面型線相比，行程容積和壓縮比分別提高6.57%，7.85%。