王忠鋮 楊 娜

( 北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)風(fēng)工程與城市風(fēng)環(huán)境北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100044)

木材的長(zhǎng)期承載能力遠(yuǎn)低于暫時(shí)承載能力，在長(zhǎng)期荷載作用下，木材會(huì)發(fā)生纖維等速蠕滑,累積后產(chǎn)生較大變形，強(qiáng)度降低，且施加荷載越大，木材從受荷開(kāi)始至破壞的時(shí)間越短(龍衛(wèi)國(guó)， 2005)。20世紀(jì)50—80年代，國(guó)外學(xué)者對(duì)木材長(zhǎng)期強(qiáng)度進(jìn)行了大量試驗(yàn)研究(Brokawetal.， 1952； Youngsetal.， 1963； James， 1968； Mcnatt， 1975； Strickleretal.， 1976)，基于金屬疲勞破壞的Miners準(zhǔn)則(Schijve， 2014)提出一種線性累積損傷理論，用以解釋木材長(zhǎng)期受荷作用下強(qiáng)度降低的現(xiàn)象(Gerhards， 1979)，即Gerhards模型：

(1)

式中：σ(t)為外應(yīng)力；fs為木材靜力強(qiáng)度；α為損傷累積量，其變化范圍為[0，1]，α=0表示木材無(wú)損傷，α=1表示木材失效；A、B為待擬合參數(shù)。

Gerhards模型形式簡(jiǎn)單，以往眾多木材長(zhǎng)期受荷性能研究均以該模型為基礎(chǔ)(Fridleyetal.， 1989； 1990； 1991； Kuilen， 2007； 李瑜， 2008； Srensenetal.， 2005； 瞿偉廉等， 2008； Qinetal.， 2017； Wangetal.， 2019)； 然而，所有基于Gerhards模型的木材壽命預(yù)測(cè)研究，均普遍存在模型參數(shù)選取問(wèn)題，Gerhards模型是一個(gè)指數(shù)形式的函數(shù)，參數(shù)的微小差異會(huì)導(dǎo)致壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的巨大差別(Wangetal.， 2019)。

鑒于此，本研究分析木材長(zhǎng)期壽命預(yù)測(cè)中常用Gerhards模型的適用性，探討參數(shù)選取對(duì)不同加載工況下模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，同時(shí)針對(duì)木材壽命預(yù)測(cè)中預(yù)測(cè)值大于真實(shí)值的問(wèn)題，提出一種基于Gerhards模型的區(qū)間預(yù)測(cè)模型分析方法，以期為進(jìn)一步提高木材長(zhǎng)期壽命預(yù)測(cè)精度提供理論依據(jù)。

1 Gerhards模型的適用性分析

1.1 Gerhards模型與Gerhards試驗(yàn)對(duì)比

Gerhards模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式最早由Gerhards(1979)提出，隨后其開(kāi)展了包含6種工況的北美花旗松(Pseudotsugamenziesii)四點(diǎn)彎曲線性加載和恒定加載試驗(yàn)(Gerhards試驗(yàn))(Gerhardsetal.， 1987)，木材試樣橫截面尺寸約50 mm×100 mm(寬×高)，跨度約2 100 mm，試驗(yàn)期間環(huán)境溫度24 ℃，相對(duì)濕度55%，各試驗(yàn)加載工況見(jiàn)表1。

表1 Gerhards試驗(yàn)的加載工況①Tab.1 Loading conditions of Gerhards’s experiment

Gerhards試驗(yàn)獲得了不同線性加載速率和恒定加載量級(jí)下的木材破壞時(shí)間，對(duì)不同加載工況進(jìn)行組合，共擬合得到8組Gerhards模型參數(shù)A和B，見(jiàn)表2。

表2 Gerhards模型的8組模型參數(shù)①Tab.2 8 sets of model parameters of Gerhards model

Gerhards模型參數(shù)擬合自Gerhards試驗(yàn)數(shù)據(jù)，由于各模型參數(shù)源于不同加載工況組合，因此本研究首先分析Gerhards模型在預(yù)測(cè)Gerhards試驗(yàn)6種工況時(shí)的適用性。

對(duì)式(1)積分，可推導(dǎo)出木材破壞時(shí)間FD(failure duration)(min)與線性加載速度k(N·min-1)或恒定應(yīng)力水平SL(stress level)的關(guān)系：

(2)

FDc=exp(A-B·SL)。

(3)

式中：P為單位換算系數(shù)，P=3 168.89； FDr、FDc分別為線性加載和恒定加載木材破壞時(shí)間。

將8組Gerhards模型參數(shù)代入式(2)和(3)，計(jì)算出各模型對(duì)各工況試樣破壞時(shí)間的預(yù)測(cè)值見(jiàn)表3，其中各工況下試樣破壞時(shí)間的中位數(shù)參考Gerhards等(1987)。

表3 Gerhards試驗(yàn)中試樣破壞時(shí)間中位數(shù)與各模型預(yù)測(cè)值對(duì)比Tab.3 Comparison between actual median failure time of Gerhards’s experiment and predicted failure time

由表3可知，8組Gerhards模型在預(yù)測(cè)線性加載的3種工況時(shí)，各模型預(yù)測(cè)值接近，且與試驗(yàn)值偏差較小。對(duì)于工況1，模型預(yù)測(cè)誤差的最小值和最大值分別為1.92%(G-8)和27.92%(G-1)； 對(duì)于工況2，模型預(yù)測(cè)誤差的最小值和最大值分別為2.28%(G-3)和7.17%(G-7)； 對(duì)于工況3，模型預(yù)測(cè)誤差的最小值和最大值分別為0.33%(G-5)和3.09%(G-4)。8組Gerhards模型在預(yù)測(cè)恒定加載的3種工況時(shí)，各模型預(yù)測(cè)精度普遍低于線性加載工況。對(duì)于工況4，模型預(yù)測(cè)誤差的最小值和最大值分別為30.80%(G-6)和2 184.00%(G-1)； 對(duì)于工況5，模型預(yù)測(cè)誤差的最小值和最大值分別為31.81%(G-1)和91.60%(G-7)； 對(duì)于工況6，模型預(yù)測(cè)誤差的最小值和最大值分別為16.93%(G-1)和8 790.70%(G-8)。由此可見(jiàn)，與線性加載工況相比，恒定加載工況下各模型預(yù)測(cè)值間差別較大，且個(gè)別模型預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值差異極大。這是因?yàn)镚erhards模型在預(yù)測(cè)線性加載工況時(shí)，F(xiàn)D與k為乘積關(guān)系(式2)，而在預(yù)測(cè)恒定荷載工況時(shí)，F(xiàn)D與SL為指數(shù)關(guān)系(式3)，參數(shù)的微小差異會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的巨大差別。實(shí)際服役過(guò)程中，木結(jié)構(gòu)主要承受恒定荷載，因此基于Gerhards模型預(yù)測(cè)木材壽命前，必須明確各模型的適用范圍，否則會(huì)使木材壽命預(yù)測(cè)值遠(yuǎn)大于真實(shí)值，預(yù)測(cè)結(jié)果偏于危險(xiǎn)。

1.2 Gerhards模型與恒定荷載試驗(yàn)對(duì)比

木結(jié)構(gòu)構(gòu)件所受SL普遍較小，構(gòu)件壽命往往相對(duì)較長(zhǎng)。本研究選取同樣為長(zhǎng)期恒定荷載的2類(lèi)針葉材試驗(yàn)，即Wood和Hoffmeyer試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比(Wood， 1951； Hoffmeyeretal.， 2007)，以分析Gerhards模型在木材長(zhǎng)期壽命預(yù)測(cè)中的適用性。

Wood試驗(yàn)為抗彎試驗(yàn)，用材為北美花旗松，試樣橫截面尺寸約50 mm×50 mm(寬×高)，含水率為6%和12%，SL介于60%～95%之間； Hoffmeyer試驗(yàn)同樣為抗彎試樣，用材為歐洲云杉(Piceaabies)，試樣尺寸約1 800 mm×44 mm×95 mm(長(zhǎng)×寬×高)，含水率為11%和20%，SL介于55%～105%之間。2類(lèi)木材的基本物理力學(xué)性質(zhì)見(jiàn)表4(龍衛(wèi)國(guó)， 2005)。

表4 長(zhǎng)期受荷試驗(yàn)用2類(lèi)針葉材的物理力學(xué)性質(zhì)參考值Tab.4 Reference value of the physical and mechanical properties of the softwood used in the long-term load test

將8組Gerhards模型與Wood和Hoffmeyer試驗(yàn)數(shù)據(jù)在“SL-lgFD”坐標(biāo)系下對(duì)比，以反映預(yù)測(cè)曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系(Wangetal.， 2019)，見(jiàn)圖1。

圖1 Gerhards模型與恒定載荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig. 1 Comparison between Gerhards model and constant experimental data

由圖1可知，除G-1模型外，其余模型均能較好穿過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，模型對(duì)試驗(yàn)值預(yù)測(cè)較好。對(duì)于G-1模型，當(dāng)SL大于80%時(shí)，模型預(yù)測(cè)的破壞時(shí)間普遍大于試驗(yàn)值； 當(dāng)SL小于80%時(shí)，模型預(yù)測(cè)的破壞時(shí)間普遍小于試驗(yàn)值。

為了量化各模型預(yù)測(cè)效果優(yōu)劣，計(jì)算各模型對(duì)SL預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的均方誤差(mean square error，MSE)：

(4)

式中：xi為預(yù)測(cè)值；μ為試驗(yàn)值；n為試驗(yàn)數(shù)據(jù)總樣本量。

各模型預(yù)測(cè)效果的均方誤差見(jiàn)表5，其中Wood試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)值之間的均方誤差參考Wang等(2019)。

表5 各模型對(duì)SL預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的均方誤差Tab.5 MSEs between predicted and experimental SLs

由表5可知，對(duì)于Wood長(zhǎng)期恒定載荷試驗(yàn)，G-5—G-8模型預(yù)測(cè)效果較好，G-2—G-4模型預(yù)測(cè)效果較差，G-1模型預(yù)測(cè)效果最差； 對(duì)于Hoffmeyer長(zhǎng)期恒定載荷試驗(yàn)，G-6—G-7模型預(yù)測(cè)效果較好，G-2—G-5和G-8模型預(yù)測(cè)效果較差，G-1模型預(yù)測(cè)效果最差。出現(xiàn)這種差異的原因在于各模型加載工況與被預(yù)測(cè)對(duì)象加載工況的相似程度。以Wood試驗(yàn)為例，表6對(duì)比了Gerhards與Wood試驗(yàn)中相似SL下試樣破壞時(shí)間。

表6 Gerhards與Wood試驗(yàn)中相似SL下試樣破壞時(shí)間對(duì)比Tab.6 Comparison of median failure time under similar SL between Gerhards’s and Wood’s experiments

由表6可知，對(duì)于Gerhards試驗(yàn)工況6，試樣破壞時(shí)間中位數(shù)與Wood試驗(yàn)中相似SL下試樣破壞時(shí)間中位數(shù)差異極大； 而對(duì)于工況4、5，差異則相對(duì)較小。由此可見(jiàn)，在預(yù)測(cè)Wood試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，Gerhards模型中工況6數(shù)據(jù)占比越大，模型預(yù)測(cè)精度越低，因此G-1—G-4模型的預(yù)測(cè)效果劣于G-5—G-8模型。同理可分析Gerhards模型對(duì)Hoffmeyer試驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果優(yōu)劣的原因。

綜上所述，當(dāng)木材試樣為承受SL介于60%～95%的北美花旗松時(shí)，建議采用G-6模型進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)； 當(dāng)木材試樣為承受SL介于55%～105%的歐洲云杉時(shí)，建議采用G-7模型進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)； 當(dāng)木材試樣承受SL小于50%時(shí)，建議采用G-1模型進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)。有研究曾對(duì)比8類(lèi)木材【花旗松及其膠合木、臺(tái)灣柏(Juniperusformosana)、日本柳杉(Cryptomeriajaponica)、北美云杉(Piceasitchensis)、樺木(Betulaspp.)、楓木(Acerspp.)、圓果桉(Eucalyptuspilularis)，前5類(lèi)屬于針葉材，后3類(lèi)屬于闊葉材】試樣持續(xù)受荷試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，盡管樹(shù)種、截面尺寸和含水率不同，但木材壽命與SL有很好的一致性(Pearson， 1972； 樊承謀等， 2008)。因此，當(dāng)被預(yù)測(cè)木材樹(shù)種、尺寸和含水率與本研究分析使用的北美花旗松和歐洲云杉木試樣不同時(shí)，Gerhards模型預(yù)測(cè)值仍可作為參考。

2 基于Gerhards模型的SLC區(qū)間預(yù)測(cè)模型分析方法

由上述分析可知，當(dāng)預(yù)測(cè)模型所用數(shù)據(jù)的加載工況與被預(yù)測(cè)對(duì)象的受荷工況相似時(shí)，模型具有較好預(yù)測(cè)效果，本研究稱(chēng)這類(lèi)基于相似工況試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的模型為SLC(similar loading condition)模型。由圖1可知，雖然Gerhards模型曲線穿過(guò)Wood和Hoffmeyer試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)圍成的區(qū)域，但仍有相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)據(jù)位于曲線左下方，即模型預(yù)測(cè)的試樣破壞時(shí)間極有可能大于試樣實(shí)際破壞時(shí)間，這對(duì)于木材壽命預(yù)測(cè)是偏危險(xiǎn)的。鑒于此，本研究提出一種基于Gerhards模型的SLC區(qū)間預(yù)測(cè)模型分析方法，以改進(jìn)木材長(zhǎng)期壽命預(yù)測(cè)精度。

(5)

上述統(tǒng)計(jì)量匯總于表7。

表7 Wood恒定載荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量Tab.7 Statistics of Wood’s experimental data

由式(3)可知，木材受恒定載荷時(shí)SL與FD存在以下關(guān)系：

SL=m-n·lnFD。

(6)

式中：m和n為待擬合參數(shù)。

由圖2可知，藍(lán)色虛線包絡(luò)區(qū)域?yàn)椴捎蒙?、下限模型得到的壽命預(yù)測(cè)區(qū)間，因經(jīng)過(guò)一次由lnFD到FD的計(jì)算，區(qū)間過(guò)度向均值模型曲線靠攏，導(dǎo)致仍有大量試驗(yàn)點(diǎn)落在區(qū)間外。

圖2 基于Wood試驗(yàn)數(shù)據(jù)的區(qū)間預(yù)測(cè)模型Fig. 2 Interval prediction model based on Wood’s experimental data

以上2類(lèi)區(qū)間模型表達(dá)式中的m、n統(tǒng)計(jì)于表8。

表8 基于Wood試驗(yàn)數(shù)據(jù)的2類(lèi)區(qū)間預(yù)測(cè)模型參數(shù)對(duì)比Tab.8 Comparison of parameters of two interval prediction model based on Wood’s experimental data

由圖2和表8可知，均值模型與中位數(shù)模型十分接近，說(shuō)明T分布模型與分位數(shù)模型相對(duì)于試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置近乎同心，只是包絡(luò)寬度不同，使用分位數(shù)模型可使絕大部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)落在區(qū)間模型內(nèi)，從而避免壽命預(yù)測(cè)值大于真實(shí)值。因此，對(duì)于相似受荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況，在木材壽命預(yù)測(cè)時(shí)建議參考本研究提出的基于Gerhards模型的SLC區(qū)間預(yù)測(cè)模型分析方法，以提高木材壽命預(yù)測(cè)精度。

3 結(jié)論

1) 不同工況組合擬合得到的模型具有不同適用范圍，不加區(qū)分地應(yīng)用模型會(huì)使木材壽命預(yù)測(cè)精度大幅降低。以對(duì)Gerhards試驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果為例，各Gerhards模型對(duì)線性加載工況下木材壽命預(yù)測(cè)值較為接近，預(yù)測(cè)結(jié)果較為精確，預(yù)測(cè)誤差介于0.33%～27.92%之間； 各Gerhards模型對(duì)恒定荷載工況下木材壽命預(yù)測(cè)值差異較大，預(yù)測(cè)精度較差，預(yù)測(cè)誤差介于16.93%～8 790.70%之間。

2) G-6模型適用于SL介于60%～95%的北美花旗松壽命預(yù)測(cè)，G-7模型適用于SL介于55%～105%的歐洲云杉?jí)勖A(yù)測(cè)，SL小于50%建議采用G-1模型進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)。當(dāng)被預(yù)測(cè)木材樹(shù)種、尺寸和含水率與本研究分析使用試樣不同時(shí)，Gerhards模型預(yù)測(cè)值仍可作為參考。

3) 當(dāng)預(yù)測(cè)模型所用數(shù)據(jù)加載工況與被預(yù)測(cè)對(duì)象受荷工況相似時(shí)，模型具有較好預(yù)測(cè)效果。SLC區(qū)間預(yù)測(cè)模型可有效避免模型預(yù)測(cè)壽命大于木材實(shí)際壽命的問(wèn)題，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)分位數(shù)擬合的預(yù)測(cè)模型較基于T分布假設(shè)擬合的預(yù)測(cè)模型涵蓋更多試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

需要注意的是，木材是一種生物建材，與其他常用建筑材料相比，木材力學(xué)性能的離散性相對(duì)較大，因此，木材力學(xué)性能本身差異同樣可能導(dǎo)致Gerhards模型預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值之間的差異。此外，本研究采用的試驗(yàn)數(shù)據(jù)均為隔離環(huán)境因素影響的北美花旗松和歐洲云杉實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)，模型預(yù)測(cè)值較真實(shí)環(huán)境中的木材壽命可能存在一定偏差，但對(duì)受環(huán)境影響較小的室內(nèi)木結(jié)構(gòu)木材壽命預(yù)測(cè)仍具有一定參考價(jià)值。更進(jìn)一步地精確預(yù)測(cè)木材壽命，可在本研究分析Gerhards模型的基礎(chǔ)上考慮各種環(huán)境因素的影響，或直接采用SLC區(qū)間模型分析方法對(duì)包含環(huán)境因素影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，進(jìn)而得到更為精確預(yù)測(cè)真實(shí)環(huán)境中木材壽命的模型。