劉子平， 孫俊

(清華大學 核能與新能源技術(shù)研究院， 北京 100084)

復合材料廣泛運用于能源工業(yè)領(lǐng)域，通常由兩相或者多相材料混合而成。由于復合材料幾何結(jié)構(gòu)復雜，在對其進行傳熱分析時存在一定的困難，因此通常采用等效均勻化方法將復合材料看作具有等效導熱系數(shù)的均勻材料進行分析。常規(guī)的復合材料不含內(nèi)熱源，通過在邊界上施加熱流，通過保證等效前后的熱流一致來研究等效導熱系數(shù)，比較經(jīng)典的模型包括熱阻串并聯(lián)模型[1]、Maxwell模型[2]等。在電容器、航天器、太陽能熱存儲、核反應堆、鈾礦的開采、煤的堆放等[3-6]特殊場景中，也存在大量復雜的復合材料傳熱問題。由于含有內(nèi)熱源，復合材料內(nèi)的熱流分布規(guī)律不同于僅有外加熱流的情況，傳統(tǒng)基于外加熱流得到的等效導熱系數(shù)模型可能不再適用于含內(nèi)熱源復合材料的傳熱分析[7]，需要深入研究內(nèi)熱源對熱流分布的影響，重新選取等效前后的守恒量來研究等效導熱系數(shù)[8]。文獻[9-11]通過數(shù)值的手段計算了含內(nèi)熱源復合材料的等效導熱系數(shù)，將復合材料的最高溫度或平均溫度作為等效前后的守恒量，計算得到了預測最高溫度或平均溫度的等效導熱系數(shù)結(jié)果，說明了含內(nèi)熱源時的等效導熱系數(shù)不同于無內(nèi)熱源時的傳統(tǒng)等效導熱系數(shù)模型。采用等效導熱系數(shù)預測最高溫度可用于研究核反應堆中的熱點，與安全性相關(guān)；采用等效導熱系數(shù)預測平均溫度可用于計算核反應截面，用于反應堆物理熱工耦合計算和設計分析。數(shù)值分析方法可針對特定工況開展含內(nèi)熱源復合材料的等效導熱系數(shù)研究，對于影響等效導熱系數(shù)的規(guī)律研究還比較少，理論模型研究還不充分。

為建立復雜的核燃料[12-13]等效導熱系數(shù)模型，本文從幾何結(jié)構(gòu)較為簡單的無限大復合平板入手，采用格林函數(shù)法[14]的思想，推導得到了發(fā)熱材料均勻分布時的復合平板等效導熱系數(shù)理論模型，可用于預測含內(nèi)熱源復合平板的平均溫度。通過與不含內(nèi)熱源時的熱阻串聯(lián)模型進行對比，說明內(nèi)熱源存在時等效導熱系數(shù)的特殊性及影響因素。

1 發(fā)熱板均勻分布的復合平板

本文研究的無限大復合平板如圖1所示黑色部分是發(fā)熱彌散板，白色部分是基體板。

圖1 無限大復合平板Fig.1 Infinite composite plate

無限大復合平板由兩相材料組成，其中，彌散相為同一種材料，分布在圖1中的黑色區(qū)域，寬度一致、熱源大小相同，另一相材料為基體相。無限大復合平板可在厚度方向建立一維坐標，坐標原點取為平板中心處，板厚為δ，左端和右端邊界分別為-δ/2和δ/2。彌散在平板中的發(fā)熱板有n塊，寬度均為x0，發(fā)熱板中心的坐標從左至右依次為x1，x2，…，xn，每個發(fā)熱板的熱源功率線密度均為φ。為簡化起見，發(fā)熱板的導熱系數(shù)λ1和基體的導熱系數(shù)λ2均認為與溫度無關(guān)。

發(fā)熱板均勻分布在復合平板內(nèi)，即：相鄰發(fā)熱板的中心間距均相等，且所有發(fā)熱板間基體材料的寬度相等，任意選取2塊發(fā)熱板為例，如圖2所示。

圖2 發(fā)熱板均勻分布的復合平板Fig.2 Composite plate with evenly distributed heating plates

相鄰2塊發(fā)熱板之間基體材料的寬度Δ為：

(1)

相鄰2塊發(fā)熱板的中心間距為：

(2)

2 等效導熱系數(shù)的推導

本節(jié)主要推導復合平板的等效導熱系數(shù)，關(guān)注不含內(nèi)熱源情況下的復合平板在外加熱流條件下的等效導熱系數(shù)模型，并討論含內(nèi)熱源復合平板的等效導熱系數(shù)。

2.1 無內(nèi)熱源

針對圖1所示的無限大復合平板模型，當彌散板不發(fā)熱時即為常規(guī)的復合平板，將復合平板中的不同材料等效成一種材料，同時保證等效前后的邊界條件不變，取復合平板的等效導熱系數(shù)為λe，等效過程如圖3所示陰影部分是不發(fā)熱的彌散板。

圖3 復合平板等效示意Fig.3 Equivalence of composite plate

在復合平板上施加熱流q，邊界溫度分別為t1和t2(t2>t1)，由于熱流q在截面上處處相等，基于傅里葉導熱定律以及熱阻的概念，q為：

(3)

式(3)化簡可得：

(4)

令每個彌散板的無量綱尺寸μ為：

(5)

則復合材料中彌散材料的填充率φ為：

(6)

填充率是指彌散相材料的寬度占總復合平板寬度的份額。同時，令無量綱導熱系數(shù)κ為：

(7)

則式(4)可化簡為：

(8)

等效導熱系數(shù)模型與經(jīng)典的熱阻串聯(lián)模型一致，等效導熱系數(shù)的大小與材料的填充率及其材料導熱系數(shù)有關(guān)。

2.2 有內(nèi)熱源

同樣對于圖1所示的復合平板，如果彌散板含內(nèi)熱源，幾何均勻化的方法一致，將不同材料等效成一種材料，同時，熱源也需要進行均勻化，可按照總熱源不變的原則將熱源均勻分布到復合平板上，同時保證等效前后的邊界條件不變，簡單起見，邊界溫度均設為t0，含內(nèi)熱源復合平板的等效過程如圖4所示。

圖4 含內(nèi)熱源復合平板等效示意Fig.4 Equivalence of composite plate with inner heat source

由于復合平板內(nèi)部含分布式內(nèi)熱源，不同位置處的熱流不再處處相等，與圖3中不含內(nèi)熱源的情況不同，因此，不能采用熱阻法直接得到等效導熱系數(shù)，需要建立能量守恒方程重新推導。等效過程中，選取平均溫度作為守恒量。如圖4所示，等效后平板的等效導熱系數(shù)λe,s，線功率密度減小為φφ，邊界溫度維持不變?yōu)閠0，控制方程為：

(9)

容易求得其溫度分布為：

(10)

對整個平板上的溫度分布進行幾何平均，得到其平均溫度為：

(11)

化簡得到可預測復合平板平均溫度的等效導熱系數(shù)為：

(12)

由式(12)可知，獲得復合平板的平均溫度，即可得到其等效導熱系數(shù)。

針對圖1所示復合平板模型，可以分別建立基體材料和彌散發(fā)熱材料各個部分的控制方程，從左至右依次為：

(13)

根據(jù)邊界條件，以及發(fā)熱彌散相和基體相材料界面處的熱流和溫度連續(xù)條件，可以逐一求解方程并聯(lián)立解得整個復合平板的溫度分布，通過沿x方向上的幾何平均，即可得到復合平板的平均溫度。

本文從另外一種思路來求解。根據(jù)格林函數(shù)法，含分布式內(nèi)熱源復合材料的溫度場等于每個熱源以及邊界條件單獨作用時溫度場的疊加。以含3塊發(fā)熱板的復合平板為例進行說明，如圖5所示，陰影部分是不發(fā)熱時的彌散板，黑色部分是發(fā)熱的彌散板。因此，求解整個含內(nèi)熱源復合平板溫度分布的問題可以轉(zhuǎn)化為先求解某一塊彌散板帶內(nèi)熱源時的溫度分布，然后再將所有彌散板單獨發(fā)熱時的溫度分布進行疊加。

圖5 含內(nèi)熱源復合平板疊加等效示意Fig.5 Additive process of inner heat sources in composite plate

對于含多塊彌散材料的復合平板，當僅有一塊彌散板發(fā)熱時，可分解為3個部分，對于該發(fā)熱板兩側(cè)的部分，可以分別看作是無內(nèi)熱源的復合平板，仍然可以利用熱阻串聯(lián)模型分析，對于發(fā)熱板可單獨求解含內(nèi)熱源的控制方程，其等效過程和思路如圖6所示。該復合平板的溫度分布示意如圖7所示。

圖6 只有一塊彌散板發(fā)熱的復合平板的等效Fig.6 Equivalence of composite plate with one heating dispersion plate

圖7 一塊彌散板發(fā)熱的復合平板的溫度分布示意Fig.7 Temperature distribution of composite plate with one heating dispersion plate

假設發(fā)熱板中心坐標為xi，則發(fā)熱板左側(cè)和右側(cè)的彌散板個數(shù)分別為nl和nr，共有n-1塊，數(shù)量多少與左右兩側(cè)的厚度成正比，具體為：

nl+nr=n-1

(14)

(15)

求解得到：

(16)

(17)

同時，發(fā)熱板左右兩部分的彌散板填充率為：

(18)

(19)

參考式(8)的熱阻串聯(lián)模型，結(jié)合式(18)和式(19)，即可得到發(fā)熱板左右兩端復合平板等效導熱系數(shù)λe,l、λe,r。此時可以列出拼接板的溫度分布控制方程：

(20)

當邊界溫度為0，根據(jù)3部分界面處的溫度和熱流連續(xù)條件，可以解得拼接板的溫度分布：

(21)

式中：

(22)

將溫度分布在復合平板的厚度上進行積分并取幾何平均，化簡即得到一塊彌散板發(fā)熱時的平均溫度為：

(23)

由式(23)可以看出，只有一塊彌散板發(fā)熱時的復合平板平均溫度與總彌散板的塊數(shù)、兩相材料的導熱系數(shù)、彌散板和復合平板的寬度以及熱源的位置有關(guān)。

根據(jù)疊加原理，含分布式內(nèi)熱源復合平板的平均溫度等于每塊彌散板單獨發(fā)熱時的平均溫度以及邊界條件t0的疊加，基于式(23)可以得到完整復合平板的平均溫度為：

(24)

由于發(fā)熱彌散板為均勻分布，結(jié)合式(1)和式(2)，則所有發(fā)熱板中心位置坐標平方的求和為：

(25)

將式(25)代入式(24)化簡后得到：

(26)

進一步將式(26)代入式(12)，化簡后可得含內(nèi)熱源復合平板等效導熱系數(shù)的無量綱形式：

(27)

由式(27)可知，預測含內(nèi)熱源復合平板平均溫度的等效導熱系數(shù)模型，與不含內(nèi)熱源時復合平板的等效導熱系數(shù)模型式(8)，有較大差異。含內(nèi)熱源時，等效導熱系數(shù)的表達式更加復雜，不僅與材料導熱系數(shù)相關(guān)，還與熱源的幾何尺寸μ和數(shù)量n分別相關(guān)，體現(xiàn)一定的分布效應，主要來自分布式熱源的影響。而在式(8)無內(nèi)熱源的等效導熱系數(shù)模型中，彌散材料的影響則體現(xiàn)出整體性，與彌散材料的填充率(即數(shù)量與尺寸的乘積)相關(guān)，主要由彌散材料的幾何比例決定。

同時，從式(27)可以看出，即使內(nèi)熱源的存在顯著改變了平均溫度及其等效導熱系數(shù)規(guī)律，但內(nèi)熱源的大小沒有直接影響等效導熱系數(shù)模型中。

3 結(jié)論

1)內(nèi)熱源的存在改變了復合材料中的熱流分布，其等效導熱系數(shù)的研究不應再選擇熱流作為守恒量，可選擇平均溫度作為守恒量。

2)預測含內(nèi)熱源復合平板平均溫度的等效導熱系數(shù)模型與兩相材料導熱系數(shù)大小、發(fā)熱材料數(shù)量、發(fā)熱材料相對尺寸，即熱源的分布情況相關(guān)，與熱源的絕對大小無關(guān)。

本文提出了研究含內(nèi)熱源復合材料等效導熱系數(shù)的初步思路和方法，為今后研究內(nèi)熱源分布更為復雜的傳熱問題(如內(nèi)熱源分布非均勻、顆粒彌散型燃料球)奠定了基礎。