馬季， 郝琛， 謝曉芹， 生義

(1.哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對(duì)某些堆芯關(guān)鍵參數(shù)(如功率分布)的不確定性分析需要采用抽樣統(tǒng)計(jì)的方法，不可避免地需要進(jìn)行大量重復(fù)計(jì)算，使得分析過(guò)程面臨計(jì)算量巨大、耗時(shí)很長(zhǎng)的問(wèn)題，需要得到精確不確定性分析結(jié)果的同時(shí)減少計(jì)算量。作為人工智能的核心，機(jī)器學(xué)習(xí)在近幾年來(lái)得到了迅速的發(fā)展，眾多成果已用到反應(yīng)堆工程計(jì)算領(lǐng)域，其中以機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型替代數(shù)值求解過(guò)程[1-3]及經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)[4-5]的應(yīng)用最廣泛。其優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)分析輸入數(shù)據(jù)與輸出參數(shù)的關(guān)系訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型，訓(xùn)練后的模型在給定輸入?yún)?shù)后可快速得到目標(biāo)輸出參數(shù)。當(dāng)實(shí)際計(jì)算過(guò)程所需的計(jì)算代價(jià)較大時(shí)，采用訓(xùn)練完備的機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型替代傳統(tǒng)計(jì)算過(guò)程，可以獲得精度和效率的雙重收益。采用高保真技術(shù)的反應(yīng)堆精細(xì)化中子輸運(yùn)計(jì)算由于能群、計(jì)算網(wǎng)格劃分更加精細(xì)，需要較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，基于抽樣統(tǒng)計(jì)方法使用此計(jì)算工具開(kāi)展針對(duì)堆芯關(guān)鍵參數(shù)的不確定性分析必然會(huì)耗費(fèi)不可接受的計(jì)算時(shí)間。因此采用機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型替代精細(xì)化中子輸運(yùn)計(jì)算以實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步不確定性分析是解決上述問(wèn)題的一種可行方案。

本文開(kāi)展了通過(guò)訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型替代精細(xì)化中子輸運(yùn)計(jì)算的方法研究及分析，以實(shí)現(xiàn)對(duì)堆芯關(guān)鍵參數(shù)的準(zhǔn)確、快速預(yù)測(cè)。構(gòu)建2D、3D C5G7基準(zhǔn)算例預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)以宏觀核截面為輸入的堆芯有效增殖因子預(yù)測(cè)；以C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題宏觀核截面及瞬態(tài)參數(shù)為輸入的全局功率、全局反應(yīng)性、中子代時(shí)間和緩發(fā)中子份額預(yù)測(cè)。同時(shí)，選擇平均絕對(duì)誤差、平均標(biāo)準(zhǔn)誤差及方差偏離矩陣為評(píng)價(jià)指標(biāo)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果。從計(jì)算精度、計(jì)算時(shí)間2個(gè)角度對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，同時(shí)從訓(xùn)練樣本數(shù)目及機(jī)器學(xué)習(xí)模型2個(gè)角度分析預(yù)測(cè)效果的影響因素。

1 集成學(xué)習(xí)模型及評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文建立的預(yù)測(cè)模型為集成學(xué)習(xí)模型，即通過(guò)構(gòu)建、結(jié)合多個(gè)學(xué)習(xí)器來(lái)完成學(xué)習(xí)任務(wù)，以達(dá)到預(yù)測(cè)能力和魯棒性明顯優(yōu)于單一學(xué)習(xí)器的學(xué)習(xí)性能。

1.1 集成學(xué)習(xí)模型-堆疊法

堆疊法[6]是一種分層模型集成學(xué)習(xí)框架。以2層堆疊為例，第1層由多個(gè)基學(xué)習(xí)器組成，它的輸入為原始訓(xùn)練集，每個(gè)基學(xué)習(xí)器進(jìn)行K折訓(xùn)練；第2層模型以第1層基學(xué)習(xí)器的輸出作為訓(xùn)練集進(jìn)行再訓(xùn)練，最終得到完整的堆疊法模型。圖1為單個(gè)基學(xué)習(xí)器采用5折交叉驗(yàn)證的堆疊法模型示意圖，簡(jiǎn)要過(guò)程為：

圖1 堆疊法示意Fig.1 Sketch map of stacking framework

1) 使用一個(gè)基礎(chǔ)模型作為Model進(jìn)行5折交叉驗(yàn)證，5折交叉驗(yàn)證的含義為取4折作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，另外1折作為測(cè)試數(shù)據(jù)。交叉驗(yàn)證過(guò)程為：基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)模型，隨后基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練生成的模型對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。在第1次交叉驗(yàn)證完成后會(huì)得到關(guān)于當(dāng)前測(cè)試數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，記為a1；

2) 對(duì)數(shù)據(jù)集自身的測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)得到預(yù)測(cè)值，這部分預(yù)測(cè)值將作為第2層模型測(cè)試數(shù)據(jù)的一部分，記為b1。5折交叉驗(yàn)證即為將以上過(guò)程實(shí)施5次，最終生成針對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)a1、a2、a3、a4、a5，對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果為數(shù)據(jù)b1、b2、b3、b4、b5。

3) 在完成對(duì)Model1的整個(gè)步驟之后，得到的a1、a2、a3、a4、a5，即為對(duì)整個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，將它們的組合記為矩陣A1；將b1、b2、b3、b4、b5相加取平均值，得到矩陣B1。則A1即為第2層模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，B1為第2層模型的測(cè)試數(shù)據(jù)。

以上為單個(gè)基學(xué)習(xí)器的stacking模型實(shí)施流程，通常情況下stacking模型的第1層包含多個(gè)基學(xué)習(xí)器，即可能存在Model2至ModelN，對(duì)于這些模型可重復(fù)以上步驟，在整個(gè)流程結(jié)束之后將得到A2,A3，…,AN,B2,B3，…,BN矩陣，隨后將A2,A3，…,AN合并為N列的矩陣作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，B2,B3，…,BN合并為N列的矩陣作為測(cè)試數(shù)據(jù)，并讓第2層模型基于新的訓(xùn)練數(shù)據(jù)及測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試。

本文采用的集成學(xué)習(xí)中的堆疊模型分為2層：第1層采用的基學(xué)習(xí)器為彈性網(wǎng)絡(luò)模型和梯度推進(jìn)模型，每個(gè)基學(xué)習(xí)器采用5折交叉驗(yàn)證：彈性網(wǎng)絡(luò)是一種同時(shí)使用L1范數(shù)和L2范數(shù)作為先驗(yàn)正則項(xiàng)訓(xùn)練的線性回歸模型，能實(shí)現(xiàn)輸入?yún)?shù)數(shù)量遠(yuǎn)小于輸出參數(shù)數(shù)量時(shí)的精確預(yù)測(cè)；梯度推進(jìn)模型屬于集成學(xué)習(xí)中的boosting算法，在大樣本、復(fù)雜非線性系統(tǒng)中具有較大的優(yōu)勢(shì)[7]；第2層采用的元學(xué)習(xí)器為最小絕對(duì)值選擇與收縮算子模型，它是一種有偏估計(jì)方法，由于在模型中加入了懲罰項(xiàng)，使變量集合簡(jiǎn)化、稀疏，從而使模型更加精煉[8]。本文構(gòu)建的堆疊融合模型，可以集中各基學(xué)習(xí)器的優(yōu)勢(shì)，在實(shí)現(xiàn)精確預(yù)測(cè)的同時(shí)保持計(jì)算的穩(wěn)定性。

本文采用開(kāi)源Python發(fā)行版本Anaconda 4.9.2中的科學(xué)包Jupyter 6.2.0進(jìn)行以上算法建模及運(yùn)行。

1.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

機(jī)器學(xué)習(xí)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果可能受到多種因素影響而導(dǎo)致學(xué)習(xí)率不高、預(yù)測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)確等問(wèn)題，通常情況下，隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增加，模型預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確率會(huì)接近于1，最終在一定范圍內(nèi)將不再變化[9]。為了更好地對(duì)學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，應(yīng)當(dāng)選擇恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)指標(biāo)，本文使用的評(píng)價(jià)指標(biāo)為均方誤差MSE、平均絕對(duì)值誤差MAE及回歸平方和與總平方和之比Q2分別為：

(1)

變量含義同均方誤差，MAE值越小表明訓(xùn)練效果越好。

方差偏離矩陣Q2為：

(2)

對(duì)于通量分布、堆芯棒功率等分布量，以誤差分布作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，即計(jì)算堆芯每個(gè)棒位置處的均方根誤差，最后給出均方根誤差的分布。均方根誤差為：

(3)

式中r為棒在堆芯中的位置。

2 C5G7問(wèn)題預(yù)測(cè)驗(yàn)證與分析

本文選擇的驗(yàn)證問(wèn)題為由經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織核能機(jī)構(gòu)發(fā)布的確定論中子輸運(yùn)計(jì)算驗(yàn)證基準(zhǔn)題C5G7問(wèn)題。采用建立的訓(xùn)練模型針對(duì)上述計(jì)算問(wèn)題開(kāi)展輸入?yún)?shù)和輸出響應(yīng)的特征捕捉，可以學(xué)習(xí)得到代替精細(xì)化物理計(jì)算過(guò)程的預(yù)測(cè)模型。本節(jié)將就C5G7的3個(gè)計(jì)算問(wèn)題，對(duì)預(yù)測(cè)模型的計(jì)算精確性、計(jì)算效率進(jìn)行驗(yàn)證，并開(kāi)展訓(xùn)練效果影響因素分析。

2.1 C5G7問(wèn)題

2.1.1 C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題

C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題[10]包括2D、3D問(wèn)題?；鶞?zhǔn)問(wèn)題是由16個(gè)燃料組件構(gòu)成的小型水堆全堆芯問(wèn)題，因此它可以簡(jiǎn)化為由4個(gè)燃料組件構(gòu)成的1/4堆芯。2D模型的規(guī)模為64.26 cm×64.26 cm，組件寬度為21.42 cm，下、右邊界采用真空邊界條件，上、左邊界采用全反射邊界條件以實(shí)現(xiàn)堆芯的對(duì)稱結(jié)構(gòu)。單個(gè)燃料組件采用17×17方形柵元布置，其中包括264個(gè)燃料柵元，24個(gè)導(dǎo)向管柵元(用于插拔控制棒)和1個(gè)位于中心的測(cè)量通道。對(duì)于UO2燃料組件，僅有一種燃料類型，而MOX燃料組件則包括4.3%、7.0%和8.7% 3種富集度的燃料。2D C5G7模型的幾何布置如圖2所示。

圖2 C5G7柵元排布及2D堆芯布置Fig.2 Fuel pin configuration and 2D layout of C5G7

3D C5G7模型則是在2D模型的基礎(chǔ)上將燃料區(qū)延伸至軸向高度為128.52 cm，同時(shí)堆芯的上部和下部增加厚度均為21.42 cm軸向反射材料，最終構(gòu)成規(guī)模為64.26 cm×64.26 cm×171.36 cm的三維計(jì)算問(wèn)題。3D C5G7模型的幾何布置如圖3所示。

圖3 3D C5G7布置Fig.3 3D configuration of C5G7 problem

本文對(duì)2D/3D C5G7問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練所采用的輸入數(shù)據(jù)為堆芯材料宏觀截面，輸出數(shù)據(jù)為全堆芯有效增殖因子。

2.1.2 3D C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題

C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題描述了單個(gè)UO2組件在0.1 s內(nèi)，由控制棒插入深度為20 cm變?yōu)槎研净钚詤^(qū)不插棒狀態(tài)的過(guò)程。堆芯四周采用全反射邊界條件，堆芯上下由于布置了反射材料因此采用真空邊界條件，3D C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題的幾何描述如圖4所示。為了實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)過(guò)程的精確模擬，需要對(duì)事件發(fā)生時(shí)間進(jìn)行時(shí)間步的精確劃分，本文選擇的時(shí)間步長(zhǎng)為5 ms。

圖4 3D C5G7單組件幾何布置Fig.4 Geometry layout of 3D C5G7 single assembly

不同于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，本文對(duì)3D C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練所采用的輸入數(shù)據(jù)除了堆芯材料宏觀截面外，還包括中子速度、緩發(fā)中子份額、緩發(fā)中子能譜及緩發(fā)中子衰變常數(shù)；輸出數(shù)據(jù)包括堆芯相對(duì)功率、反應(yīng)性、有效緩發(fā)中子份額、中子代時(shí)間。

2.2 訓(xùn)練規(guī)模及參數(shù)設(shè)置

穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)問(wèn)題的輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)均不一致，本文對(duì)2種問(wèn)題進(jìn)行訓(xùn)練和驗(yàn)證時(shí)采用的訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本數(shù)目也不相同。表1展示了不同計(jì)算問(wèn)題的輸入、輸出參數(shù)規(guī)模及訓(xùn)練、測(cè)試數(shù)目設(shè)置情況。對(duì)于訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本的選擇目前尚無(wú)定論，一般按照8∶2或7∶3的比例進(jìn)行設(shè)置，本文根據(jù)7∶3并結(jié)合實(shí)際產(chǎn)生的總樣本數(shù)設(shè)置了不同問(wèn)題的訓(xùn)練參數(shù)。

表1 訓(xùn)練規(guī)模及參數(shù)設(shè)置Table 1 Lists of parameters used in training and testing for cases

對(duì)于2D及3D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，其輸入-輸出關(guān)系為：

1) 材料宏觀截面(輸入)：包括7個(gè)能群結(jié)構(gòu)的UO2、富集度分別為4.3%、7.0%、8.7%的MOX燃料、導(dǎo)向管、測(cè)量通道、慢化劑及控制棒等棒束的材料總截面Σt、吸收截面Σa、裂變截面Σf、中子產(chǎn)出截面υΣf、群-群的散射截面Σg→g′、裂變譜χ，共672個(gè)參數(shù)(值為0也包含在內(nèi))；

2) HNET-穩(wěn)態(tài)模塊(計(jì)算模型)：自主開(kāi)發(fā)的高保真精細(xì)化穩(wěn)態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算程序[11]；

3) 有效增殖因子keff(輸出)：有限大增殖介質(zhì)的中子增殖過(guò)程中，某代中子數(shù)與相鄰前一代中子數(shù)之比，用于描述堆芯鏈?zhǔn)椒磻?yīng)的狀態(tài)。

對(duì)于3D C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題，其輸入-輸出關(guān)系為：

1) 材料宏觀截面及瞬態(tài)參數(shù)(輸入)：包括7個(gè)能群結(jié)構(gòu)的UO2、富集度分別為4.3%、7.0%、8.7%的MOX燃料、導(dǎo)向管、測(cè)量通道、慢化劑及控制棒等棒束的材料總截面Σt、吸收截面Σa、裂變截面Σf、中子產(chǎn)出截面υΣf、群-群的散射截面Σg→g′、裂變譜χ、中子速度v；8個(gè)能群結(jié)構(gòu)的緩發(fā)中子份額、緩發(fā)中子能譜及緩發(fā)中子衰變常數(shù)，共1 248個(gè)參數(shù)(值為0也包含在內(nèi))；

2) HNET-瞬態(tài)模塊(計(jì)算模型)：自主開(kāi)發(fā)的高保真精細(xì)化瞬態(tài)中子輸運(yùn)計(jì)算程序[12]；

3) 輸出數(shù)據(jù)為各時(shí)間步下堆芯相對(duì)功率、反應(yīng)性、有效緩發(fā)中子份額、中子代時(shí)間，共128個(gè)參數(shù)。

2.3 計(jì)算精度驗(yàn)證

2.3.1 2D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題

2D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的輸入?yún)?shù)為7個(gè)宏觀截面，輸出參數(shù)為有效增殖因子。訓(xùn)練集樣本數(shù)目為108個(gè)，測(cè)試集樣本數(shù)目為60個(gè)。圖5直觀地展示了由預(yù)測(cè)模型得到的預(yù)測(cè)值與精細(xì)化物理計(jì)算結(jié)果對(duì)比，可以看到，2種計(jì)算方法得到的結(jié)果基本一致，這在一定程度上表明了建立的機(jī)器學(xué)習(xí)模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)2D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題輸入、輸出關(guān)系的特征捕捉，具有實(shí)現(xiàn)替代精細(xì)化計(jì)算的可能性。

圖5 2D C5G7堆芯有效增殖因子預(yù)測(cè)驗(yàn)證Fig.5 Prediction test for keff of 2D C5G7 problem

通過(guò)引入評(píng)價(jià)指標(biāo)可以定量判斷模型的訓(xùn)練效果。針對(duì)2D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題堆芯有效增殖因子預(yù)測(cè)結(jié)果的MAE、MSE及Q23種評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果分別為1.537 60×10-5及1.104 93×10-9，Q2值為0.999 59。文獻(xiàn)[3]中開(kāi)展的反應(yīng)堆物理計(jì)算替代模型研究針對(duì)65個(gè)少群宏觀截面，采用200組訓(xùn)練樣本及100組驗(yàn)證樣本對(duì)組件無(wú)限增殖因子進(jìn)行預(yù)測(cè)，評(píng)價(jià)指標(biāo)MAE及Q2分別為4.11×10-4及0.993。

與文獻(xiàn)[3]預(yù)測(cè)效果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，本文建立的訓(xùn)練模型針對(duì)2D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了多輸入?yún)?shù)、少訓(xùn)練樣本下對(duì)計(jì)算結(jié)果的精確預(yù)測(cè)。

2.3.2 3D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題

3D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的輸入?yún)?shù)同樣為7群宏觀截面，輸出參數(shù)為有效增殖因子。訓(xùn)練集樣本數(shù)目及測(cè)試集樣本數(shù)目與2D問(wèn)題一直，分別為108和60。圖6展示了3D問(wèn)題下由預(yù)測(cè)模型得到的有效增殖因子預(yù)測(cè)值與精細(xì)化物理計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，2種計(jì)算方法得到的結(jié)果同樣基本一致。

圖6 3D C5G7堆芯有效增殖因子預(yù)測(cè)驗(yàn)證Fig.6 Prediction test for keff of 3D C5G7 problem

3D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題有效增殖因子預(yù)測(cè)結(jié)果的MAE、MSE及Q23種評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果分別為1.546 68×10-5、1.103 19×10-9、0.999 56。結(jié)果表明本文所建立的訓(xùn)練模型針對(duì)3D C5G7穩(wěn)態(tài)問(wèn)題同樣能實(shí)現(xiàn)堆芯有效增殖因子的精確預(yù)測(cè)。

2.3.3 3D C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題

對(duì)于3D C5G7單組件瞬態(tài)問(wèn)題，利用預(yù)測(cè)模型實(shí)現(xiàn)了堆芯在不同時(shí)間下的相對(duì)功率、反應(yīng)性、有效緩發(fā)中子份額及中子代時(shí)間的預(yù)測(cè)。圖7展示了預(yù)測(cè)結(jié)果與高保真瞬態(tài)計(jì)算程序的相對(duì)誤差，可以看到，堆芯功率的相對(duì)誤差小于1.2%，反應(yīng)性的相對(duì)誤差小于0.014%，有效緩發(fā)中子份額相對(duì)誤差小于0.065%，中子代時(shí)間相對(duì)誤差小于0.59%，誤差均處于可接受范圍內(nèi)。這也表明了本文所建立的訓(xùn)練模型同樣實(shí)現(xiàn)了3D C5G7瞬態(tài)問(wèn)題堆芯關(guān)鍵參數(shù)的精確預(yù)測(cè)。

圖7 瞬態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差Fig.7 Relative error of transient parameters prediction results

2.4 計(jì)算效率驗(yàn)證

基于機(jī)器學(xué)習(xí)的替代模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)高保真計(jì)算需要保證精度和計(jì)算時(shí)間的雙重收益，本節(jié)對(duì)計(jì)算時(shí)間進(jìn)行測(cè)試。表4列出了不同計(jì)算問(wèn)題使用傳統(tǒng)計(jì)算方式與預(yù)測(cè)模型的計(jì)算時(shí)間對(duì)比，可以看到對(duì)于2D、3D C5G7問(wèn)題訓(xùn)練模型進(jìn)行60組結(jié)果預(yù)測(cè)所需的計(jì)算時(shí)間在70 s以內(nèi)，遠(yuǎn)低于采用高保真計(jì)算使用的時(shí)間；對(duì)于瞬態(tài)問(wèn)題而言，由于輸出參數(shù)增多，因此時(shí)間收益相較于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題有所減少，但相比于傳統(tǒng)計(jì)算仍有33倍的計(jì)算時(shí)間收益。這表明采用基于機(jī)器學(xué)習(xí)的預(yù)測(cè)模型代替高保真計(jì)算所帶來(lái)的計(jì)算時(shí)間收益十分可觀，也表明了預(yù)測(cè)模型達(dá)到了精度與計(jì)算時(shí)間的雙重收益，滿足了開(kāi)展進(jìn)一步不確定性分析的2項(xiàng)基本前提。

表2 計(jì)算時(shí)間對(duì)比Table 2 Comparison of computational time

值得一提的是，訓(xùn)練時(shí)間應(yīng)當(dāng)包含訓(xùn)練樣本產(chǎn)生的時(shí)間，即進(jìn)行多次高保真計(jì)算的時(shí)間，這也帶來(lái)了一定的計(jì)算代價(jià)。然而，以訓(xùn)練模型開(kāi)展后續(xù)分析相比采用高保真計(jì)算仍能減少大量計(jì)算時(shí)間。綜合考慮，采用訓(xùn)練模型替代高保真計(jì)算的方案仍是可以采納的。

2.5 訓(xùn)練集數(shù)目對(duì)訓(xùn)練效果的影響

訓(xùn)練樣本數(shù)是模型訓(xùn)練過(guò)程中非常重要的參數(shù)，它對(duì)模型的訓(xùn)練效果具有很大影響。通常情況下，訓(xùn)練樣本數(shù)越大，模型訓(xùn)練效果越好，但無(wú)限制的增加訓(xùn)練樣本數(shù)勢(shì)必會(huì)增加很多不必要的訓(xùn)練時(shí)間；同時(shí)，采用數(shù)量不足的訓(xùn)練樣本數(shù)則達(dá)不到好的訓(xùn)練效果，因此有必要進(jìn)行訓(xùn)練樣本數(shù)目對(duì)訓(xùn)練效果影響的分析。

表3列出了在不同訓(xùn)練樣本數(shù)目下，對(duì)2D C5G7問(wèn)題keff的預(yù)測(cè)模型評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算值，測(cè)試樣本數(shù)均為60。隨著樣本數(shù)目增加，MAE、MSE值逐漸減小，Q2值逐漸增大，結(jié)果符合預(yù)期。從圖8可以更直觀的看到這樣的變化趨勢(shì)，但在訓(xùn)練樣本數(shù)目為20時(shí)，Q2值大于采用30、40個(gè)訓(xùn)練樣本。事實(shí)上，這并不能說(shuō)明樣本數(shù)目為20時(shí)即可得到合理的預(yù)測(cè)結(jié)果。雖然Q2在訓(xùn)練樣本數(shù)目為20時(shí)較大，但預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際計(jì)算結(jié)果的方差相對(duì)誤差為11%，這對(duì)后續(xù)的不確定性分析結(jié)果會(huì)帶來(lái)負(fù)面的影響。同時(shí)，從圖8中可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)大于100時(shí)，Q2值已經(jīng)很接近于1，此時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)際計(jì)算結(jié)果的方差相對(duì)誤差為1%，即采用大于等于100個(gè)訓(xùn)練樣本時(shí)，模型的訓(xùn)練效果是符合要求的。因此，在評(píng)價(jià)訓(xùn)練效果時(shí)，應(yīng)綜合考慮預(yù)測(cè)精度與方差分布，避免由訓(xùn)練模型引入新的不確定度。

表3 訓(xùn)練集數(shù)目對(duì)訓(xùn)練效果的影響Table 3 Effect of training data number on prediction accuracy

圖8 訓(xùn)練樣本數(shù)目對(duì)預(yù)測(cè)效果的影響Fig.8 Prediction accuracy change with number of training sets

2.6 不同模型對(duì)訓(xùn)練效果的影響

本文采用2層堆疊的集成學(xué)習(xí)模型開(kāi)展針對(duì)堆芯關(guān)鍵參數(shù)的預(yù)測(cè)，第1層計(jì)算模型分別為ENet、GBoost及KRR，第2層計(jì)算模型為lasso。事實(shí)上，不同模型可以單獨(dú)完成訓(xùn)練、預(yù)測(cè)工作，因此本節(jié)將分別單獨(dú)使用以上4種模型對(duì)2D C5G7問(wèn)題的堆芯keff進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試，訓(xùn)練樣本數(shù)均為100，測(cè)試樣本數(shù)均為60。表4展示了采用以上模型單獨(dú)預(yù)測(cè)的評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算值?？梢园l(fā)現(xiàn)，KRR及GBoost方法建立的預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果較差，但基于ENet、lasso方法的預(yù)測(cè)模型可以得到很好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

表4 訓(xùn)練模型對(duì)訓(xùn)練效果的影響Table 4 Effect of training model on prediction accuracy

單就結(jié)果而言，采用單一方法建立的預(yù)測(cè)模型也可以得到精確的預(yù)測(cè)結(jié)果，但堆疊模型相比單一模型具有更顯著的優(yōu)勢(shì)，如不需要太多的調(diào)參和特征選擇，模型魯棒性更強(qiáng)等。因此，堆疊模型仍是推薦的訓(xùn)練模型。

3 結(jié)論

1) 本文開(kāi)展的樣本數(shù)目對(duì)預(yù)測(cè)效果的分析結(jié)果表明，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)目為100時(shí)可以得到滿足要求的預(yù)測(cè)結(jié)果，堆疊模型在實(shí)現(xiàn)精確預(yù)測(cè)的同時(shí)能保證其魯棒性。

2) 以基于機(jī)器學(xué)習(xí)的預(yù)測(cè)模型替代抽樣統(tǒng)計(jì)過(guò)程中大量重復(fù)的精細(xì)化物理計(jì)算開(kāi)展不確定性分析是可行的研究方案。

本文建立的堆疊模型為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)以核截面為不確定性來(lái)源的堆芯關(guān)鍵參數(shù)不確定性量化與分析提供了良好的工具基礎(chǔ)。該模型的應(yīng)用范圍并不限于此，進(jìn)一步可開(kāi)展共振計(jì)算、燃耗計(jì)算、物理熱工耦合計(jì)算的替代計(jì)算。同時(shí)，在開(kāi)展規(guī)模更大、耗時(shí)更長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果預(yù)測(cè)時(shí)，本文建立的替代模型將獲得更大的時(shí)間收益。