蘇瀟陽 康厚軍 皮梓豪 叢云躍

摘要：考慮斜拉橋的初始構(gòu)型和支座剛度，建立了豎向彈性約束下的多索-淺拱動力學(xué)模型.首先基于索和淺拱的經(jīng)典動力學(xué)方程，將淺拱在索-拱耦合處分段，推導(dǎo)了豎向彈性約束多索-淺拱的面內(nèi)自由振動理論.然后采用分離變量法對其面內(nèi)特征值問題進(jìn)行了求解.同時以雙索-淺拱模型為例，建立了相應(yīng)的有限元模型，并將論文方法算出的頻率和模態(tài)與有限元結(jié)果進(jìn)行對比，從而驗證了論文方法和模型的正確性.最后，對豎向彈性約束雙索-淺拱的動力學(xué)特性進(jìn)行了系統(tǒng)的參數(shù)化分析.結(jié)果表明：豎向剛度對系統(tǒng)的動力學(xué)特性有著明顯的影響.

關(guān)鍵詞：多索淺拱；動力學(xué)模型；彈性約束；自由振動；特征值

中圖分類號：O343.9文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11972151，11872176），National Natural Science Foundation of China（11972151，11872176）

Elastically Constrained Multi-cable-stayed Shallow-arch Model in Cable-stayed Bridge and Its in-plane Free Vibration Research

SU Xiaoyang，KANG Houjun，PI Zihao，CONG Yunyue

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：Considering the initial configuration and support stiffness of cable-stayed bridge，the multi-cablestayed shallow-arch model with vertical elastic constraints is established. Firstly，based on the classical dynamics e-quations of the cable and shallow arch，the theory of in-plane free vibration of the model is deduced by dividing the shallow arch into several segments at the cable-arch coupling points. Then，the double-cable-stayed shallow-arch model is taken as an example and its in-plane eigenvalue problem is solved by separation-of-variable method. At the same time，taking the double-cable-shallow arch model as an example，the corresponding finite element model is es-tablished. The frequencies and mode shapes calculated by the present method are compared with those obtained by fi-nite element method，which verifies the correctness of the method and model in this paper. Finally，a systematic para-metric analysis on the dynamics properties of the model is conducted. It is shown that the vertical stiffness has a sig-nificant effect on the dynamics properties of the system.

Key words：multi-cable-stayed shallow arch；dynamic model；elastic constraints；free vibration；eigenvalue

斜拉橋由于受力性能好、抗震性能強(qiáng)、造型優(yōu)美及優(yōu)越的跨越能力在大跨度橋梁中占有十分重要的地位.但由于斜拉橋跨度的不斷增大以及新材料的不斷應(yīng)用，結(jié)構(gòu)也變得更輕更柔，其動力學(xué)問題也就更為突出.因此，國內(nèi)外學(xué)者對斜拉橋的動力學(xué)特性進(jìn)行了大量研究. Gattulli等[1]通過經(jīng)典變分公式，建立了斜拉橋索-梁結(jié)構(gòu)橫向動力學(xué)運動控制方程，并對其特征值問題進(jìn)行了參數(shù)分析.本課題組[2-5]采用傳遞矩陣法對斜拉梁、雙索梁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動問題進(jìn)行了詳細(xì)的分析.通過考慮斜拉橋中橋塔的振動，提出了多梁離散彈簧動力學(xué)整體模型，并對斜拉橋的整體豎彎剛度進(jìn)行了評估，探究了拉索對斜拉橋豎向振動頻率的影響. Cao等[6]提出了由四根拉索和橋面梁組成的斜拉橋模型，并對該模型的線性特征值問題進(jìn)行了深入的研究，該模型將橋面塔視為剛性，忽略了橋塔的振動.然而，在實際工程中，大跨度斜拉橋的橋面梁一般具有一定的預(yù)拱度以滿足排水的需要，上述研究都沒有考慮斜拉橋橋面梁的初始構(gòu)型，這對理解斜拉橋的動力學(xué)行為難免有偏差.鑒于此，考慮橋面梁的初始構(gòu)型，Kang等[7]建立了斜拉橋的雙索-淺拱動力學(xué)模型，對端部軸向簡諧激勵下的1∶1∶1內(nèi)共振動力學(xué)問題進(jìn)行了研究.叢云躍等[8]基于索和淺拱的經(jīng)典動力學(xué)方程，對雙索淺拱的面內(nèi)自由振動進(jìn)行了研究.

以上研究均將斜拉橋的邊界條件模擬為簡支，實際上在基礎(chǔ)變形以及由于基礎(chǔ)變形所引起的附加慣性力的影響下，這可能會導(dǎo)致計算出的模型固有頻率顯著降低[9]，尤其是低階的頻率.所以建立相應(yīng)的彈性支承模型更符合實際工程情況.因此，國內(nèi)外學(xué)者對彈性約束下各種模型的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究.易壯鵬等[10]研究了兩端彈性約束淺拱的自由振動特性和非線性動力特性. Ding等[11]建立了帶有非線性隔振的微曲梁的非線性動力學(xué)模型，研究了具有彈性邊界的彎曲梁動力學(xué)問題，并推導(dǎo)了具有彈性邊界的彎曲梁的模態(tài)函數(shù)和頻率公式.

論文在上述研究的基礎(chǔ)上，為建立更為精細(xì)的斜拉橋動力學(xué)模型，考慮斜拉橋橋面板的初始構(gòu)型以及支座剛度的影響，建立兩端豎向彈性支承的多索-淺拱動力學(xué)模型，并對該模型進(jìn)行參數(shù)分析.論文模型相比于其他模型（例如索梁模型）更接近斜拉橋的真實狀態(tài)，可以對斜拉橋的面內(nèi)特征值問題進(jìn)行分析，從而更準(zhǔn)確地揭示斜拉橋的動力學(xué)特性.另外，基于該模型可以對斜拉橋的非線性振動進(jìn)行研究，揭示斜拉索的大幅振動機(jī)理，為實際工程提供參考.

1兩端彈性約束多索-淺拱模型

考慮支座處基礎(chǔ)變形的影響，將模型兩端支座簡化為豎向彈性支承，論文暫不考慮支座處轉(zhuǎn)動彈性支承[12].圖1為考慮斜拉橋初始構(gòu)型之后，兩端豎向彈性約束的多索-淺拱模型，分別建立坐標(biāo)系soy和xjojyj（j = 1，2，…，n）描述淺拱和索的振動，根據(jù)索的數(shù)量將淺拱分為i段，i=1，2，…，n+1.在能體現(xiàn)問題本質(zhì)的前提下做出如下假設(shè)：

3數(shù)值分析

3.1模態(tài)分析

選取以下物理參數(shù)進(jìn)行簡要數(shù)值分析：淺拱彈性模量34.5 GPa，跨徑300 m，截面慣性矩9.8 m4，單位長度質(zhì)量4.4×104kg/m；斜拉索彈性模量210 GPa，長度115.5 m，單位長度質(zhì)量10.4 kg/m，橫截面積6.3×10-3m2，初始索力1 MN，拉索傾角30°.實際工程中支座的豎向剛度大概有7個數(shù)量級，因此選取兩端彈性支座的無量綱剛度為k1= k2= 1 000.對應(yīng)的實際剛度為1.25×107N/m.

為驗證論文方法的正確性，利用有限元分析軟件ANSYS15.0建立了相應(yīng)的有限元模型.斜拉索采用Link1單元模擬，淺拱采用Beam3單元模擬，彈性支承采用Combine14單元模擬.表1和圖2列出了根據(jù)論文方法和有限元模擬得到的結(jié)構(gòu)前八階頻率和前五階模態(tài).可以看到，論文方法計算得到的結(jié)果和有限元模擬得到的結(jié)果吻合非常好，雖然第五階頻率的相對誤差稍微有點大，但其絕對誤差只有0.055 6（1.098 1～1.042 5）.另外，仔細(xì)觀察第五階模態(tài)可以發(fā)現(xiàn)，索在有限元中只有拖動效應(yīng)，而沒有自身的振動，論文算法中體現(xiàn)出了索的自身振動和拖動效應(yīng)，從而使索力加大，進(jìn)而提高了結(jié)構(gòu)的整體剛度，因此導(dǎo)致第五階頻率誤差較大.

3.2參數(shù)分析

為研究基于該模型的斜拉橋更多動力學(xué)特性，采用論文中的計算方法對相關(guān)重要參數(shù)進(jìn)行了分析.

圖4給出了k = 1 000和k = 10 000下模型的前五階頻率隨淺拱矢跨比的變化曲線.從圖中可以看出：在一定矢跨比范圍內(nèi)，某階頻率會隨著矢跨比的增加而變大，隨著矢跨比的繼續(xù)增加，該階頻率將不再改變.論文稱該影響范圍為矢跨比對頻率的影響域，隨著支座彈簧剛度的變化，這個影響域也會隨之發(fā)生變化.

另外，圖4（a）中的前兩階頻率，圖4（b）中的前三階頻率之間分別出現(xiàn)了頻率曲線相互靠近而又分離的現(xiàn)象，即veering現(xiàn)象，這與文獻(xiàn)[8]中觀察到的現(xiàn)象一致.然而，各階頻率對支座彈簧剛度的敏感程度不同，如圖3所示，第一、三階頻率隨支座剛度的增加變化較小，因此在圖4（a）中，veering現(xiàn)象發(fā)生在前兩階頻率之間，而在圖4（b）中，veering現(xiàn)象發(fā)生在前三階頻率之間.仔細(xì)觀察圖4（a）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)f = 0.022 5時，ω2≈ω1；當(dāng)f = 0.018 3時，ω3≈2ω2.這表明模型各階頻率之間存在多種內(nèi)共振關(guān)系，此時相鄰階模態(tài)之間會發(fā)生能量傳遞和模態(tài)互換，并導(dǎo)致索的大幅振動，工程中應(yīng)注意設(shè)計參數(shù)以避免此現(xiàn)象的發(fā)生.

圖5給出了拉索垂度對模型的前五階頻率的影響曲線.從圖中可以看出前四階模態(tài)頻率隨著拉索垂度的增加而緩慢減小，這是因為前四階模態(tài)中拉索的振動主要由淺拱的拖動造成，隨著拉索垂度的增加，拉索等效剛度減小，整體結(jié)構(gòu)剛度也減小，從而頻率減小.第五階頻率隨著拉索垂度的增加先減小后增加，這是因為隨著垂度的進(jìn)一步增加，索與水平方向的夾角減小，索力的水平分量變大，從而導(dǎo)致淺拱的幾何剛度增大，結(jié)構(gòu)的頻率增大.第五階模態(tài)拉索自身振動幅度較大，因此拉索垂度對模型頻率的影響也更加明顯.

圖6給出了拉索傾角對模型前五階頻率的影響曲線.從圖中可以看出，前兩階頻率隨著拉索傾角的增加先緩慢增加，再緩慢下降，但總體來說變化幅度很小.當(dāng)拉索傾角較小時，三、四、五階頻率隨拉索傾角的增加變化不大，當(dāng)拉索傾角繼續(xù)增加到一定值時，頻率會顯著下降.這是因為隨著傾角的增大，拉索兩端錨固點水平距離不變，斜拉索變長，質(zhì)量也隨之增加，因此頻率變小[14，15].另外，當(dāng)拉索傾角增加到1.2左右時，第四階和第五階頻率很接近，這是因為此時第四階和第五階模態(tài)都是索單獨振動的局部模態(tài)，第四階是反對稱模態(tài)，第五階是正對稱模態(tài)；而當(dāng)拉索傾角增加到1.3左右時，局部模態(tài)變?yōu)榈谌A和第四階，因此第三階和第四階的頻率曲線發(fā)生了重合.

4結(jié)論

論文考慮斜拉橋的初始構(gòu)型和更合理的支承條件，建立了豎向彈性約束下的多索-淺拱動力學(xué)模型.基于索和淺拱的經(jīng)典動力學(xué)方程，將淺拱在索-拱耦合處分段，推導(dǎo)了豎向彈性約束多索-淺拱的面內(nèi)自由振動理論.以豎向彈性約束雙索-淺拱模型為例，對其面內(nèi)特征值問題進(jìn)行了求解，通過與有限元模擬得到的結(jié)果進(jìn)行對比，表明論文方法和模型的正確性.最后，對模型的動力學(xué)特性進(jìn)行了詳細(xì)的參數(shù)化分析并由此得出如下結(jié)論：

1）隨著彈性支座剛度的增加，結(jié)構(gòu)的各階頻率增加，在支座位移大的模態(tài)中，頻率對支座剛度變化更為敏感.支座剛度會影響系統(tǒng)內(nèi)共振的發(fā)生從而影響系統(tǒng)的動力學(xué)行為，將兩端邊界條件視為彈性約束更合理.

2）增加淺拱矢跨比會使得結(jié)構(gòu)的某階頻率明顯增加，從而改變結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振關(guān)系，在斜拉橋動力特性分析中應(yīng)當(dāng)考慮橋面梁初始構(gòu)型所造成的影響.

3）改變淺拱矢跨比和拉索傾角會產(chǎn)生veering現(xiàn)象.支座剛度的變化會影響這一現(xiàn)象的出現(xiàn)，剛度越大該現(xiàn)象越明顯.

4）拉索垂度對低階頻率影響不明顯，對高階頻率的影響較為明顯.拉索傾角對局部模態(tài)影響較大，因此在進(jìn)行拉索設(shè)計時應(yīng)該設(shè)計合適的傾角，避免局部模態(tài)出現(xiàn)在低階模態(tài)而產(chǎn)生內(nèi)共振.

參考文獻(xiàn)

[1]GATTULLI V，MORANDINI M，PAOLONE A. A parametric ana-lytical model for non-linear dynamics in cable-stayed beam[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics，2002，31（6）：1281—1300.

[2]康厚軍，解維東，郭鐵丁. CFRP索斜拉梁面內(nèi)自由振動建模及參數(shù)分析[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，43（9）：18—25. KANG H J，XIE W D，GUO T D. Modeling and parameters analysis on in-plane free vibration of cable-stayed beam[J]. Journal of Hu-nan University（Natural Sciences），2016，43（9）：18—25.（In Chi-nese）

[3]龔平，蘇瀟陽，蔡向陽，等.拉索對斜拉橋豎向頻率的影響研究[J].振動工程學(xué)報，2018，31（6）：957—965. GONG P，SU X Y，CAI X Y，et al. The influence of cables on verti-cal frequency of cable-stayed bridge[J]. Journal of Vibration Engi-neering，2018，31（6）：957—965.（In Chinese）

[4]SU X Y，KANG H J，GUO T D，et al. Dynamic analysis of the inplane free vibration of a multi-cable-stayed beam with transfer ma-trix method[J]. Archive of Applied Mechanics，2019，89（12）：2431—2448.

[5]康厚軍，蘇瀟陽，龔平，等.漂浮式獨塔斜拉橋豎彎剛度評估新方法[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2017，44（11）：126—134. KANG H J，SU X Y，GONG P，et al. A new method for verticalbending stiffness evaluation of floating single-tower cable-stayed bridge[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2017，44（11）：126—134.（In Chinese）

[6]CAO D Q，SONG M T，ZHU W D，et al. Modeling and analysis of the in-plane vibration of a complex cable-stayed bridge[J]. Journal of Sound and Vibration，2012，331（26）：5685—5714.

[7]KANG H J，GUO T D，ZHAO Y Y，et al. Dynamic modeling and inplane 1：1：1 internal resonance analysis of cable-stayed bridge[J]. European Journal of Mechanics - A/Solids，2017，62：94—109.

[8]叢云躍，康厚軍，蘇瀟陽. CFRP索斜拉橋的索-淺拱模型及面內(nèi)自由振動分析[J].固體力學(xué)學(xué)報，2018，39（3）：316—327. CONG Y Y，KANG H J，SU X Y. Cable-stayed shallow-arch model-ing and In-plane free vibration analysis of cable-stayed bridge with cfrp cables[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics，2018，39（3）：316—327.（In Chinese）

[9]MACBAIN J C，GENIN J. Natural frequencies of a beam considering support characteristics[J]. Journal of Sound and Vibration，1973，27（2）：197—206.

[10]易壯鵬，康厚軍，王連華.彈性支撐淺拱的非線性動力行為分析[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2013，11（2）：142—148. YI Z P，KANG H J，WANG L H. Research on the nonlinear dynamic behaviors of elastic support shallow arch[J]. Journal of Dynamics and Control，2013，11（2）：142—148.（In Chinese）

[11]DING H，CHEN L Q. Nonlinear vibration of a slightly curved beam with quasi -zero -stiffness isolators[J]. Nonlinear Dynamics，2019，95（3）：2367—2382.

[12]李煬，譚霞，丁虎，等.兩端帶有彈簧支撐的軸向運動梁振動分析[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2019，17（4）：335—340. LI Y，TAN X，DING H，et al. Nonlinear transverse vibration of an axially moving beam with vertical spring boundary[J]. Journal of Dynamics and Control，2019，17（4）：335—340.（In Chinese）

[13]ZKAYA E，SARIGL M，BOYACI H. Nonlinear transverse vibra-tions of a slightly curved beam carrying a concentrated mass[J]. Acta Mechanica Sinica，2009，25（6）：871—882.

[14]叢云躍，康厚軍，郭鐵丁，等. CFRP索斜拉橋面內(nèi)自由振動的多索梁模型及模態(tài)分析[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2017，15（6）：494—504. CONG Y Y，KANG H J，GUO T D，et al. A multiple cable-beam model and modal analysis on in-plane free vibration of cable-stayed bridge with cfrp cables[J]. Journal of Dynamics and Control，2017，15（6）：494—504.（In Chinese）

[15]呂建根，王榮輝.索梁結(jié)構(gòu)中抗彎剛度斜拉索的非線性響應(yīng)[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2019，17（4）：326—334. LJ G，WANG R H. Nonlinear response of stay cables with flexural rigidity in cable-stayed beams[J]. Journal of Dynamics and Con-trol，2019，17（4）：326—334.（In Chinese）