龍馬
喬治是個(gè)酷愛(ài)圓形的小男孩,他家里有各種各樣的圓形物品:圓形的床、圓形的桌子、圓形的書(shū)……
一天晚上,喬治躺在圓形的枕頭上,做了一個(gè)神奇的夢(mèng)。他夢(mèng)見(jiàn)兩個(gè)金色的圓居然動(dòng)了起來(lái),小圓管大圓叫圓哥哥,大圓管小圓叫圓弟弟。
圓弟弟非常淘氣,它鉆到圓哥哥的環(huán)里,骨碌碌繞著圓哥哥轉(zhuǎn)了一整圈。圓哥哥覺(jué)得怪癢的,和圓弟弟一起大笑起來(lái)。后來(lái)圓弟弟索性跑到圓哥哥的外側(cè),繞了一大圈,這一大圈繞下來(lái),圓弟弟直喊暈。在旁邊觀察的喬治一時(shí)情急想要上前去,結(jié)果夢(mèng)醒了。
第二天一早,喬治就起床研究這兩個(gè)圓了,夢(mèng)里的情景一直在他的腦海里浮現(xiàn)。大圓的直徑是40cm,小圓的直徑是20cm,如果小圓在大圓內(nèi)部繞大圓轉(zhuǎn)一圈,那么小圓自身轉(zhuǎn)了幾圈呢?如果在大圓的外部轉(zhuǎn),小圓自身又要轉(zhuǎn)幾圈呢?
喬治看了半天,突然想到,當(dāng)小圓繞著大圓轉(zhuǎn)時(shí),假設(shè)把大圓剪斷拉直,其實(shí)就是小圓在一條線段上從一端滾到另一端。線段的長(zhǎng)度就是大圓的周長(zhǎng)C=2πr(π是圓周率,約等于3.14,r是圓的半徑,圓的直徑等于2r)。
大圓的半徑是小圓的2倍,那么大圓的周長(zhǎng)也是小圓周長(zhǎng)的2倍。這根線段的長(zhǎng)度就是大圓的周長(zhǎng),小圓滾一圈時(shí)前進(jìn)的長(zhǎng)度是小圓的周長(zhǎng)。所以小圓從線段的一端到另一端需要滾2圈。
喬治回想起夢(mèng)里的情節(jié),覺(jué)得有些不對(duì),因?yàn)閳A弟弟在圓哥哥內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)的時(shí)候很開(kāi)心,可是在外側(cè)繞著圓哥哥轉(zhuǎn)了一圈卻直喊暈。如果都是同樣的轉(zhuǎn)2圈,圓弟弟不應(yīng)該會(huì)覺(jué)得暈。
到底是哪里不對(duì)呢?善于思考的喬治想到一個(gè)主意,他在小圓上畫(huà)了一個(gè)紅點(diǎn),然后觀察這個(gè)紅點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。
當(dāng)小圓在大圓內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),小圓自身在做相反方向的自轉(zhuǎn)。觀察紅點(diǎn)的軌跡,當(dāng)紅點(diǎn)回到原來(lái)的位置時(shí),實(shí)際上小圓只轉(zhuǎn)了1圈。
當(dāng)小圓在大圓的外側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),小圓的自轉(zhuǎn)方向和滾動(dòng)方向一致,小圓實(shí)際上轉(zhuǎn)了3圈。
通過(guò)標(biāo)記小紅點(diǎn)的觀察,喬治又突然想到,能不能以圓心作為觀察點(diǎn)呢?如果圓心轉(zhuǎn)了一圈,那圓上的其他點(diǎn)也必定轉(zhuǎn)了一圈。
小圓在大圓內(nèi)部轉(zhuǎn)圈時(shí),小圓的圓心實(shí)際上是圍繞一個(gè)半徑10cm、直徑20cm的圓運(yùn)動(dòng)的,這個(gè)圓和小圓的半徑一樣,周長(zhǎng)也一樣,因此小圓只需要轉(zhuǎn)1圈即可。
現(xiàn)在再看小圓在大圓外側(cè)轉(zhuǎn)圈。小圓的圓心實(shí)際上是繞著半徑30cm的大圓來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)的,半徑是小圓的3倍,那么這個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡的大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的3倍,因此小圓要轉(zhuǎn)3圈。
圓哥哥和圓弟弟繞圈的游戲看似簡(jiǎn)單,卻涉及到圓的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)。喬治在分析這個(gè)問(wèn)題時(shí),用了假設(shè)、定點(diǎn)代入的分析方法,并在最后總結(jié)出了其中的規(guī)律。熟練掌握這些方法,還可以用它們來(lái)解決其他問(wèn)題喲。