金紅江 蔣翀

摘? ? 要：公式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷公式研究的一般思路：借助內(nèi)部知識(shí)引入研究對(duì)象，體現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的連貫性;經(jīng)歷公式歸納過(guò)程，突出公式生成的探究性;緊抓結(jié)構(gòu)特征完成公式辨析，明確公式使用的適用性;精選典型例題落實(shí)公式應(yīng)用，把握教學(xué)內(nèi)容的層次性;梳理內(nèi)在聯(lián)系促進(jìn)公式遷移，實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)的系統(tǒng)性.

關(guān)鍵詞：公式教學(xué);一般思路;平方差公式

數(shù)學(xué)公式是揭示和反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性及屬性間聯(lián)系的重要形式，其產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法有助于數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展.在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，若僅停留在“公式+注意+例題+練習(xí)”的層次，往往將導(dǎo)致公式學(xué)習(xí)枯燥、公式應(yīng)用死板、公式理解片面的現(xiàn)象，學(xué)生只知其然，不知其所以然，也就更談不上“何由以知其所以然”了.

因此，在公式的研究中，讓學(xué)生經(jīng)歷“引入研究對(duì)象—探索歸納公式—公式的辨析—公式的應(yīng)用—公式的遷移”這一過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生理解，啟發(fā)學(xué)生思考，滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)以“平方差公式”教學(xué)為例，談?wù)劰浇虒W(xué)的一般思路.

一、借助內(nèi)部知識(shí)引入研究對(duì)象，體現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的連貫性

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的研究表明，數(shù)學(xué)對(duì)象的引入要考慮到數(shù)學(xué)的整體性和自然性，從學(xué)生已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”切入，挖掘知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，自然地進(jìn)行認(rèn)知體系的再構(gòu)建[1] .任何數(shù)學(xué)公式都有其產(chǎn)生的背景，通過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)引入研究對(duì)象可以使學(xué)生從接觸公式的起始階段就對(duì)它的來(lái)龍去脈做到心中有數(shù).平方差公式是多項(xiàng)式乘法的特例，在引入研究對(duì)象環(huán)節(jié)，要讓學(xué)生探索具有特殊關(guān)系項(xiàng)的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的一般規(guī)律.設(shè)計(jì)時(shí)可利用從一般到特殊的方式，將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法中各項(xiàng)逐漸特殊化，讓學(xué)生感受到公式的適用條件.

引入1? ?之前學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，你能用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)法則嗎？你還能用文字語(yǔ)言來(lái)敘述一下這個(gè)法則嗎？

教學(xué)說(shuō)明? ?先用符號(hào)語(yǔ)言描述法則，再用文字語(yǔ)言敘述.一方面板書(shū)設(shè)計(jì)考慮，另一方面與下面平方差公式先獲得形式化的符號(hào)表示，再組織文字語(yǔ)言的描述的順序一致.

引入2? ?計(jì)算：（1）（x+5）（y-2）.? （2）（a+5）（a-2）.? （3）（m+5）（m-5）.

解：（1）（x+5）（y-2）=xy-2x+5y-10.

（2）（a+5）（a-2）=a2-2a+5a-10=a2+3a-10.

（3）（m+5）（m-5）=m2-5m+5m-25=m2-25.

追問(wèn)1? ?同樣是二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式，為什么它們的結(jié)果有四項(xiàng)、三項(xiàng)、二項(xiàng)的差別？

追問(wèn)2? ?觀察（3）（2）（1）中相乘的兩個(gè)二項(xiàng)式中的項(xiàng)之間是怎樣變化的？

問(wèn)題1? ?對(duì)于（a+n）（a+m）=a2+（n+m）a+nm. 類似（2）（3），對(duì)于（a+n），（a+m）中的“第二項(xiàng)”m，n之間具有怎樣的關(guān)系，可以出現(xiàn)哪些特殊的情形？

n=m或n=-m，即（a+n）（a+m）或者（a-m）（a+m）.

我們今天先研究（a-m）（a+m）這類問(wèn)題，即獲得研究對(duì)象.

一方面，通過(guò)復(fù)習(xí)回顧多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，以及從運(yùn)算的角度以具體的計(jì)算形式引入，承前啟后，初步體會(huì)多項(xiàng)式乘法法則與平方差公式之間的“一般”到“特殊”的關(guān)系.另一方面，通過(guò)三個(gè)問(wèn)題的思考，揭示運(yùn)算對(duì)象逐步特殊化前后，數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中的內(nèi)在規(guī)律與聯(lián)系，感受特殊化數(shù)學(xué)研究的價(jià)值，并在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，進(jìn)一步引發(fā)其特殊化數(shù)學(xué)研究的思考，引出研究對(duì)象——平方差公式.通過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的引入，構(gòu)建整體化的知識(shí)架構(gòu)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的連貫性.

二、經(jīng)歷公式歸納過(guò)程，突出公式生成的探究性

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所經(jīng)歷的活動(dòng)將決定他們?cè)鯓涌创龜?shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).對(duì)于公式的教學(xué)，不應(yīng)只是直接告知，更應(yīng)該注重公式在課堂教學(xué)中的形成.

例如，對(duì)于平方差公式的學(xué)習(xí)，若直接從“（a+b）（a-b）=? ? ?”切入公式教學(xué)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)其認(rèn)識(shí)不全面，根基不固. 因?yàn)椤埃╝+b）（a-b）=a2-b2”是從一組符合公式特征的具體的式子中經(jīng)過(guò)共性抽象獲得的規(guī)律，其應(yīng)用則是對(duì)公式中的a，b具體化的過(guò)程. 而開(kāi)門見(jiàn)山直接從推理開(kāi)始的公式教學(xué)，省略這個(gè)認(rèn)知的過(guò)程，學(xué)生則有可能會(huì)搞不清楚（2x-3）（2x+3）這樣“具體的一個(gè)”和（a+b）（a-b）這樣“抽象的一類”之間的聯(lián)系和區(qū)別，人為地制造認(rèn)知困境.

因此，在教學(xué)過(guò)程中要以學(xué)生為中心，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)上的積極主動(dòng)性與思維上的創(chuàng)造性.把課堂的時(shí)間交還給學(xué)生，在學(xué)生自主的探究過(guò)程中，通過(guò)自身的課堂體驗(yàn)，對(duì)公式進(jìn)行歸納與概括，思考與驗(yàn)證，進(jìn)而幫助學(xué)生達(dá)到掌握公式結(jié)構(gòu)特征的目的.公式歸納與探究的課堂設(shè)計(jì)應(yīng)遵循“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)原則，結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，由淺入深，循序漸進(jìn)，使學(xué)生能夠超越最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一階段的發(fā)展水平.

計(jì)算：（1）（a+1）（a-1）.（2）（x+7）（x-7）.（3）（2x+y）（2x-y）.（4）（m+5）（m-5） .

思考1? ?以上運(yùn)算的結(jié)果在形式上有什么共同的特征？

思考2? ?上述四個(gè)運(yùn)算，分別是哪兩個(gè)數(shù)或式的平方差？

思考3? ?猜想在一般情形下，（a+b）（a-b）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

教學(xué)說(shuō)明? ?從具體的計(jì)算案例出發(fā)，學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀察、思考，歸納出上述題組的一般規(guī)律： （a+b）（a-b）=a2-b2.讓學(xué)生初步感知到平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，向?qū)W生滲透從“特殊”到“一般”，從“具體”到“抽象”的數(shù)學(xué)研究方法.經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，可以幫助學(xué)生從“類”的視角去處理“個(gè)”的問(wèn)題，最大程度理解公式，發(fā)揮公式簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.

問(wèn)題2? ?請(qǐng)你嘗試用多項(xiàng)式相乘的法則驗(yàn)證（a+b）（a-b）=a2-b2，你能用文字語(yǔ)言敘述平方差公式嗎？

教學(xué)說(shuō)明? ?將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，同時(shí)從公式的表現(xiàn)形式上加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解.

問(wèn)題3? ?在中國(guó)古代，數(shù)學(xué)家們是怎么推導(dǎo)平方差公式的嗎？公元3世紀(jì)數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》中的“勾股圓方圖”時(shí)說(shuō)：“勾實(shí)之矩以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實(shí)方其里……股實(shí)之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實(shí)方其里.”這段話的實(shí)質(zhì)是用面積割補(bǔ)法來(lái)證明平方差公式[2].請(qǐng)推導(dǎo)平方差公式，并嘗試從幾何構(gòu)造的角度說(shuō)明平方差公式.

讓學(xué)生通過(guò)“觀察、猜想、驗(yàn)證、證明”等環(huán)節(jié)經(jīng)歷探究平方差公式的過(guò)程，體會(huì)研究代數(shù)問(wèn)題的基本方法以及代數(shù)公式研究的一般路徑.加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解，突出公式生成的探究性.

三、緊抓結(jié)構(gòu)特征完成公式辨析，明確公式使用的適用性

公式的辨析是一個(gè)強(qiáng)化記憶、加深理解的過(guò)程，同時(shí)也是正確運(yùn)用公式的先決條件.公式的辨析重在辨析適用條件，可分兩步進(jìn)行.第一步，對(duì)公式的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)進(jìn)行剖析，讓學(xué)生先判斷哪些多項(xiàng)式相乘能用公式;第二步再用反例辨析.這樣可以給學(xué)生正面的引導(dǎo)，防止學(xué)生在應(yīng)用時(shí)出錯(cuò).

問(wèn)題4? ?以下兩個(gè)多項(xiàng)式相乘能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算嗎？如果能，指出多項(xiàng)式中哪些數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a，b，并將其表示成a2-b2的形式.

如表1通過(guò)不斷辨析平方差公式的適用條件，旨在引導(dǎo)學(xué)生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，在變化中尋找不變的本質(zhì)，進(jìn)而明確a，b的意義，初步?jīng)_擊本節(jié)課的難點(diǎn).問(wèn)題的設(shè)計(jì)，蘊(yùn)含用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的主要流程，期間不斷地注意點(diǎn)追問(wèn)，旨在為下一環(huán)節(jié)歸納計(jì)算步驟和總結(jié)解題注意點(diǎn)作鋪墊.在公式的辨析教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特征，明確公式的使用條件，防止在公式運(yùn)用中產(chǎn)生的負(fù)遷移，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力與思維的辯證性.

表1[多項(xiàng)式相乘 能否用平方差公式計(jì)算 a，b各表示什么 表示成a2-b2 （p+3）（p-3） （2p+3q）（2p-3q） （-2p+3q）（-2p-3q） （3q-2p）（-2p-3q） （3p-2q）（-2p-3q） ]

四、精選典型例題落實(shí)公式應(yīng)用，把握教學(xué)內(nèi)容的層次性

公式的應(yīng)用是學(xué)生再次獲取知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的重要環(huán)節(jié).它具有引領(lǐng)示范、鞏固新知、揭示方法、思維訓(xùn)練的功能.公式的應(yīng)用，貴在選題，題不在多，選擇一些典型的、具有不同層次性的例題.

（一）直接運(yùn)用平方差公式計(jì)算

例1? ?運(yùn)用平方差公式計(jì)算.

（1）（3x+5y）（3x-5y） .

（2）（[12b]+a）（-[12b]+a） .

請(qǐng)你總結(jié)一下用平方差公式計(jì)算的基本步驟.

（二）新舊知識(shí)綜合運(yùn)用

例2? ?計(jì)算：（y+2）（y-2）-（y-1）（y-5） .

（三）遷移運(yùn)用

例3? ?計(jì)算： 59.8×60.2.

師生活動(dòng)：采用學(xué)生先行→案例呈現(xiàn)→正誤辨析→糾錯(cuò)改錯(cuò)→反思評(píng)價(jià)五步流程進(jìn)行.

在精選例題后配合五步流程，逐步落實(shí)公式的應(yīng)用，滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展需要，能有效歸納程序化算法，幫助學(xué)生理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，正確判斷并利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，滲透規(guī)則意識(shí)和算法思想.

五、梳理內(nèi)在聯(lián)系促進(jìn)公式遷移，實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)的系統(tǒng)性

公式是數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，往往具有較強(qiáng)的聯(lián)系能力，因此，公式研究強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和聯(lián)系.習(xí)題再練習(xí)可以及時(shí)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力以及檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)是否達(dá)到高度掌握，有利于促進(jìn)問(wèn)題解決過(guò)程中知識(shí)的正向遷移.

問(wèn)題5? ?判斷（x+5+y）（x-5+y）能否用平方差公式進(jìn)行計(jì)算？如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由，并將其寫成a2-b2的形式.

追問(wèn)1? ?通過(guò)剛才的練習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)平方差公式的應(yīng)用，其實(shí)是公式中的a，b再特殊化的過(guò)程，那么平方差公式中的a，b可以指代什么？

追問(wèn)2? ?（x+y）2可以用平方差公式計(jì)算嗎？為什么？

教學(xué)說(shuō)明? ?①平方差公式在兩數(shù)的乘法中的應(yīng)用，屬于兩個(gè)數(shù)乘積的簡(jiǎn)便計(jì)算問(wèn)題，可以使學(xué)生將平方差公式的知識(shí)遷移到新的問(wèn)題情境中，既鞏固新知，又培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力. ②平方差公式在三項(xiàng)式與三項(xiàng)式相乘中的應(yīng)用，在起到上述作用的同時(shí)，進(jìn)一步體會(huì)到平方差公式的應(yīng)用，其實(shí)是對(duì)公式中的a，b再特殊化的過(guò)程，其中a，b可以是任意的整式;（x+y）2的分析，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)作鋪墊.

問(wèn)題6? ?本堂課我們是如何獲得平方差公式的？

幫助學(xué)生梳理知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上進(jìn)行知識(shí)體系的構(gòu)建，從公式的進(jìn)一步發(fā)展中構(gòu)建（如圖1）.公式的遷移，一方面可以從公式的應(yīng)用上進(jìn)行遷移，使學(xué)生進(jìn)一步明確公式的結(jié)構(gòu).另一方面，有一些公式的正反兩方面反映了數(shù)學(xué)的兩個(gè)不同的側(cè)面，教學(xué)過(guò)程中可以從正反兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)和把握公式.正用公式，強(qiáng)化公式基本結(jié)構(gòu);逆用公式，培養(yǎng)逆向思維;活用公式，培養(yǎng)思維創(chuàng)新性，使抽象的數(shù)學(xué)公式上升到可變化的數(shù)學(xué)模型.學(xué)生的思維在深度與廣度有所提升，并且點(diǎn)燃后續(xù)學(xué)習(xí)的星星之火.再者，對(duì)于公式，可將之放到知識(shí)的系統(tǒng)中，完成知識(shí)的自我構(gòu)建.

只有讓學(xué)生真正了解公式研究的一般思路，才能使學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，真正掌握公式的本質(zhì)，靈活地運(yùn)用公式去解決問(wèn)題，內(nèi)化成自身的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)，達(dá)到更加廣闊的發(fā)展.作為教師，要不斷探索新的教學(xué)途徑和教學(xué)方法，使公式教學(xué)達(dá)到良好的成效.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉建平.論數(shù)學(xué)公式法則的學(xué)習(xí)心理及其意義的內(nèi)化[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003（5）：240.

[2]李玲，顧海萍.“平方差公式”：以多種方式融入數(shù)學(xué)史[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（11）：45-47.