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        由圓錐曲線(xiàn)離心率引起的十類(lèi)變式

        2021-02-07 14:50:08福建省泉州市第七中學(xué)

        ■福建省泉州市第七中學(xué)

        求解圓錐曲線(xiàn)離心率的取值范圍,常涉及列不等式、三角形中角的變化,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),計(jì)算量大。很多同學(xué)解題時(shí)感到吃力,甚至半途而廢,若掌握問(wèn)題本質(zhì),解題就變得容易了。下面給出由圓錐曲線(xiàn)離心率引起的十類(lèi)變式,希望同學(xué)們?cè)陂喿x完這些題目后能有所收獲!

        圖1

        例1雙曲線(xiàn)=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,若P為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為( )。

        A.(1,3) B.(1,3]

        C.(3,+∞) D.[3,+∞)

        解法一:利用三角形正余弦定理。

        解法二:利用三角形的兩邊之和大于第三邊,及兩邊之差小于第三邊。但要注意可以取到等號(hào)成立,因?yàn)榭梢匀c(diǎn)共線(xiàn)。

        設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=2m,|PF1|-|PF2|=m=2a。又因?yàn)閨PF1|+|PF2|≥|F1F2|(當(dāng)且僅當(dāng)P,F(xiàn)1,F(xiàn)2三點(diǎn)共線(xiàn)等號(hào)成立),所以3m≥2c,6a≥2c?e=。

        又e>1,故e∈(1,3],選B。

        解法三:利用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系。

        設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)(x0≥a),則由焦半徑公式可得|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a。因?yàn)閨PF1|=2|PF2|,所以ex0+a=2(ex0-a),解得x0=。因x0=≥a,故e≤3。又e>1,故e∈(1,3],選B。

        解法四:數(shù)形結(jié)合和有界性。

        因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2a,且|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=2a。即在雙曲線(xiàn)的右支上恒存在點(diǎn)P,使得|PF2|=2a。由圖1可知|AF2|≤|PF2|,故|OF2|-|OA|=ca≤2a,c≤3a?e=。

        又e>1,故e∈(1,3],選B。

        理解了這道題的解法及對(duì)策后,我們?cè)賮?lái)看看一些同類(lèi)變式題,有助于我們解決此類(lèi)問(wèn)題!

        同類(lèi)變式1:已知雙曲線(xiàn)0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,若此雙曲線(xiàn)的離心率為e,且|PF1|=e|PF2|,則e的最大值為( )。

        圖2

        解析:可采用例1的解法四。如圖2所示,|PF1|-|PF2|=(e-1)|PF2|=2a?|PF2|

        由解法四可知:

        A.(1,+∞) B.(0,3]

        C.(1,3] D.(1,2]

        同類(lèi)變式3:已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn),過(guò)F且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),若△ABE是銳角三角形,則該雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍是( )。

        圖3

        解析:可采用例1的解法一。如圖3 所示,設(shè)∠AEB=θ<90°,由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及通徑可知,∠AEF=。在Rt△AEF中,tan<1?b2<a2+ac,即c2-a2<a2+ac,兩邊同除以c2,化簡(jiǎn)可得e2-e-2<0?-1<e<2。

        又e>1,故e∈(1,2),選B。

        同類(lèi)變式4:(2008 年江西理卷第7 題)已知F1、F2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn),滿(mǎn)足=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是( )。

        圖4

        解析:可采用例1的解法四。

        如圖4 所示,點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓,因它在橢圓內(nèi)部,故c<b?c2<b2=a2-。

        解析:由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上。如圖5 所示,設(shè)|F1F2|=2c,所以△PF1F2為 等腰三角形,且∠F1F2P=120°。

        圖5

        圖6

        同類(lèi)變式7:如圖6,設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn),若△PF1F2為直角三角形,則橢圓E的離心率是( )。

        圖7

        圖8

        同類(lèi)變式10:(2018年福建省質(zhì)檢)如圖8,已知雙曲線(xiàn)1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A。以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓交雙曲線(xiàn)C的右支于P,Q兩點(diǎn),△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°,則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)____。

        解析:因?yàn)殡p曲線(xiàn)=1 關(guān) 于x軸對(duì)稱(chēng),所以△APQ是以PQ為底的等腰三角形。又△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°,故△APQ為等邊三角形,且∠PAF=30°。又|FA|=|FP|=a+c,故∠AFP=120°。

        設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F′,連接F′P,則|PF′|-|PF|=2a,|PF′|=3a+c。

        在△PFF′中,由余弦定理得,|PF′|2=|FF′|2+|PF|2-2|FF′|·|FP|cos120°。

        (3a+c)2=(2c)2+(a+c)2-2×2c×(a+c)×cos120°,整理得4a2+ac-3c2=0,兩邊同時(shí)除以-a2,得3e2-e-4=0。

        解得e=或e=-1(舍去)。

        以上十道同類(lèi)變式題也可采用本文例題的其他解法,這里僅供大家參考。求解圓錐曲線(xiàn)離心率的取值范圍是解析幾何的主要題型,也是高考常考的內(nèi)容之一,解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握其曲線(xiàn)本質(zhì),這樣難題也變得容易了。

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