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        尖子生拋物線及其幾何性質(zhì)拔高訓(xùn)練

        2021-02-07 14:50:06河南省河南師大附中西校區(qū)
        關(guān)鍵詞:拋物線

        ■河南省河南師大附中西校區(qū)

        ■河南省許昌高中 陳俊濤

        一、選擇題

        1.已知拋物線C:x=8y2,則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )。

        2.直線l過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F,且直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=3,則弦AB的長(zhǎng)是( )。

        A.4 B.5 C.6 D.8

        3.已知拋物線y2=2px(p>0),過拋物線的焦點(diǎn)作x軸的垂線,與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0),且△ABM為直角三角形,則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )。

        A.y2=8x

        B.y2=-8x

        C.y2=-4x

        D.y2=4x

        4.點(diǎn)P在曲線y2=4x上,過P分別作直線x=-1及y=x+3的垂線,垂足分別為G,H,則|PG|+|PH|的最小值為( )。

        5.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),且,則直線l的傾斜角為( )。

        6.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2+y2-4y=0 相交所得的弦長(zhǎng)為,則p的值為( )。

        7.已知拋物線C:x2=12y上一點(diǎn)P,直線l:y=-3,過點(diǎn)P作PA⊥l,垂足為A,圓M:(x-4)2+y2=1 上有一動(dòng)點(diǎn)N,則|PA|+|PN|最小值為( )。

        A.2 B.4 C.6 D.8

        8.拋物線C:x2=4y上一點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為4,若直線PF與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,則|QF|等于( )。

        9.已知拋物線C:x2=4y,直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),焦點(diǎn)為F,,令R(xR,yR),若yR=|MN|-1,則∠MFN的最大值為( )。

        10.已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,過F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)A在第一象限),分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1,B1,若△AFA1為等邊三角形,△BFB1的面積為S1,四邊形A1B1BF的面積為S2,則=( )。

        11.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)A(2,0)的直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn),直線FM,F(xiàn)N又分別與拋物線交于點(diǎn)P,Q,設(shè)直線PQ與MN的斜率分別為k1,k2,則=( )。

        A.1 B.2 C.3 D.4

        12.拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)C,焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)C的直線l與拋物線交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)A在點(diǎn)B,C之間,則( )。

        A.AF·AB=BF2

        B.AF+AB=2BF

        C.AF·AB>BF2

        D.AF+AB<2BF

        13.已知拋物線y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2)為拋物線上的兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5,△ABO的重心為F,則p=( )。

        A.1 B.2 C.3 D.4

        20.如圖1,拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,斜率k=1的直線l過焦點(diǎn)F與拋物線交于A、B兩點(diǎn),若拋物線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為N,則tan∠ANF=( )。

        圖1

        21.已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)E(a,0)的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),且滿足y1y2=-4,以Q為中點(diǎn)的線段的兩端點(diǎn)分別為M,N,其中N在x軸上,M在拋物線C上,則|PM|的最小值為( )。

        22.若拋物線y=x2上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=kx+對(duì)稱,則k的取值范圍是( )。

        23.設(shè)AB是過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的一條弦(與x軸不垂直),其垂直平分線交x軸于點(diǎn)G,設(shè)|AB|=m|FG|,則m=( )。

        24.已知過點(diǎn)(2,0)的直線與拋物線y2=2x相交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A(-2,2),若直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,則k1·k2的取值范圍是( )。

        25.已知點(diǎn)M(-3,-2),拋物線x2=4y,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),直線l為拋物線的準(zhǔn)線,P為拋物線上一點(diǎn),過P作PQ⊥l,點(diǎn)Q為垂足,過P作FQ的垂線l1,l1與l交于點(diǎn)R,則|QR|+|MR|的最小值為( )。

        二、填空題

        三、解答題

        61.已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)A(0,2),且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為4。

        (1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程C;

        (2)設(shè)不與x軸垂直的直線l與軌跡C交手不同兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),若=2,求證:直線l過定點(diǎn)。

        62.已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(2,m)到焦點(diǎn)F的距離為3。

        (1)求p,m的值;

        (2)過點(diǎn)P(1,1)作直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn),求直線l的方程。

        63.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(m,2)到其焦點(diǎn)F的距離為2。

        (1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        (2)過x軸正半軸上一點(diǎn)N(n,0)作傾斜角為的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,求的值。

        64.過拋物線C:x2=2py(p>0)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),交準(zhǔn)線于點(diǎn)M,當(dāng)|AB|=12 時(shí),AB的中點(diǎn)到x軸的距離是5。

        (1)求拋物線C的方程;

        65.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)。

        (1)若F(2,0),直線l的斜率為2,求△OMN的面積。

        (2)設(shè)點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)F不重合,點(diǎn)Q(x0,0)是線段MN的垂直平分線與x軸的交點(diǎn),若給定p值,請(qǐng)?zhí)骄浚菏欠駷槎ㄖ? 若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由。

        66.已知點(diǎn)A(0,2),B為拋物線x2=2y-2上任意一點(diǎn),且B為AC的中點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線E。

        (1)求曲線E的方程。

        (2)點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,是否存在斜率為的直線l交曲線E于M,N兩點(diǎn),使得△MDN是以MN為底邊的等腰三角形? 若存在,請(qǐng)求出△MDN的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由。

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