高東寶 朱紀霖 張賽 周鶴峰 曾新吾?

1) (國防科技大學氣象海洋學院,長沙 410073)

2) (江蘇大學物理與電子工程學院,鎮(zhèn)江 212013)

基于一維聲柵中的Rayleigh-Bloch (RB)模式基本特點,設(shè)計了一種單層結(jié)構(gòu)彎曲聲波導.利用有限元方法從時域和頻域兩方面驗證了彎曲聲波導的有效性,RB 模式波可以沿著波導的彎曲界面?zhèn)鞑?研究發(fā)現(xiàn),由于采用了環(huán)形結(jié)構(gòu)基本單元,在該波導中存在兩種傳播模式,分別對應能量局域在單元間(模式-1)和單元內(nèi)部(模式-2)兩種情況.其中,模式-2 聲傳輸效果更佳,幾乎可實現(xiàn)無損傳輸.時域研究中分別采用了調(diào)制脈沖和高斯脈沖兩種信號形式,分析了它們在彎曲聲波導中的傳輸過程.由于波導中只允許RB 模式波傳播,因此對于寬頻信號來說,可起到濾波的效果.并且,不同模式(頻率)的信號會出現(xiàn)在聲波導的不同位置,所得結(jié)果對于聲波定向傳輸、聲探測與識別等研究具有理論與應用價值.

1 引 言

聲波導是一種重要的聲學基礎(chǔ)結(jié)構(gòu),既存在于自然環(huán)境中(如海洋波導),也存在于人工結(jié)構(gòu)中.近年來,基于人工結(jié)構(gòu)單元實現(xiàn)聲波導效應的研究得到人們的廣泛關(guān)注[1].利用變換聲學理論和超材料技術(shù)設(shè)計的各向異性聲波導[2],由零參數(shù)超材料構(gòu)造的無損聲傳輸波導結(jié)構(gòu)[3],以及利用拓撲邊界態(tài)在周期拓撲結(jié)構(gòu)的邊界處產(chǎn)生的波導效應等[4],均成為近來的研究熱點.

在由單層散射體單元構(gòu)成的衍射聲柵中存在一種特殊的聲場分布模式,即Rayleigh-Bloch (RB)模式[5,6].該模式下,在垂直于聲柵的方向上,聲場能量呈Rayleigh 波模式衰減,而在沿著聲柵排列的方向上,卻按照Bloch 模式周期分布[7].當聲場中出現(xiàn)RB 模式時,能量被集中在聲柵附近不能向外傳播,便形成了一種聲波導.研究表明,RB 模式只存在于具有Neumen 邊界條件(硬聲場邊界)的聲柵中,而Dirichrit 邊界條件(軟聲場邊界)下是不存在的[8,9].

對于RB 模式的研究由來已久,且廣泛存在于各領(lǐng)域當中.從周期散射體對水波的能量局域特性[10,11],到電磁波、彈性波中的周期分布模式等現(xiàn)象均展開了豐富的理論研究[12?14].Li 等[15]基于理論與實驗方法研究了一維聲柵中能量局域的模式,并從表面波(邊界態(tài))相互作用機理解釋了這種RB 模式分布產(chǎn)生的原因,進而分析了其中拍的特性[16].對于實際研究中產(chǎn)生的有限長結(jié)構(gòu),除了會產(chǎn)生周期分布的局域模式外,在出射端還會產(chǎn)生定向輻射的現(xiàn)象,對于提高結(jié)構(gòu)聲場指向性有一定意義.近期,Chaplain 等[17]報告了一種基于環(huán)形單元的梯度結(jié)構(gòu),在RB 模式下,結(jié)構(gòu)中會產(chǎn)生分叉和閉合等現(xiàn)象,大大拓展了RB 模式的應用范疇.

關(guān)于RB 模式研究的模型多為基于簡單單元的直線型聲柵結(jié)構(gòu)[18,19].根據(jù)彎曲波導理論,當界面曲率半徑較大時,可以將單位距離內(nèi)近似為直線.一定條件下,入射波可以沿著彎曲界面?zhèn)鞑?產(chǎn)生波導效應[20].本文以環(huán)形排列的散射體作為基本單元,設(shè)計了一種彎曲聲波導.基于有限元方法模擬了聲柵波導結(jié)構(gòu)中頻域和時域聲場的基本特性.研究結(jié)果表明,具有較大曲率半徑的聲柵結(jié)構(gòu)中支持多種RB 模式聲波傳播,形成一種單層結(jié)構(gòu)的彎曲聲波導.此外,由于環(huán)形單元的能量局域特性,提高了彎曲波導能量傳輸效率.該研究對于聲波定向傳輸、聲探測與識別等研究具有理論與應用意義,豐富了RB 模式的應用案例與研究范圍[13,21?23].此外,對于波導耦合的Floquet 型聲學拓撲絕緣體[24,25]和基于波導陣列的聲學超透鏡[26]等方面的研究也有潛在的促進作用.

2 基本理論

設(shè)散射體簇單元沿x軸周期排列,形成一維衍射聲柵,周期間隔為d,置于流體介質(zhì)(密度和聲速分別為ρb和cb)中,結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示.

圖1 一維衍射聲柵示意圖Fig.1.Schematic of one-dimensional diffraction grating.

對于流體聲場來說,Helmholtz 方程可以表示為

假設(shè)一列簡諧聲波沿x軸正方向傳播,在x方向形成周期分布,可表示為

其中β為Bloch 波矢.

此外,周期分布聲場還可以寫為

由于(2)式對任意整數(shù)n存在,所以(3)式還可以寫為

由(4)式可見,β以 2 π/d為周期,所以可不失一般性地假設(shè)

對于Bloch 波矢來說,這里只需關(guān)注其向x正方向傳播的波,所以進一步地

將(4)式代入Helmholtz 方程(1)可得到

要使(7)式成立,只能有

由(9)式可見,在y方向是否存在傳播波,取決于?(βj) 的結(jié)果,這里有

因此,當|βj|≤k時,?(βj) 為純虛數(shù),聲場在y方向傳播; 相反地,當|βj|>k,聲場在y方向為倏逝波.

只有當波動在x方向傳播,而在y方向上不能傳播時,才能形成RB 模式.因此結(jié)合(6)式進一步確定Bloch 波矢的范圍為

此時,聲場在y方向沒有傳播波,即能量都局域在聲柵單元周圍.

將(9)式代入(4)式得到RB 模式下聲場的分布,即

式中第一部分代表y> 0 半空間聲場,第二部分代表y< 0 半空間聲場.

至此,已經(jīng)得到一維衍射聲柵中RB 模式聲場分布的表達式,但是(12)式中仍然存在兩個系數(shù)未定,它們與單元具體特性相關(guān).

假設(shè)聲柵以一定的曲率半徑R呈彎曲排列,并且滿足R?λ,也就是說聲柵以非常平緩的程度彎曲,局部范圍內(nèi)可認為是平坦的,如圖1(b)所示.兩個相鄰單元間夾角為θ,則φ=θ.對于一個單元來說,入射波只有kcosθ方向的分量能夠沿著聲柵排列方向傳播,而另一部分則向聲柵外部傳播,屬于泄漏波[20].為了確定RB 模式的波矢范圍,(11)式可改寫為

可見,隨著傳播距離的增加,Bloch 波矢的范圍越來越大.不過由于θ非常小,也可以近似認為kicosθ ≈ki,2Rsin(θ/2)≈Rθ,ki=k.由于Bloch 波矢最大時,聲場的能量局域效果最佳,所以一般計算過程中,只要選取Bloch 波矢的上限對應的頻率作為RB 模式的頻率就可以了,即(13)式中π/(Rθ)對應的特征頻率.

上述過程確定了彎曲聲波導中RB 模式的求解思路,但對單元特性并沒有特殊要求.本文為了增強能量的局域傳輸效果,設(shè)計了一種由6 個圓柱形散射體單元組成的環(huán)形結(jié)構(gòu)作為衍射聲柵的基本單元,基本結(jié)構(gòu)如圖1(c)所示,具體幾何參數(shù)見表1.此時,在計算RB 模式聲場的過程中,必須考慮兩次多重散射過程.首先,散射體簇單元內(nèi)部是一次多重散射,可以得到其局部聲場的散射波系數(shù)與入射波系數(shù)之間的關(guān)系,將其代入一維聲柵的多重散射聲場中,就可以得到整體聲場的入射波系數(shù)與散射波系數(shù)間的關(guān)系.

表1 散射體簇幾何參數(shù)(單位: mm)Table 1.Geometrical parameters of the scattering cluster(Unit: mm).

基于有限元方法,根據(jù)表1 給出的幾何參數(shù),計算了由6 個散射體組成的直線型聲柵的頻散曲線(藍色點畫線),如圖2 所示,其中紅色實線代表對應的背景介質(zhì)(空氣)的頻散關(guān)系.

由圖2(a)可見,在Bloch 波矢范圍內(nèi)((13)式),存在兩種RB 模式,分別為1904 Hz (模式-1)和2086 Hz (模式-2).圖2(b)和圖2(c)分別給出了對應的兩種模式下的特征聲場分布情況.在模式-1中,聲場能量主要集中在散射單元之間,在垂直于聲柵的方向上聲壓向兩側(cè)呈指數(shù)衰減,聲場分布形式符合典型RB 模式聲場情況.在模式-2 中,由于能量被局域在了環(huán)形單元的內(nèi)部,而且受到多散射體的限制,無法向兩側(cè)衰減,使得能量局域效果更佳.在單元之間,聲場幾乎是均勻的,也不存在周期變化.

圖2 RB 模式波矢圖(a)及聲壓分布(b),(c)Fig.2.Band structure of the scattering cluster (a) and acoustic pressure distributions (b),(c) of RB mode waves.

3 頻域結(jié)果

為了清晰地認識彎曲波導中RB 模式的基本特性,根據(jù)表1 所列幾何參數(shù)構(gòu)建了仿真模型,基于有限元方法計算了彎曲波導的頻域特性,計算范圍為1500—2500 Hz.提取了彎曲波導各單元間(圖3(a))和各單元內(nèi)部(圖3(b))的聲壓值,如圖3所示.圖中色度條表示提取位置聲壓與入射波聲壓幅值的比 p /|pi| .

由圖3 可見,在單元內(nèi)外分別出現(xiàn)了兩種不同的RB 模式,兩種情況下均出現(xiàn)了聲壓周期波動分布的情況.在圖3(a)中,RB 模式出現(xiàn)在1900 Hz處,對應于模式-1; 而在圖3(b)中,RB 模式出現(xiàn)在2100—2350 Hz 范圍內(nèi),對應于模式-2.從頻率上來看,有限元仿真結(jié)果得到的模式頻率與圖2 中頻散曲線得到的結(jié)果基本相同.不過,從圖3 可以發(fā)現(xiàn),模式-1 只對應了1900 Hz 附近非常窄的頻率段.而模式-2 對應了一個較寬的頻率段,在該頻率段內(nèi),聲場表現(xiàn)出了良好的周期分布特點.產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因主要是因為在模式-2 中,能量主要局域在單元內(nèi)部,受到上下兩側(cè)單元的限制,局域聲場更容易形成,且局域效果更好,在很寬的頻段內(nèi)都不易衰減.而在模式-1 中,能量雖產(chǎn)生了局域效應,但是在聲柵兩側(cè)衰減方向上為自由空間,頻率的變動會導致衰減效果差異很大,局域現(xiàn)象也就不明顯了.

圖3 結(jié)果表明,在彎曲聲柵中存在兩種典型的RB 模式,且由于采用了環(huán)形單元結(jié)構(gòu),模式-2具有明顯的寬頻帶效果,能量局域效果更好.

選取圖3 中模式-1 和模式-2 對應的頻率,給出了不同RB 模式下彎曲波導中的聲場分布情況,如圖4 所示,插圖所示為各聲場結(jié)果中局部聲場的分布情況.模型計算區(qū)域內(nèi),位于左側(cè)邊界上的正對波導左端的有限長線聲源輻射聲波,同時在其他3 個邊界上添加了完美匹配層,以減小邊界處的反射.圖4 清晰地表明了一定條件下,彎曲波導中同樣存在RB 模式,并且由于引入了環(huán)形結(jié)構(gòu)單元,可以同時存在多種RB 模式.在聲壓級分布結(jié)果中,圖4(a)中高聲壓級區(qū)域主要集中在單元與單元之間,而由圖4(b)可見,高聲壓級區(qū)域主要集中在單元內(nèi)部,單元間的聲壓級相對要低15 dB 左右,體現(xiàn)了優(yōu)異的能量局域效果.插圖中截取的局部聲場分布情況更清晰地體現(xiàn)了兩種不同的RB模式實際聲場特點,完全符合圖2(b)和圖2(c)所示結(jié)果.

值得注意的是,由于波導是彎曲的,一部分聲波沿著波導傳播,同時另一部分則沿著相鄰單元的連線方向向波導外部傳播,即產(chǎn)生了泄漏波.在模式-1(圖4(a))中,泄漏波聲場明顯出現(xiàn)了較強的干涉現(xiàn)象,這也說明相對于模式-2,模式-1 中由于能量局域在單元之間,同時也是向波導外部衰減的,與泄漏波二者疊加,遂產(chǎn)生了干涉現(xiàn)象.此外,在彎曲波導的出射端,出現(xiàn)了明顯的定向輻射現(xiàn)象,該現(xiàn)象是由有限長波導的截斷效應導致的[19].

圖3 散射體簇單元間(a)和單元內(nèi)部(b)不同位置頻譜分布Fig.3.Frequency spectra of the points between (a) and in (b) the scattering clusters.

圖4 彎曲波導中的RB 模式聲場(插圖為相應波導局部聲場分布結(jié)果) (a),(b)聲壓級分布; (c),(d)聲壓分布Fig.4.RB mode acoustic wave fields in the bend waveguide: (a),(b) Sound pressure level (SPL) distributions; (c),(d) acoustic pressure distributions.The sub-pictures are local acoustic field distributions of corresponding gratings.

為了更清晰地認識彎曲波導中RB 模式的聲場特性,圖5 給出了兩種模式(1904 和2242 Hz)單元間和單元內(nèi)部聲壓分布結(jié)果,發(fā)現(xiàn)不同模式下彎曲波導中聲壓分布周期性差異較大.模式-1 對應的聲場中,只存在一個Bloch 周期,從入射端到出射端聲壓幅值分布先增大后減小.而在模式-2 對應的聲場中,卻存在多個周期,如圖5(b)所示(紅色虛線為包絡(luò)線),圖中存在7 個完整的Bloch 周期.不過,從周期分布情況來看,圖5 中的結(jié)果并不完美.一方面,本文研究的是一種具有一定曲率的聲柵結(jié)構(gòu),聲散射特性相對直線型聲柵更為復雜,周期性聲場分布受到一定影響.另一方面,圖5(b)中在最右側(cè)單元中存在半個Bloch 周期,這是由有限長聲柵截斷效應決定的,根據(jù)截斷位置的不同,出現(xiàn)周期的數(shù)量也不同.

對比圖5(a)和圖5(b)可以發(fā)現(xiàn),模式-2 的聲場強度要比模式-1 更大.最主要的,在模式-1 中,由于只有一個Bloch 周期,最大幅值只局限在中間少數(shù)幾個單元附近; 而在模式-2 中,周期增多,且幅值衰減較小,表明環(huán)形單元中模式-2 具有較好的聲波能量傳遞能力.

4 時域結(jié)果

上述頻域研究是一種近似的長時間作用后的均勻聲場結(jié)果,與實際應用情況還存在一定的差異,有必要進一步開展時域研究來理解彎曲波導結(jié)構(gòu)中的聲傳播行為.

圖5 不同模式下單元間(a)和單元內(nèi)部(b)聲壓分布曲線Fig.5.Acoustic pressure curves for the points between (a) and in (b) the cluster under different modes.

對于圖4 結(jié)構(gòu)模型,設(shè)入射波是隨時間變化的正弦調(diào)制信號,表達式為

其中A0= 1 為入射波幅值,N= 10 為調(diào)制信號的周期,f為入射波頻率.

基于有限元方法,模擬了聲波的時域傳播過程.考慮到具有能量局域效果的模式-2 有更好的無損傳輸效果,模擬時將入射波中心頻率設(shè)為f = 2242 Hz.

在0—0.04 s 范圍內(nèi)模擬了調(diào)制正弦信號的傳播過程,根據(jù)模式-2 的特點,采集了各單元內(nèi)部點的聲壓時域信號,如圖6(a)所示.圖中用兩條帶箭頭的虛線標示了兩條聲波路徑.其中,方向B 的信號到達時間更短,傳播速度更快,但是能量顯然更小.而方向A 的信號,雖然到達時間長,傳播速度慢,但是聲場的能量主要沿著這一通道傳遞.通過對具體結(jié)構(gòu)的分析不難發(fā)現(xiàn),具有更快傳播速度的傳播路徑是從聲源到達各個單元的直達波(方向B),而另一條(方向A)則是沿著彎曲界面?zhèn)鞑サ牟?

對照圖6(b)—(d)中分別選取的第1,20 和40 號單元時域信號也可以發(fā)現(xiàn),當聲波信號入射到彎曲波導前端的單元時,由于單元內(nèi)散射波的相互疊加,聲場幅值快速增大,并形成一個高能量的波包.該波包繼續(xù)在散射體簇各單元中傳播,不過由于彎曲波導的傳播路徑更長,隨著傳播距離的增大,初始入射波與導波界面慢慢分開,如圖6(c)和圖6(d)的結(jié)果所示.不過,由于泄漏波的存在,聲柵中導波波包的最大幅值隨著傳播距離的增大也在減小.由于相互作用次數(shù)增多,波包在時域上越來越長.

圖6(a)—(d)中的結(jié)果表明,時域信號同樣可以沿著本文設(shè)計的彎曲聲波導傳播,并且隨著直達波與波導波包的進一步分離,也證明了波導中傳播的能量主要還是初始入射到聲柵中的能量,而非其他方向的入射波.

為了定量描述所設(shè)計彎曲聲波導的傳輸效率,定義各點時域波形中最大值與入射波幅值的比為該點的傳輸效率,即 EN=MAX(pN)/A0(%),結(jié)果如圖6(e)所示.可以看出,隨著傳播距離的增大,傳輸效率先短暫增大之后不斷減小.增大過程發(fā)生在聲波導入口處,是由于入射波與反射波相互作用產(chǎn)生的增強.而對于后續(xù)單元來說,由于泄漏波的存在,能量不斷地溢出,存在于聲波導中的聲波能量進一步減小.從數(shù)值來看,絕大多數(shù)單元(> 40 個)中傳輸效率都大于1,也就是說此處聲波信號的幅值比入射波幅值還要大,證明了所設(shè)計聲波導優(yōu)異的信號傳輸能力.

圖6 (a)?(d)各單元內(nèi)部點聲壓時域信號((a)所有時域信號結(jié)果; (b)?(d)第1,20 和40 號單元時域信號結(jié)果)及(e)傳輸效率Fig.6.(a)?(d) Time-domain signals ((a) all of the signals;(b)?(d) three signals at unit 1,20 and 40,respectively) and(e) transmission efficiency for the points in the cluster.

對各點時域信號進行傅里葉變換,提取其頻譜特征,繪于圖7.由圖7 可見,各點信號的能量主要還是分布于2200 Hz 附近,證明了基于RB 模式的彎曲聲波導中信號傳輸?shù)挠行?

為了驗證本文所設(shè)計聲柵波導的特性,選取寬頻高斯脈沖信號作為入射波,模擬了聲波傳播過程.信號表達式為 p =A0e?(t/τ)2,其中A0= 1 為入射波的幅值,τ =0.01 .

圖7 各單元點的頻譜圖Fig.7.Frequency spectra for the points in the cluster.

同樣地,提取第1,20 和40 號單元的內(nèi)部時域信號,如圖8(a)—(c)所示.正如圖中所見,由于干涉作用的存在,脈沖聲波的下降沿出現(xiàn)了聲壓波動.并且隨著傳播距離的增大,波動起伏越來越大,持續(xù)時間越來越長.雖然單元間存在的模式與單元內(nèi)部不同,但是從信號的形式上來講區(qū)別不大,這里不再給出.

圖8 脈沖波入射時單元內(nèi)部時域波形Fig.8.Time-domain signals using Gaussian pulse incidence.

圖9給出了單元內(nèi)部和單元間信號的頻譜分布情況,由于低頻能量過大,從顯示角度考慮,圖中未給出1000 Hz 以下能量分布.如圖9 所示,對于單元內(nèi)部各點來說(圖9(a)),2200 Hz 附近有顯著的能量分布,證明此頻率下的聲波能夠沿著聲柵波導傳播,并在單元內(nèi)部形成局域聲場.類似地,在圖9(b)中,1900 Hz 附近的高能量帶顯而易見,也正對應了頻域結(jié)果中的模式-1 的情況.此時,2200 Hz 附近也有一個傳播態(tài),這是由于模式-2 過強導致的.從能量的角度來看,模式-2 的能量相對模式-1 要小得多,因此可以認為此時波導中主要傳播的是模式-1 波.圖9 中,兩種模式的基本特點與頻域結(jié)果基本相似,這里不再贅述.

圖8 與圖9 中的結(jié)果證明了脈沖信號在所設(shè)計彎曲波導中的傳播特性,由于RB 模式的頻率選擇性,只能允許特定的頻率在波導中傳播,并且單元內(nèi)部與單元間傳播的頻率是不同的.也就是說,同時可以有兩種頻率的波在聲波導中傳播.

圖9 高斯脈沖入射時單元內(nèi)部(a)與單元間(b)信號頻譜Fig.9.Frequency spectra in (a) and between (b) the clusters using Gaussian pulse incidence.

5 結(jié) 論

本文基于RB 模式基本原理,設(shè)計了一種彎曲聲波導,特定頻率的聲波以特定模式在聲柵中傳播.研究過程中,從頻域和時域兩個方面考察了彎曲波導的特性.波導中存在兩種不同的RB 能量局域模式,一種分布在單元與單元之間,另一種模式中能量被更好地局域在環(huán)形單元內(nèi)部.由于作用位置不同,兩種模式具有不同的頻帶寬度以及Bloch周期分布特性.時域結(jié)果更好地檢測了彎曲聲波導在實際使用中的基本特性.對于特定頻率的調(diào)制脈沖信號來說,能夠以接近無損的狀態(tài)沿著波導設(shè)計的路徑傳播.而對于高斯脈沖信號來說,只有符合RB 模式頻率的那部分能量在波導中傳播,可以提高信號濾波和檢測的能力.RB模式不但可以在直線型聲柵中傳播,同樣可以沿著彎曲聲柵傳播,拓展了RB 模式的應用范圍,進而還可以通過優(yōu)化單元設(shè)計、改變聲柵結(jié)構(gòu)、設(shè)計不同功能組合等方面的工作,實現(xiàn)更豐富的聲傳播控制能力.