孫玉凱，楊超，吳志剛

（北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100083）

間隙非線性是一類重要的結(jié)構(gòu)非線性，主要存在于具有相對運(yùn)動(dòng)的不同結(jié)構(gòu)部件連接處［1］。實(shí)際結(jié)構(gòu)在加工裝配過程中可能由于誤差和公差，其接觸表面往往會(huì)存在間隙；另外，在運(yùn)行中結(jié)構(gòu)的失效或松動(dòng)也可能產(chǎn)生間隙。間隙非線性的存在使得結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，如超臨界Hopf分岔和亞臨界Hopf分岔［2］、極限環(huán)振蕩及混沌現(xiàn)象［3］。在氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中，控制面間隙非線性的出現(xiàn)會(huì)在低于線性顫振邊界內(nèi)引起結(jié)構(gòu)多種模式的極限環(huán)振蕩［4］，這種極限環(huán)振蕩現(xiàn)象將加速結(jié)構(gòu)失效。由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中間隙大小不易測量，通常需要通過系統(tǒng)辨識(shí)來建立結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型［5］。

近年來，非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的系統(tǒng)辨識(shí)的發(fā)展迅速從學(xué)術(shù)研究向?qū)嶋H工程應(yīng)用推廣，新發(fā)展的多自由度非線性系統(tǒng)辨識(shí)算法面向復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)。在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的非線性辨識(shí)領(lǐng)域，Kerschen等［6］總結(jié)了近年來的成果與發(fā)展，指出該領(lǐng)域未來的研究重點(diǎn)。對于間隙非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)辨識(shí)，雖然國內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究［7-10］，但缺乏準(zhǔn)確估計(jì)間隙邊界的方法，不同的間隙辨識(shí)模型的結(jié)果差異較大；另外，間隙的存在將非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分成了多個(gè)分段線性系統(tǒng)，現(xiàn)有方法難以準(zhǔn)確獲得每個(gè)分段線性系統(tǒng)的特性。

在工程應(yīng)用中，通過地面振動(dòng)試驗(yàn)獲取的模態(tài)參數(shù)是結(jié)構(gòu)描述和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)。然而，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，某一位置間隙的存在使結(jié)構(gòu)整體表現(xiàn)出非線性特性，使地面振動(dòng)試驗(yàn)的測試結(jié)果產(chǎn)生偏差，無法獲得結(jié)構(gòu)標(biāo)稱線性系統(tǒng)特性。雖然諸如力-狀態(tài)圖法［11］等方法可以直觀地描述間隙恢復(fù)力狀態(tài)，但獲取標(biāo)稱線性系統(tǒng)的模態(tài)特性十分困難。因此，能夠同時(shí)辨識(shí)標(biāo)稱線性系統(tǒng)和非線性系數(shù)的非線性系統(tǒng)辨識(shí)方法則擁有巨大的工程應(yīng)用前景。

本文針對含間隙非線性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，利用條件逆譜（Conditioned Reverse Path，CRP）法和時(shí)域非線性子空間（Time-domain Nonlinear Subspace Identification，TNSI）法，分別建立了間隙非線性的數(shù)學(xué)描述，并成功辨識(shí)出非線性結(jié)構(gòu)的標(biāo)稱線性系統(tǒng)與非線性系數(shù)。通過對含間隙非線性的二元翼段進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，驗(yàn)證并對比了2種辨識(shí)方法。

1 非線性系統(tǒng)辨識(shí)方法

1.1 條件逆譜法

條件逆譜法［12］是對逆譜法［13］的推廣，是一種頻域系統(tǒng)辨識(shí)方法。在頻域內(nèi)從測量信號(hào)中分離出標(biāo)稱線性系統(tǒng)的成分，從而獲得非線性系統(tǒng)的標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF）與非線性系數(shù)。

對于一個(gè)包含N個(gè)自由度的非線性系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程可以表示為［12］

式中：M、C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x（t）為位移/廣義位移向量；f（t）為力/廣義力向量；假設(shè)該系統(tǒng)包含n個(gè)非線性項(xiàng)，其中第j個(gè)非線性項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型為yj（t），Lj為非線性位置向量，表示第j個(gè)非線性項(xiàng)所在的自由度，μj為該非線性項(xiàng)系數(shù)。

將式（1）通過傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域：

式中：X（ω）、Yj（ω）、F（ω）分別為x（t）、yj（t）、f（t）的傅里葉變換；B（ω）=-ω2M+iωC+K為該系統(tǒng)標(biāo)稱線性系統(tǒng)的動(dòng)剛度矩陣。

傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法利用系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣H（ω）=B（ω）-1辨識(shí)得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

對于多自由度系統(tǒng)，頻響函數(shù)矩陣通常利用單邊功率譜密度估計(jì)，即H1估計(jì)和H2估計(jì)，分別為

式中：G為單邊功率譜密度矩陣，下標(biāo)分別表示對應(yīng)的輸入、輸出通道，其中F表示力信號(hào)，X表示位移信號(hào)，如GFX表示力與位移的互功率譜。

條件逆譜法將F（ω）作為系統(tǒng)的輸出，將X（ω）和Yj（ω）作為系統(tǒng)的輸入，則式（2）可以轉(zhuǎn)換為

系統(tǒng)如圖1所示。

考慮到通過測量得到的x（t）和f（t）及通過響應(yīng)計(jì)算得到的非線性響應(yīng)yj（t），其對應(yīng)的傅里葉變換信號(hào)中各非線性項(xiàng)之間互相關(guān)聯(lián)。以第2項(xiàng)非線性項(xiàng)的傅里葉變換Y2為例，其中包含與第1項(xiàng) 非 線 性 項(xiàng) Y1相 關(guān) 的 Y2（+1）和 不 相 關(guān) 的Y2（-1）。由于存在 相關(guān)性，則Y1與Y2（+1）之間的關(guān)系可以由傳遞函數(shù)T12來表示，即

關(guān)系如圖2所示。

圖1 條件逆譜法系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of system for CRP method

圖2 非線性項(xiàng)Y2 的分解Fig.2 Decomposition of nonlinear function Y2

類似的，對于第3項(xiàng)非線性項(xiàng)Y3的分解為

式中：Y3（+1）和Y3（+2）分別為第3項(xiàng)非線性項(xiàng)與第1、2項(xiàng)非線性項(xiàng)的相關(guān)成分，其關(guān)系分別通過T13和T23來表示。

一般情況下，第i項(xiàng)非線性項(xiàng)Yi中與前i-1個(gè)非線性項(xiàng)均無關(guān)的成分可以展開為

式中：類似式（3），Tji可以估計(jì)為

于是，位移響應(yīng)信號(hào)X和激勵(lì)信號(hào)F均可通過上述方法展開，如圖3和圖4所示。

經(jīng)過分解得到的位移響應(yīng)X（-1∶n）與所有非線性項(xiàng)無關(guān)，即可看作是標(biāo)稱線性系統(tǒng)的位移響應(yīng)為

圖3 位移響應(yīng)信號(hào)分解Fig.3 Decomposition of displacement response signal

圖4 激勵(lì)信號(hào)分解Fig.4 Decomposition of excitation signal

同理，分解后的激勵(lì)響應(yīng)F（-1∶n）為

1.1.1 標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)估計(jì)

利 用 激 勵(lì) 信 號(hào) F（-1∶n）和 位 移 響 應(yīng) 信 號(hào)X（-1∶n）的單邊功率譜密度，參考H1和H2估計(jì)方法，可以估計(jì)標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。

在進(jìn)行標(biāo)稱線性系統(tǒng)頻響函數(shù)估計(jì)的過程中，需要先計(jì)算非條件功率譜密度，并且需要注意的是，根據(jù)互惠條件，Gij=GHji，上標(biāo)H表示矩陣的Herm itian變換。一般情況下，系統(tǒng)的條件功率譜密度為（r＜i，j）

式中：T為采樣周期。

當(dāng)計(jì)算條件功率譜密度矩陣時(shí)，下標(biāo)i和j可以替換成X或F計(jì)算?；跅l件逆譜法估計(jì)的頻響函數(shù)，可以得到該標(biāo)稱線性系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

1.1.2 非線性系數(shù)辨識(shí)

根據(jù)式（14）可知，非線性系數(shù)使用遞歸方法從（μnLn）開始計(jì)算至（μ1L1）。

1.1.3 累積相干函數(shù)

在使用條件逆譜法的過程中，由于需要將非線性項(xiàng)看作系統(tǒng)的輸入，需要事先給定非線性項(xiàng)yj（t）的形式。為評估選擇的yj（t）描述是否符合系統(tǒng)實(shí)際，為此引入累積相干函數(shù)［14］作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。累積相干函數(shù)i為

1.2 時(shí)域非線性子空間法

時(shí)域非線性子空間法由Marchesiello和Garibaldi［15-16］總結(jié)并引入到非線性系統(tǒng)辨識(shí)中，該方法的關(guān)鍵在于將外力作為待辨識(shí)系統(tǒng)的輸入，其原理如圖5所示。子空間算法是通過諸如正交三角（QR）分解和奇異值分解（SVD）等矩陣運(yùn)算辨識(shí)得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，屬于魯棒性強(qiáng)的非迭代算法。

圖5 非線性振動(dòng)系統(tǒng)的反饋表示Fig.5 Feedback interpretation of nonlinear vibration systems

將式（1）中的非線性項(xiàng)移動(dòng)到等式右邊，即

將式（16）改寫為一階狀態(tài)空間矩陣的形式，假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為z=［xT˙xT］T，則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的狀態(tài)空間表示為

式中：u（t）=［fTy1… yn］T表示系統(tǒng)的擴(kuò)展輸入矩陣；下標(biāo)c指代連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)，Ac、Bc、Cc、Dc分別為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣、直接傳遞矩陣，即

對上述連續(xù)系統(tǒng)離散采樣，假設(shè)采樣率為fs=1/T，則離散后的狀態(tài)空間方程為

式中：下標(biāo)d表示離散系統(tǒng)。

根據(jù)數(shù)字采樣的零階保持假設(shè)，連續(xù)域與離散域之間的關(guān)系為

根據(jù)式（18），定義非線性系統(tǒng)擴(kuò)展的頻響函數(shù)矩陣HE為［16］

考慮

將式（22）代入到式（21）中，有

式中：P12=（K+jωC-ω2M）-1M。

系統(tǒng)的標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)為

于是，式（23）最終簡化為

根據(jù)式（25）可以辨識(shí)得到標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)及非線性系數(shù)。

2 數(shù)值算例

在空氣動(dòng)力學(xué)與氣動(dòng)彈性等相關(guān)領(lǐng)域中，二元翼段通常是驗(yàn)證新方法、檢驗(yàn)新技術(shù)手段的典型模型，其結(jié)構(gòu)自由度較低，并且可使用二維氣動(dòng)力開展研究。對于結(jié)構(gòu)間隙引起的非線性氣動(dòng)彈性問題，含間隙二元翼段也是十分理想的研究對象，不僅有解析解或半解析解作為對照［17］，更得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究［18］；在風(fēng)洞試驗(yàn)的研究中，含間隙的非線性翼段模型也受到了廣泛的關(guān)注［19］。獲取準(zhǔn)確的間隙參數(shù)是理論分析與試驗(yàn)探究相結(jié)合的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因此，本文將以含間隙的二元翼段為例，開展非線性系統(tǒng)辨識(shí)的研究，討論對比2種非線性辨識(shí)方法。

2.1 非線性二元翼段模型

考慮一個(gè)具有沉浮h和俯仰α兩個(gè)自由度的二元翼段［20］，如圖6所示。圖中：b為二元翼段半弦長，ab為剛心E到翼段中心O的距離（剛心在中心后為正），xa為重心G到剛心E的距離（重心在剛心后為正）。h為沉浮自由度位移，α為俯仰自由度位移。在俯仰自由度上存在間隙非線性，忽略系統(tǒng)的阻尼。沉浮自由度和俯仰自由度的剛度分別為kh和kα。

圖6 二自由度二元翼段模型Fig.6 2-DOF wing section model

通過拉格朗日方程可以寫出其動(dòng)力學(xué)方程為式中：m為翼段質(zhì)量；Sα為翼段對剛心E軸的靜矩；Iα為翼段對剛心E軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；kh為沉浮自由度的剛度系數(shù)；fh和fα分別表示對應(yīng)自由度上的外力；fnl（α）為包含間隙的俯仰自由度非線性恢復(fù)力，其數(shù)學(xué)描述為

其中：kα為俯仰自由度剛度系數(shù)；dα為間隙大小。式（27）表示的間隙模型如圖7所示。

圖7 間隙非線性的恢復(fù)力曲線Fig.7 Restoring force of freeplay nonlinearity

2.2 標(biāo)稱線性系統(tǒng)

由于間隙的存在，式（26）描述的非線性系統(tǒng)可以拆分成不同的線性系統(tǒng)的組合。不妨定義該間隙非線性系統(tǒng)的2個(gè)標(biāo)稱線性系統(tǒng)分別是上標(biāo)稱線性系統(tǒng)（Overlying Linear System，OLS）和下標(biāo) 稱 線 性 系 統(tǒng) （Underlying Linear System，ULS）［21］，其定義分別如下：

1）OLS。當(dāng)非線性間隙不存在時(shí)，即式（27）中的dα=0，此時(shí)的系統(tǒng)稱為上標(biāo)稱線性系統(tǒng)，即普遍認(rèn)為的間隙非線性系統(tǒng)中的標(biāo)稱線性系統(tǒng)。式（26）的OLS為

2）ULS。當(dāng)kα=0時(shí)，即式（27）描述的非線性恢復(fù)力fnl（α）=0，此時(shí)的系統(tǒng)稱為下標(biāo)稱線性系統(tǒng)。式（26）的ULS為

該二元翼段的結(jié)構(gòu)基本參數(shù)如表1所示，其沉浮自由度剛度為kh=782.74 N/m，俯仰自由度剛度為kα=24.22 N·m/rad，若俯仰自由度間隙dα=0 rad，即得到該二元翼段的標(biāo)稱線性情況。該二元翼段標(biāo)稱線性情況的固有頻率為沉浮固有頻率2.61 Hz，俯仰固有頻率為5.05 Hz。

2.3 數(shù)值仿真與模態(tài)辨識(shí)

對該二元翼段的俯仰自由度施加頻帶范圍0～50 Hz的隨機(jī)激勵(lì)，隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)度由激勵(lì)信號(hào)的均方根（Root Mean Square，RMS）表示，使用Runge-Kutta數(shù)值仿真得到二元翼段的振動(dòng)響應(yīng)。仿真采樣率設(shè)置為1 000 Hz，仿真總時(shí)長為120 s。非線性系統(tǒng)仿真時(shí)的間隙大小取dα=0.01 rad。為模擬真實(shí)的試驗(yàn)情況，仿真中添加2%的噪聲。取響應(yīng)穩(wěn)定之后的一段長度為214個(gè)樣本點(diǎn)的數(shù)據(jù)，利用平均周期圖法及根據(jù)式（3）估計(jì)該二元翼段的頻響函數(shù)曲線。

在不同的激勵(lì)水平作用下（激勵(lì)水平對應(yīng)的隨機(jī)力RMS值見表2），系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線如圖8所示。在選取的0～15 Hz的頻率范圍內(nèi)，隨著激勵(lì)的增加，頻響函數(shù)曲線呈現(xiàn)出2個(gè)穩(wěn)定的峰值，分別對應(yīng)二元翼段的沉浮模態(tài)和俯仰模態(tài)。其中，由于俯仰自由度間隙非線性的影響，使得頻響函數(shù)曲線中俯仰模態(tài)的峰值隨激勵(lì)水平變化（見圖8中藍(lán)色箭頭）。

表2 激勵(lì)水平與對應(yīng)的隨機(jī)力RM S值Tab le 2 Excitation levels and corresponding RM S value of random excitation force

圖9顯示了頻帶0～30 Hz內(nèi)，低激勵(lì)水平（隨機(jī)力RMS為0.0048N·m）與高激勵(lì)水平（隨機(jī)力RMS為0.230 8 N·m）的頻響函數(shù)曲線對比。低激勵(lì)幅值的頻響函數(shù)曲線畸變嚴(yán)重，無法準(zhǔn)確獲得系統(tǒng)的模態(tài)特性；而且由于間隙非線性的存在，使得系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)高頻振動(dòng)。

圖8 隨激勵(lì)水平變化的頻響函數(shù)Fig.8 Variation of FRF with excitation level

3 非線性系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果

3.1 條件逆譜法辨識(shí)結(jié)果

在使用條件逆譜法辨識(shí)間隙非線性時(shí)，非線性函數(shù)fnl（α）的描述定義為

式中：μ為待辨識(shí)的非線性系數(shù)；間隙非線性模型通過參數(shù)ν來調(diào)整，該數(shù)學(xué)模型描述的準(zhǔn)確性通過累積相干函數(shù)評估。

為了通過系統(tǒng)辨識(shí)獲得非線性系統(tǒng)的OLS，根據(jù)式（30）將描述非線性的函數(shù)y定義為

當(dāng)激勵(lì)水平為隨機(jī)力RMS 0.048 6 N·m時(shí)，利用條件逆譜法辨識(shí)獲得系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線如圖10所示?？梢钥闯?，條件逆譜法可以獲得清晰的OLS頻響函數(shù)曲線。根據(jù)條件逆譜法獲得的頻響函數(shù)曲線，利用模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法即可獲得標(biāo)稱線性系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

利用牛頓切線法對非線性描述式（31）中的ν進(jìn)行迭代優(yōu)化，使得辨識(shí)的累積相干函數(shù)最大。俯仰自由度下的累積相干函數(shù)如圖11所示，其均值為0.95，表明辨識(shí)得到的非線性模型與實(shí)際非線性系統(tǒng)特性吻合，此時(shí)ν=261。

在得到標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣之后，利用式（14）可以得到系統(tǒng)的非線性系數(shù)，辨識(shí)得到的非線性系數(shù)μ的結(jié)果如圖12所示。表3給出了在不同激勵(lì)水平下辨識(shí)得到的非線性系數(shù)?？梢钥闯觯蔷€性系數(shù)的辨識(shí)結(jié)果一致性較好。通過式（31）重構(gòu)非線性恢復(fù)力曲線如圖13所示?？梢钥闯觯孀R(shí)得到的非線性恢復(fù)力曲線與真實(shí)的恢復(fù)力曲線一致。

圖10 條件逆譜法辨識(shí)得到的OLS頻響函數(shù)曲線Fig.10 FRF of OLS identified by CRPmethod

圖11 俯仰自由度的累積相干函數(shù)Fig.11 Cumulative coherence function of pitch DOF

圖12 條件逆譜法辨識(shí)的非線性系數(shù)Fig.12 Nonlinear coefficient identified by CRPmethod

表3 不同激勵(lì)水平下辨識(shí)的非線性系數(shù)Tab le 3 Identified non linear coefficient under different excitation levels

圖13 條件逆譜法辨識(shí)的非線性恢復(fù)力曲線Fig.13 Nonlinear restoring force identified by CRPmethod

3.2 時(shí)域非線性子空間法辨識(shí)結(jié)果

在使用時(shí)域非線性子空間法辨識(shí)間隙非線性時(shí)，非線性函數(shù)fnl（α）的定義參考式（27），選定20個(gè)非線性項(xiàng)，定義如下：

式中：dj為可選定的間隙大?。沪蘪為第j個(gè)非線性項(xiàng)的非線性系數(shù)。

為了能夠真實(shí)地刻畫間隙大小，將測量的響應(yīng)位移范圍［0，max（|α|）］均分為20段，分別為［dj-1，dj］，d0=0，j=1，2，…，20［16］。

當(dāng)激勵(lì)水平為隨機(jī)力RMS 0.022 6N·m時(shí)，利用時(shí)域非線性子空間法辨識(shí)得到的非線性系數(shù)μj如圖14所示。可以看出，非線性系數(shù)主要集中在0.01 rad附近。

為了得到更加精確的結(jié)果，可以進(jìn)一步縮小選定的間隙dj的區(qū)間為［0.008，0.012］rad，將該區(qū)間均分為10段，通過第二次時(shí)域非線性子空間法辨識(shí)得到的非線性系數(shù)如圖15所示。圖16給出了上述2次辨識(shí)獲得的ULS的頻響函數(shù)曲線，圖17顯示了2次辨識(shí)獲得的非線性恢復(fù)力曲線與標(biāo)稱曲線的對比。結(jié)果表明，時(shí)域非線性子空間辨識(shí)可以準(zhǔn)確地獲得間隙參數(shù)，對非線性恢復(fù)力曲線中拐點(diǎn)的估計(jì)也十分準(zhǔn)確。

利用辨識(shí)得到的非線性二元翼段ULS與間隙參數(shù)，可以重構(gòu)該非線性二元翼段的標(biāo)稱線性系統(tǒng)，其頻響函數(shù)曲線如圖18所示?？梢钥闯?，時(shí)域非線性子空間法可以準(zhǔn)確地辨識(shí)出含間隙非線性系統(tǒng)的標(biāo)稱線性系統(tǒng)。子空間辨識(shí)法獲得的標(biāo)稱線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)可以方便地使用Poly-MAX［22］等模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法辨識(shí)，圖19的穩(wěn)態(tài)圖可以直觀地反映系統(tǒng)的模態(tài)特性。

圖14 區(qū)間［0，max（|α|）］內(nèi)的非線性系數(shù)分布Fig.14 Nonlinear parameter distribution in theinterval［0，max（|α|）］

圖15 區(qū)間［0.008，0.012］rad內(nèi)的非線性系數(shù)分布Fig.15 Nonlinear parameter distribution in the interval［0.008，0.012］rad

圖16 辨識(shí)得到的非線性二元翼段ULS的頻響函數(shù)曲線Fig.16 Identified FRF of ULS of nonlinear 2-DOF wing section

圖17 時(shí)域非線性子空間法辨識(shí)的非線性恢復(fù)力曲線Fig.17 Nonlinear restoring force identified by TNSImethod

圖18 辨識(shí)得到的非線性二元翼段OLS的頻響函數(shù)曲線Fig.18 Identified FRF of OLS of nonlinear 2-DOF wing section

圖19 辨識(shí)得到的OLS頻響函數(shù)曲線穩(wěn)態(tài)圖Fig.19 Stabilization diagram of identified FRF of OLS

3.3 方法對比

條件逆譜法和時(shí)域非線性子空間法都能準(zhǔn)確地辨識(shí)出非線性系統(tǒng)的OLS。一方面，由于2種方法選用的非線性數(shù)學(xué)描述不同，條件逆譜法可以直接獲得系統(tǒng)的OLS，但對間隙非線性拐點(diǎn)的辨識(shí)不太準(zhǔn)確；時(shí)域非線性子空間法可直接獲得系統(tǒng)的ULS，也能準(zhǔn)確地辨識(shí)間隙非線性拐點(diǎn)，系統(tǒng)的OLS則需要重構(gòu)。另一方面，條件逆譜法辨識(shí)獲得的非線性系數(shù)隨頻率線有波動(dòng)，而由于子空間辨識(shí)算法的魯棒性較好，在非線性特性較強(qiáng)時(shí)也能辨識(shí)出清晰的頻響函數(shù)曲線。2種方法的特性在表4中做了系統(tǒng)的對比和總結(jié)。

表4 條件逆譜法和時(shí)域非線性子空間法屬性對比Tab le 4 Proper ty com parison between CRP and TNSI

4 結(jié) 論

1）條件逆譜法和時(shí)域非線性子空間法均可辨識(shí)含間隙非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，獲得系統(tǒng)的標(biāo)稱線性系統(tǒng)與對應(yīng)的非線性系數(shù)。

2）2種方法辨識(shí)過程中對間隙非線性采用了不同的數(shù)學(xué)描述，均能獲得與理論值一致的非線性恢復(fù)力曲線。時(shí)域非線性子空間法對間隙非線性拐點(diǎn)的辨識(shí)更加準(zhǔn)確，條件逆譜法可以直接獲得標(biāo)稱線性系統(tǒng)特性。