（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

厄米系統(tǒng)是保守的，不與外界發(fā)生能量交換且不具有增益和損耗。與之相反，非厄米系統(tǒng)具有增益或損耗，是開(kāi)放邊界條件的系統(tǒng)，其物理量通常用非厄米算符描述。非厄米算符的本征值一般是復(fù)數(shù)［1］，非厄米系統(tǒng)與厄米系統(tǒng)的一個(gè)明顯區(qū)別是非厄米系統(tǒng)存在奇異點(diǎn)（Exceptional Point，EP）。在奇異點(diǎn)處，非厄米系統(tǒng)本征值和本征態(tài)同時(shí)發(fā)生簡(jiǎn)并合并。奇異點(diǎn)附近通常伴隨著能級(jí)排斥、交叉、相位突變等異常光學(xué)現(xiàn)象，所以在單向無(wú)反射傳輸、損耗誘導(dǎo)透明、微型激光器、超靈敏傳感等領(lǐng)域具有十分重要的應(yīng)用［2-8］。奇異點(diǎn)概念最先由Kato［9］提出，研究人員通常使用兩個(gè)耦合的諧振單元構(gòu)建并研究二態(tài)非厄米系統(tǒng)，從立體微波腔、耦合電子電路系統(tǒng)，再到光學(xué)腔、原子腔等［10-15］。在此基礎(chǔ)上，Ding 等［16］利用四階哈密頓矩陣分析4 個(gè)耦合聲學(xué)微腔組成的四態(tài)非厄米系統(tǒng)；程時(shí)航等［17］利用矩陣本征值研究四態(tài)微環(huán)耦合系統(tǒng)；Hossein 等［18］利用三階矩陣研究光學(xué)微環(huán)組成的高階非厄米系統(tǒng)。然而利用耦合模理論研究高階非厄米系統(tǒng)的工作仍然較少。本文在二態(tài)系統(tǒng)的耦合模理論基礎(chǔ)上［19-21］，將耦合模理論推廣至四態(tài)非厄米系統(tǒng)，從理論上分析四態(tài)系統(tǒng)的傳輸系數(shù)。在CST 仿真軟件中設(shè)計(jì)雙開(kāi)口諧振環(huán)，以4 個(gè)雙開(kāi)口諧振環(huán)組成四態(tài)非厄米系統(tǒng)。利用時(shí)域有限差分法模擬此系統(tǒng)的傳輸系數(shù)，結(jié)果表明仿真與理論分析吻合。

1 模型設(shè)計(jì)與分析

構(gòu)建如圖1 所示四態(tài)非厄米系統(tǒng)，此系統(tǒng)含有4 個(gè)諧振單元：A，B，C，D。其中直接與入射波（光）耦合的“亮態(tài)”諧振單元由Port j 入射，j=1.2）、“暗態(tài)”諧振單元（不能直接被入射波（光）激勵(lì)，而是與諧振單元耦合）為一組，具有相同的諧振頻率ω1，組內(nèi)耦合系數(shù)為K。同理為一組，具有相同的諧振頻率ω2，組內(nèi)耦合系數(shù)也為K。兩組諧振單元之間引入組間耦合系數(shù)t'。之間沒(méi)有近場(chǎng)耦合。

Fig.1 Four state non Hermitian system model圖1 四態(tài)非厄米系統(tǒng)模型

四態(tài)非厄米系統(tǒng)四端口相干激勵(lì)時(shí)，基于耦合模理論的運(yùn)動(dòng)方程表示如下：

Γa，Γb，Γc，Γd分別是諧振單元A，B，C，D 的耗散損耗，γa，γc分別是“亮態(tài)”諧振單元A，C 的散射損耗。其中。式（1）中，第一項(xiàng)表示“亮態(tài)”A 在散射損耗γa、耗散損耗Γa下的諧振，ω1為“亮態(tài)”原子的中心頻率；第二項(xiàng)表示“亮態(tài)”A 和“暗態(tài)”B 原子間的組內(nèi)耦合；第三項(xiàng)表示“亮態(tài)”A 和“暗態(tài)”D 間的組間耦合；第四項(xiàng)表示“亮態(tài)”A 與入射波（光）的耦合。式（3）同理。式（2）中，第一項(xiàng)表示“暗態(tài)”原子在耗散損耗Γb下的諧振，ω1為諧振環(huán)的本征頻率；第二項(xiàng)表示“暗態(tài)”B 與“亮態(tài)”A 間的組內(nèi)耦合；第三項(xiàng)表示“亮態(tài)”C和“暗態(tài)”B 間的組間耦合。由于“暗態(tài)”原子無(wú)法與入射波（光）直接耦合，因此沒(méi)有第四項(xiàng)，式（4）同理。

當(dāng)入射波只從Port1 入射時(shí)，方程如下：

其中

四態(tài)非厄米系統(tǒng)的傳輸系數(shù)如下：

2 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

為驗(yàn)證以上理論分析的正確性，利用時(shí)域有限差分法仿真分析四態(tài)非厄米系統(tǒng)。圖2 給出四態(tài)非厄米系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)，在諧振環(huán)開(kāi)口處加載電子元器件如電容、電阻。控制諧振環(huán)的共振頻率ω1與耗散損耗Γ、諧振環(huán)之間的距離決定組內(nèi)耦合強(qiáng)度K和組間耦合強(qiáng)度t'。上述參數(shù)確定方法如下：通過(guò)電磁場(chǎng)仿真軟件CST 得到單個(gè)諧振環(huán)的本征頻率以及損耗特性；然后加入暗態(tài)諧振環(huán)構(gòu)成耦合的二態(tài)非厄米系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)，研究原子間的耦合強(qiáng)度特性。

圖2 中含有4 個(gè)雙開(kāi)口諧振環(huán)和上下兩個(gè)微帶線。雙開(kāi)口諧振環(huán)尺寸大小為13.2 mm*7.8 mm，銅線寬0.8 mm，諧振環(huán)上端寬度為4.04 mm，兩側(cè)設(shè)計(jì)為45°斜線，可與相鄰諧振環(huán)進(jìn)行耦合。上下微帶線寬度為2.4 mm，諧振環(huán)與微帶線距離為0.2 mm?；宀牧蠟榫鬯姆蚁?，相對(duì)介電常數(shù)εr=2.2，基板厚度為0.787 mm，雙面覆銅。每個(gè)開(kāi)口諧振環(huán)上都加載一個(gè)電容與一個(gè)電阻。使用CST 仿真可得到單個(gè)諧振環(huán)上加載不同電容值時(shí)的本征頻率ω1，如圖3 所示。環(huán)上加載的電容大小決定諧振環(huán)本征頻率。在單個(gè)諧振環(huán)上加載不同電阻時(shí)的反射譜如圖4 所示。電阻越大，反射率峰值越低，反射率的半高寬越大，即損耗越大。電阻值與損耗進(jìn)行線性擬合得到“亮態(tài)”諧振環(huán)的耗散損耗Γ=0.014 5*R GHz，散射損耗γ=0.013 6 GHz。其中R為開(kāi)口環(huán)加載的電阻大小。

Fig.2 State the Hermitian system structure圖2 四態(tài)非厄米系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

Fig.3 Different load capacitance in the resonant ring reflection spectrum圖3 在諧振環(huán)上加載不同電容的反射譜

Fig.4 On resonant ring loading the reflection spectrum of different resistance圖4 在諧振環(huán)上加載不同電阻的反射譜

在計(jì)算耦合強(qiáng)度時(shí)需引入“暗態(tài)”諧振單元，由兩個(gè)開(kāi)口諧振環(huán)組建二態(tài)系統(tǒng)。使用CST 仿真軟件計(jì)算加載相同電容值1.2 pf 的二態(tài)系統(tǒng)反射譜線，結(jié)果如圖5 所示。其中耦合強(qiáng)度等于反射譜峰值頻率差的二分之一，隨環(huán)間距s 從0.6 mm 減小至0 mm，反射譜線的兩個(gè)峰間距增大，即耦合強(qiáng)度增大。

使用CST 電磁仿真軟件，計(jì)算加載1.2 pf 電容的開(kāi)口諧振環(huán)四態(tài)非厄米系統(tǒng)加載電阻為1 Ω 時(shí)的傳輸譜線，如圖6 所示。前述計(jì)算可得四態(tài)非厄米系統(tǒng)中的各種參數(shù)，4 個(gè)諧振環(huán)都加載1.2 pf 電容時(shí)，諧振環(huán)本征頻率ω1=1.24 GHz，加載電阻為1 Ω 時(shí)，耗散損耗Γ=0.014 5 GHz和散射損耗γ=0.013 6 GHz。四態(tài)系統(tǒng)組內(nèi)間距為0.2 mm，組間間距為0.4 mm 時(shí)，組內(nèi)耦合強(qiáng)度K=0.045 GHz，組間耦合強(qiáng)度t'=0.025 GHz，將各類參數(shù)帶入耦合模方程得非厄米系統(tǒng)的S 參數(shù)及實(shí)部虛部，如圖7 所示。對(duì)比CST 仿真數(shù)據(jù)圖6 和數(shù)值模擬圖7（c），結(jié)果基本一致。

Fig.5 Binary system under the different spacing of reflection spectrum圖5 二態(tài)系統(tǒng)不同間距下的反射譜

Fig.6 CST simulation of four state system transmission line圖6 CST 仿真的四態(tài)系統(tǒng)傳輸譜線

Fig.7 The numerical simulation圖7 數(shù)值模擬

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于CST 仿真軟件設(shè)計(jì)并仿真了四態(tài)非厄米系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)中諧振頻率為1.24GHz 的諧振單元損耗與耦合強(qiáng)度，并分析了四態(tài)非厄米系統(tǒng)耦合機(jī)制，利用耦合模理論計(jì)算了系統(tǒng)傳輸系數(shù)。仿真結(jié)果和數(shù)值計(jì)算一致，驗(yàn)證了耦合模理論處理四態(tài)非厄米系統(tǒng)問(wèn)題的可行性。本文的四態(tài)耦合模理論可以用于分析光子晶體系統(tǒng)、光纖微環(huán)系統(tǒng)等不同頻段的四態(tài)非厄米系統(tǒng)。同時(shí)在仿真中發(fā)現(xiàn)隨著加載電容的變化，諧振環(huán)損耗有誤差，后期可通過(guò)擬合減少誤差。