靳其寶，李英華

（1.廣東海洋大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，廣東 湛江 524088；2.廣東海洋大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東 湛江 524088）

深海浮式張力腿平臺(tái)（Tension Leg Platform，TLP）是一個(gè)復(fù)雜的流固耦合體系，受到波浪、海流、地震和風(fēng)激等多種外部激勵(lì)的作用，具有大慣性、大遲滯特征。解決復(fù)雜環(huán)境下外載荷引發(fā)的系統(tǒng)振動(dòng)沖擊問(wèn)題，可以提高平臺(tái)工作穩(wěn)定性，而位置軌跡優(yōu)化是有效緩解系統(tǒng)內(nèi)部振動(dòng)的有效手段之一。浮動(dòng)平臺(tái)繞X、Y、Z三定軸角度轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題可視為以各自軸所形成的關(guān)節(jié)的角位置優(yōu)化問(wèn)題。在機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角軌跡規(guī)劃研究中，Liu 等[1]對(duì)一種空間三轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)（3-RRC）并聯(lián)機(jī)械手進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了最優(yōu)軌跡；Vittek等[2]基于驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)摩擦損失，采用歐拉-拉格朗日最小化法和對(duì)稱梯度速度描述法，表達(dá)和驗(yàn)證在考慮常數(shù)和線性摩擦及力矩載荷情況下的電機(jī)能量-位置控制最優(yōu)問(wèn)題；Ma 等[3]利用分段五階多項(xiàng)式對(duì)車門的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行參數(shù)化對(duì)執(zhí)行開(kāi)門任務(wù)的機(jī)器人的能量消耗進(jìn)行了優(yōu)化研究，提出一種以關(guān)節(jié)力矩二次項(xiàng)為目標(biāo)函數(shù)的兩步法求解優(yōu)化算法，解決了機(jī)械手的最優(yōu)基座位置和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡最優(yōu)問(wèn)題；Izumi 等[4]提出一種基于最小關(guān)節(jié)耗散能的最優(yōu)路徑規(guī)劃方法，用以解決垂直鉸接機(jī)械手的節(jié)能問(wèn)題。盡管基于最小能耗原理優(yōu)化方法在某種意義上能夠用來(lái)獲得最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，但由于系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程通常具有高度非線性的特點(diǎn)，難以采用極大值原理去計(jì)算最優(yōu)能量下的軌跡參數(shù)變量，因而通常采用曲線構(gòu)造的方法以獲得新的優(yōu)化控制軌跡。為此，Behroo 等[5]提出一種無(wú)碰撞軌跡的次優(yōu)規(guī)劃方法，采用B 樣條插值方法逼近規(guī)劃的理想軌跡，并采用遺傳算法搜索出包絡(luò)該動(dòng)態(tài)軌跡的三條外圍軌跡，最后得出軌跡的次優(yōu)解；Gasparetto[6]采用五次樣條曲線算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的模擬方法，同時(shí)又基于最小能量原理獲得約束條件下的最優(yōu)軌跡。

深海浮式平臺(tái)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)原理形同關(guān)節(jié)機(jī)器人的關(guān)節(jié)形成的轉(zhuǎn)動(dòng)副，但由于其具備大質(zhì)量、大慣性的特征，故其與普通關(guān)節(jié)軌跡位置優(yōu)化研究存在不同之處。為此，本研究采用曲線分段插值的曲線軌跡構(gòu)造方法[7-11]，即通過(guò)高次樣條曲線插值逼近原始位置曲線從而獲得新的軌跡控制曲線，并基于關(guān)節(jié)分段運(yùn)動(dòng)能耗構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化模型，以速度、加速度為約束條件，通過(guò)粒子群搜索算法得到平臺(tái)回轉(zhuǎn)的位置軌跡優(yōu)化曲線。

1 方法

1.1 構(gòu)造位置插值曲線

海上浮式TLP平臺(tái)存在6 個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，即X、Y、Z軸向的平動(dòng)（橫蕩、縱蕩、垂蕩）及小范圍定軸回轉(zhuǎn)。為使控制輸入能耗盡可能小、運(yùn)行盡可能平緩，需綜合考慮平臺(tái)位置轉(zhuǎn)動(dòng)與能量綜合最優(yōu)控制問(wèn)題以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的可控性，進(jìn)而減緩整體結(jié)構(gòu)的面內(nèi)穩(wěn)定性。

圖1 張力腿平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度示意圖Fig.1 Diagram of rotational degrees of freedom of platform with tension cables

圖1 為坐標(biāo)系{O-XYZ}中的海上浮式張力腿平臺(tái)回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)示意圖，圖中平臺(tái)在外力作用下產(chǎn)生繞X、Y、Z三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。本研究從運(yùn)動(dòng)角度對(duì)輸入軌跡進(jìn)行優(yōu)化，分析理想條件下能耗與位置間的關(guān)系，通過(guò)合理的優(yōu)化算法得到最小能耗的位置軌跡。

為便于分析，忽略環(huán)境載荷對(duì)系統(tǒng)的影響，分別進(jìn)行如下定義：虛關(guān)節(jié)1，為TLP與X軸構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)副；虛關(guān)節(jié)2，為TLP與Y軸構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)副；虛關(guān)節(jié) 3，為 TLP與Z軸構(gòu)成的轉(zhuǎn)動(dòng)副；Δq1、Δq2、Δq3，為平臺(tái)在某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)分別繞X、Y、Z三軸產(chǎn)生的小幅轉(zhuǎn)角。

與關(guān)節(jié)i（i=1,2,3）的相關(guān)變量定義為：角位置矢量q=[q1q2q3]和角速度矢量，其中，qi為關(guān)節(jié)i的絕對(duì)關(guān)節(jié)角，為關(guān)節(jié)i的角速度分量。忽略系統(tǒng)的外界攝動(dòng)因素影響，則系統(tǒng)保持動(dòng)量矩守恒，其動(dòng)量矩守恒方程如下：

式中，Pi（i=1,2,3）為對(duì)應(yīng)的慣性參數(shù)qi的非線性函數(shù)。

式(1)代表的系統(tǒng)不可積分，屬于典型的受非完整約束的系統(tǒng)[12]。在速度空間中和時(shí)間周期t∈[0,T]內(nèi)選取某個(gè)優(yōu)化指標(biāo)u(t)，t∈[0,T/4]為控制輸入，可最終確定系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中關(guān)節(jié)的優(yōu)化軌跡?；谧钚∧芰靠刂圃?，選關(guān)節(jié)耗散能為最優(yōu)控制指標(biāo)之一，構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)作為能耗函數(shù)：

顯然，由于系統(tǒng)可控，式(2)必存在最優(yōu)解u*∈L2，其中，L2表示Hilbert 空間可測(cè)向量函數(shù)?？刂戚斎氡硎緸椋?/p>

式中，非線性函數(shù)qi(i=1,2,3)為t的函數(shù)，可通過(guò)構(gòu)造如下“4-3-3-4”插值函數(shù)逼近q1、q2、q3：

式中，i（i=1,2,3）表示第i個(gè)關(guān)節(jié)，j（j=0,1,2,3,4）表示關(guān)節(jié)i的第j段曲線。對(duì)式(4)求導(dǎo)，得到

將式(5)代入式(3)，得

式(6)即建立了關(guān)節(jié)總能耗J與各關(guān)節(jié)角位置q1、q2、q3間的數(shù)值關(guān)系，由此，關(guān)節(jié)位置的最優(yōu)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為能耗J的最優(yōu)控制問(wèn)題。

1.2 構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化模型

優(yōu)化目標(biāo)為θ1、θ2、θ3、θ4，其中θ1、θ2分別對(duì)應(yīng)繞橫蕩X軸轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡曲線產(chǎn)生的位置軌跡最高、最低兩個(gè)控制點(diǎn)；θ3、θ4則分別對(duì)應(yīng)繞縱蕩Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡曲線產(chǎn)生的位置軌跡最高、中間兩個(gè)控制點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)基于能耗最低輸入條件下的多個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化求解，最終通過(guò)插值算法得到優(yōu)化路徑及新的位置曲線。構(gòu)造如下多目標(biāo)優(yōu)化算法模型，將以上數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下非線性規(guī)劃求解問(wèn)題：

式中，θ1、θ2、θ3、θ4，為優(yōu)化變量；，分別為關(guān)節(jié)i 的原始速率和加速率極值；w1、w2，分別為節(jié)約能量和效率之間的線性遞減慣性權(quán)值，且w1+w2=1；，為關(guān)節(jié)i 的第j 段曲線的角速度值；，為關(guān)節(jié)i 的第j 段曲線的角加速度值；，為優(yōu)化效率，實(shí)際工程要求給出具體指標(biāo)；ηmin，為可接受的最小效率；Jmax，為優(yōu)化前最大功耗。

1.3 軌跡優(yōu)化搜索算法PSO

以原始規(guī)劃下的關(guān)節(jié)i（i=1,2,3）角位置、角速度及角加速度曲線的極值點(diǎn)為約束條件，采用基于位置最優(yōu)的粒子群搜索算法以得到新軌跡曲線的關(guān)鍵控制點(diǎn)。

圖2 為PSO 算法流程圖。PSO 算法基本思想：一個(gè)由M 個(gè)粒子組成的群體在D 維空間中以一定速度飛行，則粒子在t+1 時(shí)刻的位置為

式(10)中，t、tmax，分別為當(dāng)前迭代次數(shù)、最大迭代次數(shù)；wstart、wend，分別為慣性權(quán)重初始值、終止值。

考慮慣性權(quán)重w，則式(8)變?yōu)椋?/p>

圖2 軌跡優(yōu)化PSO 流程圖Fig.2 Flow diagram of PSO algorithm based on location optimization

2 仿真與分析

2.1 關(guān)節(jié)軌跡優(yōu)化仿真與分析

為驗(yàn)證筆者提出的基于最小能耗的位置優(yōu)化算法，以平臺(tái)在面內(nèi)繞X、Y軸兩自由度轉(zhuǎn)動(dòng)的位置參數(shù)q1、q2為角位置軌跡優(yōu)化目標(biāo)。為驗(yàn)證算法的有效性，任意給出繞X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位置、角速度、角加速度的曲線轉(zhuǎn)動(dòng)路徑（圖3），以此作為目標(biāo)優(yōu)化對(duì)象，并考慮圖中位置、速度及加速度的上、下界極值點(diǎn)，將其作為本優(yōu)化目標(biāo)的約束條件。

取學(xué)習(xí)因子c1＝c2＝2 及慣性權(quán)重w＝0.4～ 0.9，以關(guān)鍵角位置θ（即控制節(jié)點(diǎn)）作為待尋優(yōu)量，采用粒子群算法在變量θ空間中實(shí)現(xiàn)位置迭代最優(yōu)搜索，最終確定轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的優(yōu)化軌跡。表1 為關(guān)節(jié)i(i=1,2)角度隨時(shí)間的插值點(diǎn)，其中，(T/4,θ1)、(3T/4,θ2)為關(guān)節(jié)1 的兩個(gè)位置曲線路徑點(diǎn)；(T/2,θ4)為關(guān)節(jié)2 曲線經(jīng)過(guò)的一個(gè)極值點(diǎn)，(T/4,θ3)、(3T/4,θ3)為關(guān)節(jié)2 經(jīng)過(guò)兩側(cè)過(guò)渡點(diǎn)。

圖3 關(guān)節(jié)i 原始軌跡規(guī)劃Fig.3 Original trajectory planning of joint i

表1 關(guān)節(jié)i (i =1,2)在單個(gè)周期內(nèi)的控制點(diǎn)Table 1 Key control points of interpolation curves

在PSO 算法中，角位置θi(i=1,2,3,4)作為待優(yōu)化量，在不同位置、速度及加速度約束下，用PSO求解最優(yōu)位置點(diǎn)，通過(guò)跟蹤群體最好位置在每次迭代過(guò)程中的位置變化，得到圖4 和圖5 所示的關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 對(duì)應(yīng)的最優(yōu)粒子的位置進(jìn)化值s1、s2。由圖4、圖5 可知，平臺(tái)繞X、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)角在約束條件（表2）下，關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的最優(yōu)粒子分別最多經(jīng)過(guò)25 次和35 次迭代快速收斂于表3 所示的角位置優(yōu)化收斂值。

表2 關(guān)節(jié)i (i =1,2)約束條件Table 2 Constraint condition of interpolation curves

圖4 關(guān)節(jié)1 位置最優(yōu)迭代值1sFig.4 Optimal location iterative value1s of joint 1

圖5 關(guān)節(jié)2 位置最優(yōu)迭代值2sFig.5 Optimal location iterative value2s of joint 2

表3 優(yōu)化后的最優(yōu)位置量Table 3 Optimized control points after optimization

由表3 得知，θ1＝10.62°，θ2＝-9.81°，θ3＝23.75°，θ4＝8.35°，即為關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 采用4-3-3-4 多項(xiàng)式插值下的優(yōu)化位置控制點(diǎn)，改成弧度制后代入式(2)－(5)，可分別得到關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的優(yōu)化位置、速度等曲線（圖6、7）。

圖6、7 仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后的關(guān)節(jié)軌跡在位置、速度、加速度、加加速度都有明顯改善，各條曲線的曲率更趨于平緩。其中，反映關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)急動(dòng)度指標(biāo)的加加速率曲線經(jīng)優(yōu)化后變得平緩，顯示系統(tǒng)平滑性好，表明所采取的優(yōu)化策略能明顯降低回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的沖擊與振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)造成的影響程度。

圖6 關(guān)節(jié)1 軌跡優(yōu)化仿真（X 軸）Fig.6 Optimized trajectory of joint 1 (X axis)

圖7 關(guān)節(jié)2 的優(yōu)化軌跡優(yōu)化（Y 軸）Fig.7 Optimized trajectory of joint 2 (Y axis)

2.2 關(guān)節(jié)能耗分析

平臺(tái)基本參數(shù)見(jiàn)表4。

表4 基本參數(shù)Table 4 Basic parameters

參照表2，同時(shí)考慮公式(2)－(6)及關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 的優(yōu)化路徑，分別對(duì)其進(jìn)行能耗計(jì)算以考查位置優(yōu)化前后關(guān)節(jié)能耗的對(duì)比關(guān)系，得出各個(gè)關(guān)節(jié)的最低能耗（表5）。

表5 關(guān)節(jié)能耗優(yōu)化對(duì)比Table 5 Joint energy consumption comparison

表5 中，Ja，Jb，Jc，Jd分別表示平臺(tái)繞X軸和Y軸的角位置分段插值曲線a,b,c,d部分的相應(yīng)能耗積分之和，優(yōu)化后的路徑使得輸入能耗顯著降低，并在給定效率下達(dá)到最優(yōu)。

3 結(jié)論

為增強(qiáng)深海浮式平臺(tái)穩(wěn)定調(diào)控時(shí)的平滑性，減小振動(dòng)沖擊，對(duì)平臺(tái)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位置進(jìn)行優(yōu)化研究，提出一種基于角關(guān)節(jié)位置最優(yōu)的關(guān)節(jié)位置曲線優(yōu)化方法。首先，通過(guò)采用分段插值法構(gòu)造關(guān)節(jié)位置曲線，并以角位置的關(guān)鍵路徑點(diǎn)為優(yōu)化變量，建立以關(guān)節(jié)耗散能為優(yōu)化目標(biāo)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，給出優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型；其次，采用粒子群搜索算法搜索各個(gè)角位置優(yōu)化變量的最優(yōu)值，得出關(guān)節(jié)最低能耗下的關(guān)節(jié)角位置優(yōu)化軌跡。仿真結(jié)果驗(yàn)證該優(yōu)化策略能有效緩解關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的變化幅度，減小主動(dòng)調(diào)控下產(chǎn)生的振動(dòng)與沖擊，為解決深海浮式平臺(tái)因面內(nèi)軸向轉(zhuǎn)動(dòng)帶來(lái)的不穩(wěn)定問(wèn)題、提高平臺(tái)的可控性及位后續(xù)控制策略的研究提供必要的理論借鑒。

當(dāng)然，實(shí)際海況下的TLP平臺(tái)面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡的控制幅度取決于環(huán)境載荷影響及所采取的主動(dòng)控制策略。后續(xù)在平臺(tái)位置軌跡控制方面的工作擬采取電液驅(qū)動(dòng)、柔索牽引并行協(xié)同調(diào)節(jié)策略，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)耦合動(dòng)力響應(yīng)分析、柔索索力協(xié)同優(yōu)化進(jìn)行研究，以實(shí)現(xiàn)對(duì)平臺(tái)的回穩(wěn)控制。