喬怡群，邱紅專，宋 華

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100083)

0 引言

衛(wèi)星的自主導(dǎo)航是指在不依賴地面站的情況下，通過其自身攜帶的星載敏感器確定衛(wèi)星的速度、位置和姿態(tài)信息。這種在較長時間內(nèi)，不依賴地面，只依靠星載敏感器高精度測量來實現(xiàn)衛(wèi)星定軌的方法，是當前研究的熱點問題。

目前，全球四大導(dǎo)航系統(tǒng)有美國的全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)、歐洲的GALI-LEO、中國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)和俄羅斯的GLONASS[1]。這些導(dǎo)航系統(tǒng)可以對衛(wèi)星進行導(dǎo)航，但是受全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satel-lite System，GNSS)可見性的約束，存在部分時間段內(nèi)GNSS導(dǎo)航衛(wèi)星不可見的情況，這將大大增加待導(dǎo)航星的濾波誤差。本文研究了基于GNSS、地標矢量和星光矢量的自主導(dǎo)航方法，可以保證在GNSS不可見時的定軌精度。

一般地，分析線性定常系統(tǒng)的可觀測度較為容易，而對非線性時變系統(tǒng)的分析則比較麻煩[2]。文獻[3]提出了一種利用李導(dǎo)數(shù)構(gòu)造可觀測性矩陣的方法，然而該方法對于狀態(tài)維數(shù)較高、非線性程度較強的方程而言，計算量大，實現(xiàn)起來較為困難。文獻[4]針對小天體探測器著陸自主導(dǎo)航系統(tǒng)，在文獻[5]算法的基礎(chǔ)上，利用誤差協(xié)方差矩陣進行特征值分解，以分析特征值、特征向量與狀態(tài)可觀度的關(guān)系，但該方法只能夠分析出狀態(tài)的某一種組合的可觀測度。文獻[6]提出了不可觀度的概念，在構(gòu)建可觀度矩陣時，需要對量測方程矩陣和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進行變換，計算量較大。文獻[7]利用誤差橢球分析導(dǎo)航系統(tǒng)的可觀度，并根據(jù)映射原理計算誤差的上界。文獻[8]利用奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的方法分析系統(tǒng)的可觀度,在引入了測量值Z的情況下，可以定性地分析系統(tǒng)狀態(tài)的可觀度。上述方法中對系統(tǒng)可觀度的分析往往較容易實現(xiàn)；然而針對系統(tǒng)每一個狀態(tài)的可觀度進行分析，往往實現(xiàn)困難或者難以定量描述。

本文以高軌衛(wèi)星為對象，研究了基于GNSS、地標矢量和星光矢量的衛(wèi)星自主導(dǎo)航方法。在此基礎(chǔ)上，以基于譜半徑的系統(tǒng)可觀度分析方法對不同觀測量下的系統(tǒng)可觀度進行分析[13]；同時，在文獻[9]的基礎(chǔ)上，針對非線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)可觀度進行定量分析，并與濾波精度相結(jié)合進行對比分析。

1 組合導(dǎo)航濾波器的狀態(tài)方程和測量方程

針對高軌衛(wèi)星的自主導(dǎo)航問題，下面分別給出了系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程。

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

(1)

式中，rx、ry、rz、vx、vy、vz分別為衛(wèi)星在地心慣性坐標系下的位置和速度。若衛(wèi)星的攝動僅考慮含J2項的非球形引力攝動[10]，可以列出在地心慣性坐標系下單顆衛(wèi)星的狀態(tài)微分方程如下

(2)

1.2 量測方程

本文采用的傳感器是GNSS接收機、地標導(dǎo)航敏感器和星敏感器。GNSS接收機提供偽距和偽距率信息，地標導(dǎo)航敏感器提供地標矢量信息，星敏感器提供星光矢量信息，然后利用星光矢量和地標矢量之間的夾角來提供二者角度測量信息。

偽距是GNSS接收機到導(dǎo)航星的一個基本的距離測量值[11]。偽距測量的表達式可以寫為

(3)

其中，rxs、rys、rzs為GNSS衛(wèi)星在慣性系下的位置；ερ為均值為0的偽距測量噪聲。

(4)

地球路標導(dǎo)航敏感器提供了一個指向地標的方向矢量[12]，其在機體系(b)下的測量方程為

(5)

其中，rd為地標在慣性系下的位置矢量；εl為均值為0的高斯白噪聲。

星敏感器可以提供一個指向遙遠恒星的單位星光矢量，星光矢量和地標矢量之間的夾角可以表示為

(6)

其中，us為機體系下的單位星光矢量；εα為均值為0的高斯白噪聲。

對于高軌同步衛(wèi)星，可能會因為地球的遮擋而收不到GNSS衛(wèi)星的信號，因此測量值矢量的維數(shù)取決于可見的GNSS衛(wèi)星個數(shù)。對于確定GNSS衛(wèi)星可見性的條件，將會在1.3節(jié)進行介紹。下面先給出系統(tǒng)的量測方程

(7)

將上面給出的方程進行離散化，即可得到衛(wèi)星自主導(dǎo)航系統(tǒng)的離散濾波模型。

1.3 GNSS可見性分析

高軌衛(wèi)星所處的位置在GNSS星座之上，所以接收機可能捕獲到的GNSS導(dǎo)航信號只能是來自地球另一面的GNSS衛(wèi)星。此時由于地球遮擋和GNSS信號在傳播過程中的損耗，導(dǎo)致了高軌衛(wèi)星定軌中面臨著可用導(dǎo)航星數(shù)目少和信號較弱這2個主要難點。高軌衛(wèi)星對GNSS的可見性主要取決于幾何可見性和信號強度這2個因素。對于高軌衛(wèi)星來說，只有同時滿足以下幾個條件， GNSS導(dǎo)航星才是可見的。

幾何因素主要考慮的是高軌衛(wèi)星、GNSS導(dǎo)航星和地球之間的相對位置關(guān)系，只有當GNSS衛(wèi)星信號發(fā)射半角滿足小于天線發(fā)射信號的波束角且高軌衛(wèi)星不在地球的遮擋范圍內(nèi)時，高軌衛(wèi)星才有可能接收到導(dǎo)航星的發(fā)射信號。

如圖1所示，地球的遮擋角為βe，信號波束發(fā)射半角為βG，需要滿足的條件是

βe<α1≤βG

(8)

其中，α1為OS和SF之間的夾角。

圖1 GNSS可見性示意圖Fig.1 GNSS visibility diagram

由于導(dǎo)航星發(fā)射天線僅能對地播發(fā)導(dǎo)航信息，那么只有當高軌衛(wèi)星接收機的天線指向地心，并且高軌衛(wèi)星與導(dǎo)航星所呈角度在接收機天線波束寬度范圍內(nèi)時，高軌衛(wèi)星才可能接收到GNSS衛(wèi)星的信號。即需要滿足關(guān)系

α2≤φ

(9)

其中，φ為接收機的波束接收寬度；α2為OF和FS之間的夾角。

GNSS導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射天線朝向地球，而被測高軌衛(wèi)星的軌道高度不低于GNSS導(dǎo)航星的軌道高度。因此，高軌衛(wèi)星只能接收位于地球另一側(cè)的GNSS導(dǎo)航星發(fā)射的信號，這樣經(jīng)過遠距離傳輸?shù)男盘枏姸却蟠鬁p弱，增加了接收難度。

星載GNSS接收機接收信號的功率與導(dǎo)航星發(fā)射功率、發(fā)射天線增益、鏈路損耗、接收天線增益等諸多因素有關(guān)。根據(jù)Friis傳輸公式，可計算接收信號的功率如下

(10)

其中，Pr為接收信號功率；Pt為載波信號的發(fā)射功率；Gt和Gr分別為發(fā)射和接收天線的增益；λ為載波信號的波長；d為導(dǎo)航星與接收機的距離。

將式(10)采用分貝表示如下

(11)

2 可觀度分析方法

下面對基于譜半徑的系統(tǒng)可觀度分析方法和基于SVD的可觀度分析方法分別進行介紹。

2.1 基于譜半徑的系統(tǒng)可觀度分析方法

為了描述系統(tǒng)可觀測程度，定義系統(tǒng)的可觀度[13]為

(12)

式中，ρ(Pk)為系統(tǒng)濾波誤差協(xié)方差陣Pk的譜半徑。可以證明，用譜半徑定義的系統(tǒng)能觀度和狀態(tài)估計精度滿足如下關(guān)系[13]

(13)

式(13)建立了系統(tǒng)狀態(tài)估計精度與系統(tǒng)可觀度之間的關(guān)系, 可觀度越高則系統(tǒng)的狀態(tài)估計精度越高?？梢? 以譜半徑定義的系統(tǒng)可觀度能夠定量地描述整個系統(tǒng)狀態(tài)估計的好壞, 而不是某一狀態(tài)組合的好壞。 因此,譜半徑定義的系統(tǒng)可觀度是可行的。

2.2 基于SVD的可觀度分析方法

對于非線性系統(tǒng)，一般先依次將其線性化和離散化，然后利用線性離散系統(tǒng)的可觀測性理論來分析自主定軌系統(tǒng)的可觀測性。

對于離散非線性系統(tǒng)

x(k+1)=f(x(k))+wz(k)=h(x(k))+v

(14)

其中，x∈Rn×1，z∈Rm×1，w和v分別為系統(tǒng)噪聲和量測噪聲，互不相關(guān)，且有如下關(guān)系

E[w(t)wT(τ)]=Q(t)δ(t-τ)E[v(t)vT(τ)]=R(t)δ(t-τ)

其中，δ(t-τ) 為狄拉克函數(shù)。

可以得到可觀測性矩陣為[14]

(15)

若F(k)和H(k)是定常的，則式(15)就是通常的線性時不變系統(tǒng)的可觀性矩陣，文獻[9]針對這種系統(tǒng)利用可觀測性矩陣建立了狀態(tài)初值x1和測量值Z之間的關(guān)系。與此類似，針對式(16)所示的非線性系統(tǒng)，也可以通過M(k)得到x(k)和測量值Z之間的關(guān)系。具體推導(dǎo)過程如下

(16)

即

x(k+1)≈F(k)x(k)+u(k)

(17)

同理將量測方程線性化可以得到

(18)

令

(19)

根據(jù)文獻[15]中的方法，可以得到

(20)

兩邊同時乘以Hk+n-1并移項可以得到

Hk+n-1Fk+n-1,kxk=z*(k+n-1)-

(21)

那么有

(22)

其中

(23)

(24)

式中，σ1,σ2,…，σr為奇異值且滿足以下關(guān)系：σ1≥σ2≥…≥σr>0，由此可以得到

(25)

式(24)與文獻[9]中的結(jié)論類似。文獻[9]根據(jù)以上關(guān)系，給出了一種計算每個狀態(tài)分量可觀度的方法，具體步驟如下：

(26)

其中，Aij表示矩陣Ai的第j列元素。通過式(26)即可以確定奇異值σi對應(yīng)的第j個狀態(tài)的可觀測度，且根據(jù)該方法計算得到的各個狀態(tài)的可觀測度都是歸一化的非負值，便于比較可觀測度的大小。

(27)

本文利用上面的方法，對每個狀態(tài)分量的可觀度進行仿真分析。

3 系統(tǒng)可觀度仿真結(jié)果與分析

基于第2節(jié)的濾波模型(坐標系是J2000地心慣性坐標系)進行仿真,同時利用第3節(jié)的可觀度分析方法進行系統(tǒng)的可觀度分析和狀態(tài)的可觀度分析。圖2所示為GNSS可見星數(shù)目隨時間變化曲線。

從圖2可以看出，在30000s附近和67000s附近，GNSS完全不可見;在74000s附近，GNSS可見星數(shù)目較多。

圖4 速度濾波誤差Fig.4 Velocity errors

圖3和圖4所示分別為衛(wèi)星利用GNSS、地標矢量和星光矢量導(dǎo)航時的位置誤差曲線和速度誤差曲線。表1所示為濾波穩(wěn)定后的導(dǎo)航誤差大小和各狀態(tài)分量的可觀度。可以看到對于位置來說，Y軸的可觀度最大，其對應(yīng)的位置誤差最??；Z軸的可觀度最小，其位置誤差最大。對于速度而言，可以得到類似的結(jié)論。圖5和圖6所示分別為利用SVD方法和譜半徑方法計算的系統(tǒng)可觀度隨時間變化曲線。圖5和圖6比較可知，二者可觀度較大的時刻相近。因此，兩種定義的方法都可以體現(xiàn)系統(tǒng)的可觀度。與圖2進行比較可知，在仿真時間30000s和67000s左右時，GNSS可見星數(shù)目最少，系統(tǒng)的可觀度也較差；在仿真時間74000s左右時，GNSS可見星數(shù)目較多，此時的系統(tǒng)可觀度較好。由此可知，系統(tǒng)可觀度受到GNSS衛(wèi)星可見星數(shù)量的影響較大。

圖5 系統(tǒng)可觀度隨時間變化曲線(奇異值)Fig.5 System observability curve over time(singular value)

圖6 系統(tǒng)可觀度隨時間變化曲線(譜半徑)Fig.6 System observability curve over time(spectral radius)

通過表1分析可知，對狀態(tài)可觀度貢獻最大的是GNSS，地標和星光矢量二者對狀態(tài)可觀度的影響很小，這也與上面的分析結(jié)果相符。在采用GNSS、地標和星光矢量和地標夾角進行組合導(dǎo)航時，應(yīng)該將GNSS作為主要的導(dǎo)航手段，另外2個傳感器作為輔助手段。

由表2和表3的對比可知，在增加GNSS的數(shù)目時，狀態(tài)的可觀度總體上呈增大的趨勢，估計誤差隨GNSS星數(shù)目的增加而減小。對每一組仿真而言，位置和速度的誤差在x軸上最小，z軸上最大；而狀態(tài)的可觀度大致為x軸上的可觀度最大，z軸上的可觀度最小?？捎^度分析結(jié)果與濾波結(jié)果相吻合。對于地標而言，在增加地標的數(shù)目時，狀態(tài)的可觀度總體上呈增大的趨勢，估計誤差隨地標點數(shù)目的增加而減小。對一組仿真而言，位置和速度的誤差在x軸上最大，z軸上最??；而狀態(tài)的可觀度大致為x軸上的可觀度最小，z軸上的可觀度最大。這種SVD方法可以粗略地表征狀態(tài)可觀度和濾波誤差之間的關(guān)系。

表1 導(dǎo)航系統(tǒng)誤差大小與可觀度大小

表2 不同測量值時的狀態(tài)可觀度

表3 不同觀測值時的濾波精度

4 結(jié)論

本文利用基于GNSS、地標矢量和星光矢量的高軌衛(wèi)星組合導(dǎo)航模型進行了可觀度分析。算法分析與仿真結(jié)果表明：

1)系統(tǒng)可觀度最主要的影響因素是GNSS的可見星數(shù)目，地標和星光矢量可以作為輔助信息引入，同時有助于提高狀態(tài)的可觀度。

2)基于SVD可觀度分析方法可以較好地分析出狀態(tài)的可觀度，同時可以粗略地表征出狀態(tài)誤差的大小。對于同一量綱的狀態(tài)，計算出的可觀度較大時，其濾波誤差小且精度高。