宋燁煒，董澤訓(xùn)，李 寬*，孟慶生

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京），北京100083；2.山東省第六地質(zhì)礦產(chǎn)勘察院，山東招遠265400）

0 引言

目前，隨著油氣的不斷開采，全世界范圍內(nèi)的油田都面臨著嚴重的套管損壞問題。例如，伊拉克的哈法亞油田Yamama 層高溫高壓，地層水礦化度高，原油溶解CO2含量較高，易形成酸性介質(zhì)對套管進行腐蝕［1］。勝利油田因油層附近地層傾角大，且發(fā)育有地下斷層、砂礫巖體，容易引發(fā)地層滑移和斷層活動，進而造成套管錯斷、縮徑和彎曲等問題［2-4］。大慶油田損壞形式主要為套管變形和套管錯斷，共發(fā)現(xiàn)各類套損井1 萬多口，占油水井總數(shù)的20%左右［5］。孤東油田屬于河流相沉積，油層膠結(jié)疏松易出砂，出砂后使油層原來承受的部分重力轉(zhuǎn)移給了套管，致使套管失穩(wěn)，引起彎曲［6］。遼河油田多為熱力采油，在采油過程中，套管上產(chǎn)生了熱應(yīng)力和疲勞應(yīng)力，最終導(dǎo)致套管損壞［7-8］。克拉瑪依油田井下技術(shù)狀況復(fù)雜，因施工等多種原因易造成泥巖吸水蠕變，擠壓力不斷增大使得套管縮徑、錯斷等［9］。套管損壞既影響了正常的油氣開發(fā)，又使注采網(wǎng)層系布局越來越不合理［10］。經(jīng)保守統(tǒng)計，我國目前套管損壞井2.5 萬余口，并且正以每年千口以上的數(shù)量增長，同時套管損壞井的增長速度有明顯的上升趨勢。我國石油對外依存度達到了70%～80%，遠遠超過了國際平均水平，并且各油田每年因套管損壞而造成的經(jīng)濟損失達數(shù)十億元［11］，因此研究影響套管強度的因素對油田的持續(xù)發(fā)展和國家的能源安全有重大意義。

套管損壞的本質(zhì)是外荷載超過了套管的極限承載力［12］，因此，通過提高套管的極限承載力可減少部分情況下套管損壞的概率。影響套管抗擠強度的因素多種多樣，其中最主要的是非均勻外載、水泥環(huán)參數(shù)、套管缺陷和射孔等原因［13-19］。本文將對水泥環(huán)參數(shù)和套管缺陷這兩種因素展開詳細的研究。在之前國內(nèi)外學(xué)者的研究中，陳占鋒等［15］考慮地層非均勻地應(yīng)力的影響，建立了地層、水泥環(huán)和套管的二維有限元模型，Evans 等［16］采用實驗室測試或者是有限元分析的方式研究水泥環(huán)參數(shù)對套管強度的影響，張睿棟［17］、范森等［18］、王國華等［19］研究了套管的橢圓度和偏心率對套管強度的影響，但他們都沒有研究水泥環(huán)對不同徑厚比套管、偏心套管和橢圓套管的影響。本文將通過建立套管和水泥環(huán)的三維有限元模型，利用Ansys 有限元分析軟件進行求解，并與理論計算結(jié)果對比，在不考慮套管內(nèi)壓的條件下研究水泥環(huán)參數(shù)和套管缺陷對套管強度的影響。

1 計算模型及理論分析

1.1 計算模型及方法

根據(jù)之前學(xué)者的研究和大慶油田某井泥頁巖的蠕變應(yīng)力實驗結(jié)果［20-22］，我們可以得出隨著時間的推移水泥環(huán)所受的外擠力最終會趨近于地層的水平地應(yīng)力，因此筆者認為不考慮地層的作用是相對合理的。本文假設(shè)水平地應(yīng)力為均勻地應(yīng)力，在這種情況下，建立了套管和水泥環(huán)在均勻外載條件下的三維有限元模型。利用Ansys 對建立的套管和水泥環(huán)有限元模型進行分析計算，模型的參數(shù)和邊界條件如下：套管采用N80 套管，其屈服強度為758 MPa，內(nèi)徑為127 mm，外徑為139 mm，高度為1500 mm，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3；水泥環(huán)的參數(shù)是隨著模擬的不同而變化的；在水泥環(huán)的兩端施加固定約束，外壓均勻作用在水泥環(huán)外表面，套管和水泥環(huán)之間不考慮相對滑動，接觸形式設(shè)置為粘接。

因為套管的長度大約為套管直徑的10.8 倍，遠大于2 倍，因此可以忽略套管邊緣的邊界效應(yīng)；為了判斷套管是否存在長度效應(yīng)，因此需要求解判斷套管類型的臨界長度，公式如下［23］：

式中：D——套管的外徑，mm；t——套管的壁厚，mm。

當(dāng)套管的長度大于套管的臨界長度時，為長套管；小于臨界長度時，為短套管。套管模型的臨界長度等于783 mm，模型的長度遠大于套管的臨界長度，因此不用考慮短套管對套管強度的增強效應(yīng)。套管是典型的不具有SD 效應(yīng)的材料，因此可以用Von Mises 等效應(yīng)力來表示套管的應(yīng)力狀態(tài)。假如在加載過程中，套管應(yīng)力達到屈服極限，不考慮套管屈服后力學(xué)特性的變化［24］；套管的外徑與套管的壁厚之比約等于23.2，大于20，因此可以把套管看成薄壁管，理論上可以不考慮套管內(nèi)壓對套管應(yīng)力分布的影響。

根據(jù)API 套管強度計算公式，可以看出套管有4 種破壞形式——屈服破壞、塑性破壞、彈塑性過渡破壞和彈性破壞。除了套管的屈服破壞外，其余3種破壞形式均可稱為失穩(wěn)破壞。實際上，除了一部分小直徑大壁厚套管外，套管多發(fā)生失穩(wěn)破壞，而不是屈服破壞，套管發(fā)生失穩(wěn)破壞的臨界壓力小于套管屈服破壞發(fā)生的臨界壓力。套管模型的徑厚比為23.2，大于套管發(fā)生屈服破壞的臨界徑厚比13.38，所以套管發(fā)生失穩(wěn)破壞，其臨界失穩(wěn)破壞壓力等于32.4 MPa（考慮到API 套管強度公式的安全系數(shù)為1.3～1.5）。因此，為防止套管發(fā)生失穩(wěn)破壞，使套管處于彈性范圍內(nèi)，要控制水平均勻地應(yīng)力σH＜50 MPa。

套管在由于加工生產(chǎn)的缺陷，導(dǎo)致其有一定的偏心率和橢圓度，套管的缺陷會改變套管上的應(yīng)力分布，在套管缺陷地方出現(xiàn)應(yīng)力集中，導(dǎo)致套管屈服破壞，這將會降低套管的抗外擠強度。Issa J.A.等［25］得出了套管偏心率和橢圓度對套管抗外擠強度的影響的公式。

模型基本假設(shè)：（1）套管除了偏心率或者橢圓度并無其他缺陷，且只考慮了偏心率和橢圓度單獨作用的結(jié)果；（2）不考慮溫度變化對套管強度的影響；（3）套管變形類型——彈塑性變形。圖1 展示了橢圓偏心套管的簡化模型。

圖1 偏心套管和橢圓套管的簡化模型Fig.1 Simplified model of eccentric and elliptical casing

1.2 偏心套管的理論分析

通過研究偏心率e從0 到0.5 范圍內(nèi)對破壞強度的影響，得出偏心率強度減小函數(shù)。然后使用非線性回歸分析將關(guān)系與簡單多項式擬合。該多項式的形式為：

式中：e——套管的偏心率；δ——偏心距，mm；t——套管壁厚，mm。

盡管偏心率強度減小函數(shù)是基于偏心率從0～0.5 得出來的，但當(dāng)偏心率e=1 時，套管的抗外擠強度為0。這和物理實際是相對應(yīng)的，即當(dāng)其內(nèi)徑接近其外徑時，管的抗擠壓性接近零。說明了該公式在套管偏心率0.5～1 的范圍內(nèi)也有一定的準(zhǔn)確度。公式的自變量僅有套管偏心率一個，因此套管強度修正系數(shù)僅受套管壁厚和偏心距的影響，與套管長度和外壓力無關(guān)。

套管強度修正系數(shù)是指橢圓套管或者偏心套管在相同外壓下，理想不射孔套管的內(nèi)表面等效應(yīng)力與缺陷套管內(nèi)表面等效應(yīng)力的比值，它反映了套管的偏心率或橢圓度對套管抗壓強度的影響。圖2為套管強度修正系數(shù)與套管偏心率之間的關(guān)系。

由圖2 可得，套管的偏心率對套管的強度有很大的影響。隨著套管偏心率的不斷增加，套管的強度修正系數(shù)不斷減小，也就是套管的強度逐漸降低。當(dāng)偏心率為0.5 時，套管的強度降低僅為原來的40%。

圖2 套管強度修正系數(shù)與套管偏心率之間的關(guān)系Fig.2 Relationship between casing strength correction factor and casing eccentri city

1.3 橢圓套管的理論分析

套管橢圓度對套管強度的影響公式是通過在API 5CT 規(guī)范允許的橢圓度比范圍內(nèi)構(gòu)建一系列模型得出的。其適用于套管橢圓度在0～0.002 之間，但經(jīng)過實驗驗證，該公式在套管橢圓度小于0.1時均有較高的準(zhǔn)確度。

式中：S——橢圓度；D/t——套管徑厚比，無量綱。

外徑為129 mm、壁厚為6 mm 的套管，即徑厚比為23.17 的套管的套管強度修正系數(shù)和套管橢圓度的關(guān)系如圖3 所示。

圖3 套管強度修正系數(shù)和套管橢圓度之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between casing strength correction factor and casing ovality

由圖3 可知，套管的強度修正系數(shù)隨套管橢圓度的增加而減小。套管的橢圓度對套管的強度影響比較大，當(dāng)套管橢圓度等于1%時，套管的強度僅有套管原有強度的70%左右。

2 水泥環(huán)對套管抗擠強度的影響

2.1 水泥環(huán)彈性模量對套管抗擠強度的影響

通過控制變量法分析水泥環(huán)彈性模量對套管抗擠強度的影響，因此要保持水泥環(huán)的厚度不發(fā)生變化。研究結(jié)果表明，當(dāng)荷載均勻分布時，減小水泥環(huán)厚度使之在10～20 mm 范圍內(nèi)能有效提高套管抗擠強度［26］。所以本文取水泥環(huán)的厚度為10 mm，泊松比等于0.15，水泥環(huán)的彈性模量依次為0、5、10、20、30、40、50 GPa（0 GPa 即無水泥環(huán)條件），均勻地應(yīng)力的變化范圍為10～50 MPa。根據(jù)圖4可以得出以下幾條結(jié)論：第一點是套管內(nèi)表面等效應(yīng)力隨水泥環(huán)彈性模量增加的變化趨勢不是簡單的正比反比關(guān)系，而是先增加后減小，在5 GPa 時達到峰值。當(dāng)水泥環(huán)彈性模量為50 GPa 時，水泥環(huán)會使套管內(nèi)表面的應(yīng)力下降大約13%；但是當(dāng)水泥環(huán)彈性模量比較小時，水泥環(huán)的存在還會增大套管內(nèi)表面的等效應(yīng)力。當(dāng)水泥環(huán)彈性模量Ec在20 GPa左右時，有水泥環(huán)套管內(nèi)表面等效應(yīng)力與無水泥環(huán)套管的等效應(yīng)力大致相等。因此，在進行固井設(shè)計時，要保證水泥環(huán)的彈性模量超過此臨界值（20 GPa）。第二點是通過與陳占鋒等［15］計算結(jié)果比較，不難發(fā)現(xiàn)這個臨界值會隨套管徑厚比的變化而變化。第三點是水平均勻地應(yīng)力越大，套管內(nèi)表面等效應(yīng)力大小受水泥環(huán)彈性模量的影響越大，即在均勻地應(yīng)力水平高的時候，套管內(nèi)表面應(yīng)力隨水泥環(huán)彈性模量的增加降低幅度大，但其變化趨勢不受地應(yīng)力大小的影響。

圖4 不同地應(yīng)力條件下水泥環(huán)彈性模量對套管抗擠強度的影響Fig.4 The effect of elastic modulus of cement sheath on the strength of casing under different in?situ stress conditions

2.2 水泥環(huán)厚度對套管抗擠強度的影響

水泥環(huán)的彈性模量不能無限制的增加，因此僅僅依靠提高水泥環(huán)的彈性模量來改善套管的受力狀態(tài)是不合理和不現(xiàn)實的。所以要從另一個角度出發(fā)，研究水泥環(huán)厚度和套管內(nèi)表面應(yīng)力大小之間的關(guān)系。但在不改變套管直徑的情況下，增加水泥環(huán)厚度就意味著要增加井眼直徑，實現(xiàn)起來比較困難，且成本比較高，因此，可通過合理設(shè)計井身結(jié)構(gòu)來解決此問題。為了更好地研究水泥環(huán)厚度對套管抗擠強度的影響，取水泥環(huán)的厚度范圍為5～30 mm，彈性模量取 5、10、20、30、40 和 50 GPa，均勻水平地應(yīng)力為40 MPa，以套管內(nèi)表面應(yīng)力大小作為衡量指標(biāo)。

圖5 顯示了水泥環(huán)厚度和彈性模量與套管強度之間的關(guān)系，從圖中可以看出，當(dāng)水泥環(huán)的彈性模量＜20 GPa 時，隨著水泥環(huán)厚度的增加，套管內(nèi)表面的應(yīng)力會逐漸增加，且增加的幅度受水泥環(huán)彈性模量影響；當(dāng)水泥環(huán)彈性模量為5 GPa、厚度為15 mm 時，套管內(nèi)表面等效應(yīng)力增加了10%；當(dāng)水泥環(huán)的彈性模量處于20～50 GPa 之間時，套管內(nèi)表面等效應(yīng)力隨水泥環(huán)厚度的增加而減小，且其減小幅度隨水泥環(huán)彈性模量的增加而增加。由此可見，增加水泥環(huán)的厚度不一定能改善套管的受力狀態(tài)，只有在水泥環(huán)彈性模量＞20 GPa 時，增加水泥環(huán)厚度才能減小套管內(nèi)表面等效應(yīng)力。這印證了水泥環(huán)彈性模量對套管強度影響得出的結(jié)論。這個結(jié)論與人們的認知存在一定的出入。

圖5 水泥環(huán)厚度對套管強度的影響Fig.5 The effect of cement sheath thickness on casing strength

發(fā)生上述現(xiàn)象的原因如下：水泥環(huán)的彈性模量比較小，即水泥環(huán)抵抗彈性變形的能力比較弱，也就是說，在水平均勻地應(yīng)力下，水泥環(huán)很容易發(fā)生彈性變形，又由于在有限元分析中，一般會假設(shè)水泥環(huán)是線彈性材料，且水泥環(huán)不發(fā)生脆性破裂，在這種情況下，水泥環(huán)就像一個剛度系數(shù)比較小的彈簧，會有一個反力作用在套管上，同時遠場原位地應(yīng)力的大小是不發(fā)生變化的，因此，套管上的外載荷就等于地應(yīng)力和水泥環(huán)反力的和，因此引起套管內(nèi)表面等效應(yīng)力的增加。當(dāng)水泥環(huán)彈性模量比較大時，水泥環(huán)抵抗彈性變形的能力強，在地應(yīng)力作用下，水泥環(huán)自身可保持自身的形狀和穩(wěn)定性，因此，水泥環(huán)傳遞給套管的力小于地應(yīng)力，所以增加水泥環(huán)的彈性模量和厚度可改善套管的受力狀態(tài)。對于套管內(nèi)表面應(yīng)力在水泥環(huán)彈性模量為5 GPa 時達到峰值這個問題，是因為當(dāng)水泥環(huán)彈性模量＜5 GPa 時，水泥環(huán)的反力和彈性模量成正比，當(dāng)水泥環(huán)彈性模量為5 GPa 時，水泥環(huán)初具自身的穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定性會降低水泥環(huán)的反力，進而降低水泥環(huán)和套管之間的作用力。

因此在進行固井設(shè)計時，要考慮水泥環(huán)厚度、水泥環(huán)彈性模量的耦合作用結(jié)果，且要保證水泥環(huán)的彈性模量大于臨界彈性模量。最優(yōu)方案是同時增加水泥環(huán)的厚度和彈性模量［21］。

2.3 水泥環(huán)的存在對套管強度的影響

根據(jù)上述模擬結(jié)果可知，如果水泥環(huán)的厚度和彈性模量是一個適當(dāng)?shù)慕M合，水泥環(huán)可大幅度提高套管的承載能力。Evans G. W.等［16］、林元華等［27］通過實驗室實驗得出了水泥環(huán)可提高套管強度20%～30%，但都是在某種特定型號套管和特定水泥環(huán)條件下得出的，并沒有研究水泥環(huán)對不同徑厚比套管強度的影響。本文將對此問題做出分析。假設(shè)水泥環(huán)的厚度等于20 mm，彈性模量等于30 GPa，泊松比等于0.15，套管的外徑等于139 mm，通過改變套管的內(nèi)徑來改變套管的徑厚比，套管內(nèi)徑的變化范圍為127～135 mm，套管外壓力變化范圍為10～50 MPa。

根據(jù)模擬計算得出的套管水泥環(huán)應(yīng)力云圖（見圖6～7）?？梢钥闯觯坠軆?nèi)壁是整個套管上等效應(yīng)力最大的地方，即最容易發(fā)生破壞的地方。套管強度增強百分比等于無水泥環(huán)套管內(nèi)表面等效應(yīng)力減去有水泥環(huán)套管內(nèi)表面等效應(yīng)力，再除以無水泥環(huán)套管內(nèi)表面的等效應(yīng)力。根據(jù)圖8 可以看出，套管的強度增加百分比與套管的徑厚比成正相關(guān)，即隨著套管徑厚比的增加，含水泥環(huán)套管的強度增加比較大。當(dāng)套管的徑厚比為11.6 時，含水泥環(huán)套管的強度僅增加了5%～6%；而當(dāng)套管的徑厚比等于34.8 時，套管強度增加了30%左右。并且，水泥環(huán)對套管強度的增強效果不受地應(yīng)力大小的影響。因此，我們可以得出只有在套管徑厚比比較大時，水泥環(huán)才能大幅度提高套管的強度。

圖6 含水泥環(huán)和不含水泥環(huán)套管的等效應(yīng)力分布圖Fig.6 Equivalent stress distribution of casing with and without cement sheath

圖7 含水泥環(huán)和不含水泥環(huán)套管的位移分布圖Fig.7 Displacement distribution of casing with and without cement sheath

圖8 水泥環(huán)對不同徑厚比套管的強度影響Fig.8 The effect of cement sheath on the strength of casing with different diameter to thickness ratio

3 偏心率和橢圓率對套管強度的影響

3.1 套管偏心率對套管強度的影響

建立了含水泥環(huán)和無水泥環(huán)偏心套管的有限元模型，模型參數(shù)及邊界條件如下：套管外徑139 mm，壁厚6 mm，高度1500 mm，水泥環(huán)厚度為10 mm，彈性模量為30 GPa。在套管或水泥環(huán)的兩端施加固定約束，外力作用在套管或水泥環(huán)外表面，大小為30 MPa。

套管內(nèi)表面應(yīng)力云圖如圖9 所示，套管的偏心使套管內(nèi)表面在壁厚比較小的部位出現(xiàn)了應(yīng)力集中，其應(yīng)力集中程度隨偏心率的增加而增加。對于無水泥環(huán)偏心套管，當(dāng)偏心率為0.5 時，套管的強度降為原來的53%，與理論計算結(jié)果相差了10%左右，考慮到模型參數(shù)、邊界條件等問題，10%的誤差是可以接受的。同時表明了建立的有限元模型是比較合理的。根據(jù)圖10 可得出：（1）無論是有水泥環(huán)套管還是無水泥環(huán)套管，套管的強度均會隨套管偏心率的增加而大幅度減小，兩者之間的關(guān)系接近于線性；（2）對于有水泥環(huán)套管，水泥環(huán)的存在可降低套管偏心率對套管強度的影響；（3）水泥環(huán)對偏心套管強度的影響是套管偏心率的函數(shù)，隨著套管偏心率的增加，水泥環(huán)的作用效果越明顯。

圖9 偏心套管應(yīng)力云圖Fig.9 Stress nephogram of eccentric casing

圖10 套管強度修正系數(shù)和套管偏心率之間的關(guān)系Fig.10 Relationship between casing strength correction factor and casing eccentricity

3.2 套管橢圓度對套管強度的影響

建立了橢圓套管的有限元模型，模型參數(shù)與偏心套管相同。通過改變套管的橢圓度，分析套管內(nèi)表面應(yīng)力和橢圓度之間的關(guān)系。

根據(jù)橢圓套管內(nèi)表面的應(yīng)力云圖（圖11）可清晰看出，在橢圓套管長軸方向上出現(xiàn)了應(yīng)力集中，套管的長軸方向與套管壁厚比較大的方向一致。橢圓套管內(nèi)表面的變形云圖顯示（圖12），套管內(nèi)表面變形最大的地方在套管的短軸方向上。并且隨著橢圓度的增加，套管的變形也是在不斷地增加，極大地降低了套管的抗外擠強度。對于無水泥環(huán)橢圓套管，當(dāng)橢圓度為1%時，套管的強度降為原來的62%，與理論計算結(jié)果相差了8%左右。同時表明了建立的有限元模型是比較合理的。根據(jù)圖13可得出：（1）無論是有水泥環(huán)套管還是無水泥環(huán)套管，套管的強度均會隨套管橢圓度的增加而大幅度減??；（2）對于有水泥環(huán)套管，水泥環(huán)的存在可大幅度降低套管橢圓度對套管強度的影響，即水泥環(huán)可以提高橢圓套管的強度；（3）水泥環(huán)對橢圓套管強度的影響隨套管橢圓度的增加而增強，當(dāng)套管橢圓度為1%時，水泥環(huán)使套管的強度提高11%。

圖11 橢圓度為1%時套管內(nèi)表面應(yīng)力云圖Fig.11 Stress nephogram of casing inner surface when ellipticity is 1%

圖12 橢圓度為1%時套管內(nèi)表面位移云圖Fig.12 Cloud diagram of displacement of inner surface of casing when ovality is 1%

綜上所述，套管的強度會隨著套管偏心率和橢圓度的增加而減小，并且套管橢圓度對套管強度影響比較大；水泥環(huán)的存在會提高偏心套管和橢圓套管的強度，且對于橢圓套管，水泥環(huán)提高套管強度的作用更加明顯。

圖13 套管強度修正系數(shù)和套管橢圓度之間的關(guān)系Fig.13 Relationship between casing strength correction factor and casing ovality

4 結(jié)論

通過對上述Ansys 有限元模擬結(jié)果分析，并與陳占鋒等［15］、張睿棟等［17］模擬結(jié)果的對比，可以發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果基本上是吻合的，因此可以得出模擬參數(shù)的選取是比較合理的，對固井參數(shù)的選取具有指導(dǎo)意義。合理的固井參數(shù)可以大幅度延長套管的使用壽命，對增加油田的經(jīng)濟效益和穩(wěn)產(chǎn)增產(chǎn)有重大意義。

（1）建立了理想套管、偏心套管和橢圓套管含水泥環(huán)和不含水泥環(huán)的有限元模型，并利用Ansys有限元分析軟件進行了分析求解。主要研究有水泥環(huán)參數(shù)、套管偏心率和橢圓度對套管強度的影響。

（2）水泥環(huán)厚度不變條件下，只有當(dāng)水泥環(huán)的彈性模量大于一定值，增加水泥環(huán)的彈性模量和厚度才能提高套管的承載能力；因此，在固井設(shè)計時，水泥環(huán)的彈性模量要大于此值。

（3）水泥環(huán)的存在不一定會增加套管的強度，只有水泥環(huán)的彈性模量大于一定值時，水泥環(huán)才能改善套管的應(yīng)力狀態(tài)，并且水泥環(huán)對套管強度的增幅效果是套管徑厚比的函數(shù)。

（4）套管的強度和套管的偏心率、橢圓度之間的關(guān)系為負相關(guān)；與偏心套管相比，套管強度隨套管橢圓度的增加減小得比較明顯，且水泥環(huán)對橢圓套管強度的增幅更加明顯。對套管加工誤差提出了新的要求，并為套管加工參數(shù)的確定提供了一定的理論依據(jù)。