陶高梁，羅晨晨，李麗華，李 奕，李梓月

（1.湖北工業(yè)大學(xué) 土木建筑與環(huán)境學(xué)院，武漢 430068；2.武昌理工學(xué)院 城建學(xué)院，武漢 430223）

1 研究背景

土-水特征曲線(xiàn)（SWCC）是揭示基質(zhì)吸力與含水率之間關(guān)系的曲線(xiàn)，也可以用基質(zhì)吸力與飽和度之間關(guān)系的形式表示，是進(jìn)行非飽和土土力學(xué)理論研究及工程應(yīng)用的基礎(chǔ)。對(duì)土-水特征曲線(xiàn)產(chǎn)生影響的因素［1-4］有很多，如土的顆粒構(gòu)成、孔隙的大小、形狀分布、孔隙比、應(yīng)力狀態(tài)等。對(duì)于同一種土，尤其以土體變形對(duì)土-水特征曲線(xiàn)造成的影響較大，變形導(dǎo)致土體內(nèi)部孔隙的變化，進(jìn)而影響失水速率。因此，對(duì)變形土進(jìn)行相關(guān)的土-水特征曲線(xiàn)的研究對(duì)非飽和土理論研究有十分重大的意義。進(jìn)氣吸力值（air-entry value）是土-水特征曲線(xiàn)上的一個(gè)臨界點(diǎn)，土體內(nèi)最大孔隙難以抗拒施加的吸力進(jìn)而發(fā)生失水［5］，此時(shí)施加的基質(zhì)吸力即為進(jìn)氣吸力值。進(jìn)氣吸力值的確定對(duì)非飽和土土-水特征曲線(xiàn)、滲透特性的研究以及相關(guān)的工程實(shí)際應(yīng)用都具有十分重要的意義［6］。因此，對(duì)變形條件下土體進(jìn)氣吸力值進(jìn)行預(yù)測(cè)是一項(xiàng)非常重要的任務(wù)。

目前對(duì)于進(jìn)氣吸力值的相關(guān)研究，前人已作了大量工作。Fallow等［7］提出了一種直接測(cè)量的方法，用來(lái)測(cè)量進(jìn)氣吸力值和初始?jí)毫λ^，推動(dòng)了進(jìn)氣吸力值相關(guān)試驗(yàn)測(cè)量的研究進(jìn)展；Tinjum等［8］對(duì)24個(gè)壓實(shí)黏土樣進(jìn)行分析，總結(jié)出了一個(gè)VG模型參數(shù)a與進(jìn)氣吸力值的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系方程，進(jìn)而預(yù)測(cè)進(jìn)氣吸力值；Vanapalli等［9］用計(jì)算作圖法對(duì)進(jìn)氣吸力值和殘余含水率進(jìn)行了預(yù)測(cè)；Zhou等［10］在研究影響土-水特征曲線(xiàn)的相關(guān)因素中，對(duì)初始孔隙比和進(jìn)氣吸力值的關(guān)系建立了相關(guān)擬合公式；Xu和Xia［11］采用分形理論建立了土-水特征曲線(xiàn)模型和相對(duì)滲透系數(shù)模型，并用該模型擬合出了進(jìn)氣吸力值；Nuth等［12］在探究變形土的土-水特征曲線(xiàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了進(jìn)氣吸力值與孔隙比之間存在反比關(guān)系，并提出了一個(gè)進(jìn)氣吸力值與凈應(yīng)力之間的關(guān)系方程；Zhai和Rahardjo［13］在確定土-水特征曲線(xiàn)的有關(guān)變量時(shí)，分別采用2種作圖計(jì)算方法推導(dǎo)出了進(jìn)氣吸力值的理論公式，并采用試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該公式；Wijaya等［14］在研究土體收縮時(shí)，發(fā)現(xiàn)土體干燥收縮時(shí)表現(xiàn)出不同的進(jìn)氣吸力值，并確定了一種方法求出收縮曲線(xiàn)的進(jìn)氣吸力值；Zhou等［15］在Xu和Xia［11］分形理論的基礎(chǔ)上提出了變形條件下孔隙率、孔隙半徑、分維數(shù)三者的關(guān)系方程，可以預(yù)測(cè)變形土體進(jìn)氣吸力值；陶高梁等［16-17］結(jié)合孔隙分布變化規(guī)律與毛細(xì)理論提出了不同初始孔隙比土體進(jìn)氣吸力值的預(yù)測(cè)方法。

目前，在土體進(jìn)氣吸力值的相關(guān)研究方面，尚未統(tǒng)一出一種較好的預(yù)測(cè)變形土進(jìn)氣吸力值的方法，在進(jìn)氣吸力值的應(yīng)用方面，以利用土-水特征曲線(xiàn)分形模型的公式擬合為主，因模型含有分維數(shù)，所以需先求出變形前土體分維數(shù)。本文為了研究變形條件下非飽和黏性土進(jìn)氣吸力值的變化規(guī)律，利用VG模型對(duì)變形前的土體土-水特征曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，得出VG模型擬合參數(shù)，根據(jù)a與進(jìn)氣吸力值ψa的已有函數(shù)關(guān)系，得出初始孔隙比條件下的進(jìn)氣吸力值，結(jié)合壓縮變形條件下土體土-水特征曲線(xiàn)變化規(guī)律建立了變形條件下土體進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)模型，采用該模型預(yù)測(cè)不同初始孔隙比條件下土體進(jìn)氣吸力值，并與已有預(yù)測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比與討論，進(jìn)而驗(yàn)證該模型的合理性。該預(yù)測(cè)模型提供了一種理論預(yù)測(cè)變形土進(jìn)氣吸力值的新方案，為后續(xù)的相關(guān)研究提供了一種新方法。

2 變形土進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)方法

2.1 預(yù)測(cè)模型

VG模型由美國(guó)學(xué)者Van Genuchten［18］于1980年提出，其表達(dá)式為

式中：w為質(zhì)量含水率；wr為殘余質(zhì)量含水率；ws為飽和質(zhì)量含水率；a表示與進(jìn)氣吸力值有關(guān)的參數(shù)（kPa-1）；n與土體的孔隙分布有關(guān)；m與土-水特征曲線(xiàn)的整體對(duì)稱(chēng)性有關(guān)；ψ為基質(zhì)吸力。該模型的吸力范圍更廣，能更加有效地表征全負(fù)壓范圍內(nèi)的土-水特征曲線(xiàn)，擬合效果良好。

文獻(xiàn)［19］依據(jù)VG模型，給出了a與進(jìn)氣吸力值ψa之間的反比關(guān)系，即

采用該式可計(jì)算變形前土體土-水特征曲線(xiàn)進(jìn)氣吸力值。

采用文獻(xiàn)［20］的結(jié)論，壓縮變形條件下，不同初始孔隙比條件下的高基質(zhì)吸力階段土-水特征曲線(xiàn)數(shù)據(jù)視為不變。當(dāng)變形后土體初始孔隙比變?yōu)閑1時(shí)（e0＞e1），假設(shè)進(jìn)氣吸力值為ψa1，作水平線(xiàn)w＝e1/Gs（Gs指土粒相對(duì)密度），與變形前e0時(shí)的土-水特征曲線(xiàn)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)便可近似認(rèn)為是e1時(shí)的進(jìn)氣吸力值ψa1，如圖1所示。

圖1 不同初始孔隙比條件下以質(zhì)量含水率表示的土-水特征曲線(xiàn)Fig.1 Soil-water characteristic curves at different initial void ratios expressed by gravimetric water content

結(jié)合式（1）與w＝e1/Gs，可得

因e1、wr、Gs、ws為已知數(shù)，故令

對(duì)式（3）進(jìn)行簡(jiǎn)單變形可得到

式中k為僅與初始孔隙比相關(guān)的變量，其他參數(shù)均能依據(jù)變形前土-水特征曲線(xiàn)擬合得到，根據(jù)式（5）可預(yù)測(cè)不同初始孔隙比土體的進(jìn)氣吸力值。

2.2 預(yù)測(cè)方法計(jì)算要點(diǎn)

該預(yù)測(cè)模型結(jié)合VG模型與壓縮變形條件下土-水特征曲線(xiàn)變化規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)，在已知變形前土體土-水特征曲線(xiàn)的條件下，預(yù)測(cè)變形后的土體進(jìn)氣吸力值。首先利用VG模型對(duì)變形前的土體土-水特征曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，得出VG模型的擬合參數(shù)，結(jié)合式（1）與w＝e1/Gs，令等式右邊的倒數(shù)為k值，計(jì)算出相應(yīng)的k值，k值只隨孔隙比的變化而變化，進(jìn)而根據(jù)式（5）預(yù)測(cè)變形后的土體進(jìn)氣吸力值。變形前土體進(jìn)氣吸力值可以利用擬合參數(shù)a與進(jìn)氣吸力值ψa之間的反比關(guān)系得出。

3 已有進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)方法

已有文獻(xiàn)中提出了3種預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)變形土進(jìn)氣吸力值，這些模型大多基于分形理論與土-水特征曲線(xiàn)模型。在這一節(jié)，對(duì)這些模型的表達(dá)式做了簡(jiǎn)要的闡述。

3.1 方法1

結(jié)合毛細(xì)理論，文獻(xiàn)［21］根據(jù)孔隙率模型推導(dǎo)了以質(zhì)量含水率表示的土-水特征曲線(xiàn)模型，并進(jìn)一步推導(dǎo)出了預(yù)測(cè)進(jìn)氣吸力值的公式，其表達(dá)式為

式中：ψa為變形前的土體進(jìn)氣吸力值；e1為變形后土體孔隙比；e0為初始孔隙比；D0為變形前土體分形維數(shù)。

3.2 方法2

文獻(xiàn)［15］中假設(shè)分形維數(shù)與孔隙率無(wú)關(guān)，孔隙率的改變僅改變孔隙半徑在方程中的值，結(jié)合Capillary理論推導(dǎo)出了一種變形土進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)模型，其表達(dá)式為

式中：φ為變形前土體孔隙率；φ′為變形后土體孔隙率；E為歐幾里德維數(shù)，本文取3。

已知φ＝e0/（1＋e0），φ′＝e1/（1＋e1），故式（6）與式（7）變形后的表達(dá)式一致，且相關(guān)參數(shù)求解也一致，可看作同一種進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)方法。

3.3 方法3

文獻(xiàn)［17］以土-水特征曲線(xiàn)分形模型為理論基礎(chǔ)，參照已有的第一種進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)方法，推導(dǎo)出了新的變形土進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)模型，即

上述變形土進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)方法建立在分形理論的基礎(chǔ)上，要點(diǎn)在于均需求出初始孔隙比e0的土體進(jìn)氣吸力值和分形維數(shù)，因此不僅要對(duì)土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合求出進(jìn)氣吸力值，還需進(jìn)行線(xiàn)性擬合求解分形維數(shù)。

4 預(yù)測(cè)方法對(duì)比分析及驗(yàn)證

4.1 土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)

以湖南紅黏土［23］為研究對(duì)象，將其風(fēng)干碾碎并過(guò)2 mm篩，土樣的基本物理性質(zhì)見(jiàn)表1，制備初始孔隙比分別為1.12、1.04、0.97、0.90、0.84、0.73的試樣6個(gè)，土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用壓力板儀測(cè)量獲得，不同初始孔隙比條件下土樣的土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 湖南黏土的基本物理性質(zhì)Table 1 Basic physical properties of Hunan clay

表2 土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data of SWCC

采用以質(zhì)量含水率表示的土-水特征曲線(xiàn)分形模型對(duì)6種不同初始孔隙比土樣的土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出的進(jìn)氣吸力值如表3。

表3 不同初始孔隙比土樣的進(jìn)氣吸力值Table 3 Air-entry values of soil samples with different initial void ratios

4.2 進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)對(duì)比

采用4.1節(jié)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用本文預(yù)測(cè)方法與已有預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)進(jìn)氣吸力值，并與擬合值對(duì)比，如圖2。上述3種已有文獻(xiàn)進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)方法的相同之處在于都需要求出變形前土體的進(jìn)氣吸力值及分形維數(shù)，且采用不同形式的土-水特征曲線(xiàn)模型進(jìn)行擬合，而本文預(yù)測(cè)模型采用VG模型擬合出相關(guān)參數(shù)，進(jìn)而求出變形后土體進(jìn)氣吸力值。

圖2 不同預(yù)測(cè)方法的進(jìn)氣吸力值對(duì)比Fig.2 Comparison of air-entry values obtained by different prediction methods

利用本文的預(yù)測(cè)方法及已有文獻(xiàn)方法對(duì)變形條件下湖南黏土進(jìn)氣吸力值進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與擬合得出的進(jìn)氣吸力值進(jìn)行比較。圖2表明，4種預(yù)測(cè)方法的進(jìn)氣吸力值變化趨勢(shì)大體一致，進(jìn)氣吸力值隨著初始孔隙比的減小而變大。初始孔隙比較大時(shí)，各預(yù)測(cè)方法與分析擬合值均較為接近，但當(dāng)初始孔隙比較小時(shí)，本文方法預(yù)測(cè)結(jié)果更為接近擬合值。

4.3 進(jìn)氣吸力值的應(yīng)用

4.3.1 非飽和滲透系數(shù)統(tǒng)一模型

文獻(xiàn)［22］推導(dǎo)了Burdine模型、Mualem模型、陶-孔模型的分形形式。

（1）Burdine模型的分形形式為

（2）Mualem模型的分形形式為

（3）陶-孔模型的分形形式為

式中kr為相對(duì)滲透系數(shù)。

上述3種滲透系數(shù)分形模型的共同點(diǎn)為均由進(jìn)氣吸力值和基質(zhì)吸力組成對(duì)應(yīng)比例關(guān)系。根據(jù)土-水特征曲線(xiàn)的分形模型，以飽和度Sr表示的土-水特征曲線(xiàn)分形形式為

為得到非飽和相對(duì)滲透系數(shù)分形模型的統(tǒng)一形式，可以將式（12）（ψ≥ψa）代入上述3種非飽和相對(duì)滲透系數(shù)的分形形式（見(jiàn)表4），得到以飽和度形式表示的非飽和相對(duì)滲透系數(shù)統(tǒng)一模型，如式（13）。

式中β為常數(shù)。在Burdine模型中，β為3；在Mualem模型中，β為2.5；在陶-孔模型中，β為1。

表4 非飽和相對(duì)滲透系數(shù)統(tǒng)一模型Table 4 A unified model for relative permeability coefficient of unsaturated soils

在2.1節(jié)中提到的VG模型采用殘余飽和度Se形式表示，如式（14）。

若將殘余含水率對(duì)應(yīng)的水分視作顆粒組成部分，可近似認(rèn)為θr＝0，Se＝Sr，其中a、m、n均為擬合參數(shù)，將其代入統(tǒng)一模型式（13），可得到以VG模型為理論基礎(chǔ)的非飽和相對(duì)滲透系數(shù)統(tǒng)一模型，即

4.3.2 滲透模型驗(yàn)證

針對(duì)上述模型，對(duì)不同初始孔隙比條件下湖南黏土的土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出下列參數(shù)，見(jiàn)表5。變形條件下土體進(jìn)氣吸力值已于4.2節(jié)中求出，利用式（15）對(duì)非飽和相對(duì)滲透系數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，非飽和滲透系數(shù)實(shí)測(cè)值來(lái)自文獻(xiàn)［23］，3種滲透模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比見(jiàn)圖3。

表5 不同初始孔隙比VG模型擬合參數(shù)Table 5 Fitting parameters of VG Model with different initial void ratios

圖3 非飽和相對(duì)滲透系數(shù)預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig. 3 Comparison of unsaturated relative permeabilitycoefficient between predicted and measured values

由圖3可知，在預(yù)測(cè)效果對(duì)比上，以VG模型為理論基礎(chǔ)的3種非飽和相對(duì)滲透系數(shù)模型預(yù)測(cè)存在一定的差異性，在統(tǒng)一模型中，模型參數(shù) β分別為1、2.5、3時(shí)，預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值均吻合較好。

5 結(jié) 論

在已知初始孔隙比e0的土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)條件下，預(yù)測(cè)不同初始孔隙比條件下土體的進(jìn)氣吸力值對(duì)于非飽和土的水力耦合分析、變形條件下土體滲流特性的研究等具有重要意義。本文提出了一種基于VG模型的變形土進(jìn)氣吸力值預(yù)測(cè)模型，通過(guò)壓力板儀試驗(yàn)得出湖南黏土土-水特征曲線(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合得出相關(guān)參數(shù)，并將其代入本文預(yù)測(cè)模型，與其它模型預(yù)測(cè)值和擬合值進(jìn)行比較。本文預(yù)測(cè)值與擬合值吻合良好，在初始孔隙比較小時(shí)更接近擬合值。同時(shí)，本文還提出了非飽和相對(duì)滲透系數(shù)統(tǒng)一模型，將計(jì)算的進(jìn)氣吸力值應(yīng)用于變形土的非飽和滲透系數(shù)預(yù)測(cè)，并將其與實(shí)測(cè)值對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的合理性。