荊素風(fēng)

(太原旅游職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030032)

作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，在微積分教學(xué)中，不僅要使學(xué)生熟練掌握基本知識(shí)與技能，深入了解基本的邏輯體系，更重要的是要使學(xué)生透徹理解相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法。因?yàn)殪`活掌握數(shù)學(xué)思想方法不僅可以幫助學(xué)生透徹理解現(xiàn)在所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也能夠?yàn)槲磥?lái)的學(xué)習(xí)應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)針對(duì)如何將思想方法有效滲透到微積分教學(xué)中，給予更深入、更新穎的探索與嘗試。

一、數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想是分析、解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，是認(rèn)識(shí)和掌握數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)以及定理的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)的智慧、靈魂所在。數(shù)學(xué)方法是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體思路和手段。從自然科學(xué)、社會(huì)與科學(xué)技術(shù)等方面來(lái)講，還可以廣義地將數(shù)學(xué)方法理解為用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)事物進(jìn)行說(shuō)明、推導(dǎo)、分析，以完成對(duì)相關(guān)問(wèn)題的判斷、解決。從這一層面來(lái)講，數(shù)學(xué)本身就是一種方法。數(shù)學(xué)不僅具備一般科學(xué)的特征，還有能夠呈現(xiàn)橫向遷移的特點(diǎn)，在整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛。

二、微積分教學(xué)現(xiàn)狀分析

在新時(shí)期背景下，隨著高等教育事業(yè)改革的不斷深入，步入高校的學(xué)生人數(shù)在不斷增加，但同時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)能力與認(rèn)知水平也呈現(xiàn)出較大的差異。而隨著生源質(zhì)量的不斷下降，微積分考試成績(jī)也出現(xiàn)了越來(lái)越嚴(yán)重的兩極分化的情況，重修比例也不斷提高。除了學(xué)生方面的原因，教師在開(kāi)展微積分教學(xué)過(guò)程中，若教學(xué)思想方法沒(méi)有針對(duì)性，就會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)教學(xué)效果產(chǎn)生直接影響。再加上微積分課程的難度較大，若不加強(qiáng)思想方法的滲透，幫助學(xué)生探索出更適合、高效的學(xué)習(xí)、解題方式，不僅會(huì)導(dǎo)致學(xué)生逐漸對(duì)微積分課程失去興趣與信心，也會(huì)制約微積分教學(xué)水平的進(jìn)一步提升。因此，為了提升教學(xué)質(zhì)量，必須在微積分教學(xué)中重視科學(xué)有效的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

三、微積分教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略

(一)教師要深入分析教材

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)家在探索數(shù)學(xué)真理的過(guò)程中總結(jié)出的精髓所在，但數(shù)學(xué)教材并非是對(duì)這一探索過(guò)程的真實(shí)記錄。相反，教材因?yàn)樘^(guò)于追求完美的演繹形式，經(jīng)常會(huì)使其中的內(nèi)在思想方法被掩蓋，導(dǎo)致數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程被顛倒。因此，為使數(shù)學(xué)思想方法在微積分教學(xué)中實(shí)現(xiàn)有效滲透，一定要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行全面、深入分析，將其中的內(nèi)在思想方法全面提煉出來(lái)。在教材分析中，不僅要講究邏輯性，還要涉及到歷史分析。邏輯性著重強(qiáng)調(diào)的是不僅要做到對(duì)教材體系、脈絡(luò)以及重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容的準(zhǔn)確把握，還要結(jié)合知識(shí)、方法、思想這一順序?qū)⒅R(shí)中的方法挖掘出來(lái)，在方法中完成對(duì)思想的提煉。對(duì)教材的歷史分析，簡(jiǎn)單來(lái)講就是要基于對(duì)數(shù)學(xué)史的全面了解實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的準(zhǔn)確把握，只有這樣才能夠在日常教學(xué)中把握契機(jī)，進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法在知識(shí)點(diǎn)講解中的滲透。

(二)滲透化歸思想方法

在微積分教學(xué)中，化歸思想的具體運(yùn)用主要表現(xiàn)在把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題并予以解決。在運(yùn)用化歸思想的過(guò)程中，要先做到準(zhǔn)確把握化歸對(duì)象，再進(jìn)行化歸目標(biāo)或路徑的確立與選擇。新概念的形成、理解與掌握往往需要在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)，通過(guò)融入舊知識(shí)完成新理念的學(xué)習(xí)。在微積分教學(xué)中，化歸思想運(yùn)用的關(guān)鍵就是快速轉(zhuǎn)化問(wèn)題找到突破口，從而更高效地解決問(wèn)題。例如，在講解不定積分的換元法時(shí)，需要先分析被積表達(dá)式與積分變量的關(guān)系，如果不能直接用不定積分公式解決問(wèn)題，就需要搭個(gè)橋轉(zhuǎn)化到能用公式法解決問(wèn)題，而換元法就是轉(zhuǎn)化問(wèn)題合適的方法。轉(zhuǎn)化了這個(gè)問(wèn)題，就可以在課堂上引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想合理地解決這種求不定積分的問(wèn)題。又如，在講解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，先復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的分解，如果這個(gè)知識(shí)點(diǎn)能掌握好，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的轉(zhuǎn)化就非常簡(jiǎn)單了。其合理轉(zhuǎn)化過(guò)程為：第一步是分解，第二步是對(duì)分解結(jié)果求導(dǎo)，第三步是將求導(dǎo)結(jié)果相乘。而鏈?zhǔn)角髮?dǎo)則需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解、融合、升華。再如，在定積分教學(xué)中，第二換元法是比較復(fù)雜的內(nèi)容，一般先全面分析問(wèn)題，對(duì)被積表達(dá)式與積分上限、下限都進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化，將原始問(wèn)題化歸為一個(gè)新的問(wèn)題，再根據(jù)情況選擇公式法或湊微分法解決此問(wèn)題。因此，利用轉(zhuǎn)化和歸結(jié)思維策略可以進(jìn)行一系列化歸過(guò)程，高效處理教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題，促進(jìn)微積分教學(xué)效果的顯著提升。

(三)滲透極限思想方法

極限思想是微積分的基本思想，函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分等都是用極限來(lái)定義的，極限思想貫穿其始終。極限思想方法是分析解決微積分問(wèn)題的必要工具。通過(guò)極限思想的有效運(yùn)用，連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)及定積分等知識(shí)內(nèi)容都逐漸被引出。極限思想是通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的深入研究分析與解決問(wèn)題的。

以曲邊梯形面積的求解為例，可以通過(guò)微積分中極限思想的有效引用，實(shí)現(xiàn)以直代曲，快速求出曲邊梯形面積。在具體求解時(shí)，先將整個(gè)曲邊梯形無(wú)限分割，以直代曲，用無(wú)限小矩形的面積之和取極限來(lái)解決問(wèn)題。這一思想方法在微積分教學(xué)中的有效滲透，既有助于提升教學(xué)的有效性，高效解決原本復(fù)雜的問(wèn)題，為之后的學(xué)習(xí)應(yīng)用奠定良好基礎(chǔ)，也能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生做事目標(biāo)的明確性、思維的條理性、過(guò)程的規(guī)范性、方法的創(chuàng)新性等，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

(四)滲透函數(shù)思想方法

函數(shù)思想是微積分學(xué)習(xí)中的一種重要方法，與辨證唯物主義觀相符合，就是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，利用變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)知識(shí)分析解決問(wèn)題。通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)思想分析解決微積分問(wèn)題，往往可以取得非常顯著的效果。

在微積分問(wèn)題分析中，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)能夠?qū)⒃緩?fù)雜化的微積分問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例如，求函數(shù)的極值點(diǎn)，可以先求出函數(shù)的分界點(diǎn)，然后將函數(shù)的定義域分為若干區(qū)間，再列表判斷函數(shù)在各區(qū)間的單調(diào)性，最后得出單調(diào)性改變的點(diǎn)即為極值點(diǎn)。基于每個(gè)過(guò)程扎實(shí)的函數(shù)知識(shí)，根據(jù)單調(diào)性就可以脈絡(luò)清晰地求出極值點(diǎn)。又如，拐點(diǎn)是函數(shù)凹凸性改變的點(diǎn)，求函數(shù)的拐點(diǎn)可通過(guò)判斷函數(shù)的凹凸性得出，掌握函數(shù)的凹凸性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。因此，把握并運(yùn)用函數(shù)思想方法才能提升解決問(wèn)題的準(zhǔn)確性。

在拉格朗日中值定理的運(yùn)用中，需要先進(jìn)行適合函數(shù)的構(gòu)建，說(shuō)明在微積分研究中，函數(shù)是至關(guān)重要的內(nèi)容。在微積分知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)探究中，函數(shù)思想是不可忽視的基礎(chǔ)。例如，在證明方程x+2x=2至少存在一個(gè)小于1的正根這一題目的解答中，就要先進(jìn)行函數(shù)F(x)=x+2x-2的構(gòu)造，在明確F(x)在[0，1]上連續(xù)，而且F(0)=-1<0，F(xiàn)(1)=1>0之后，根據(jù)零點(diǎn)定理，便可以明確在(0，1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，滿(mǎn)足F(x)=0，即x+2x-2=0在(0，1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)根。

(五)滲透類(lèi)比思想方法

類(lèi)比思想就是根據(jù)不同對(duì)象之間的某種相似性的準(zhǔn)確把握，通過(guò)比較分析類(lèi)似問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多概念、性質(zhì)、定理、公式都是在類(lèi)比中獲得的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究中，通過(guò)靈活運(yùn)用類(lèi)比思想方法，能夠使解決相似問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以大幅度提升學(xué)習(xí)效率。例如，在無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的教學(xué)中，用類(lèi)比思想方法從定義、性質(zhì)、特例以及關(guān)系等方面進(jìn)行對(duì)比分析，就能清晰地把這一重點(diǎn)問(wèn)題講通透，使學(xué)生輕松掌握這一知識(shí)點(diǎn)。又如，對(duì)于六類(lèi)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的記憶問(wèn)題，一直是學(xué)生難以理解的問(wèn)題，因此在推導(dǎo)出公式后進(jìn)行類(lèi)比分析，尤其是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)照類(lèi)比，三角函數(shù)兩兩類(lèi)比，就可以通過(guò)相似結(jié)構(gòu)和局部不同進(jìn)行記憶，幫助學(xué)生多思考、多記憶，達(dá)到在課堂就精準(zhǔn)記憶公式的良好效果。通過(guò)類(lèi)比思想的運(yùn)用，可以使學(xué)生從概念到公式有更深刻的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)觸類(lèi)旁通，為之后的學(xué)習(xí)、應(yīng)用以及綜合學(xué)習(xí)能力的提升提供有力支持。

(六)全面滲透數(shù)學(xué)思想方法

不論是在微積分教學(xué)，還是其他數(shù)學(xué)課程的講解中，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用應(yīng)堅(jiān)持反復(fù)滲透、漸進(jìn)發(fā)展，還有學(xué)生參與等原則。為了確保學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的透徹理解與熟練掌握，為之后的高效學(xué)習(xí)、解決問(wèn)題以及綜合應(yīng)用提供有力支持，教師在日常教學(xué)中要緊緊圍繞授課內(nèi)容，把握各種契機(jī)對(duì)學(xué)生進(jìn)行有意識(shí)的引導(dǎo)，強(qiáng)化思想方法的滲透。例如，無(wú)限逼近的極限思想在極限定義中出現(xiàn)過(guò)，之后在導(dǎo)數(shù)定義、定積分等概念中再次出現(xiàn)，因此在實(shí)際授課中就要引導(dǎo)學(xué)生逐漸實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)限逼近的極限思想方法的透徹理解，使學(xué)生對(duì)這一思想方法的精神實(shí)質(zhì)有真正的領(lǐng)會(huì)，且能將其有效運(yùn)用到其他領(lǐng)域中，為實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移奠定良好基礎(chǔ)。

四、 結(jié)語(yǔ)

總之，在微積分教學(xué)中，除了要為學(xué)生傳授新穎、豐富的理論知識(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生透徹理解、靈活掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，從而為之后更高效地掌握所學(xué)知識(shí)，分析、解答實(shí)際問(wèn)題提供有力支持。在微積分教學(xué)中巧妙地滲透數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生不斷提升獨(dú)立思考能力、合作探究能力以及數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，為進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定良好基礎(chǔ)。