銀鶴凡，王 琦

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006)

0 引言

近年來(lái)，針對(duì)延遲微分方程數(shù)值解性質(zhì)的研究受到了越來(lái)越多的關(guān)注[1-4]，特別是對(duì)于具有分段連續(xù)自變量的微分方程(differential equations with piecewise continuous arguments，簡(jiǎn)寫為EPCA)[5-8]。由于時(shí)間整數(shù)函數(shù)在本質(zhì)上就是延遲項(xiàng)，所以EPCA可被看作是一種特殊的延遲微分方程。文獻(xiàn)[9,10]和[11,12]分別討論了EPCA數(shù)值解的穩(wěn)定性和振動(dòng)性。同時(shí)，由于EPCA在結(jié)構(gòu)上分別具有微分方程和差分方程的特征，所以在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮了重要作用(見(jiàn)文獻(xiàn)[13-16])，也使得對(duì)于EPCA的研究更加具有理論價(jià)值和實(shí)際意義。

本文主要研究超前型EPCA的數(shù)值振動(dòng)性。運(yùn)用微分方程與差分方程的振動(dòng)性理論，獲得了原方程的數(shù)值振動(dòng)性條件，進(jìn)一步探討了振動(dòng)性與穩(wěn)定性的內(nèi)在聯(lián)系。

考慮方程

x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1]),x(0)=c0,

(1)

其中[t]表示取t的整數(shù)部分。

記

b0(t)=eat+a-1a0(eat-1),b1(t)=a-1a1(eat-1),λ=b0(1)/(1-b1(1))。

(2)

定理1[17]如果b1(1)≠1，則方程(1)在[0,∞)上存在如下形式的唯一解

x(t)=(b0({t})+λb1({t}))λ[t]c0,

(3)

其中{t}=t-[t]。

定理2[17]方程(1)的解在t→∞時(shí)是穩(wěn)定的(或漸近穩(wěn)定的)，當(dāng)且僅當(dāng)

(4)

定理3[17]如果下列條件

(5)

成立，那么方程(1)的解在區(qū)間(n,n+1)內(nèi)有零點(diǎn)

如果式(5)不成立，并且a0≠-aea/(ea-1),c0≠0,那么式(3)在[0,∞)上沒(méi)有零點(diǎn)。

微分方程和差分方程的振動(dòng)性概念如下。

如果存在序列{nk}，使得當(dāng)k→∞時(shí)有nk→∞且x(nk)x(nk-1)≤0，則稱方程(1)的非零數(shù)值解是振動(dòng)的，否則稱為非振動(dòng)；如果方程(1)的所有非零數(shù)值解都是(非)振動(dòng)的，那么就稱方程(1)的差分方程(或差分格式)是(非)振動(dòng)的。

1 數(shù)值解的振動(dòng)性

1.1 差分格式

令步長(zhǎng)h=1/m，將θ-方法(具體形式參見(jiàn)文獻(xiàn)[18])用于求解方程(1)，得到如下遞推關(guān)系式

(6)

其中z=ha,l=0,1,…,m-1,R(z)=1+z/(1-θz)。

式(6)經(jīng)迭代，分別可得方程(1)在整數(shù)與非整數(shù)節(jié)點(diǎn)的遞推格式

(7)

(8)

1.2 解析解和數(shù)值解的振動(dòng)與非振動(dòng)性

下面的定理給出了非振動(dòng)性在整數(shù)節(jié)點(diǎn)和任意節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。

定理4{xn}非振動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng){xkm}非振動(dòng)，其中{xn}和{xkm}分別由式(8)和式(7)給出。

證明必要性顯然。下面證明充分性。如果{xkm}非振動(dòng)，不妨假設(shè){xkm}是式(7)的一個(gè)最終為負(fù)的解，即存在一個(gè)k0∈N，使得k>k0時(shí)，有xkm<0。為了證明xkm+l<0(k>k0+1)，不妨設(shè)a0<0且a1<0。如果a>0，則R(z)-m≤R(z)-l，因此，由式(8)可得

即有xkm+l<0。a<0的情形類似可證。

定理5{xn}振動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng){xkm}振動(dòng)，其中{xn}和{xkm}分別由式(8)和式(7)給出。

定理6如果下列兩組條件之一成立

那么式(7)是振動(dòng)的。

證明式(7)是振動(dòng)的當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)的特征方程沒(méi)有正根，即

從而命題得證。

由定理3不難得到解析解振動(dòng)性的結(jié)果。

引理1D1(m),D2(m),D1和D2具有如下關(guān)系：(i) 當(dāng)h→0時(shí)，有D1(m)→D1,D2(m)→D2；(ii) 如果對(duì)于a>0，有ez≤R(z)成立，或者對(duì)于a<0，有ez≥R(z)成立，則有D1≤D1(m),D2≥D2(m)；(iii) 如果對(duì)于a>0，有ez>R(z)成立，或者對(duì)于a<0，有ezD1(m),D2

證明(i) 顯然成立，接下來(lái)考慮(ii)。如果a>0并且ez≤R(z)，則ea≤R(z)m，即

進(jìn)而有

所以有D1≤D1(m),D2≥D2(m)。其他情形同理可證。

由定理4,5,6和推論7得如下定理。

定理7(i) 如果D1D2(m)成立，那么θ-方法保持方程(1)的振動(dòng)性；(ii) 如果D1≥D1(m)和D2≤D2(m)成立，那么θ-方法保持方程(1)的非振動(dòng)性。

(9)

由定理7，引理1和引理2可得如下結(jié)論。

定理9θ-方法保持方程(1)的非振動(dòng)性當(dāng)且僅當(dāng)(i)a>0且0≤θ≤f(1);(ii)a<0且f(-1)≤θ≤1，其中f(x)的表達(dá)式見(jiàn)式(9)。

2 穩(wěn)定性與振動(dòng)性的進(jìn)一步探討

根據(jù)定理2，如下推論顯然成立。

推論2方程(1)的解析解漸近穩(wěn)定(當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→0)的充分必要條件是

(10)

定理10方程(1)的數(shù)值解漸近穩(wěn)定(當(dāng)n→∞時(shí)，xn→0)的充分必要條件是

通過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)有

故命題得證。

定理11方程(1)的解析解具有下列四種情形。

(A1) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解非振動(dòng)且漸近穩(wěn)定。

(A2) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解非振動(dòng)且不穩(wěn)定。

(A3) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解振動(dòng)且不穩(wěn)定。

(A4) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解振動(dòng)且漸近穩(wěn)定。

證明由推論1和推論2可得。

對(duì)于數(shù)值解情形，類似有如下結(jié)論。

定理12方程(1)的數(shù)值解具有下列四種情形。

(B1) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解非振動(dòng)且漸近穩(wěn)定。

(B2) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解非振動(dòng)且不穩(wěn)定。

(B3) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解振動(dòng)且不穩(wěn)定。

(B4) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解振動(dòng)且漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)值例子

考慮下列4個(gè)方程

x′(t)=x(t)-3x([t])+3x([t+1]),x(0)=1,

(11)

x′(t)=-2x(t)-3x([t])-2x([t+1]),x(0)=1,

(12)

x′(t)=3x(t)+x([t])+3x([t+1]),x(0)=1,

(13)

x′(t)=-4x(t)+3x([t])+2x([t+1]),x(0)=1。

(14)

從方程(11)可以看出a=0,a0=-3,a1=3,故有

也就是說(shuō)，定理11的條件(A1)是成立的。

同時(shí)有

進(jìn)而可算得

因此，定理12的條件(B1)成立。

從圖1我們可以看出方程(11)的解析解和數(shù)值解都是漸近穩(wěn)定且非振動(dòng)的，從而，圖1中解的行為與定理11和定理12的理論結(jié)果相吻合。

其他情形可以用類似的方式進(jìn)行驗(yàn)證(參見(jiàn)圖2-圖4)。

圖1 方程(11)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

圖2 方程(12)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

圖3 方程(13)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

圖4 方程(14)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)前向EPCA，運(yùn)用θ-方法進(jìn)行離散，根據(jù)對(duì)差分格式的特征方程的分析，獲得了數(shù)值解振動(dòng)的充分條件。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論了數(shù)值方法對(duì)原方程振動(dòng)行為的保持性質(zhì)。所得結(jié)論是對(duì)歷史文獻(xiàn)的有益補(bǔ)充和擴(kuò)展。