李丙春

（喀什大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆 喀什 844000）

0 引言

大多數(shù)科學(xué)和工程領(lǐng)域中的偏微分方程很難求其解析解，甚至沒有解析解，因此利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)偏微分方程的數(shù)值求解就顯得十分重要.文獻(xiàn)[1]針對(duì)一類非線性雙曲型偏微分方程，構(gòu)造了混合有限元兩層網(wǎng)格算法.文獻(xiàn)[2]對(duì)含有非線性擴(kuò)散項(xiàng)和非線性源項(xiàng)的一般形式的熱傳導(dǎo)方程，通過在演化方程中增加兩個(gè)關(guān)于源項(xiàng)分布函數(shù)的微分算子，構(gòu)造新的格子Boltzmann 求解模型.文獻(xiàn)[3]針對(duì)非線性偏微分方程初邊值問題，利用逐層優(yōu)化的方法進(jìn)行數(shù)值求解.文獻(xiàn)[4]利用NumPy 多維數(shù)組和通用函數(shù)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了LBM 流場(chǎng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和典型計(jì)算內(nèi)核，通過一系列性能優(yōu)化并對(duì)LBM 邊界處理算法進(jìn)行重構(gòu)，大幅提升了Python 的計(jì)算效率.

本文針對(duì)二階熱傳導(dǎo)非線性偏微分方程，利用離散差分格式，將方程的初、邊值作為初始條件，沿著時(shí)間方向t 逐列，再沿空間方向x逐行計(jì)算.在計(jì)算的過程中，把當(dāng)前需要計(jì)算的點(diǎn)作為優(yōu)化參數(shù)，調(diào)用遺傳算法模塊進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，進(jìn)化結(jié)束后用最優(yōu)參數(shù)值作為當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值.同時(shí)，為了加快計(jì)算速度，使用了Python 中的多處理器模塊進(jìn)行并行計(jì)算.

1 帶初邊值問題的非線性偏微分方程差分格式

設(shè)需要求解的帶初邊值的二階非線性偏微分方程形式如下：

對(duì)求解區(qū)域a≤x≤b，0≤t≤T 進(jìn)行網(wǎng)格化處理，取空間方向x 的步長為Δx，時(shí)間方向t的步長為Δt，如圖1 所示.

網(wǎng)格中第一行和最后一行分別是x=a 和x=b 時(shí)u 的值，第一列是t=0 時(shí)u 的值，根據(jù)初邊值條件，它們都是已知的.求解時(shí)按照先逐j列后逐行的順序進(jìn)行，因此，在求解第列時(shí)，前一列即j-1 列已知計(jì)算出來了，可作為已知條件使用.

圖1 求解區(qū)域網(wǎng)格化

數(shù)值求解非線性偏微分方程（1）時(shí)，按照?qǐng)D1 的模板結(jié)構(gòu)，可采用如下形式的偏導(dǎo)數(shù)差分格式：

將式（2）代入非線性偏微分方程（1），得到關(guān)于差分格式的偏微分方程

其中，下標(biāo)i 和j 都從0 開始，Nt和Nx分別是時(shí)間方向和空間方向分割的點(diǎn)數(shù).

2 帶初邊值問題的非線性偏微分方程逐點(diǎn)優(yōu)化算法

由非線性偏微分方程差分格式（3）表明，如果ui，j,ui+1，j-1,ui，j-1和ui-1，j-1是偏微分方程的精確解，則（3）式應(yīng)該完全成立.但這里是數(shù)值解，誤差一定會(huì)存在，因此（3）式不會(huì)完全成立.但如果（3）式的左端足夠小，趨近于0 的程度非常好，則對(duì)偏微分方程數(shù)值解來說是可以接受的.

按照時(shí)間t 的方向逐層求解的思路，式（3）中 的ui+1，j-1，ui，j-1和ui-1，j-1是前一輪已經(jīng)求解出來的，ui，j是未知的，需要本次求解.極小化目標(biāo)函數(shù)

這是一個(gè)單變量優(yōu)化問題，優(yōu)化結(jié)束以后，令

即以優(yōu)化算法結(jié)束后得到的優(yōu)化變量值作為當(dāng)前網(wǎng)格點(diǎn)的值.算法形式描述如下：

調(diào)用遺傳算法ga 求解目標(biāo)函數(shù)（4），優(yōu)化變量w

本算法對(duì)網(wǎng)格中的每個(gè)點(diǎn)（除初邊值條件已知的第一列、第一行和最后一行以外） 逐點(diǎn)調(diào)用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解，后面的實(shí)例可以發(fā)現(xiàn)，能夠獲得精度很高的數(shù)值解.

3 Python 多處理器并行計(jì)算

上述通過逐點(diǎn)調(diào)用遺傳算法優(yōu)化數(shù)值求解偏微分方程函數(shù)值的方法可以取得令人滿意的結(jié)果，算法的實(shí)現(xiàn)也較為容易.但因?yàn)槭侵瘘c(diǎn)優(yōu)化計(jì)算，而遺傳優(yōu)化算法是一種隨機(jī)搜索算法，其本身的時(shí)間消耗較大，導(dǎo)致該算法運(yùn)行時(shí)間較長.考慮到現(xiàn)在使用的計(jì)算機(jī)一般都是多核處理器，基本都可以達(dá)到4 核，很多情況下系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)只有一個(gè)核心在工作，其它核心處于閑置狀態(tài)，如果能夠把多個(gè)核心都利用起來并行計(jì)算，肯定可以加快運(yùn)算速度.本問題是一個(gè)計(jì)算密集型任務(wù)，正好可以體現(xiàn)多處理器并行計(jì)算的優(yōu)勢(shì).本文在Python 環(huán)境下使用多處理器進(jìn)行并行運(yùn)算，形式描述如下：

（1） 定義函數(shù)fun

定義目標(biāo)函數(shù)objfun；

調(diào)用遺傳算法ga 對(duì)目標(biāo)函數(shù)objfun 進(jìn)行優(yōu)化；

返回最優(yōu)變量w.

（2） 主函數(shù)使用多處理器并行計(jì)算，假設(shè)CPU 有4 個(gè)核心.

4 實(shí)例分析

設(shè)某非線性偏微分方程為：

按照差分格式（2），構(gòu)造如下形式的離散方程作為目標(biāo)函數(shù)：

極小化目標(biāo)安函數(shù)F（w），最后取ui，j=w 即可，即

該非線性偏微分方程有精確解

（1） 取Δx=0.05，Δt=0.001，優(yōu)化計(jì)算結(jié)束以后，本文算法數(shù)值解與精確解部分結(jié)果比對(duì)如表1 所示.

表1 t=t0 時(shí)數(shù)值解與精確解部分結(jié)果對(duì)比

數(shù)值解與精確解繪制的三維曲面圖如圖2所示.

t=0.4 時(shí)，數(shù)值解函數(shù)值與精確解函數(shù)值曲線如圖3 所示，其中黑色小圓點(diǎn)是偏微分方程的精確解.

從圖2 和圖3 可以看出，利用本文方法得到的數(shù)值解可以很好地逼近偏微分方程的精確解.

（2） 誤差分析.

計(jì)算值與精確值的最大絕對(duì)誤差為0.0573 1063826562638，平均絕對(duì)誤差為0.00196653218 11486165，均方誤差MSE 為2.34914289567480 68e-05.

（3） 單核計(jì)算與多核計(jì)算比較.

使用單核計(jì)算，需要耗時(shí)16824 秒，開啟4核并行計(jì)算，消耗的時(shí)間為4748 秒，速度可以提升3.5 倍左右，加速的效果還是很明顯的.

（4） 總時(shí)間長度T 對(duì)計(jì)算精度的影響.

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，總的時(shí)間長度T 對(duì)計(jì)算精度有影響，當(dāng)T=0.5 時(shí)，計(jì)算值與精確值的最大絕對(duì)誤差為0.0015586254247764858，平均絕對(duì)誤差為5.9936176114377825e-05，均方誤差MSE為4.9188825689194596e-08.與T=0.8 時(shí)的計(jì)算精度相比，有很大的提高.

圖2 數(shù)值解與精確解三維結(jié)果圖

圖3 t=0.4 時(shí)數(shù)值解與精確解對(duì)比

總時(shí)間長度T=0.5 比T=0.8 的計(jì)算精度高幾個(gè)數(shù)量級(jí)，其原因是由于采用了逐層優(yōu)化計(jì)算，每個(gè)點(diǎn)的計(jì)算值本身是近似結(jié)果，具有一定的誤差，這些誤差是會(huì)向后傳播的，因此隨著時(shí)間的向后推移，誤差會(huì)逐漸增大，導(dǎo)致計(jì)算精度會(huì)逐漸下降.